'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 12| ארכיון 12]]''' - תרגיל 9
'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 13| ארכיון 13]]''' - תרגיל 10
'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 14| ארכיון 14]]''' - תרגיל 10
'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 15| ארכיון 15]]''' - תרגיל 10
'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 16| ארכיון 16]]''' - לקראת המבחן
'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 17| ארכיון 17]]''' - לקראת המבחן
=שאלות=
'''תומר''' - הסמסטר הולך ומסתיים לו . מי שרוצה לקבוע איתי פגישה ("שעת קבלה " ) - מוזמן לעשות זאת ועדיף לא לדחות עד סוף הסמסטר ממש ובסמוך למבחן ! שילחו לי מייל לתיאום : yaniv_to@netvision.net.il
==שאלה==
יהיה במבחן פונקציות עם שתי משתנים?
:לא שידוע לי, אם המרצה אמר שיהיה אז יהיה, אם לא אז לא
תומר - מה פתאום שיהיה משהו שלא למדתם ??? הגיון חבר"ה , הגיון !
==שאלה==
תחת אילו תנאים ניתן לומר שאינטגרל על סכום אינסופי של פונקציות שווה לסכום האינסופי של האינטגרלים של הפונקציות?
תודה
תומר - מפנה אותך לנוסח משפטים המתאימים ! יש משפטים שמתארים תנאים מספיקים לכך . ייתכן שיהיו מצבים נוספים שזה יתקיים אבל אז צריך לבדוק כל מקרה לגופו.
תגידו, לא שאני רוצה- אבל יהיה תרגיל 10 השבוע או שקיבלנו שבוע חופש מתרגיל?
:יהיה תרגיל, עוד לא החלטנו לגבי תאריך ההגשה.
::יש לי בקשה מכם - והיא בשם הרבה מאיתנו - בשבוע הקרוב יש בגרות בלשון (שבניגוד לתקופה שלכם, ארז ותומר, חלקו אותה לשני חלקים, וההבעה מהווה מחצית ממנה, כולל חיבור, כלומר כבר לא כל אחד יכול להוציא 100 בלי להתאמץ, וכרגע מי שמוציא מעל 90 נחשב לגאון), ו-4 ימים אח"כ יש בגרות בהיסטוריה (...) אין לי בעיה להגיש אפילו 3 תרגילים ביחד, אבל אפשר שהכל יקרה אחרי הבגרות בהיסטוריה, כלומר אחרי ה-21 בחודש? (ורצוי שלא ביום שאחריה...) תודה רבה!
:::ראיתי שהוספתם תרגיל 10 אתמול בלילה (חמישי-שישי). למתי צריך להגיש אותו?
==שאלה==
אם נניח יש לי טור פונקציות שרץ על fn (הסדרה המזהה שלו). למה אם הטור |fn| מתכנס במ"ש בקטע IבI, למה זה אומר שהססאז גם הטור המקורי מתכנס במ"ח שלו חסומה במשותףש בI? :)
:(לא ארז/תומר) מה *נקודתית זה חסומה במשותף?הכוונה היא שקיים M כך שלכל X בקטע ולכל K טבעי מתקיים: הערך המוחלט של Fk(x) קטן שווה מMברור מאינפי 1. לבמ"ש ההוכחה דומה. שארית הטור לא בהחלט קטנה משארית הטור בהחלט, כלומר הטור לא בהחלט מתכנס מהר יותר מאשר הטור בהחלט.
ועוד שאלה: אם יש לי סדרת פונ' fn כך ש|fn| מתכנסת לפונ' גבול כלשהי f במ"ש, האם זה אומר שfn המקורית מתכנסת לf1 כלשהי במ"ש?
::בוא ניקח את הטור שהאיבר הראשון שלו הוא הפונקציה *ברור שלא.... אינפי 1. <math>\frac{fn=(-1}{x})^n</math> ושאר איבריו הם אפסלא מתכנס בכלל, בקטע הפתוח (0,1). הטור כמובן אבל הערך המוחלט מתכנס במ"ש שכן הפרש בין הפונקציה הגבולית לסדרת הסכומים החלקיים הוא תמיד אפס קבוע. אבל סדרת הסכומים החלקיים היא קבועה על הפונקציה <math>\frac{1}{x}</math> שאינה חסומה.:::אז הטענה בעצם אינה נכונה? השתמשנו בזה בהוכחת משפט אבל. (רגע, למה ההפרש בין הפונק' הגבולית לסס"ח הוא 0 קבוע? הפונק' הגבולית שווה ל0 והסס"ח הוא 1/x. הערך המוחלט של ההפרש ביניהם הוא גם 1/x
אני מקווה שאני יש טעות בסיכום במשפט פרמה, לא טועה, אתה יכול לנסח איך בדיוק השתמשתם בזה בהוכחה? בכל אופן הפונקציה הגבולית המשפט הראשון בעמוד הראשון של הטור הינה <math>\frac{1}{x}</math> ולא אפסהסיכום. מה פתאום אפס? הרי זה סכום הפונקציות ויש כאן פונקציה אחת בלבד.באופן כללי אם <math>u_1=f(x),u_2=u_3=...=0</math> אזי הטור <math>\sum_{i=1}^{\infty}u_i=f(x)</math> כי <math>\forall n : S_n(x)=f(x)+0+0+...+0=f(x)</math>התנאים לא צריעכים להיות הפוכים???
::כן*נכון מאד, צודק לגבי ה1/x (בטעות השאפתי בראש הסרתי את x לאינסוף במקום את n)הסיכום. במשפט אבל אמרנו שהטור bkהמשפט אומר שאם יש מקסימום/מינימום והפונקציה גזירה הנגזרת הינה אפס. בוודאי שאם הנגזרת אפס אין שום הכרח שיהיה מינימום/מקסימום (לדוגמא x^3) qq מתכנס במ"ש בI ומכאן שהסס"ח שלו חסומה במשותף שם..
שאלה::: בטוח שסדרת הסכומים החלקיים ולא הסדרה עצמהאיך מוגדר אינטגרל של פונקציה ממינוס אינסוף לאינסוף? גם עבור הסדרה רק החל הגבול כאשר c רץ לאינסוף של אינטגרל של הפונקציה מc-n מסוייםעד c או פשוט פיצול לשני אינטגרלים לא אמיתיים ואז כל אחד שואף בקצב שלו? זה משנה כי במקרה של פונקציה איזוגית-למשל x באפשרות הראשונה זה 0 ובשניה אינסוף פחות אינסוף שזה מתבדר.....(נכון?)תודה.
==שאלה==מה נסגר עם הבחנים? תודה, נזכה לראותם?*הוא מוגדר בתור הסכום של שני אינטגרלים לא אמיתיים. האינטגרל על הפונקציה x למשל מתבדר.
'''תומר''' - כרגע התכנון הוא לעשות לכם פתיחת מבחנים , מועד ב למי שזכאי , ושיעור השלמה - כולם באותו יום כדי להיות יעילים . מועד על כך יפורסם בהקדם .
==שאלה==בפתרון לשאלת האתגר, למה הפונקציה מוגדרת על הקטע [aאם f פונקציה רציפה,b]מחזורית ואי-שלילית בממשיים(f אינה זהותית אפס) אז הגבול של f(x)/x^3 אינו אפס כאשר x שואף לאינסוף? ? הרי f חסומה מהנתונים,לא יתכן מצב בו היא לא מוגדרת למשל בנק' אחת בקטע הסגור? רוני נתן שאלה כזאת ואמר להוכיח שהאינטרגל של f(נניח אי רציפות סליקהx)/x מ1 עד אינסוף מתבדר..ואם הגבול שאמרתי מקודם שווה ל0 אז לפי מבחן ההשוואה האינטגרל מתכנס, אז כנראה שהגבול איננו 0,למה?? לא צריך לדרוש מראש שהפונק' תהיה מוגדרת בקצוות?(אחרת, אי אפשר לדעת שהפונק' חסומה)
===תשובה===
הנתון הוא שהפונקציה מוגדרת. אחרת המשפט לא בהכרח נכון (קח לדוגמא פונקציה שלא מוגדרת על כל האי רציונליים, וברציונליים היא הזהות).
==שאלה==תרגיל 10 שאלה 2אם f לא רציפה בהכרחתומר - כמה שאלות , איך יתכן שיש כמה שאלות ! :) לשאלה הראשונה על התכנסות עם ערך מוחלט גוררת התכנסות בלי , במידה שווה?- ראה משפט שהוכחתם . או - אפשר לנסות לבד פשוט ביישום של קריטריון קושי להתכנסות במ"ש ! .
אינטגרל ממינוס אינס' לאינס' מוגדר על ידי פיצול באיזו נקודת ביניים - אבל בכל אופן כאשר הגבולות שלהם - אחד עם פרמטר לאינסוף ושני עם פרמטר למינוס אינסוף - הם לא תלויים אחד בשני ! ובטח לא ממינוס סי לסי כאשר סי שואף לאינסוף . זהו אינטגרל שקיים בשימושים אבל יש לו שם - PRINCIPAL VALUE - אבל זה לא האינטגרל בקורס שלנו !!! .
לגבי שאלה אחרונה - תן בבקשה את ניסוח השאלה המלא כדי שאוכל להתייחס .
==שאלה מסודרת ==
נתונה פונקציה fרציפה,מחזורית ואי-שלילית ב-R. היא אינה זהותית 0.הוכח: האינטגרל של f(x)/x מ-1 לאינסוף מתבדר. תוכל גם להגיד לי למה אי אפשר להוכיח שזה מתכנס עם שימוש במבחן ההשוואה השני? כי f לפי הנתונים חסומה,לא? ואז הגבול של (f(x)/x)/x^2 שווה לאפס ולפי המבחן f(x)/x מתכנס, כי האינטגרל של x^2 מתכנס...
===תשובה===
כי אז גם הפונקציות f_n (לא יהיו רציפותארז/תומר) נראה לי שהטעות שלך היא כזו , כשאתה עשית את מבחן ההשוואה, עשית את זה עם הפונ' x^2 והאינטרל של זה מתבדר בקטע 1 עד אינסוף (אתה מתבלבל עם 1/x^2). :אבל אמרתי בקטע 1 עד אינסוף...לא מאפס!::הוא העיר לך על הפונקציה ולא על הקטע. x^2 זו פונקציה ששואפת לאינסוף ובפרט אינה אינטגרבילית על הקטע האינסופי. ובנוגע להוכחה , אני עשיתי את זה בדרך הבאה: נסמן את המחזור של F כ-T, אנחנו יודעים שהפונ' אינה זהותית אפס, לכן יש נקודה X0 בקטע [1,1+T] כך ש- (''f''(''x0'' שווה ל-M גדול ממש מאפס. מכיוון ש-F רציפה יש סביבה [a,b] של X0 כך שכל ס בקטע מקיים f(x)>M/2 (או אפילו גדול שווה, זה לא משנה) וכעת, מכיוון ש-F אישלילית , נגדיר פונקציה חדשה G להיות M/2x בכל קטע מהצורה [a+n*T,b+n*T] כאשר n טבעי ואפס בכל נקודה אחרת. ברור כי שתי הפונ' אי שליליות, אינטגרביליות בכל קטע מהצורה [one,R] כש- R>1 (F רציפה בכל קטע כזה, ול-G יש מספר סופי של נקודות אי רציפות מהסוג המתאים) ולכן אם האינטגרל של G בטע 1 עד אינסוף מתבדר, כך גם האינטגרל הלא אמיתי של F. ועכשיו, להראות שהאינטגרל של G בקטע 1 עד אינסוף מתבדר, זה לא כזה מסובך (אני עשיתי לפי קריטריון קושי, אבל אני בטוחשאפשר בעוד דרכים, ואין לי כח לכתוב את זה) ובסה"כ קיבלנו שהאינטגרל של f(x)/x
==שאלה==
מה שאומר התנאי זה בעצם למה במבחן ההשוואה הראשון רוני ציין שאם 0<g ו f>g והאינטגרל של f מתכנס(לא אמיתי, בשנ הסוגים הוא אמר ככה...) אז האינטגרל של g מתכנס. הוא לא אמר שאם fn רציפות וההתכנסות במידה שווהg מתבדר גם f מתבדר, זה גורר שf רציפהלא נכון??
===תשובה===
כןהמשפט השני הוא היקש לוגי מהראשון. לא יכול להיות שf יתכנס אבל g יתבדר, לכן אם g מתבדר אזי f מתבדר.
יכול להיות שf_n רציפות וf רציפה אבל ההתכנסות אינה במ==שאלה== בתרגיל 11 שאלה 3 - לעוד מישהו יצא רדיוס התכנסות אפס?:: [לא תומר או ארז] לי דווקא יצא 1==שאלה==אם אני צריכה להוכיח שפונק' כלשהי היא אינטגברילית רימן, והראיתי שהסכום רימן שלה לכל חלוקה מתאימה ולכל בחירה אלפא חסומה בין הסכום רימן של פונק' אינטגרבילית(!) אחרת פחות אפסילון, ואותו סכום ועוד אפסילון. האם זה מראה לי שהפונק' שלי אינטגרבילית גם? ויותר מזאת, שואפת לסכום I של אותה הפונקציה השניה?:הסכום רימן של הפונקציה האחרת עבור אותה חלוקה? ומה זה האפסילון הזה? במה הוא תלוי? ==שאלה==נתון כי f אינטגרבילית וחסומה ע"שי M. צ"ל שf^2 אינטגרבילית באותו קטע.יש דרך להראות את זה לא ע"י הרכבת פונקציות (שבדרך זו הנתון ע"י החסימות מיותר)?מהי הדרך? :הנתון על חסימות מיותר איך שלא תסתכל על זה, שכן זו פונקציה אינטגרבילית (ולכן חסומה)
יכול להיות שf_n אינן רציפות וההתכנסות היא במ"ש אבל f יש דרך להראות את זה חוץ מהרכבה של פונקציה רציפה. ופונקציה אינטגרבילית?
יכול להיות שf_n אינן רציפות וההתכנסות תומר - מידת קבוצת נקודות אי הרציפות של הפונקציה החדשה היא במ"ש אבל f כן רציפהאפס ? ...
וכו'(לא ארז/תומר) כן יש פיתרון אחר, והוא בעזרת תנאי רימן לאינטגרביליות.f^2 חסומה (ברור), ונותר להראות את התנאי השני.בקשר אליו, קל להראות ש
w(f^2)<==שאלה 1 סעיף ג==באיזה קטע מדובר?w(f)*2*M (כאשר w הוא התנודה בקטע), ומכאן קל להמשיך.
'''תומר''' מראים את זה כך, לכל x1,x2 בקטע כלשהו מתקיים:f(x1)^2- הכוונה OTHER f(x2)^2<=(f(x1)- לכל X ממשי .f(x2))*(f(x1)+f(x2)), ומכאן זה ברור
==שאלה==
מתי מגישים התבקשתי להביא דוגמה לסדרת פונק' fn רציפות ב[0,1] כך שfn(x)-->0 לכל X בתחום, אך האינטגרל של fn מ0 עד 1 אינו שווה ל0. - האם הפונקציה x^n(x^n-1) qq מקיימת את תרגיל 10הדרוש?הפונק' אכן רציפות ב[0,1], פונקצית הגבול היא 0, אבל האינטגרל יוצא, אם אני לא טועה, 1/n פחות 1/(2n+1)..
===תשובה===
במפגש הבא שלנואתה בטוח שהאינטגרל שונה מאפס ולא '''שואף''' לאפס? כי כמעט כל סדרה שתבחר תעמוד בתנאי הראשון (למשל הסדרה של הפונקציות הקבועות <math>\frac{1}{n}</math>). נודיע אם אתה רוצה סדרה שהאינטגרל עליה אינו שואף לאפס, קח סדרה של פונקציות הבאה: הגרף של הפונקציה ה-n הוא משולש עם בסיס <math>\frac{1}{n}</math> בגובה 2n וכל שאר הפונקציה היא אפס. הסדרה הזו שואפת לאפס (כמובן שלא במ"ש) והאינטגרל על התאריך כשנדע אותוכל פונקציה בסדרה הוא תמיד 1.
==שאלה==
בתרגיל 4נראית נחמדה. f:[0, סעיף ד1] ---> R היא פונקציה רציפה אי שלילית המקיימת f(x)<=sinx לכל x בתחום. צריך למצוא את כל פתרונות המשוואה: cosx+quad(f,0,x)-1=0.(קוסינוסX ועוד האינטגרל של f מ0 עד x פחות 1 = 0.)מעבר לעובדה שx=0 הוא פתרון אחד של המשוואה, לא הצלחתי להוכיח שלא קיימים עוד פתרונות/למצוא פתרון נוסף. ניסיתי להניח שקיים ולהשתמש במשפט רול, ניסיתי להשתמש בזה שאי שיוויון ברמת הפונק'==> אי שיוויון ברמת האינטגרל אבל בסופו של דבר לא הגעתי למשהו שמוכיח. יש רעיון למישהו?: מה הכוונה על הישר:מישהו? על כל הממשיים?
תומר '''טקסט מודגש''' - שיניתי למספרים החיוביים - נוסח חדש יפורסם בקרוב. ( הכוונה היא בתחום ההגדרה אך למען הסדר הטוב שיניתי זאת למספרים הממשיים החיוביים ) .
:כלומר בתחום (0,infinity)?
::כן, ראה תרגיל מעודכן:אם f=sinx אזי זו הפונקציה הקבועה אפס. אם f קטן ממש מהסינוס אזי הנגזרת בעלת סימן קבוע (שלילי) והפתרון היחיד הוא אפס
==שאלה==
בשאלה 1 בסעיף ג'מישהו מוכן להסביר לי באילו מקרים כדאי לעשות גזירה איבר איבר, מותר לומר שהפונק' מתכנסת נקודתית בטוח כי היא מקבלת רק שני ערכים קבועיםומתי לעשות אינטגרציה איבר איבר? וכשn שואף לאינסוף זה לא ישנה אותםתודה.:כדאי? (בעצם פונק' הגבול תהיה 0 תמיד.מותר? כאשר יש התכנסות במ"ש לפי המשפטים שלמדתם בכיתה. כי X הוא מס' ממשי)
==שאלות מעניינות==
* הוכח או הפרך:
תהי <math>f_n(x)</math> סדרה של פונקציות גזירות ברציפות המתכנסות במ"ש לפוקציה <math>f</math>, אשר גם גזירה ברציפות,ב-<math>[a,b]</math>.
אזי ש- <math>f_n' \rightarrow f'</math> במ"ש על הקטע <math>[a,b]</math>.
* בנוגע למשפט דיני לטורים, נניח שיש לי טור <math>u(x)=\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)</math>, כך ש-<math>a_n(x)>0</math> והטור מתכנס ב-I.
מתי אני יודע אם הפונקציה הגבולית רציפה, כך שאוכל להישתמש בדיני ולקבוע שההתכנסות במ"ש.
נשמח לתשובה ממישהו,די דחוף! תודה!!! :)
===תשובה===מה הקשר בין מספר הערכים שפונקציה מקבלת לבין קיום גבולתומר - אם ניקח את הסידרה cosnx ונחלק הכל ב n . האם קיבלת סידרה שמתכנסת במ"ש ?:קצת הסתבכתי ומה עם ההוכחה הפורמלית ממש לפי הגדרת הגבולנגזרותיה ? ...::אז תתאמץ עוד קצת. חשוב שתבין כיצד מחשבים גבול נקודתי. זה לגבי דיני - פשוט לבדוק רציפות לפי הגדרה - גם לא מסובך, פשוט מניחים שx הוא קבוע (כמו פרמטר)אמרת שהפונקציות בסידרה רציפות - שים לב לתנאי המשפט ! .
==שאלה==
ב1 הכוונה היא לבדוק אם הפונקציה מתכנסת נקודתית שאלה שנתקעתי עליה ואשמח לכיוון: int(arctan(x)/[(x*(ln(x+1))^2)], x = 0 .. infinity) ניסיתי דיריכלה, חשבתי על השוואה, ופשוט לא מצאתי. אשמח לעזרה ::מצטרף לשאלה!! איך פותרים את הדבר הזה? (לא ארז/תומר) תנסה השוואה עם אחד חלקי [x*ln(x)^2]. שים לב ש arctanx שואף באינסוף לחצי פאי, ושעם קצת אלגברה אפשר להוכיח שמנת ה-ln-ים שואפת לאחד. כדי להראות התכנסות של האינטגרל החדש, אפשר להשתמש בהצבה t=ln(x), או במלחילופין להשתמש במבחן האינטגרל+מבחן העיבוי לטורים תודה רבה :) זה לא נכון, כי יש בעיתיות גם בנקודה x=1 וגם באינסוף. ההשואה שנתת עוזרת רק לחלק של האינסוף : אבל אני לא חושב שאמורה להיות בעיה, כי זאת בעיה בנקודה, וזה לא אינטגרל לא אמיתי מסוג שני. ::אתה מפצל את זה לשני אינטגרלים: האינטגרל מ-1 עד אינסוף מתכנס (כי מורידים את ה-ln בעזרת אי שוויון והאינטרגל (arctanx/x^2) מתכנס (השוואה עם 1/x^2)...::עכשיו בקשר לאינטגרל מ-0 עד 1 אתה יודע ש- ln(1+x)<x לכל x ב-[0,1] ולכן האינטרגל שלנו גדול מהאינטגרל של arctan(x)/x^4 וזה מתבדר ע"פ השוואה עם 1/x^4 שמתבדר בקטע [0,1], ולכן זה גדול מאינטגרל מתבדר וזה סה"כ מתבדר. (אשמח לקבל אישור מאחד המתרגלים =) ). :(לא ארז/תומר) עבור האינטגרל מ-0 עד 1, תנסה מבחן השוואה גבולי עם אחד חלקי x^2 . שים לב ש בקטעים הנתוניםarctanx/x שואף לאחד וש ln(1+x)/x גם שואף לאחד כאשר x שואף לאפס. ובקשר לזה שכתב מעלי- ה-x במכנה הוא לא בריבוע... :: האמת שהאינטגרל המקורי היה בין 1 לאין סוף וזאת טעות שלי שכתבתי אפס, כןאבל זה באמת יהיה טוב לדעת מה קורה גם אם זה היה אפס.:: תודה לשניכם :) ==שאלות.==*arctanx חיובי בקטע 1,infinity לא?היה תרגיל באחד המבחנים ששמו ערך מוחלט מסביב לarctan, באנטגרל שהתחום שלו הוא תהחום המצוין..*במבחן ההשוואה הגבולי. מותר לי להשוות פונק' חיובית עם פונק' שלילית, אם הגבול יוצא חיובי? לדוגמה, הפונקציה sinx חלקי x*lnx. בתחום [0.5,1], נניח ואני רוצה להשוות עם sinx חלקי x-1..*כאשר אני מפצלת אינטגרלים ל2 תחומים שונים [עם דגש על השונים!]. אם אחד מהם מתבדר, כל האינטגרל המקורי מתבדר, נכון? בלי קשר לחיוביות/שליליות של אחת הפונקציות.. *בהמשך לשאלה שלמעלה - אם יש לי שאלה של 'לאילו ערכי אלפא', כאשר יש לי חיבור של 2 אינטגרלים - אחד ל"א מסוג ראשון והשני ל"א מסוג שני.. אז אם למשל עבור alpha>1 האינטגרל מסוג 1 מתבדר, אין מה לבדוק את האינטגרל השני גם? וזהו, תודה רבה!
===תשובה===
*כן, או בכלל לא הוא חיובי.*אם זה המצבבתחום הפונקציה אי חיובית אז אם תכפלי אותה במינוס תקבל פונקציה אי שלילית. כמובן שמכפלה במינוס לא משנה התכנסות אינטגרל*נכון.*נכון
==שאלה==::כן, אבל כשהפונק' הייתה שלילית, הגבול יצא לי חיובי. אם אני כופלת במינוס 1, הגבול יוצא שלילי..האם תרגיל 10 הוא התרגיל האחרון?תודה!:::לא יכול להיות שהגבול של המנה של שתי פונקציות אי שליליות יהיה שלילי:נראה:::::: כעיקרון אני מדברת על הפונקציה sinx חלקי x*lnx. בתחום [0.5,1] אני משווה אותה עם sinx חלקי (1 פחות X). (יום יבוא ואני אלמד להשתמש בכתיב המתמטי של ויקיפדיה... מצטערת על הסרבול). בכל מקרה, שתי הפונקציות חיוביות בתחום הזה. אבל הגבול של המנה, כאשר X שואף ל1 מצד שמאל, הוא מינוס אחת..
:כי ln שלילית בקטע הזה.::אוקי, אז בעצם מכפילים את הפונק' המקורית ב1- ואז מקבלים גבול חיובי, ואומרים שבגלל שהפונק' עם המינוס מתכנסת/מתבדרת == שאלה על תרגיל 10 שאלה 5 ==האם בשאלה זו f היא בהכרח פונקציה רציפה> כך גם הפונק' המקורית?
:לא.נכון
==שאלה==
יש לי התכנסות במ"ש של ערך מוחלט של טור הפונק' גוררת התכנסות במ"ש של טור הפונק'?:כבר נשאל בעמוד זה. כן מכיוון שהשארית של טור קטנה או שווה לשארית של הטור בהחלט ==שאלה שיכולה להיות אולי משפט נחמד - נניח שיש לי סדרת פונקציות ==*רציפותהסתבכתי,אפשר עזרה?* לפי נניח שהפונקציה f מוגדרת ורציפה בקטע סגור x=a..b הוכח כי הסכום מאחד עד אינסוף של f^n מתכנס במ"ש בקטע כלשהו (גם זה אם ורק אם הסכום הנל(f^n) מתכנס נקודתית בקטע זה. :השאלה לא מנוסחת טוב. מה זה f ומה הוא פתוחקשור? מה ההבדל בין סכום מאחד עד אינסוף לבין טור?תיקנתי... מה הבעייה בהגדרה של f פשוט פונקציה f(x), שהן חסומות, וערך הקיצון שלהן ::שאלתי מה הקשר של f. גם g היא פונקציה אבל היא קשורה לשאלה בדיוק כמו f... האם היא פונקצית הגבול של הטור? האם הפונקציות בסדרה רציפות? : (לא ארז וגם לא תומר) בעצם הכיוון המעניין היחיד הוא מהתכנסות נקודתית לבמ"ש. אם f^n מתכנס נקודתית אפשר לראות כי לכל x נקבל f(x<1 (בערך מוחלט, הלוואי שזה לא היה קופץ כל הזמן) שואף לאפס כאשר . f רציפה לכן הערכים שהיא מקבלת מהווים קטע סגורc,d בתוך [-1,1), קטע בו הטור x^n שואף לאינסוףמתכנס במ"ש. לכן כל סדרת נקודות אינסופית שתבחר בa, וכך גם הגבולות של הקצוותb עבור הטור לפי f שקולה בעצם לבחירת נקודות בc, האם ניתן לומר שסדרת הפונקציות הזו מתכנסת ל-0?d עבור הטור של x המתכנס שם במ"ש (ולפי מבחן הLIMSUP בעצם זה כל מה שצריך).
===תשובה===
כן, זה אומר שהחל מ-n מסוים הפונקציה בערך מוחלט קטנה מאפסילון בכל נקודה (כאשר ערך הקיצון והקצוות שלה קטנים ממנו) כלומר <math>\forall n>n_0,\forall x:|f_n(x)-0|<\epsilon</math>. לכן הסדרה מתכנסת במ"ש לאפס.
==שאלה - גבול של סדרת פונקציות==מותר לי לומר שסדרת פונקציות מתכנסת לשתי פונקציות גבול אבל למה f(כתלות בתחום, שתלוי ב-nx)בערך מוחלט קטן מ-1? :הסברתי במפורט בתשובה. לא בהכרח f<1 פשוט אם שני התחומים הללו מכסים את כל הישר, האם מותר לי לומר עקב כך שתחום ההתכנסות הוא מתכנס הוא קטן מאחד ולכן מתכנס במ"ש. אם הוא מתכנס במ"ש ברור שהוא מתכנס. זה כל הישר?מה שצריך להוכיח.
===תשובה===
תחום בוודאי '''לא תלוי''' בnאה.... התבלבלתי בין f_n לf^n.... מצטער.
התכנסות הינה נקודתיתהכותב מעליי צודק שהטור מתכנס כאשר <math>|f(x)|<1</math>, ולכן התכנסות בקטע אומרת התכנסות בכל נקודה של הקטע. אם הסדרה והוא מתכנס במ"ש כאשר <math>|f(x)|<r<1</math> אבל בגלל שהפונקציה רציפה על קטע סגור ונניח מתכנסת על כמה קטעים, אז בו אזי היא מקבלת מינימום ומקסימום ושניהם חייבים להיות קטנים ממש מאחד (אחרת היא לא הייתה מתכנסת בכל נקודה מכל אחד מהקטעים בהם) ולכן היא מתכנסת על איחוד הקטעיםהתנאי מתקיים.
התכנסות במ"ש זו שאלה אחרת קצת, יש לכם שאלה דומה בתרגיל הבית.
==פונקציה הופכית של פונקציה מונוטונית==* על מנת להוכיח שהוא מתכנס במ"ש בתנאי למעלה <math>|f(x)|<r<1</math> כל שצריך הוא מבחן הMאיך ניתן להראות שאם <math>|f: [a,b] (x)^n|<r^n</math>. * על מנת להוכיח שהוא מתכנס עבור התנאי <math>|f(x)|<1</math> כל מה שצריך הוא להסתכל נקודתית על הטור <math>\rightarrow [c,d]sum |f^n(x)|=\sum a^n</math> מונוטונית בקטע כאשר <math>[|f(x)|=a,b]<1</math>וזה כמובן מתכנס.אזי גם הפונקציה ההפוכה * טריוויאלי שהוא יתבדר בכל מקום אחר. * על מנת להוכיח שהוא לא מתכנס במ"ש אם לפונקציה לא היה מקסימום אבל הsup שלה, לאמור היה אחד: ניקח סדרה <math>x_n</math> כך ש <math>f^{-(x_n) \rightarrow 1</math> ולכן <math>\lim_{k\rightarrow \infty}: [c,d] sup|S(x)-S_k(x)|>\lim_{k\rightarrow [a,b]\infty} |S(x_{n_k})-S_n(x_{n_k)}| = \infty</math> מונוטונית בקטע (נבחר את n_k על מנת שההפרשים ישאפו לאינסוף. אנחנו יודעים שזה מותר כי <math>[c,d]f(x_n)\rightarrow 1</math>) ==שאלה==אם יש לי פונקציה ואני מפתח לה טור חזקות נניח עם רדיוס 1, איך אני מוודא לאחר הפיתוח שהפונקציה שווה לטור בקטע?וגם פה שאלה 4 כוון כללי אם אפשר...http://moodle.technion.ac.il/file.php/1098/Exams/2004-2005-spring-test-a.pdf
===תשובה===
הוא שווה לפונקציה רק ברדיוס ההתכנסות. מה הכוונה איך אתה מוודה? אם a<b אזי <math>fפתחת נכון זה חייב להיות שווה - הצעדים שלמדנו לפיתוח פונקציה לטור חזקות הם צעדים בהם השיוון בסוף חייב להתקיים (a)<f(b)</math>. נובע מכך שאם <math>f(b)<f(a) \in למשל פונקציה קדומה ששווה בנקודה אחת לטור החזקות [c,dעדיף לבדוק את הנקודה אפס כמובן]</math> אזי b<a כלומר<math>f^{-1}(f(b))<f^{-1}(f(a))</math>
כמובן שצריך לשים קטן/גדול שווה במקומות המתאימים.
לגבי השאלה השנייה כבר שאלו אותה, תסתכל בארכיון 17 אבל אתה יודע שאם קיים טור חזקות המקדמים הם אלו של טיילור, למשל הפונקציה f(0)=0 f(x)=exp(-1/x^2) sהיא שווה לטור החזקות רק באפס למרות שהטור מתכנס בכל הישר (הוא תמיד אפס כי כל הנגזרות באפס הן אפס)מה שאני שואל זה איך הייתי יודע להבחין שהם שווים רק באפס למרות שהטור מתכנס תמיד, רק שזה לא תמיד לערך הפונקציה? : אל תבלבל. הקטע עם הבדיקה בנקודה זה רק כאשר הוכחת שהפונקציה שלך היא קדומה של טור חזקות כלשהוא ועשית אינטגרציה איבר איבר. באופן כללי למדתם משפט אחד שמאפשר לכם להניח שטור החזקות עם מקדמי טיילור הוא אכן הפונקציה וזה כאשר הנגזרות חסומות (ראה את ההשלמה). במקרים אחרים (כמו זה שתארת) אסור סתם להניח שיהיה שיוויון. כן, אבל בתכלס אם קיים טור חזקות המקדמים שווים למקדמי טיילורמה שאתה אומר זה להתייחס "כאילו" אנחנו לא יודעים את זה ולעבוד בשיטות אחרות כן? (במקרה והנגזרות לא בהכרח חסומות) :כן. יכול להיות שתשתמש בטריק כי אתה לא יודע להוכיח שהפונקציה שווה לטור חזקות, אבל גם יכול להיות שזה פשוט יהיה קל יותר מאשר לחשב את הנגזרות מכל סדר... סבבה תודה רבה!
==שאלה==
המבחן ב15:30 נכון? כמה זמן הוא יארך??? כן, שעתיים ==שאלה== למה הסיגמה של 2*(n+1)*3^n חלקי שורש שלישי של n! מתכנס?:אתה מתכוון ל<math>\sum \frac{2(n+1)3^n}{\sqrt[3]{n!}}</math>? תקח את השורש הn-י ותקבל 3 חלקי אינסוף כלומר שואף לאפס (הרי <math>\sqrt[n]{n!}\rightarrow \infty</math>) ==התכנסות אינטגרלים==האם בשאלה 4 עם הטוריםהאינטגרלים הבאים מתכנסים???* <math>\int_{0}^{1} \frac{\theta}{\ln(\theta)}d\theta</math>.* <math>\int_0^1 \frac{dx}{\ln(x)}</math>* <math>\int_{r=0}^{r=1} \frac{\sin(r^2)}{r}dr</math>.האם אפשר לומר באינטגרל השלישי ש-<math>\int_{0}^{1} \frac{\sin(r^2)}{r}dr \leq \int_{0}^{1} \frac{r^2}{r}dr = \int_0^1 rdr = 1/2</math>,מותר להיעזר במבחני דיריכלה ואבלואז עפ"י השוואה???
===תשובה===
ניתן להשתמש בכל משפט שלמדנולא לשכוח לבדוק אם האינטגרל הוא אמיתי בכלל או לא. למשל השלישי הוא פשוט בעל אי רציפות סליקה באפס ולכן אינטגרבילי (גם מה שרשמת נכון אבל בלי קשר)
תומר בראשון ובשני הצד הבעייתי הינו 1. ניתן לבצע מבחן ההשוואה עם <math>\frac{1}{1- אוסיף עוד שבשיעור ההשלמה נעבור גם על מבחנים אלו ועל טורי חזקותx}</math>
==שאלותשאלה==1. האם כל ה-"מבחנים", כגון - משפט דיני, ומבחני התכנסות למינהם, תקפים גם כאשר הקטע הינו אינסופי? למשל ב- <math>[0,+\infty]</math>
2. בשאלה 3 מה הכוונה בכל קטע סופי נתונה פונקציה f(x) בקטע [a,b] ונתון שהיא חסומה על הישר? מה התרומה בכך??ידי M.
צריך להוכיח שאם f אינטגרבילית זה גורר ש-f^2 אינטגרבילית.
===תשובה חלקית===לגבי דיניחסימות זה לא בעיה, תחשוב על הטור <math>\sum \frac{1}{(1-\frac{1}{x})^n}</math> בקטע <math>[1,\infty]</math>אבל הסתבכתי עם התנאי השני
תחשוב על זה מול ההוכחה של דיני
:מה זה משפט דיני? האם הקבוצה של שיין למדה אותו?::לא יודע. מבחן דיני אומר אני יכול להשתמש במשפט שאם יש לך טור של פונקציות רציפות אי שליליות ופונקצית גבול הטור הינה רציפה אזי הטור מתכנס במ"ש. נובע מכך שטור של פונקציות רציפות אי שליליות מתכנס במ"ש אם"ם סכום הטור הינו פונקציה רציפה. (המשפט נכוןהפונקציות f, כאמורg אינטגרביליות בקטע כלשהו אז גם f כפול g אנטגרבילית שם, על קטע סופי [a,b].)כאשר במקרה הזה g=f?
==תיקון קל לתרגיל==:(לא ארז/תומר) ענו כבר על השאלה הזאת... לדעתי אי אפשר להשתמש במשפט, למרות שהוא נכון, כי אז התרגיל טריוויאלי. בשאלה 4 א' הטור צריך להתחיל מ:הנה ההוכחה-nיהי אפסילון גדול מאפס. בכל קטע g(x1)-g(x2)=2, מפני שהמכנה בשבר בתוך ה(f(x1)+f(x2))*(f(x1)-ln לא מוגדר עבור n=1f(x2)<2M*W כאשר W היא התנודה של f בקטע. (g מוגדרת כ f בריבוע). מאינטגרביליות f קיימות חלוקה עבורה סכום התנודות קטן מאפסילון חלקי 2M. ועבור אותה חלוקה בפונקציה g סכום התנודות יהיה קטן מאפסילון.
:נכון תודהתומר - ומה עם מידת נקודות אי רציפות ? אם אתם יודעים שהפונקציה אינטגרבילית זה אומר שמידת קבוצת נקודות האי רציפות שלה היא אפס . מה עם נקודות האי רציפות של הפונקציה בריבוע ? האם היא מוכלת בזו של הפונקציה המקורית ? ואם כן מה זה אומר על מידתה ? ...
==שאלה==
יש לי שאלה אני פשוט מבולבל בתאריכיםמתי יש שיעור עם רוני?למתי צריך להגיש את תרגיל 10?ומתי יש שיעור חזרה/השלמה לקבוצה של תומר?להוכיח שהטור הבא מתכנס במ"ש. תודה ברה ושיהיה שבוע טוב לכולם!f(x)= sum from 0 to infinity of (e^-nx)* cos(nx) s
מחר אין שיעור בכל קטע (a, infinity] כאשר a>0 ניסיתי עם רונימבחן ה- m ולא הצלחתי. ביום שני יש שיעור מישהו?אפשר להשוות עם רוני מ4 עד 8e^-n במבחן הM לא? :(לא ארז/תומר) אני חושב שצריך להשוות עם e^-an ..וב6.7 יש תרגיל עם תומר,לא יודע שעותe^-n וזה עובד. אני חושב שבאותו יום יש גם פתיחת מחברות וומועד עכשיו בסעיף הבא הם רוצים להוכיח/להפריך שf(x) שזה הסכום הוא פונקציה רציפה ב' (o, infinity). הבעיה זה שזה קטע פתוח ולא סופי.. עדין אפשר להשתמש במשפט על טור של הבוחןפונקציות רציפות המתכנס במ"ש? :תמיד משתמשים באותו טריק (לא התעמקתי בשאלה, מקווה שרלוונטי) אם ההתכנסות היא במ"ש על כל תת קטע סגור וסופי אז יוצא שפונקצית הגבול רציפה בכל נקודה בלי שתהיה התכנסות במ"ש על הקטע האינסופי/פתוח כולו. == תרגיל 10 כדאי כמה שיותר מוקדם אם אתה רוצה אותו חזרה11 ==מישהו יכול לכתוב שוב את הלינקים לתרגילים שבתרגיל 11,אבל לפי מה שהבנתי אפשר להגיש אותו גם בתרגיל שיהיה ב6הלינקים לא עובדים לי. :ארכיון 16.7. שבוע טוב.
==שאלה==
בשאלה 4 ד'מתי יפורסמו ציוני התרגיל והבוחן (אני יודע שיש לנו אותם, איך אפשר להוכיח הכוונה עם פקטור, וציוני תרגיל 8/ להפריך התכנסות במ"ש? כל המבחנים שלמדנו 10 אם אני לא עובדים, בין היתר כי אי אפשר למצוא את פונקציית הסכום... ''' תומר''' - נסה להשתמש באחד הקריטריונים השקולים להתכנסות במידה שווה...טועה) והאחוזים מהציון הסופי?
==שאלה למתרגלים==מצטרף!!מהי רמת הקושי של התרגילים בתרגיל 10? האם הם קלים? קשים? האם ייתכנו תרגילים ברמת קושי כזו במבחן?תומר - יפורסם בשעות הקרובות . אני שואל כדי שנוכל להעריך את רמת הידיעות שלנו לקראת המבחןעצמי עוד בודק תרגילים שהוגשו באיחור(!) .סבלנות . יש חדש?
==שאלה==
נינתנה לנו הודעה מהאוניברסיטה להתעדכן לגבי שיעור השלמה לתירגולאוקי, נניח ויש לי סדרת פונקציות, ואני צריכה לבדוק לאילו ערכי אלפא הסדרה מתכנסת במ"ש ב0,אינסוף (חצי סגור) וב[0,1]. קודם כל בדקתי במייל ובדקתי פה ולא מצאתי שום איזכור לדבראת 0 אינסוף, והגעתי לזה שעבור אלפא קטן מ2 ==> הסדרה מתכנסת במש. האם יתקיים שיעור תירגול נוסף? אם כןהתחום השני, מתי יתקיים? האם נצטרך להגיש את תרגיל 10 שם[0,1], מוכל בתחום הראשון - ונניח שהגעתי לזה שהסדרה מתכנסת במש בתחום זה עבור אלפא גדול מ2-. מכיוון שהתחום מוכל, זה אומר לי גם שבפרט הסדרה מתכנסת במש גם עבור אלפא קטן מ2, וביחד - עם שתי המסקנות האלה - מתכנס לכל אלפא?
:תגישו את 10 אכן ביום הזה, התאריך נדמה לי 6.7 אנחנו נודיע במסודר מה התכנון בקרוב. ביום הזה גם יהיה בוחן למי שצריך ופתיחת מחברות ושיעור השלמה כאמור.
==שאלה 4=תשובה===בשאלה 3לכאורה כן, הכוונה אני לא מבין מה השאלה. הרי ברור שאם זה מתכנס במ"ש לכל קטע פתוח/חצי פתוח/סגוראלפא גדול ממינוס 2 או קטן משתים בפרט זה מתכנס לכל אלפא. השאלה האמיתי היא אם החישובים שלך נכונים.:השאלה היא כזו - הוכחתי שעבור אלפא קטן מ2 זה מתכנס במ"ש ב0, infinity. רק רציתי לוודא שזה אומר שעבור אלפא קטן מ2 זה מתכנס במ"ש גם ב[0,1]. זה נכון? ::הדגש הוא על הקטע הסגור? אם יש התכנסות באפס אז כן, אם לא רק לקטעים הסגוריםאז לא:::כן, מדובר על קטעים סגורים.תודה:) אני טועה או שבהתחלת ההרצאה האחרונה רוני אמר שבטווח שבין רדיוס ההתכנסות לבין המינוס שלו(לא כולל הוא עצמו)- הפונקציה מתכנסת, ואח"כ הוא אמר שהיא גם מתכנסת במ"ש בכל קטע סגור שמוכל בקטע הזה. ....?הדרך היחידה שנראית :זה נכון לגבי טור חזקות, אני לא בטוח איך זה קשור פה. ::יש עוד מקום עם רדיוס התכנסות חוץ מטור חזקות??? ושאלתי כי זה נראה לי הגיונית מוזר להוכיח את הבמ"ש היא לפי הגדרהמשהו ואז להוכיח משהו ותר חזק במקום להוכיח ביחד. למה פה? איפה עוד אני יכול לכתוב??? :::לא פה בפורום, אבל התכוונתי פה בשאלה הזו... רדיוס התכנסות זה מושג של טור חזקות, וכאן מדובר על סדרת פונקציות. ==שאלה==מצטער על הבורות רגע לפני המבחן- מה זה גזירה איבר-איבר? ואינטגרציה איבר איבר? בבקשה שלא יהיה מסובך מדי.. יש מצב שיהיה שימוש באיזה 'טריק' שקשור לאחד המשפטים שלמדנו?..
===תשובה===
נניח ויש לך טור מתכנס <math>g=\sum f_n</math>. השאלה היא מהי הנגזרת של g. אם זה מותר לגזור איבר-איבר אזי <math>g' = \sum f_n'</math>. שים לב שזה לא תמיד נכון לכל קטע מסוג מסוים אז זה נכון לכל קטע (הרי קטע חצי פתוח מוכל בתוך קטע סגור ובתוך קטע פתוח גדול יותר), רק כאשר המשפטים מאפשרים לגזור איבר-איבר.
יש מצב::אז אפשר בעצם להוכיח לפי דיני?אינטגרציה זה דומה <math>\int g = \sum \int f_n</math>
:::אפשר להוכיח בכל דרך שהיא אכן מוכיחה
==שאלה==
ב4 ב'. אם בחרתי להוכיח לפי סכום של סדרה הנדסית שה|q| שלה קטן מ1.. יש מצב שיש טעות בתרגיל והכוונה היא לx שייך לקטע הפתוח (טור חזקות מתכנס גם בR וגם בR-, זה אומר שהוא מתכנס במ"ש ב[0,infinity)? כי עבור x=R] וב[-R,0] ואז זה אומר שהוא מתכנס במ"ש ב[-R, המנה יוצאת 1..R]?
===תשובה===כן. באופן כללי אם טור מתכנס במ"ש בשני קטעים סגורים צמודים הוא מתכנס במ"ש באיחוד הקטעים. כי מהירות ההתכנסות עבור אפסילון היא המקסימום בין שני הn_0 של שני הקטעים. == :<math>0^)==שיהיה בהצלחה לכולם! לא פחות מ100 :) תומר - מצטרף ! שיהיה בהצלחה לכולכם - במבחן הזה ובכל אלו אחריו :):תודה, ותודה לכם על סמסטר נפלא (עד כמה שהיה אפשר. אינפי, אתם יודעים). תודה על התרגולים המצויינים, אפילו שהיו יותר מידי אנשים בכיתה... ותודה על ההשקעה בנו ועל כל העזרה (האתר, וכל דבר אחר). אולי תהיו מתרגלים שלנו באינפי 3?:ושיהיה בהצלחה לכולם! ==לארז ולתומר==רגע אחרי המבחן, וכמה ימים לפני שהאתר יתחיל לשמש, כנראה, תיכוניסטים תמימים שצעירים מאתנו בשנה, ואתם אורזים את הכל בשבילם, רציתי לומר לכם, לשניכם במ"ש, ת-ו-ד-ה ר-ב-ה!! על כל ההשקעה, הזמן, הרצון והכוח שהיה לכם להתמודד עם שתי קבוצות רועשות כמו שלנו, ועוד בקורס קשה כמו אינפי 2! שיהיה לכולנו המון בהצלחה בהמשך! מצטרף בהחלט, המון תודה לשניכם, ואולי נתראה בהמשך...:מצטרפת.. ממש תודה על הכול! מה נעשה בלי Math-wiki..מצטרף! זה לא מובן מאליו... ועם זאת, מתי נדע כמה פקטור יהיה(בטוח יהיה...!!) ::תודה רבה על כל האיחולים - המתרגלים. (בלי קשר, אני אפרסם עוד כמה דקות פתרון למבחן בדף הקורס) אני מסכים לגמרי עם כל השאר. אתם באמת השקעתם את כל כולכם בנו ובהצלחה שלנו. באמת רואים שאכפת לכם מאיתנו למרות כל הקיטורים, בקשות לדחיות, התחננויות ולפעמים אף בכי P=אני רק לא מבין משהו אחד. ניסיתי להבין מה הייתה התועלת בשיעורי חזרה ובתרגולים הנוספים שעשיתם, ואני לא מוצא בהם תועלת למבחן... לא עשינו אפילו תרגיל אחד שהיה אפילו דומה לשאלות שהיו במבחן (אני לא מתכוון לשאלות בדיוק כמו שהיו במבחן, אבל לפחות בסגנון ובנושאים)... כאילו שמתם דגש בשאלות לא דומות למבחן בשביל מה? הרי ראיתם את המבחן כבר... לי אישית היה די קשה להגיע לבר אילן,לתירגולים, באותו היום אבל הגעתי בכל זאת כי חשוב לי להצליח במבחנים (כמו לכולנו), אבל בתכלס שאני מסתכל על היעילות שלהם לאחר המבחן לא עזר בכלל, אלא להיפך.כל מה שאני מנסה להגיד, זה שבתרגולי חזרה לפני מבחן, תעזרו קצת יותר בכך שתתרגלו אותנו נכון, ולא לבלבל לנו את השכל עם שאלות לא קשורות בכלל... אחר כך מתלוננים שאנחנו לא מקבלים ציונים נורמלים ואתם נאלצים לעשות פקטור סתם!תודה על הכול (וזה בשיא הכנות) כי באמת השקעתם בנו ===תשובה===אני אענה לשאלה שלך בשני מישורים* הראשון והחשוב יותר: מטרתנו הראשונה והעיקרית כמורים הינה ללמד אתכם מתמטיקה ו'''לא''' להכין אתכם למבחן. הכנה למבחן הינה משנית (אמנם חשובה גם כן). קשה להגיע לבר אילן גם במהלך הסמסטר, אך אתם מגיעים על מנת ללמוד. הסיבה שאנו רואים את המבחן קודם לכן היא בעיקר על מנת לוודא איכות שלו (שאין טעויות, רמה סבירה וכדומה), עלינו להעביר שיעורי חזרה כאילו לא ראינו את המבחן. *שנית, אני אפריך לחלוטין את הטענות שהעלאת:**שיעור ההשלמה היה חלק מחומר הקורס וכלל שאלה שהופיעה כלשונה במבחן! (הוא היה לפני שראינו את המבחן). אז כבר 20 נקודות מתנה על שיעור ההשלמה והחומר שהועלאה לאתר (אני לא העברתי את השאלה פרונטלית אבל תומר כן). אמרנו לכם לקרוא את שיעור ההשלמה.**שיעור החזרה כלל שאלה כמעט זהה לחלוטין לשאלה 3 מהמבחן (אני העברתי אותה ותומר לא).**יום או יומיים לפני המבחן עניתי באתר על שאלה דומה לשאלה 2 במבחן, והדגשתי דברים שלא היו בשאלה המקורית כי ידעתי שזה יעזור למבחן.**שאר השאלות, בוודאי היו דומות והתעסקו בנושאים דומים... מעבר לכך, תודה על ההכרה בעבודה שלנו. תאמינו לנו שמה שעכשיו נראה לכם לא כיף, בעתיד אתם תראו כאתגר שהצלחתם בו. החיים הם לא מיטת שושנים, ומי היה רוצה לישון במיטת שושנים בכלל? זה דוקר!:זה לא רק דוקר, זה גם צמיגי :P::מתי יעלו ציוני תרגיל? :::אנחנו נעלה אותם היום==יש לי שאלה==האם בשאלה 4ב במבחן היה אפשר להגיד שההתכנסות היא ל0 כי תנאי הכרחי להתכנסות הטור היא שאיפת האיבר הכללי לאפס(הוכחה של התכנסות לאפס לא התכנסות במש)? ===תשובה===0</math>כן, זה מוכיח בהחלט התכנסות נקודתית לאפס (ולא במ"ש כפי שציינת)
==שאלה==
האם זה נכון שסדרת פונקציות, <math>(f_n(x))_{n=1}^{\infty}</math>, מתכנסת בקטע <math>[a,\infty]</math> במ"ש אם"ם מתקיים:
<math>\lim_{n \rightarrow \infty}\lim_{x \rightarrow \infty} (f(x)-f_n(x)) = למה מופיע לי ציון 0</math>בתרגיל מספר 2 אם הגשתי אותו? :S :זו שאלה פילוסופית? ==הודעה==
כאשר, <math>f</math> זו הפונקציה הגבולית.יש ציונים!! == מבחן == פשוט זה יכול לעזור לי בקביעה באם ההתכנסות היא במ"ש...היה פקטור במבחן? ואם כן של כמה?
מצטרף לשאלה... מאוד חשוב לנו לדעת האם להגיש ערעור או שלא.... והאם לגשת למועד ב או לא
בקיצור ממש חשוב לנו לעת האם היה פקטור...
:תשאלו את המרצים, אנחנו (המתרגלים) לא. מה אם חוסר ההתכנסות במ"ש קורה בצד הסופי? <math>\sum\frac{1}{x^n}</math> ועבור x=1 הטור מוגדר להיות אפסיודעים.
