'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 14| ארכיון 14]]''' - תרגיל 10
'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 15| ארכיון 15]]''' - תרגיל 10
'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 16| ארכיון 16]]''' - לקראת המבחן
'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 17| ארכיון 17]]''' - לקראת המבחן
=שאלות=
'''תומר''' - הסמסטר הולך ומסתיים לו . מי שרוצה לקבוע איתי פגישה ("שעת קבלה " ) - מוזמן לעשות זאת ועדיף לא לדחות עד סוף הסמסטר ממש ובסמוך למבחן ! שילחו לי מייל לתיאום : yaniv_to@netvision.net.il
==שאלה לכולם==יש איזשהו תרגיל שנאילא מצליחה לפתור- אני ממש אשמח אם מישהו יוכל לעזור לי.השאלה:"נניח ש- <math>f(x)</math> מוגדרת ורציפה בקטע סגור [a,b]. הוכיחו כי הטור <math>\sum _{n=1}^\infty [f(x)]^n</math> מתכנס במ"ש ב- [a,b] אם ורק אם הוא מתכנס נקודתית ב- [a,b]." תודה לכל העוזרים!!!!
===תשובה===יהיה במבחן פונקציות עם שתי משתנים?הרי אנחנו יודעים בדיוק מתי הטור הזה מתכנס נקודתית:לא שידוע לי, אם המרצה אמר שיהיה אז יהיה, אם לא אז לא תומר - מה פונקצית הגבול שלו ומה השארית שלו. מהו תנאי מספיק והכרחי שהטור הזה יתכנס נקודתית בקטע הסגורפתאום שיהיה משהו שלא למדתם ??? הגיון חבר"ה , הגיון !
:(מישהו אחר): לא יותר פשוט לפתור את התרגיל באמצעות מבחן ה-M==שאלה== תחת אילו תנאים ניתן לומר שאינטגרל על סכום אינסופי של פונקציות שווה לסכום האינסופי של האינטגרלים של הפונקציות?תודה
::למעשה זה אותו הדבר.תומר - מפנה אותך לנוסח משפטים המתאימים ! יש משפטים שמתארים תנאים מספיקים לכך .ייתכן שיהיו מצבים נוספים שזה יתקיים אבל אז צריך לבדוק כל מקרה לגופו.
==שאלה==
תהיינה <math>f_n</math> נניח יש לי טור פונקציות חסומות בקטע A, ו-<math>f_n \rightarrow f</math> שרץ על fn (הסדרה המזהה שלו). למה אם הטור |fn| מתכנס במ"ש ב-AבI, ואני צ"ל ש-f חסומה - הגעתי למצב שאני צריך להראות שההפרש ביניהם חסום, אבל אני לא יכול לדעת שזה מתקיים לכל n, אלא רק החל מ-n מסויים (לפי הגדרת ההתכנסות אז גם הטור המקורי מתכנס במ"ש). אשמח אם מישהו יוכל לעזור לי (ע"י רמז או כיוון, ולא יותר, בבקשה).בI?
'''רמז:'''*נקודתית זה ברור מאינפי 1. לבמ"ש ההוכחה דומה. שארית הטור לא בהחלט קטנה משארית הטור בהחלט, כלומר הטור לא בהחלט מתכנס מהר יותר מאשר הטור בהחלט.
ראשית, ועוד שאלה: אם הפונקציות אינן רציפות בקטע, אז אין הטענה נכונה בהכרח. למשל, <math>f_n(x)=\frac{1}{x}</math>, יש לי סדרת פונ' fn כך שעבור x=0 מוגדר להיות 0ש|fn| מתכנסת לפונ' גבול כלשהי f במ"ש, סדרה זו וודאי האם זה אומר שfn המקורית מתכנסת לf1 כלשהי במ"ש ל-<math>1/x</math> (כך שב-x=0 מתקבל 0), כי הפונקציה לא תלויה בכלל ב-n.ולמרות זאת, פונקצית הגבול לא חסומה בקטע <math>![0,1]</math>?
אבל, אם *ברור שלא.... אינפי 1. <math>f_nfn=(-1)^n</math> רציפות ומתכנסות לא מתכנס בכלל, אבל הערך המוחלט מתכנס במ"ש. יש טעות בסיכום במשפט פרמה, אז זה מבטיח משהו על פונקצית הגבוללא? המשפט הראשון בעמוד הראשון של הסיכום...התנאים לא צריעכים להיות הפוכים??? *נכון מאד, הסרתי את הסיכום. המשפט אומר שאם יש מקסימום/מינימום והפונקציה גזירה הנגזרת הינה אפס. בוודאי שאם הנגזרת אפס אין שום הכרח שיהיה מינימום/מקסימום (שהיא משהו לדוגמא x^3). שאלה:איך מוגדר אינטגרל של פונקציה ממינוס אינסוף לאינסוף? הגבול כאשר c רץ לאינסוף של אינטגרל של הפונקציה מ c- ואותה תכונה בקטע סגור מניבה את הדרושעד c או פשוט פיצול לשני אינטגרלים לא אמיתיים ואז כל אחד שואף בקצב שלו? זה משנה כי במקרה של פונקציה איזוגית-למשל x באפשרות הראשונה זה 0 ובשניה אינסוף פחות אינסוף שזה מתבדר.....(נכון?)תודה. *הוא מוגדר בתור הסכום של שני אינטגרלים לא אמיתיים. האינטגרל על הפונקציה x למשל מתבדר. למה אם f פונקציה רציפה, מחזורית ואי-שלילית בממשיים(f אינה זהותית אפס) אז הגבול של f(x)/x^3 אינו אפס כאשר x שואף לאינסוף?? הרי f חסומה מהנתונים,לא? רוני נתן שאלה כזאת ואמר להוכיח שהאינטרגל של f(x)/x מ1 עד אינסוף מתבדר. ואם הגבול שאמרתי מקודם שווה ל0 אז לפי מבחן ההשוואה האינטגרל מתכנס, אז כנראה שהגבול איננו 0,למה???
===תשובה===
הרמז לא נכון. אין צורך שהפונקציות יהיו רציפות, נתון שהן '''חסומות''' (הדוגמא שנתת אינה טוב). לפיכך אי אפשר להוכיח שפונקצית הגבול רציפה ולכן חסומה.
אבלתומר - כמה שאלות , אם יש פונקציות חסומות ששואפות לפונקציה שאינה חסומהכמה שאלות ! :) לשאלה הראשונה על התכנסות עם ערך מוחלט גוררת התכנסות בלי , זה אומר שתמיד במידה שווה - ראה משפט שהוכחתם . או - אפשר למצוא הפרשים גדוליםלנסות לבד פשוט ביישום של קריטריון קושי להתכנסות במ"ש ! .
::: צודק... מצטער אינטגרל ממינוס אינס' לאינס' מוגדר על הטעות שלי..ידי פיצול באיזו נקודת ביניים - אבל בכל אופן כאשר הגבולות שלהם - אחד עם פרמטר לאינסוף ושני עם פרמטר למינוס אינסוף - הם לא תלויים אחד בשני ! :):::: אל תצטער ואל תעשה את ובטח לא ממינוס סי לסי כאשר סי שואף לאינסוף . זהו אינטגרל שקיים בשימושים אבל יש לו שם - PRINCIPAL VALUE - אבל זה שוב :Pלא האינטגרל בקורס שלנו !!! .
: זה לא כזה מסובך לפי דעתי. זה ממש נובע מהתכנסות במ"ש. מה זה אומר במ"ש? שההפרש בין פונקציית הגבול לפונקציה הלגבי שאלה אחרונה -N-ית שואף ל-סתן בבקשה את ניסוח השאלה המלא כדי שאוכל להתייחס . לכן קיים N0 כך שעבור N>N0 ההפרש בין פונקציית הגבול לפונקציה ה-N-ית יהיה קטן מ(נניח) חצי. עכשיו נתון שהפונקצית ה-N-ית חסומה על ידי M כלשהו. נניח בשלילה שפונ' הגבול לא חסומה, לכן קיים X כך שבו הפונ' גדולה או שווה ל-M+1. בנקודה הזו, ההפרש בין פונקציית הגבול (M+1) לפונקצייה ה-N-ית (שקטנה מ-M) יהיה גדול או שווה ל-1, ולכן גדול מחצי, בסתירה לנתון, ולכן פונקציית הגבול חסומה (זה עידו, לא ארז/תומר)
==שאלהמסודרת ==(לקוחה מספר) נתונה פונקציה fרציפה,מחזורית ואי- תהי f יורדת ממש והאינטגרלשלילית ב-R. היא אינה זהותית 0.הוכח: <math>\int_0^\infty האינטגרל של f<(x)/math> קיים. הוכיחו שהאינטגרל שונה x מ- <math>\sum _{n=1}^\infty לאינסוף מתבדר. תוכל גם להגיד לי למה אי אפשר להוכיח שזה מתכנס עם שימוש במבחן ההשוואה השני? כי fלפי הנתונים חסומה,לא? ואז הגבול של (nf(x)</math> , ושקיים מספר a בקטע (0,1x) כך ש- <math> \int_a/x^\infty f = \sum _{n=1}^\infty 2 שווה לאפס ולפי המבחן f(nx) </math>x מתכנס, כי האינטגרל של x^2 מתכנס...
(לא ארז/תומר) <math> \int_0^\infty f = \sum _{n=1}^\infty \int_{n-1}^{n} f > \sum _{n=1}^\infty \int_{n-1}^{n} f(n) תשובה== \sum _{n=1}^\infty f(n)\cdot 1<לא ארז/math> אי השוויון מתקיים בגלל המונוטוניות (אי שוויון בפונקציות גורר אי שוויון באינטגרליםתומר) ומשום ש-f יורדת ממש נקבל <math>f(n)>f(n-1)</math> ולכן יש אי שוויון חזק באינטגרלים. לגבי החלק השני נראה לי שהטעות שלך היא כזו , כשאתה עשית את מבחן ההשוואה, עשית את זה עם הפונ' x^2 והאינטרל של ההוכחה: באותו האופן מתקיים גם: <math> \int_1^\infty f = \sum _{n=1}^\infty \int_{n}^{n+1} f < \sum _{n=1}^\infty \int_{n}^{n+זה מתבדר בקטע 1} fעד אינסוף (n) = \sum _{n=אתה מתבלבל עם 1}/x^\infty f(n2)\cdot 1</math>.
<math>g(a):=\int_aאבל אמרתי בקטע 1 עד אינסוף...לא מאפס!::הוא העיר לך על הפונקציה ולא על הקטע. x^\infty f</math> 2 זו פונקציה רציפה כי אם b שואף לאפס אז <math>g(a+b)=\int_{a+b}^\infty f = \int_{a}^\infty f - \int_{a}^{a+b} f \xrightarrow{b \rightarrow 0} \int_{a}^\infty f = g(a)</math>ששואפת לאינסוף ובפרט אינה אינטגרבילית על הקטע האינסופי.
הראינו כי <math>g(0) > \sum _{n=1}^\infty f(n) > g(1)</math> ולכן לפי משפט ערך הביניים קיים <math>0<a<1</math> עבורו <math>g(a)=\sum _{n=1}^\infty f(n)</math>ובנוגע להוכחה , כלומר <math> \int_a^\infty f = \sum _{n=1}^\infty f(n) </math>, מש"לאני עשיתי את זה בדרך הבאה:
:תודה רבה!! נסמן את החלק השני הבנתי היטבהמחזור של F כ-T, אבל בחלק הראשון משהו נראה לי מוזר באיאנחנו יודעים שהפונ' אינה זהותית אפס, לכן יש נקודה X0 בקטע [1,1+T] כך ש-שוויון (שגם מוזכר בחלק השני) ''f''(''x0'' שווה ל- M גדול ממש מאפס. מכיוון ש-F רציפה יש שני ביטויים ששווים זה לזה וסמנת אי שוויוןסביבה [a, אולי שכחת לציין שמדובר פעם ב-b] של X0 כך שכל ס בקטע מקיים f(nx) ופעם ב- f>M/2 (n-1או אפילו גדול שווה, זה לא משנה)?וכעת, מכיוון ש-F אישלילית , נגדיר פונקציה חדשה G להיות M/2x בכל קטע מהצורה [a+n*T,b+n*T] כאשר n טבעי ואפס בכל נקודה אחרת.
ברור כי שתי הפונ' אי שליליות, אינטגרביליות בכל קטע מהצורה [one,R] כש- R>1 (F רציפה בכל קטע כזה, ול-G יש מספר סופי של נקודות אי רציפות מהסוג המתאים) ולכן אם האינטגרל של G בטע 1 עד אינסוף מתבדר, כך גם האינטגרל הלא אמיתי של F.
::פעם יש שם f ופעם יש f(n) זה ההבדל בין האינטגרל על הפונקציהועכשיו, לבין האינטגרל על פונקצית המדרגות (כאשר אתה קובע את הערך להראות שהאינטגרל של כל מדרגה G בקטע 1 עד אינסוף מתבדר, זה לא כזה מסובך (אני עשיתי לפי הקצה השמאלי או הימני שלהקריטריון קושי, אבל אני בטוחשאפשר בעוד דרכים, ואין לי כח לכתוב את זה). אכן יש אי שיוויון חזק בין הפונקציה לבין פונקציות המדרגות הנובסה"ל.כ קיבלנו שהאינטגרל של f(x)/x
==שאלה==
מה השעה שבה מתחיל תירגול ההשלמה? באתר הזה למה במבחן ההשוואה הראשון רוני ציין שאם 0<g ו f>g והאינטגרל של f מתכנס(בעמוד הבית) כתוב שהוא ב- 13:00לא אמיתי, בעוד שבדף ההודעות באתר בשנ הסוגים הוא אמר ככה...) אז האינטגרל של המחלקה כתוב שהוא ב- 12:45g מתכנס. מתי הוא באמת מתחיללא אמר שאם g מתבדר גם f מתבדר,זה לא נכון??
תומר - התכנון היה לאפשר הפסקונת בין הבוחן/פתיחת מחברות לתירגול ההשלמה ===תשובה===המשפט השני הוא היקש לוגי מהראשון. לא יכול להיות שf יתכנס אבל g יתבדר, לכן אם g מתבדר אזי f מתבדר.
==שאלה==
משפט דיני מדבר על התכנסות במ"ש של פונקציה מונוטונית, רציפה ומתכנסת נקודתית בקטע סגור [a,b]. האם הוא גם נכון לקטע פתוח (a,b)? אם הוא נכון לקטע הסגור הוא בפרט נכון לקטע הפתוח, אבל השאלה שלי היא האם הפונקציה רציפה, מונוטונית ומתכנסת נקודתית ב-(a,b) האם זה גורר שהיא מתכנסת גם במ"ש לפי משפט דיני?
בתרגיל 11 שאלה 3 - לעוד מישהו יצא רדיוס התכנסות אפס?:: [לא תומר או ארז] לי דווקא יצא 1===תשובה=שאלה==בדיוק כמו שאמרנו כבראם אני צריכה להוכיח שפונק' כלשהי היא אינטגברילית רימן, זה לא עובד בקטע פתוח מכיוון שאי אפשר להשתמש במשפט שלכל סדרה יש תת סדרה מתכנסת והראיתי שהסכום רימן שלה לכל חלוקה מתאימה ולכל בחירה אלפא חסומה בין הסכום רימן של פונק' אינטגרבילית(קחו סדרה ששואפת לקצה!)אחרת פחות אפסילון, ואותו סכום ועוד אפסילון.האם זה מראה לי שהפונק' שלי אינטגרבילית גם? ויותר מזאת, שואפת לסכום I של אותה הפונקציה השניה?:הסכום רימן של הפונקציה האחרת עבור אותה חלוקה? ומה זה האפסילון הזה? במה הוא תלוי?
והדוגמא הנגדית היא כמובן הפונקציה <math>\frac{1}{1-x}</math> שהינה פונקצית הגבול לטור <math>\sum x==שאלה==נתון כי f אינטגרבילית וחסומה ע"י M. צ"ל שf^n</math>2 אינטגרבילית באותו קטע. סדרת הסכומים החלקיים היא מונוטונית בקטע הפתוח יש דרך להראות את זה לא ע"י הרכבת פונקציות (0שבדרך זו הנתון ע"י החסימות מיותר)?מהי הדרך? :הנתון על חסימות מיותר איך שלא תסתכל על זה,1שכן זו פונקציה אינטגרבילית (ולכן חסומה) ומתכנסת בו נקודתית אבל יש דרך להראות את זה חוץ מהרכבה של פונקציה רציפה ופונקציה אינטגרבילית? תומר - מידת קבוצת נקודות אי הרציפות של הפונקציה החדשה היא אפס ? . אך .. (לא במ"שארז/תומר) כן יש פיתרון אחר, והוא בעזרת תנאי רימן לאינטגרביליות. f^2 חסומה (כי אפשר לקחת סדרה ששואפת לאחד ועליה ההפרשים בין הגבול לבין הסדרה הולכים וגדליםברור), ונותר להראות את התנאי השני.בקשר אליו, קל להראות ש w(f^2)<= w(f)*2*M (כאשר w הוא התנודה בקטע), ומכאן קל להמשיך. מראים את זה כך, לכל x1,x2 בקטע כלשהו מתקיים:f(x1)^2-f(x2)^2<=(f(x1)-f(x2))*(f(x1)+f(x2)), ומכאן זה ברור
==שאלה==
מה הקשר בין התכנסות במ"ש התבקשתי להביא דוגמה לסדרת פונק' fn רציפות ב[0,1] כך שfn(x)-->0 לכל X בתחום, אך האינטגרל של טור פונקציות לבין התכנסות במ"ש של הסדרה?נניח יש לי סדרת פונקציות f_n.אני יודע שהטור פונקציות של f_n מתכנס במידה fn מ0 עד 1 אינו שווה באיזשהו קטע Iל0. - האם זה אומר שסדרת הפונקציות שלוהפונקציה x^n(x^n-1) qq מקיימת את הדרוש? הפונק' אכן רציפות ב[0, f_n1], מתכנסת במידה שווה ל0?פונקצית הגבול היא 0, אבל האינטגרל יוצא, אם אני לא טועה, 1/n פחות 1/(2n+1)..
===תשובה===
כן אתה בטוח שהאינטגרל שונה מאפס ולא '''שואף''' לאפס? כי כמעט כל סדרה שתבחר תעמוד בתנאי הראשון (למשל הסדרה מתכנסת של הפונקציות הקבועות <math>\frac{1}{n}</math>). אם אתה רוצה סדרה שהאינטגרל עליה אינו שואף לאפס, קח סדרה של פונקציות הבאה: הגרף של הפונקציה ה-n הוא משולש עם בסיס <math>\frac{1}{n}</math> בגובה 2n וכל שאר הפונקציה היא אפס. הסדרה הזו שואפת לאפס (כמובן שלא במ"ש לאפס. אפשר להוכיח את זה בשלילה) והאינטגרל על כל פונקציה בסדרה הוא תמיד 1.
==שאלה==
נניח שאני מגדיר פונקצייה נראית נחמדה. f:[0,1] ---> R היא פונקציה רציפה אי שלילית המקיימת f להיות פונקציית הסימן (signx), ואני רוצה לחשב <=sinx לכל x בתחום. צריך למצוא את האינטגרל שלה ממינוס אינסוף לפלוס אינסוףכל פתרונות המשוואה: cosx+quad(f,0,x)-1=0. אני יודע שבאופן כללי הוא שווה לאינטגרל ממינוס אינסוף לנקודה כלשהי (קוסינוסX ועוד האינטגרל מהנקודה לפלוס אינסוף, וששניהם תמיד יתבדרו וכמובן מספיק שרק של f מ0 עד x פחות 1 = 0.)מעבר לעובדה שx=0 הוא פתרון אחד יתבדר בשביל שהאינטגרל הכללי יתבדרשל המשוואה, אבל אף פעם לא הבנתי למה אי אפשר להגדיר באופן מיוחד, שיתאים למשל למקרה שנתתי - הרי ברור שאם נסתכל על גרף הפונקצייה כאשר במרכז הנקודה 0, השטח שמתחת לגרף יהיה אפסהצלחתי להוכיח שלא קיימים עוד פתרונות/למצוא פתרון נוסף. ניסיתי להניח שקיים ולהשתמש במשפט רול, ניסיתי להשתמש בזה שאי שיוויון ברמת הפונק' ==> אי שיוויון ברמת האינטגרל אבל בסופו של דבר לאהגעתי למשהו שמוכיח. יש רעיון למישהו?::מישהו??
===תשובה===במתמטיקה אפשר להגדיר מה שרוצים. הגדרה טובה הינה הגדרה שמובילה למשפטים ולתוצאות משמעותיות. בכל אופן, לפי ההגדרה המקובלת לאינטגרל לא אמיתי באינפי, האינטגרל של פונקצית הסימן מתבדר. חשוב שתהיה הגדרה אחת ידועה לכולם, אחרת יהיה בלבול. תומר - אוסיף ואומר שאינטגרל כמו זה שאתה מכיר - קיים במתמטיקה ולעיתים יש חשיבות להשתמש דווקא בגבול סימטרי ביחס לאפס . בקבוצות התירגול שלי הזכרתי שאינטגרל כזה נקרא PV :::אם f= PRINCIPAL VALUE ואתם עוד תלמדו עליו בהמשך חייכם המתמטיים sinx אזי זו הפונקציה הקבועה אפס. אבל אצלנו באינפי מדובר על הגדרה כפיצול של שני גבולות כמו שהזכרת !אם f קטן ממש מהסינוס אזי הנגזרת בעלת סימן קבוע (שלילי) והפתרון היחיד הוא אפס
==שאלה==
בשאלה 3מישהו מוכן להסביר לי באילו מקרים כדאי לעשות גזירה איבר איבר, בכל קטע סופי הכוונה לקטע פתוח או סגור או לכל קטע לא משנה פתוח/חצי פתוח/סגורומתי לעשות אינטגרציה איבר איבר?תודה.:כדאי? תמיד. מותר? כאשר יש התכנסות במ"ש לפי המשפטים שלמדתם בכיתה.
==שאלות מעניינות=תשובה=* הוכח או הפרך:תהי <math>f_n(x)</math> סדרה של פונקציות גזירות ברציפות המתכנסות במ"ש לפוקציה <math>f</math>, אשר גם גזירה ברציפות,ב-<math>[a,b]</math>.אזי ש- <math>f_n' \rightarrow f'</math> במ"ש על הקטע <math>[a,b]</math>.* בנוגע למשפט דיני לטורים, נניח שיש לי טור <math>u(x)=\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)</math>, כך ש-<math>a_n(x)>0</math> והטור מתכנס ב-I. כבר שאלו את זהמתי אני יודע אם הפונקציה הגבולית רציפה, כך שאוכל להישתמש בדיני ולקבוע שההתכנסות במ"ש.נשמח לתשובה ממישהו,די דחוף! תודה!!! :)
2תומר - אם ניקח את הסידרה cosnx ונחלק הכל ב n . זה ממש האם קיבלת סידרה שמתכנסת במ"ש ? ומה עם נגזרותיה ? ... לגבי דיני - פשוט לבדוק רציפות לפי הגדרה - גם לא משנה, כל התנאים האלה שקוליםאמרת שהפונקציות בסידרה רציפות - שים לב לתנאי המשפט ! .
==שאלה==
בשאלה 3 איך משתמשים בדיוק ברציפות במידה שווה? אפשר רמז נוסף אולי?
שאלה שנתקעתי עליה ואשמח לכיוון: int(arctan(x)/[(x*(ln(x+1))^2)], x =0 .. infinity) ניסיתי דיריכלה, חשבתי על השוואה, ופשוט לא מצאתי. אשמח לעזרה ::מצטרף לשאלה!! איך פותרים את הדבר הזה? (לא ארז/תומר) תנסה השוואה עם אחד חלקי [x*ln(x)^2]. שים לב ש arctanx שואף באינסוף לחצי פאי, ושעם קצת אלגברה אפשר להוכיח שמנת ה-ln-ים שואפת לאחד. כדי להראות התכנסות של האינטגרל החדש, אפשר להשתמש בהצבה t=ln(x), או לחילופין להשתמש במבחן האינטגרל+מבחן העיבוי לטורים תודה רבה :) זה לא נכון, כי יש בעיתיות גם בנקודה x=תשובה1 וגם באינסוף. ההשואה שנתת עוזרת רק לחלק של האינסוף : אבל אני לא חושב שאמורה להיות בעיה, כי זאת בעיה בנקודה, וזה לא אינטגרל לא אמיתי מסוג שני. ::אתה מפצל את זה לשני אינטגרלים: האינטגרל מ-1 עד אינסוף מתכנס (כי מורידים את ה-ln בעזרת אי שוויון והאינטרגל (arctanx/x^2) מתכנס (השוואה עם 1/x^2)...::עכשיו בקשר לאינטגרל מ-0 עד 1 אתה יודע ש- ln(1+x)<x לכל x ב-[0,1] ולכן האינטרגל שלנו גדול מהאינטגרל של arctan(x)/x^4 וזה מתבדר ע"פ השוואה עם 1/x^4 שמתבדר בקטע [0,1], ולכן זה גדול מאינטגרל מתבדר וזה סה"כ מתבדר. (אשמח לקבל אישור מאחד המתרגלים =) ). :(לא ארז/תומר) עבור האינטגרל מ-0 עד 1, תנסה מבחן השוואה גבולי עם אחד חלקי x^2 . שים לב ש arctanx/x שואף לאחד וש ln(1+x)/x גם שואף לאחד כאשר x שואף לאפס. ובקשר לזה שכתב מעלי- ה-x במכנה הוא לא בריבוע... :: האמת שהאינטגרל המקורי היה בין 1 לאין סוף וזאת טעות שלי שכתבתי אפס, אבל זה באמת יהיה טוב לדעת מה קורה גם אם זה היה אפס.:: תודה לשניכם :) ==שאלות.==מהו ההפרש בין פונקצית *arctanx חיובי בקטע 1,infinity לא? היה תרגיל באחד המבחנים ששמו ערך מוחלט מסביב לarctan, באנטגרל שהתחום שלו הוא תהחום המצוין..*במבחן ההשוואה הגבולי. מותר לי להשוות פונק' חיובית עם פונק' שלילית, אם הגבול לבין הסדרהיוצא חיובי? תנסה לנסח אותולדוגמה, ואולי לצייר ואז אולי תבין איפה משתמשים ברציפות במהפונקציה sinx חלקי x*lnx. בתחום [0.5,1], נניח ואני רוצה להשוות עם sinx חלקי x-1..*כאשר אני מפצלת אינטגרלים ל2 תחומים שונים [עם דגש על השונים!]. אם אחד מהם מתבדר, כל האינטגרל המקורי מתבדר, נכון? בלי קשר לחיוביות/שליליות של אחת הפונקציות.. *בהמשך לשאלה שלמעלה - אם יש לי שאלה של 'לאילו ערכי אלפא', כאשר יש לי חיבור של 2 אינטגרלים - אחד ל"שא מסוג ראשון והשני ל"א מסוג שני.. אז אם למשל עבור alpha>1 האינטגרל מסוג 1 מתבדר, אין מה לבדוק את האינטגרל השני גם?
==מועד הגשת התרגיל==יש אפשרות להגיש את תרגיל 10 ביום הבחינה ולא מחר?פשוט אניוזהו, ובטח עוד אחרים, עובר גם על שיעורי הבית שלי כהכנה למבחן.תודה רבה.!
===תשובה===
לא*כן הוא חיובי.*אם בתחום הפונקציה אי חיובית אז אם תכפלי אותה במינוס תקבל פונקציה אי שלילית. תרגילים שלא יוגשו מחר כמובן שמכפלה במינוס לא יתקבלו כלל, בעיקר מסיבות טכניות של הבדיקהמשנה התכנסות אינטגרל*נכון.*נכון
שאלה נוספת: ומה חובת ההגשה בסימסטר :כן, אבל כשהפונק' הייתה שלילית, הגבול יצא לי חיובי. אם אני כופלת במינוס 1, הגבול יוצא שלילי..:::לא יכול להיות שהגבול של המנה של שתי פונקציות אי שליליות יהיה שלילי::::::: כעיקרון אני מדברת על הפונקציה sinx חלקי x*lnx. בתחום [0.5,1] אני משווה אותה עם sinx חלקי (1 פחות X). (יום יבוא ואני אלמד להשתמש בכתיב המתמטי של ויקיפדיה... מצטערת על הסרבול). בכל מקרה, שתי הפונקציות חיוביות בתחום הזה? 80%. אבל הגבול של המנה, כאשר X שואף ל1 מצד שמאל, כלומר 8 מ-10?הוא מינוס אחת..
::8 מ10 אכן מספיקכי ln שלילית בקטע הזה.::אוקי, אז בעצם מכפילים את הפונק' המקורית ב1- ואז מקבלים גבול חיובי, ואומרים שבגלל שהפונק' עם המינוס מתכנסת/מתבדרת ==> כך גם הפונק' המקורית?
:::אך האם 8 מ-10 הכרחי?::::כן::::כלומר, 8 מ-10 הכרחי ומספיק.נכון
==שאלה==
למתרגלים - התכנסות במ"ש של ערך מוחלט של טור הפונק' גוררת התכנסות במ"ש של טור הפונק'?:כבר נשאל בעמוד זה. כן מכיוון שהשארית של טור קטנה או שווה לשארית של הטור בהחלט ==שאלה==*הסתבכתי,אפשר עזרה?*נניח שהפונקציה f מוגדרת ורציפה בקטע סגור x=a..b הוכח כי הסכום מאחד עד אינסוף של f^n מתכנס במ"ש בקטע זה אם ורק אם הסכום הנל(f^n) מתכנס נקודתית בקטע זה. :השאלה לא מנוסחת טוב. מה זה f ומה הוא קשור? מה ההבדל בין סכום מאחד עד אינסוף לבין טור?תיקנתי... מה הבעייה בהגדרה של f פשוט פונקציה f(x) ::שאלתי מה הקשר של f. גם g היא פונקציה אבל היא קשורה לשאלה בדיוק כמו f... האם יש לכם איזו השערה לגבי כמה זמן התרגול מחרהיא פונקצית הגבול של הטור? בערךהאם הפונקציות בסדרה רציפות? שעתיים : (לא ארז וגם לא תומר) בעצם הכיוון המעניין היחיד הוא מהתכנסות נקודתית לבמ"ש. אם f^n מתכנס נקודתית אפשר לראות כי לכל x נקבל f(x<1 (בערך מוחלט, הלוואי שזה לא היה קופץ כל הזמן). f רציפה לכן הערכים שהיא מקבלת מהווים קטע סגורc,d בתוך [-שלוש? יותר1,1), קטע בו הטור x^n מתכנס במ"ש. לכן כל סדרת נקודות אינסופית שתבחר בa,b עבור הטור לפי f שקולה בעצם לבחירת נקודות בc,d עבור הטור של x המתכנס שם במ"ש (ולפי מבחן הLIMSUP בעצם זה כל מה שצריך). אבל למה f(x) בערך מוחלט קטן מ-1?:הסברתי במפורט בתשובה. לא בהכרח f<1 פשוט אם הוא מתכנס הוא קטן מאחד ולכן מתכנס במ"ש. אם הוא מתכנס במ"ש ברור שהוא מתכנס. זה כל מה שצריך להוכיח.
===תשובה===
בגדול שעתייםאה.... התבלבלתי בין f_n לf^n.... מצטער. הכותב מעליי צודק שהטור מתכנס כאשר <math>|f(x)|<1</math>, והוא מתכנס במ"ש כאשר <math>|f(x)|<r<1</math> אבל בגלל שהפונקציה רציפה על קטע סגור ונניח מתכנסת בו אזי היא מקבלת מינימום ומקסימום ושניהם חייבים להיות קטנים ממש מאחד (אחרת היא לא הייתה מתכנסת בהם) ולכן התנאי מתקיים. * על מנת להוכיח שהוא מתכנס במ"ש בתנאי למעלה <math>|f(x)|<r<1</math> כל שצריך הוא מבחן הM<math>|f(x)^n|<r^n</math>. * על מנת להוכיח שהוא מתכנס עבור התנאי <math>|f(x)|<1</math> כל מה שצריך הוא להסתכל נקודתית על הטור <math>\sum |f^n(x)|=\sum a^n</math> כאשר <math>|f(x)|=a<1</math> וזה כמובן מתכנס. * טריוויאלי שהוא יתבדר בכל מקום אחר. * על מנת להוכיח שהוא לא מתכנס במ"ש אם לפונקציה לא היה מקסימום אבל הsup שלה היה אחד: ניקח סדרה <math>x_n</math> כך ש <math>f(x_n) \rightarrow 1</math> ולכן <math>\lim_{k\rightarrow \infty} sup|S(x)-S_k(x)|>\lim_{k\rightarrow \infty} |S(x_{n_k})-S_n(x_{n_k)}| = \infty</math> (נבחר את n_k על מנת שההפרשים ישאפו לאינסוף. אנחנו יודעים שזה מותר כי <math>f(x_n)\rightarrow 1</math>)
==שאלה==
בהוכחה של משפט אבלאם יש לי פונקציה ואני מפתח לה טור חזקות נניח עם רדיוס 1, השתמשתם בA. אבל לא ציינתם מה הוא? החסם במשותףאיך אני מוודא לאחר הפיתוח שהפונקציה שווה לטור בקטע?מה זה סדרה שחסומה במשותף?וגם פה שאלה 4 כוון כללי אם אפשר...http://moodle.technion.ac.il/file.php/1098/Exams/2004-2005-spring-test-a.pdf
===תשובה===
נראה לי שהוא החסם המשותףהוא שווה לפונקציה רק ברדיוס ההתכנסות. סדרה שחסומה במשותף/חסומה במידה אחידה מה הכוונה שכל הפונקציות איך אתה מוודה? אם פתחת נכון זה חייב להיות שווה - הצעדים שלמדנו לפיתוח פונקציה לטור חזקות הם צעדים בהם השיוון בסוף חייב להתקיים (למשל פונקציה קדומה ששווה בנקודה אחת לטור החזקות [עדיף לבדוק את הנקודה אפס כמובן]) לגבי השאלה השנייה כבר שאלו אותה, תסתכל בארכיון 17 אבל אתה יודע שאם קיים טור חזקות המקדמים הם אלו של טיילור, למשל הפונקציה f(0)=0 f(x)=exp(-1/x^2) sהיא שווה לטור החזקות רק באפס למרות שהטור מתכנס בכל הישר (הוא תמיד אפס כי כל הנגזרות באפס הן אפס)מה שאני שואל זה איך הייתי יודע להבחין שהם שווים רק באפס למרות שהטור מתכנס תמיד, רק שזה לא תמיד לערך הפונקציה? :אל תבלבל. הקטע עם הבדיקה בנקודה זה רק כאשר הוכחת שהפונקציה שלך היא קדומה של טור חזקות כלשהוא ועשית אינטגרציה איבר איבר. באופן כללי למדתם משפט אחד שמאפשר לכם להניח שטור החזקות עם מקדמי טיילור הוא אכן הפונקציה וזה כאשר הנגזרות חסומות לכל איקס על ידי אותו חסם (במקרה ראה את ההשלמה). במקרים אחרים (כמו זה Aשתארת)אסור סתם להניח שיהיה שיוויון. כן, אבל בתכלס אם קיים טור חזקות המקדמים שווים למקדמי טיילורמה שאתה אומר זה להתייחס "כאילו" אנחנו לא יודעים את זה ולעבוד בשיטות אחרות כן? (במקרה והנגזרות לא בהכרח חסומות) :כן. יכול להיות שתשתמש בטריק כי אתה לא יודע להוכיח שהפונקציה שווה לטור חזקות, אבל גם יכול להיות שזה פשוט יהיה קל יותר מאשר לחשב את הנגזרות מכל סדר... סבבה תודה רבה
==שאלה==
תומר/ארז- יש מצב שאתם מעלים בבקשה מבחנים משני קודמות המבחן ב15:30 נכון? כמה זמן הוא יארך??? כן, שעתיים ==שאלה== למה הסיגמה של אינפי 2*(n+1)*3^n חלקי שורש שלישי של n! מתכנס?:אתה מתכוון ל<math>\sum \frac{2(n+1)3^n}{\sqrt[3]{n!}}</math>?תקח את השורש הn-י ותקבל 3 חלקי אינסוף כלומר שואף לאפס (הרי <math>\sqrt[n]{n!}\rightarrow \infty</math>) ==התכנסות אינטגרלים==האם האינטגרלים הבאים מתכנסים?? אני חושב שרוני אמר שהוא יעלה לאתר מבחנים...?* <math>\int_{0}^{1} \frac{\theta}{\ln(\theta)}d\theta</math>.* <math>\int_0^1 \frac{dx}{\ln(x)}</math>* <math>\int_{r=0}^{r=1} \frac{\sin(r^2)}{r}dr</math>.האם אפשר לומר באינטגרל השלישי ש-<math>\int_{0}^{1} \frac{\sin(r^2)}{r}dr \leq \int_{0}^{1} \frac{r^2}{r}dr = \int_0^1 rdr = 1/2</math>, ואז עפ"י השוואה???
===תשובה===
נשתדל להביא חומרלא לשכוח לבדוק אם האינטגרל הוא אמיתי בכלל או לא. למשל השלישי הוא פשוט בעל אי רציפות סליקה באפס ולכן אינטגרבילי (גם מה שרשמת נכון אבל בלי קשר)
==בקשה==בראשון ובשני הצד הבעייתי הינו 1. ניתן לבצע מבחן ההשוואה עם <math>\frac{1}{1-x}</math>
יש מצב בבקשה להעלות את פתרון תרגיל 10 לאתר==שאלה== נתונה פונקציה f(x) בקטע [a,b] ונתון שהיא חסומה על ידי M. צריך להוכיח שאם f אינטגרבילית זה גורר ש-f^2 אינטגרבילית. חסימות זה לא בעיה, אבל הסתבכתי עם התנאי השני אני יכול להשתמש במשפט שאם הפונקציות f,g אינטגרביליות בקטע כלשהו אז גם f כפול g אנטגרבילית שם, כאשר במקרה הזה g=f? :(לא ארז/תומר ) ענו כבר על השאלה הזאת... לדעתי אי אפשר להשתמש במשפט, למרות שהוא נכון, כי אז התרגיל טריוויאלי. :הנה ההוכחה- בדרך !יהי אפסילון גדול מאפס. בכל קטע g(x1)-g(x2)=(f(x1)+f(x2))*(f(x1)-f(x2)<2M*W כאשר W היא התנודה של f בקטע. (g מוגדרת כ f בריבוע). מאינטגרביליות f קיימות חלוקה עבורה סכום התנודות קטן מאפסילון חלקי 2M. ועבור אותה חלוקה בפונקציה g סכום התנודות יהיה קטן מאפסילון. תומר - ומה עם מידת נקודות אי רציפות ? אם אתם יודעים שהפונקציה אינטגרבילית זה אומר שמידת קבוצת נקודות האי רציפות שלה היא אפס . מה עם נקודות האי רציפות של הפונקציה בריבוע ? האם היא מוכלת בזו של הפונקציה המקורית ? ואם כן מה זה אומר על מידתה ? ...
==שאלה==
בבוחן, בשאלה 1, היה אפשר גם צריך להוכיח את האי השיוויון הימני עם טיילור עבור x0שהטור הבא מתכנס במ"ש. f(x)=sum from 0to infinity of (e^-nx)* cos(nx) s בכל קטע (a,infinity] כאשר a>0 ניסיתי עם מבחן ה- m ולא הצלחתי.מישהו?אפשר להשוות עם e^-n=2 במבחן הM לא? :(לא ארז/תומר) אני חושב שצריך להשוות עם e^-an ... עם e^-n וזה עובד. עכשיו בסעיף הבא הם רוצים להוכיח/להפריך שf(x) שזה הסכום הוא פונקציה רציפה ב(o, infinity). הבעיה זה שזה קטע פתוח ולא סופי.. עדין אפשר להשתמש במשפט על טור של פונקציות רציפות המתכנס במ"ש? :תמיד משתמשים באותו טריק (לא התעמקתי בשאלה, מקווה שרלוונטי) אם ההתכנסות היא במ"ש על כל תת קטע סגור וסופי אז יוצא שפונקצית הגבול רציפה בכל נקודה בלי שתהיה התכנסות במ"ש על הקטע האינסופי/פתוח כולו. == תרגיל 11 ==מישהו יכול לכתוב שוב את הלינקים לתרגילים שבתרגיל 11, הלינקים לא עובדים לי.
:לא נראה ליארכיון 16... מאיפה אנחנו יודעים איך השארית משפיעה?
==שאלה==
אם מתי יפורסמו ציוני התרגיל והבוחן (אני רוצה לחשב את סכום הטור : <math>\sum _{n=1}^\infty \frac{1}{2^n n}</math> יודע שיש לנו אותם, אבל כשאני מפרק אותו לאינטגרל לפי רימן (חלוקה של <math>\frac{1}{n}<הכוונה עם פקטור, וציוני תרגיל 8/math> 10 אם אני לא טועה) אז והאחוזים מהציון הסופי? מצטרף!! תומר - יפורסם בשעות הקרובות . אני מקבל שזה שווה לאינטגרל: <math>\int _0 ^\infty \frac{1}{2^x}dx</math> וזה יוצא <math>\frac{1}{\lnעצמי עוד בודק תרגילים שהוגשו באיחור(2!)}</math> . סבלנות . יש חדש? ==שאלה==אוקי, למרות שהסכום לפי מה שבדקתי אמור לצאת <math>\lnנניח ויש לי סדרת פונקציות, ואני צריכה לבדוק לאילו ערכי אלפא הסדרה מתכנסת במ"ש ב0,אינסוף (2חצי סגור)</mathוב[0,1]. קודם כל בדקתי את 0 אינסוף, והגעתי לזה שעבור אלפא קטן מ2 ==> הסדרה מתכנסת במש. איפה הטעות שלי? אני מניח שהיא איפה שהמרתי סכום לאינטגרל לא אמיתיהתחום השני, [0,1], מוכל בתחום הראשון - ונניח שהגעתי לזה שהסדרה מתכנסת במש בתחום זה עבור אלפא גדול מ2-... איך אפשר לחשב את מכיוון שהתחום מוכל, זה בכל מקרהאומר לי גם שבפרט הסדרה מתכנסת במש גם עבור אלפא קטן מ2, וביחד - עם שתי המסקנות האלה - מתכנס לכל אלפא?
===תשובה===
קודם כל אין פה כלל חלוקת רימן (שכן המרחק בין נקודות הדגימה הוא אספוננציאלי עולהלכאורה כן, ואילו האורכים הולכים ויורדים לאפס)אני לא מבין מה השאלה. אפילו הרי ברור שאם זה מתכנס במ"ש לכל אלפא גדול ממינוס 2 או קטן משתים בפרט זה מתכנס לכל אלפא. השאלה האמיתי היא אם הייתההחישובים שלך נכונים.:השאלה היא כזו - הוכחתי שעבור אלפא קטן מ2 זה מתכנס במ"ש ב0,infinity. רק רציתי לוודא שזה אומר שעבור אלפא קטן מ2 זה מתכנס במ"ש גם ב[0, זו חלוקה אינסופית אחת ולא גבול של חלוקות1]. זה נכון?
פותרים את זה בדיוק כפי שפתרנו אתמול בכיתה. נגדיר <math>S(x)=\sum \frac{1}{n}x^n</math> קל לראות שרדיוס ההתכנסות ::הדגש הוא אחד ולכן זה טור חזקות שמתכנס במ"ש בסביבה של חציעל הקטע הסגור? אם יש התכנסות באפס אז כן, אם לא אז לא:::כן, מדובר על קטעים סגורים. ברור שסכום הטור שמעניין אותנו הוא <math>S(\frac{1}{2}תודה:)</math>. מכיוון שההתכנסות היא במ"ש מותר לגזור איבר איבר ולקבל <math>S'(x)=\sum x^{n-1} = \frac{1}{1-x}</math>.
לכן <math>Sאני טועה או שבהתחלת ההרצאה האחרונה רוני אמר שבטווח שבין רדיוס ההתכנסות לבין המינוס שלו(xלא כולל הוא עצמו)=\int_0^x S'(t)dt=-ln(1-x)</math> ולכן <math>S(\frac{1}{2})=-ln(\frac{1}{2})=ln2</math>הפונקציה מתכנסת, ואח"כ הוא אמר שהיא גם מתכנסת במ"ש בכל קטע סגור שמוכל בקטע הזה.....?:זה נכון לגבי טור חזקות, אני לא בטוח איך זה קשור פה.
::יש עוד מקום עם רדיוס התכנסות חוץ מטור חזקות??? ושאלתי כי זה נראה לי מוזר להוכיח משהו ואז להוכיח משהו ותר חזק במקום להוכיח ביחד. למה פה? איפה עוד אני יכול לכתוב???
עד כדי טעות:::לא פה בפורום, התכוונתי פה בשאלה הזו... רדיוס התכנסות זה מושג של טור חזקות, וכאן מדובר על סדרת פונקציות.
==שאלה==
יהי <math>\sum _{n=1}^\infty a_n</math> טור חיובי מתכנס, ומצטער על הבורות רגע לפני המבחן- <math>f_n (x)</math> סדרת פונקציות, כך שלכל n טבעי מתקיים: <math>|f_{n+1}(x)מה זה גזירה איבר-f_n(x)|<a_n</math> איבר? ואינטגרציה איבר איבר? בבקשה שלא יהיה מסובך... הוכח או הפרך : <math>f_n</math> מתכנסת במידה שווה.
אני מתקשה להבין את הבעייה ===תשובה===נניח ויש לך טור מתכנס <math>g=\sum f_n</math>. השאלה היא מהי הנגזרת של ההתכנסות במ"ש במקרה הזהg.אם מותר לגזור איבר-איבר אזי <math>g' = \sum f_n'</math>.. אז אחרי שלא הצלחתי להפריך, ניסיתי להוכיח, וראיתי שים לב שזה קרוב יותר לקריטריון של קושי להתכנסות במ"שלא תמיד נכון, אז מספיק להראות שאם לכל k יש n טבעי שעבורו רק כאשר המשפטים מאפשרים לגזור איבר-איבר. אינטגרציה זה דומה <math>|f_{n+1}(x)-\int g = \sum \int f_n(x)|<k</math>, אז ==שאלה==אם טור חזקות מתכנס גם נובע שלכל m>n מתקיים התנאי של קושיבR וגם בR-, אבל זה בדיוק מה שאני לא מצליח להראות... איך אני יכול להפריך עאומר שהוא מתכנס במ"י מציאת סדרת פונקציות שהפרש של כל פונקציות קרובות שואף לאפסש ב[0, אבל כשהR] וב[-n גדל הפונקציות החדשות שנוצרות רחוקות יותר עד כדי חוסר התכנסות במידה שווה או אפילו חוסר התכנסותR,0] ואז זה אומר שהוא מתכנס במ"ש ב[-R,R]?
===תשובה===
זה תרגיל מאינפי 1 בתכלסכן.באופן כללי אם טור מתכנס במ"ש בשני קטעים סגורים צמודים הוא מתכנס במ"ש באיחוד הקטעים. כי מהירות ההתכנסות עבור אפסילון היא המקסימום בין שני הn_0 של שני הקטעים. == :)==שיהיה בהצלחה לכולם! לא פחות מ100 :) <math>|f_mתומר -f_n|מצטרף ! שיהיה בהצלחה לכולכם - במבחן הזה ובכל אלו אחריו :):תודה, ותודה לכם על סמסטר נפלא (עד כמה שהיה אפשר. אינפי, אתם יודעים). תודה על התרגולים המצויינים, אפילו שהיו יותר מידי אנשים בכיתה... ותודה על ההשקעה בנו ועל כל העזרה (האתר, וכל דבר אחר). אולי תהיו מתרגלים שלנו באינפי 3?:ושיהיה בהצלחה לכולם! =|f_m=לארז ולתומר==רגע אחרי המבחן, וכמה ימים לפני שהאתר יתחיל לשמש, כנראה, תיכוניסטים תמימים שצעירים מאתנו בשנה, ואתם אורזים את הכל בשבילם, רציתי לומר לכם, לשניכם במ"ש, ת-f_{mו-1}+f_{mד-1}ה ר-ב-ה!! על כל ההשקעה, הזמן, הרצון והכוח שהיה לכם להתמודד עם שתי קבוצות רועשות כמו שלנו, ועוד בקורס קשה כמו אינפי 2! שיהיה לכולנו המון בהצלחה בהמשך! מצטרף בהחלט, המון תודה לשניכם, ואולי נתראה בהמשך...:מצטרפת.+f_{n+1}. ממש תודה על הכול! מה נעשה בלי Math-f_n|\leq a_m+wiki..מצטרף! זה לא מובן מאליו... ועם זאת, מתי נדע כמה פקטור יהיה(בטוח יהיה...!!) ::תודה רבה על כל האיחולים - המתרגלים. (בלי קשר, אני אפרסם עוד כמה דקות פתרון למבחן בדף הקורס) אני מסכים לגמרי עם כל השאר. אתם באמת השקעתם את כל כולכם בנו ובהצלחה שלנו. באמת רואים שאכפת לכם מאיתנו למרות כל הקיטורים, בקשות לדחיות, התחננויות ולפעמים אף בכי P=אני רק לא מבין משהו אחד. ניסיתי להבין מה הייתה התועלת בשיעורי חזרה ובתרגולים הנוספים שעשיתם, ואני לא מוצא בהם תועלת למבחן... לא עשינו אפילו תרגיל אחד שהיה אפילו דומה לשאלות שהיו במבחן (אני לא מתכוון לשאלות בדיוק כמו שהיו במבחן, אבל לפחות בסגנון ובנושאים)... כאילו שמתם דגש בשאלות לא דומות למבחן בשביל מה? הרי ראיתם את המבחן כבר... לי אישית היה די קשה להגיע לבר אילן,לתירגולים, באותו היום אבל הגעתי בכל זאת כי חשוב לי להצליח במבחנים (כמו לכולנו), אבל בתכלס שאני מסתכל על היעילות שלהם לאחר המבחן לא עזר בכלל, אלא להיפך.כל מה שאני מנסה להגיד, זה שבתרגולי חזרה לפני מבחן, תעזרו קצת יותר בכך שתתרגלו אותנו נכון, ולא לבלבל לנו את השכל עם שאלות לא קשורות בכלל... אחר כך מתלוננים שאנחנו לא מקבלים ציונים נורמלים ואתם נאלצים לעשות פקטור סתם!תודה על הכול (וזה בשיא הכנות) כי באמת השקעתם בנו ===תשובה===אני אענה לשאלה שלך בשני מישורים* הראשון והחשוב יותר: מטרתנו הראשונה והעיקרית כמורים הינה ללמד אתכם מתמטיקה ו'''לא''' להכין אתכם למבחן. הכנה למבחן הינה משנית (אמנם חשובה גם כן). קשה להגיע לבר אילן גם במהלך הסמסטר, אך אתם מגיעים על מנת ללמוד. הסיבה שאנו רואים את המבחן קודם לכן היא בעיקר על מנת לוודא איכות שלו (שאין טעויות, רמה סבירה וכדומה), עלינו להעביר שיעורי חזרה כאילו לא ראינו את המבחן. *שנית, אני אפריך לחלוטין את הטענות שהעלאת:**שיעור ההשלמה היה חלק מחומר הקורס וכלל שאלה שהופיעה כלשונה במבחן! (הוא היה לפני שראינו את המבחן). אז כבר 20 נקודות מתנה על שיעור ההשלמה והחומר שהועלאה לאתר (אני לא העברתי את השאלה פרונטלית אבל תומר כן). אמרנו לכם לקרוא את שיעור ההשלמה.**שיעור החזרה כלל שאלה כמעט זהה לחלוטין לשאלה 3 מהמבחן (אני העברתי אותה ותומר לא).**יום או יומיים לפני המבחן עניתי באתר על שאלה דומה לשאלה 2 במבחן, והדגשתי דברים שלא היו בשאלה המקורית כי ידעתי שזה יעזור למבחן.**שאר השאלות, בוודאי היו דומות והתעסקו בנושאים דומים... מעבר לכך, תודה על ההכרה בעבודה שלנו. תאמינו לנו שמה שעכשיו נראה לכם לא כיף, בעתיד אתם תראו כאתגר שהצלחתם בו. החיים הם לא מיטת שושנים, ומי היה רוצה לישון במיטת שושנים בכלל? זה דוקר!:זה לא רק דוקר, זה גם צמיגי :P::מתי יעלו ציוני תרגיל? :::אנחנו נעלה אותם היום==יש לי שאלה==האם בשאלה 4ב במבחן היה אפשר להגיד שההתכנסות היא ל0 כי תנאי הכרחי להתכנסות הטור היא שאיפת האיבר הכללי לאפס(הוכחה של התכנסות לאפס לא התכנסות במש)? ===תשובה===כן, זה מוכיח בהחלט התכנסות נקודתית לאפס (ולא במ"ש כפי שציינת) ==שאלה== למה מופיע לי ציון 0 בתרגיל מספר 2 אם הגשתי אותו? :S :זו שאלה פילוסופית? ==הודעה== יש ציונים!!== מבחן == היה פקטור במבחן? ואם כן של כמה? מצטרף לשאלה... מאוד חשוב לנו לדעת האם להגיש ערעור או שלא.... והאם לגשת למועד ב או לאבקיצור ממש חשוב לנו לעת האם היה פקטור...+a_n</math>
אבל לפי תנאי קושי להתכנסות טורים הצד הימני קטן מאפסילון.:אההההתשאלו את המרצים, הבנתי, וזה מתקיים עבור n,m גדולים מספיק אנחנו (כלומר שגדולים מ-n0 התחלתיהמתרגלים)לא יודעים... יפה! הייתי צריך לנסות לקשר את זה לסכום הטור... תודה רבה :) !!!
