'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 15| ארכיון 15]]''' - תרגיל 10
'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 16| ארכיון 16]]''' - לקראת המבחן
'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 17| ארכיון 17]]''' - לקראת המבחן
=שאלות=
==שאלה==
מתי תעלו תרגיל 11 + הפתרון שלו על טורי חזקות? זה ממש חשוב לראות תרגילים עם פתרונות למבחן...
==שאלה==
בבוחן, בשאלה 1, היה אפשר גם להוכיח את האי השיוויון הימני עם טיילור עבור x0=0,n=2 לא?
יהיה במבחן פונקציות עם שתי משתנים?:לא נראה שידוע לי, אם המרצה אמר שיהיה אז יהיה, אם לא אז לא תומר - מה פתאום שיהיה משהו שלא למדתם ??? הגיון חבר"ה , הגיון ! ==שאלה== תחת אילו תנאים ניתן לומר שאינטגרל על סכום אינסופי של פונקציות שווה לסכום האינסופי של האינטגרלים של הפונקציות?תודה תומר - מפנה אותך לנוסח משפטים המתאימים ! יש משפטים שמתארים תנאים מספיקים לכך .ייתכן שיהיו מצבים נוספים שזה יתקיים אבל אז צריך לבדוק כל מקרה לגופו.. מאיפה אנחנו יודעים איך השארית משפיעה?
==שאלה==
נניח יש לי טור פונקציות שרץ על fn (הסדרה המזהה שלו). למה אם אני רוצה לחשב את סכום הטור |fn| מתכנס במ"ש בI, אז גם הטור המקורי מתכנס במ"ש בI? *נקודתית זה ברור מאינפי 1. לבמ"ש ההוכחה דומה. שארית הטור לא בהחלט קטנה משארית הטור בהחלט, כלומר הטור לא בהחלט מתכנס מהר יותר מאשר הטור בהחלט. ועוד שאלה: אם יש לי סדרת פונ' fn כך ש|fn| מתכנסת לפונ' גבול כלשהי f במ"ש, האם זה אומר שfn המקורית מתכנסת לf1 כלשהי במ"ש? *ברור שלא.... אינפי 1. <math>\sum _{nfn=(-1}^\infty \frac{1}{2)^n n}</math> לא מתכנס בכלל, אבל כשאני מפרק אותו לאינטגרל לפי רימן (חלוקה הערך המוחלט מתכנס במ"ש. יש טעות בסיכום במשפט פרמה, לא? המשפט הראשון בעמוד הראשון של <math>\frac{1}{n}<הסיכום...התנאים לא צריעכים להיות הפוכים??? *נכון מאד, הסרתי את הסיכום. המשפט אומר שאם יש מקסימום/math> מינימום והפונקציה גזירה הנגזרת הינה אפס. בוודאי שאם הנגזרת אפס אין שום הכרח שיהיה מינימום/מקסימום (לדוגמא x^3) אז אני מקבל שזה שווה לאינטגרל. שאלה: <math>\int _0 ^\infty \frac{1}{2^איך מוגדר אינטגרל של פונקציה ממינוס אינסוף לאינסוף? הגבול כאשר c רץ לאינסוף של אינטגרל של הפונקציה מ c- עד c או פשוט פיצול לשני אינטגרלים לא אמיתיים ואז כל אחד שואף בקצב שלו? זה משנה כי במקרה של פונקציה איזוגית-למשל x}dx</math> וזה יוצא <math>\frac{1}{\lnבאפשרות הראשונה זה 0 ובשניה אינסוף פחות אינסוף שזה מתבדר.....(2נכון?)}</math> תודה. *הוא מוגדר בתור הסכום של שני אינטגרלים לא אמיתיים. האינטגרל על הפונקציה x למשל מתבדר. למה אם f פונקציה רציפה, למרות שהסכום לפי מה שבדקתי אמור לצאת <math>\lnמחזורית ואי-שלילית בממשיים(2f אינה זהותית אפס) אז הגבול של f(x)</math> . איפה הטעות שליx^3 אינו אפס כאשר x שואף לאינסוף? אני מניח שהיא איפה שהמרתי סכום לאינטגרל ? הרי f חסומה מהנתונים,לא אמיתי? רוני נתן שאלה כזאת ואמר להוכיח שהאינטרגל של f(x)/x מ1 עד אינסוף מתבדר... איך אפשר לחשב את זה בכל מקרהואם הגבול שאמרתי מקודם שווה ל0 אז לפי מבחן ההשוואה האינטגרל מתכנס, אז כנראה שהגבול איננו 0,למה???
===תשובה===
קודם כל אין פה כלל חלוקת רימן (שכן המרחק בין נקודות הדגימה הוא אספוננציאלי עולה, ואילו האורכים הולכים ויורדים לאפס). אפילו אם הייתה, זו חלוקה אינסופית אחת ולא גבול של חלוקות.
פותרים את זה בדיוק כפי שפתרנו אתמול בכיתהתומר - כמה שאלות , כמה שאלות ! :) לשאלה הראשונה על התכנסות עם ערך מוחלט גוררת התכנסות בלי , במידה שווה - ראה משפט שהוכחתם . נגדיר <math>S(x)=\sum \frac{1}{n}x^n</math> קל לראות שרדיוס ההתכנסות הוא אחד ולכן זה טור חזקות שמתכנס במ"ש בסביבה או - אפשר לנסות לבד פשוט ביישום של חצי. ברור שסכום הטור שמעניין אותנו הוא <math>S(\frac{1}{2})</math>. מכיוון שההתכנסות היא קריטריון קושי להתכנסות במ"ש מותר לגזור איבר איבר ולקבל <math>S'(x)=\sum x^{n-1} = \frac{1}{1-x}</math>! .
לכן <math>S(x)=\int_0^x Sאינטגרל ממינוס אינס'(t)dt=לאינס' מוגדר על ידי פיצול באיזו נקודת ביניים - אבל בכל אופן כאשר הגבולות שלהם - אחד עם פרמטר לאינסוף ושני עם פרמטר למינוס אינסוף - הם לא תלויים אחד בשני ! ובטח לא ממינוס סי לסי כאשר סי שואף לאינסוף . זהו אינטגרל שקיים בשימושים אבל יש לו שם -ln(1PRINCIPAL VALUE -x)</math> אבל זה לא האינטגרל בקורס שלנו !!! .
ולכן <math>S(\frac{1}{2})=לגבי שאלה אחרונה -ln(\frac{1}{2})=ln2</math>תן בבקשה את ניסוח השאלה המלא כדי שאוכל להתייחס .
==שאלה מסודרת ==
נתונה פונקציה fרציפה,מחזורית ואי-שלילית ב-R. היא אינה זהותית 0.הוכח: האינטגרל של f(x)/x מ-1 לאינסוף מתבדר. תוכל גם להגיד לי למה אי אפשר להוכיח שזה מתכנס עם שימוש במבחן ההשוואה השני? כי f לפי הנתונים חסומה,לא? ואז הגבול של (f(x)/x)/x^2 שווה לאפס ולפי המבחן f(x)/x מתכנס, כי האינטגרל של x^2 מתכנס...
===תשובה===(לא ארז/תומר) נראה לי שהטעות שלך היא כזו , כשאתה עשית את מבחן ההשוואה, עשית את זה עם הפונ' x^2 והאינטרל של זה מתבדר בקטע 1 עד כדי טעות..אינסוף (אתה מתבלבל עם 1/x^2).
הערה: זה תרגיל נחמד שנותן לנו נוסחא לחישוב lnx עם דיוק אספוננטציאלי עבור x>אבל אמרתי בקטע 1 (עבור x<1 ניקח את <math>-ln(\frac{1}{x})</math>)עד אינסוף. ..לא מאפס! הנוסחא <math>ln(::הוא העיר לך על הפונקציה ולא על הקטע. x)=-ln(\frac{1}{x})=-ln(1-\frac{x-1}{x})=S(\frac{x-1}{x})=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}(\frac{x-1}{x})^n</math>2 זו פונקציה ששואפת לאינסוף ובפרט אינה אינטגרבילית על הקטע האינסופי.
נחמד מאודובנוגע להוכחה , הבנתי! על הטריק עם ה-ln שכתבת בהערה אני לא חושב שהייתי מצליח לעלות, אבל אני אזכור אותו עכשיו, תודה רבה!!עשיתי את זה בדרך הבאה:
==שאלה==יהי <math>\sum _{n=נסמן את המחזור של F כ-T, אנחנו יודעים שהפונ' אינה זהותית אפס, לכן יש נקודה X0 בקטע [1}^\infty a_n</math> טור חיובי מתכנס, ו1+T] כך ש- <math>f_n (x)</math> סדרת פונקציות''f''(''x0'' שווה ל-M גדול ממש מאפס. מכיוון ש-F רציפה יש סביבה [a, b] של X0 כך שלכל n טבעי מתקיים: <math>|f_{n+1}שכל ס בקטע מקיים f(x)-f_n(x)|<a_n</math> . הוכח או הפרך : <math>f_n<M/math> מתכנסת במידה 2 (או אפילו גדול שווה, זה לא משנה) וכעת, מכיוון ש-F אישלילית , נגדיר פונקציה חדשה G להיות M/2x בכל קטע מהצורה [a+n*T,b+n*T] כאשר n טבעי ואפס בכל נקודה אחרת.
אני מתקשה להבין את הבעייה של ההתכנסות במ"ש במקרה הזה... אז אחרי שלא הצלחתי להפריךברור כי שתי הפונ' אי שליליות, ניסיתי להוכיח, וראיתי שזה קרוב יותר לקריטריון של קושי להתכנסות במ"שאינטגרביליות בכל קטע מהצורה [one, אז מספיק להראות שאם לכל k יש n טבעי שעבורו <mathR] כש- R>|f_{n+1}(x)F רציפה בכל קטע כזה, ול-f_n(xG יש מספר סופי של נקודות אי רציפות מהסוג המתאים)|<k</math>ולכן אם האינטגרל של G בטע 1 עד אינסוף מתבדר, אז כך גם נובע שלכל m>n מתקיים התנאי האינטגרל הלא אמיתי של F. ועכשיו, להראות שהאינטגרל של G בקטע 1 עד אינסוף מתבדר, זה לא כזה מסובך (אני עשיתי לפי קריטריון קושי, אבל אני בטוחשאפשר בעוד דרכים, ואין לי כח לכתוב את זה בדיוק מה שאני ) ובסה"כ קיבלנו שהאינטגרל של f(x)/x ==שאלה==למה במבחן ההשוואה הראשון רוני ציין שאם 0<g ו f>g והאינטגרל של f מתכנס(לא מצליח להראותאמיתי, בשנ הסוגים הוא אמר ככה... איך אני יכול להפריך ע"י מציאת סדרת פונקציות שהפרש ) אז האינטגרל של כל פונקציות קרובות שואף לאפסg מתכנס. הוא לא אמר שאם g מתבדר גם f מתבדר, אבל כשה-n גדל הפונקציות החדשות שנוצרות רחוקות יותר עד כדי חוסר התכנסות במידה שווה או אפילו חוסר התכנסותזה לא נכון??
===תשובה===
זה תרגיל מאינפי 1 בתכלסהמשפט השני הוא היקש לוגי מהראשון. לא יכול להיות שf יתכנס אבל g יתבדר, לכן אם g מתבדר אזי f מתבדר.<math>|f_m-f_n|=|f_m-f_{m-1}+f_{m=שאלה== בתרגיל 11 שאלה 3 -לעוד מישהו יצא רדיוס התכנסות אפס?:: [לא תומר או ארז] לי דווקא יצא 1}-==שאלה==אם אני צריכה להוכיח שפונק' כלשהי היא אינטגברילית רימן, והראיתי שהסכום רימן שלה לכל חלוקה מתאימה ולכל בחירה אלפא חסומה בין הסכום רימן של פונק' אינטגרבילית(!) אחרת פחות אפסילון, ואותו סכום ועוד אפסילון.האם זה מראה לי שהפונק' שלי אינטגרבילית גם? ויותר מזאת, שואפת לסכום I של אותה הפונקציה השניה?:הסכום רימן של הפונקציה האחרת עבור אותה חלוקה? ומה זה האפסילון הזה? במה הוא תלוי? ==שאלה==נתון כי f אינטגרבילית וחסומה ע"י M.צ"ל שf^2 אינטגרבילית באותו קטע..+f_{n+1}יש דרך להראות את זה לא ע"י הרכבת פונקציות (שבדרך זו הנתון ע"י החסימות מיותר)?מהי הדרך? :הנתון על חסימות מיותר איך שלא תסתכל על זה, שכן זו פונקציה אינטגרבילית (ולכן חסומה) אבל יש דרך להראות את זה חוץ מהרכבה של פונקציה רציפה ופונקציה אינטגרבילית? תומר -f_n|\leq a_m+מידת קבוצת נקודות אי הרציפות של הפונקציה החדשה היא אפס ? ...+a_n< (לא ארז/math>תומר) כן יש פיתרון אחר, והוא בעזרת תנאי רימן לאינטגרביליות.f^2 חסומה (ברור), ונותר להראות את התנאי השני.בקשר אליו, קל להראות ש w(f^2)<= w(f)*2*M (כאשר w הוא התנודה בקטע), ומכאן קל להמשיך.
אבל לפי תנאי קושי להתכנסות טורים הצד הימני קטן מאפסילון.:אההההמראים את זה כך, הבנתילכל x1, וזה x2 בקטע כלשהו מתקיים עבור n,m גדולים מספיק :f(כלומר שגדולים מx1)^2-n0 התחלתיf(x2)... יפה! הייתי צריך לנסות לקשר את זה לסכום הטור... תודה רבה :^2<=(f(x1) !!!-f(x2))*(f(x1)+f(x2)), ומכאן זה ברור
==שאלה==
אני מוכרח להביןהתבקשתי להביא דוגמה לסדרת פונק' fn רציפות ב[0, מה בעצם המשמעות 1] כך שfn(x)-->0 לכל X בתחום, אך האינטגרל של "התכנסות במידה fn מ0 עד 1 אינו שווה" של סדרת פונקציותל0. - האם הפונקציה x^n(x^n-1) qq מקיימת את הדרוש? ז"אהפונק' אכן רציפות ב[0, מה המשמעות הגרפית של זה1], בלי שימוש באפסילון וכ'ו? מה בעצם ה"מידה שווה" כאן?פונקצית הגבול היא 0, אבל האינטגרל יוצא, אם אני לא טועה, 1/n פחות 1/(2n+1)..
===תשובה===
המשמעות היא שבכל נקודה בפונקציה ההתכנסות היא באותה מהירות פחות או יותר. גרפית, אתה מעתיק את פונקצית הגבול אפסילון למעלה ואפסילון למטה, ואז החלק מn_0 מסויים בטוח שהאינטגרל שונה מאפס ולא '''שואף''' לאפס? כי כמעט כל הפונקציות בסדרה מצויירות בגרף בין שתי ההזזות סדרה שתבחר תעמוד בתנאי הראשון (למשל הסדרה של פונקצית הגבולהפונקציות הקבועות <math>\frac{1}{n}</math>).
במילים אחרותאם אתה רוצה סדרה שהאינטגרל עליה אינו שואף לאפס, הפונקציות נמצאות במרחק 'קבוע' מפונקצית הגבול ללא תלות באיקס. למה זה עוזר? למשל רציפות. תהי סדרת קח סדרה של פונקציות רציפות. ניקח פונקציה f_n מהסדרה עבור הבאה: הגרף של הפונקציה ה-n מספיק גדול, ונקח סביבה קטנה של x_0 כלשהוהוא משולש עם בסיס <math>\frac{1}{n}</math> בגובה 2n וכל שאר הפונקציה היא אפס. מתוך רציפות, f_n שולחת את סביבה של x_0 קרוב מאד לfהסדרה הזו שואפת לאפס (x_0כמובן שלא במ"ש). אבל, f_n שולחת והאינטגרל על כל נקודה בסביבה לגובה קרוב מאד לפונקצית הגבול באותה נקודה כאשר המרחק לא תלוי בבחירת הנקודה. לכן גם כל הסביבה של פונקצית הגבול קרובה מאד לf(x_0( ויוצא שגם פונקצית הגבול רציפהפונקציה בסדרה הוא תמיד 1.
==שאלותשאלה==קודם נראית נחמדה. f:[0,1] ---> R היא פונקציה רציפה אי שלילית המקיימת f(x)<=sinx לכל x בתחום. צריך למצוא את כלפתרונות המשוואה: cosx+quad(f, בקשר לאינטגרביליות0,x)-1=0. לפי הגדרת רימן(קוסינוסX ועוד האינטגרל של f מ0 עד x פחות 1 = 0.)מעבר לעובדה שx=0 הוא פתרון אחד של המשוואה, מותר לדלתא להיות תלויה במסלא הצלחתי להוכיח שלא קיימים עוד פתרונות/למצוא פתרון נוסף. ניסיתי להניח שקיים ולהשתמש במשפט רול, ניסיתי להשתמש בזה שאי שיוויון ברמת הפונק' הקטעים - n==> אי שיוויון ברמת האינטגרל אבל בסופו של דבר לא הגעתי למשהו שמוכיח. יש רעיון למישהו?*עוד ::מישהו?? :::אם f=sinx אזי זו הפונקציה הקבועה אפס. אם f קטן ממש מהסינוס אזי הנגזרת בעלת סימן קבוע (שלילי) והפתרון היחיד הוא אפס ==שאלה==מישהו מוכן להסביר לי באילו מקרים כדאי לעשות גזירה איבר איבר, ומתי לעשות אינטגרציה איבר איבר? תודה. באחד :כדאי? תמיד. מותר? כאשר יש התכנסות במ"ש לפי המשפטים שלמדתם בכיתה. ==שאלות מעניינות==* הוכח או הפרך:תהי <math>f_n(x)</math> סדרה של פונקציות גזירות ברציפות המתכנסות במ"ש לפוקציה <math>f</math>, רוני כתב משהו כמו אשר גם גזירה ברציפות,ב-<math>[a,b]</math>.אזי ש- <math>f_n' \rightarrow f'</math> במ"g אינטגרבילית ולכן לכל אפסילוןש על הקטע <math>[a,b]</math>.* בנוגע למשפט דיני לטורים, נניח שיש לי טור <math>u(x)=\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)</math>, כך ש-<math>a_n(x)>0 קיימת דלתא</math> והטור מתכנס ב-I. מתי אני יודע אם הפונקציה הגבולית רציפה, כך שלכל חלוקה T המקיימת שפרמטר החלוקה שלה קטן מדלתאשאוכל להישתמש בדיני ולקבוע שההתכנסות במ"ש.נשמח לתשובה ממישהו, יתקייםדי דחוף! תודה!!! : s(t) עליון פחות s תומר - אם ניקח את הסידרה cosnx ונחלק הכל ב n . האם קיבלת סידרה שמתכנסת במ"ש ? ומה עם נגזרותיה ? ... לגבי דיני - פשוט לבדוק רציפות לפי הגדרה - גם לא אמרת שהפונקציות בסידרה רציפות - שים לב לתנאי המשפט ! . ==שאלה== שאלה שנתקעתי עליה ואשמח לכיוון: int(tarctan(x) תחתון קטן מאפסילון /[(סליחה x*(ln(x+1))^2)], x = 0 .. infinity) ניסיתי דיריכלה, חשבתי על הכתיבה המסורבלתהשוואה, ופשוט לא מצאתי.אשמח לעזרה ::מצטרף לשאלה!! איך פותרים את הדבר הזה? (לא ארז/תומר) תנסה השוואה עם אחד חלקי [x*ln(x)^2].שים לב ש arctanx שואף באינסוף לחצי פאי, ושעם קצת אלגברה אפשר להוכיח שמנת ה-ln-ים שואפת לאחד. כדי להראות התכנסות של האינטגרל החדש, אפשר להשתמש בהצבה t=ln(x), או לחילופין להשתמש במבחן האינטגרל+מבחן העיבוי לטורים תודה רבה :) זה לא אמור נכון, כי יש בעיתיות גם בנקודה x=1 וגם באינסוף. ההשואה שנתת עוזרת רק לחלק של האינסוף : אבל אני לא חושב שאמורה להיותבעיה, שלכל אפסילון קיימת חלוקה 'אחת' T שמקיימת כי זאת בעיה בנקודה, וזה לא אינטגרל לא אמיתי מסוג שני. ::אתה מפצל את זה? לשני אינטגרלים: האינטגרל מ-1 עד אינסוף מתכנס (כי מורידים את ה-ln בעזרת אי שוויון והאינטרגל (arctanx/x^2) מתכנס (השוואה עם 1/x^2)...::עכשיו בקשר לאינטגרל מ-0 עד 1 אתה יודע ש- ln(1+x)<x לכל x ב-[0,1] ולכן האינטרגל שלנו גדול מהאינטגרל של arctan(x)/x^4 וזה מתבדר ע"פ השוואה עם 1/x^4 שמתבדר בקטע [0,1], ולכן זה גדול מאינטגרל מתבדר וזה סה"כ מתבדר. (אשמח לקבל אישור מאחד המתרגלים =) ). :(לא עירבוב ארז/תומר) עבור האינטגרל מ-0 עד 1, תנסה מבחן השוואה גבולי עם אחד חלקי x^2 . שים לב ש arctanx/x שואף לאחד וש ln(1+x)/x גם שואף לאחד כאשר x שואף לאפס. ובקשר לזה שכתב מעלי- ה-x במכנה הוא לא בריבוע... :: האמת שהאינטגרל המקורי היה בין 1 לאין סוף וזאת טעות שלי שכתבתי אפס, אבל זה באמת יהיה טוב לדעת מה קורה גם אם זה היה אפס.:: תודה לשניכם :) ==שאלות.==*arctanx חיובי בקטע 1,infinity לא? היה תרגיל באחד המבחנים ששמו ערך מוחלט מסביב לarctan, באנטגרל שהתחום שלו הוא תהחום המצוין..*במבחן ההשוואה הגבולי. מותר לי להשוות פונק' חיובית עם פונק' שלילית, אם הגבול יוצא חיובי? לדוגמה, הפונקציה sinx חלקי x*lnx. בתחום [0.5,1], נניח ואני רוצה להשוות עם sinx חלקי x-1..*כאשר אני מפצלת אינטגרלים ל2 תחומים שונים [עם דגש על השונים!]. אם אחד מהם מתבדר, כל האינטגרל המקורי מתבדר, נכון? בלי קשר לחיוביות/שליליות של אחת הפונקציות.. *בהמשך לשאלה שלמעלה - אם יש לי שאלה של 'לאילו ערכי אלפא', כאשר יש לי חיבור של 2 הגדרותאינטגרלים - אחד ל"א מסוג ראשון והשני ל"א מסוג שני.. אז אם למשל עבור alpha>1 האינטגרל מסוג 1 מתבדר, אין מה לבדוק את האינטגרל השני גם? וזהו, תודה רבה (:!
===תשובה===
מה זאת אומרת מותר לדלתא? יש פרמטר חלוקה - אורך הקטע הגדול ביותר*כן הוא חיובי. הסכומים מתכנסים *אם על כל החלוקות החל מפרמטר חלוקה מספיק קטן (דלתא) הסכום קרוב לגבול עד כדי אפסילון. אין פה שום קשר למספר הקטעים בחלוקהבתחום הפונקציה אי חיובית אז אם תכפלי אותה במינוס תקבל פונקציה אי שלילית. דלתא תלוי בלבד באפסילון, בפונקציה ובקטעכמובן שמכפלה במינוס לא משנה התכנסות אינטגרל*נכון.*נכון
קודם כל תבדיל בין הגדרה לבין משפט::כן, אבל כשהפונק' הייתה שלילית, הגבול יצא לי חיובי. הגדרה להתכנסות יש רק אם אני כופלת במינוס 1, הגבול יוצא שלילי..:::לא יכול להיות שהגבול של המנה של שתי פונקציות אי שליליות יהיה שלילי::::::: כעיקרון אני מדברת על הפונקציה sinx חלקי x*lnx. בתחום [0.5,1] אני משווה אותה עם sinx חלקי (1 פחות X). (יום יבוא ואני אלמד להשתמש בכתיב המתמטי של ויקיפדיה... מצטערת על הסרבול). בכל מקרה, שתי הפונקציות חיוביות בתחום הזה. אבל הגבול של המנה, כאשר X שואף ל1 מצד שמאל, הוא מינוס אחת. כל שאר התנאים להתכנסות שקולים.
בוודאי שאין חלוקה יחידה כזו, הרי כל עידון של החלוקה יקיים את התנאי גם כן. יכול להיות שבהוכחה שלו הוא יכל לרשום פחות דברים, אבל אין ספק שזה מוכיח:כי ln שלילית בקטע הזה.::::זה נכון שעידון של החלוקה יקיים אוקי, אז בעצם מכפילים את התנאיהפונק' המקורית ב1- ואז מקבלים גבול חיובי, אבל הוא טען שכל T שיקיים שפרמטר החלוקה שלו יהיה קטן מדלתא, יקיים את החלוקה. למה זה נכוןואומרים שבגלל שהפונק' עם המינוס מתכנסת/מתבדרת ==> כך גם הפונק' המקורית? אני מסכים שלעידון זה יהיה נכון, אבל לא בהכרח לכל T כנ"ל.
:::::אני מניח שאחר כך הוא הוכיח שבמקרה המסויים זה מתקיים. כמו שאמרתי, יכול להיות שהוא הוכיח יותר ממה שצריך, אבל אם הוא הוכיח, מה רע? שנית, עבור פרמטר חלוקה מספיק קטן המרחק בין הסכום העליון לגבול והמרחק בין הסכום התחתון לגבול הם אפסילון חלקי שתים. לכן המרחק ביניהם הוא אפסילון.::::::בקשר למשפט הראשון - הוא לא ניסה להוכיח כלום בהתחלה. הוא פשוט הסיק מהנתון, שאם G אינטגרלית אז בוודאי מתקיים מה שכתבתי למעלה..::::::: אוקיי. כמו שהסברתי, זה נכון.
==שאלה==
בתרגיל 3 פה: httpהתכנסות במ"ש של ערך מוחלט של טור הפונק' גוררת התכנסות במ"ש של טור הפונק'?://wwwכבר נשאל בעמוד זה.mathכן מכיוון שהשארית של טור קטנה או שווה לשארית של הטור בהחלט ==שאלה==*הסתבכתי,אפשר עזרה?*נניח שהפונקציה f מוגדרת ורציפה בקטע סגור x=a.tau.acb הוכח כי הסכום מאחד עד אינסוף של f^n מתכנס במ"ש בקטע זה אם ורק אם הסכום הנל(f^n) מתכנס נקודתית בקטע זה.il/~boazslom/hedva2/Exercises/ex-02 :השאלה לא מנוסחת טוב.pdfמה זה f ומה הוא קשור? מה ההבדל בין סכום מאחד עד אינסוף לבין טור?בפתרונות הם טוענים שמכיוון שf גזירה, ניתן להציב תיקנתי... מה הבעייה בהגדרה של f פשוט פונקציה f(x=) ::שאלתי מה הקשר של f. גם g היא פונקציה אבל היא קשורה לשאלה בדיוק כמו f... האם היא פונקצית הגבול של הטור? האם הפונקציות בסדרה רציפות? : (tלא ארז וגם לא תומר)בעצם הכיוון המעניין היחיד הוא מהתכנסות נקודתית לבמ"ש. אם f^n מתכנס נקודתית אפשר לראות כי לכל x נקבל f(x<1 (בערך מוחלט, הלוואי שזה לא ממש הבנתי את הקשרהיה קופץ כל הזמן). f רציפה לכן הערכים שהיא מקבלת מהווים קטע סגורc, מישהו יכול להסביר?d בתוך [-1,1), קטע בו הטור x^n מתכנס במ"ש. לכן כל סדרת נקודות אינסופית שתבחר בa,b עבור הטור לפי f שקולה בעצם לבחירת נקודות בc,d עבור הטור של x המתכנס שם במ"ש (ולפי מבחן הLIMSUP בעצם זה כל מה שצריך).
אבל למה f(x) בערך מוחלט קטן מ-1?
:הסברתי במפורט בתשובה. לא בהכרח f<1 פשוט אם הוא מתכנס הוא קטן מאחד ולכן מתכנס במ"ש. אם הוא מתכנס במ"ש ברור שהוא מתכנס. זה כל מה שצריך להוכיח.
===תשובה===
strictly monotonic כלומר מונוטונית '''ממש'''אה. זה התנאי לכך שתהיה לה הופכית ואז תוכל לבצע את ההצבה. כמובן שגם העובדה .. התבלבלתי בין f_n לf^n.... מצטער. הכותב מעליי צודק שהטור מתכנס כאשר <math>|f(x)|<1</math>, והוא מתכנס במ"ש כאשר <math>|f(x)|<r<1</math> אבל בגלל שהפונקציה גזירה נחוצה רציפה על קטע סגור ונניח מתכנסת בו אזי היא מקבלת מינימום ומקסימום ושניהם חייבים להיות קטנים ממש מאחד (אחרת היא לא הייתה מתכנסת בהם) ולכן התנאי מתקיים. * על מנת שההופכית תהיה גזירה, חוץ אולי מנקודה אחתלהוכיח שהוא מתכנס במ"ש בתנאי למעלה <math>|f(x)|<r<1</math> כל שצריך הוא מבחן הM<math>|f(x)^n|<r^n</math>.:אופס, התכוונתי לכתוב מונוטונית ממש מלכתחילה ובטעות כתבתי גזירה* על מנת להוכיח שהוא מתכנס עבור התנאי <math>|f(x)|<1</math> כל מה שצריך הוא להסתכל נקודתית על הטור <math>\sum |f^n(x)|=\sum a^n</math> כאשר <math>|f(x)|=a<1</math> וזה כמובן מתכנס. * טריוויאלי שהוא יתבדר בכל מקרה תודה רבה (מקום אחר. * על מנת להוכיח שהוא לא מתכנס במ"ש אם לפונקציה לא היה מקסימום אבל הsup שלה היה אחד:ניקח סדרה <math>x_n</math> כך ש <math>f(x_n) \rightarrow 1</math> ולכן <math>\lim_{k\rightarrow \infty} sup|S(x)-S_k(x)|>\lim_{k\rightarrow \infty} |S(x_{n_k})-S_n(x_{n_k)}| = \infty</math> (נבחר את n_k על מנת שההפרשים ישאפו לאינסוף. אנחנו יודעים שזה מותר כי <math>f(x_n)\rightarrow 1</math>)
==שאלה==
האם גזירה ברציפות משמעותה:אם יש לי פונקציה ואני מפתח לה טור חזקות נניח עם רדיוס 1)יש נגזרת2)הנגזרת רציפה בלבד, איך אני מוודא לאחר הפיתוח שהפונקציה שווה לטור בקטע?תודהוגם פה שאלה 4 כוון כללי אם אפשר...http://moodle.technion.ac.il/file.php/1098/Exams/2004-2005-spring-test-a.pdf
תומר ===תשובה===הוא שווה לפונקציה רק ברדיוס ההתכנסות. מה הכוונה איך אתה מוודה? אם פתחת נכון זה חייב להיות שווה - כמו שאמרת - יש נגזרת והנגזרת הזו היא הצעדים שלמדנו לפיתוח פונקציה רציפה .לטור חזקות הם צעדים בהם השיוון בסוף חייב להתקיים (למשל פונקציה קדומה ששווה בנקודה אחת לטור החזקות [עדיף לבדוק את הנקודה אפס כמובן])
לגבי השאלה השנייה כבר שאלו אותה, תסתכל בארכיון 17
ארז ותומר- אתם יכולים להגיד כבר מעכשיו אם יותר השימוש במחשבונים במבחן? בבקשה תרשואבל אתה יודע שאם קיים טור חזקות המקדמים הם אלו של טיילור, למשל הפונקציה f(0)=0 f(x)=exp(- 1/x^2) sהיא שווה לטור החזקות רק באפס למרות שהטור מתכנס בכל הישר (הוא תמיד אפס כי כל הנגזרות באפס הן אפס)מה אכפת לכם? שאני שואל זה איך הייתי יודע להבחין שהם שווים רק באפס למרות שהטור מתכנס תמיד, רק שזה לא יכול להזיק לכם, ואותנו זה מרגיע..... תודה.תמיד לערך הפונקציה?
:זה מבחן לא בוחן. החלטה של המרצים. מוזמנים לשאול אותם...
תומר - יש סיבה לא להרשות שימוש במחשבון :אל תבלבל.הקטע עם הבדיקה בנקודה זה רק כאשר הוכחת שהפונקציה שלך היא קדומה של טור חזקות כלשהוא ועשית אינטגרציה איבר איבר.באופן כללי למדתם משפט אחד שמאפשר לכם להניח שטור החזקות עם מקדמי טיילור הוא אכן הפונקציה וזה כאשר הנגזרות חסומות (ראה את ההשלמה). יש שאלות שנראה ששימוש במחשבון יכול לעזור לפתור אותן במקרים אחרים ( כמו במועד ב בבוחן שהיה...זה שתארת) אסור סתם להניח שיהיה שיוויון. כן, אבל פיתרון מבוסס על חישוב במחשבון בתכלס אם קיים טור חזקות המקדמים שווים למקדמי טיילורמה שאתה אומר זה להתייחס "כאילו" אנחנו לא התקבל ! הנימוקים צריכים יודעים את זה ולעבוד בשיטות אחרות כן? (במקרה והנגזרות לא בהכרח חסומות) :כן. יכול להיות מבוססי הוכחה מתמטית ולא חישוב נקודתי שתשתמש בטריק כי אתה לא יודע להוכיח שהפונקציה שווה לטור חזקות, אבל גם יכול להיות שזה פשוט יהיה קל יותר מאשר לחשב את הנגזרות מכל סדר... סבבה תודה רבה ==שאלה== המבחן ב15:30 נכון? כמה זמן הוא יארך??? כן, שעתיים ==שאלה==
ארז למה הסיגמה של 2*(n+1)*3^n חלקי שורש שלישי של n! מתכנס?:אתה מתכוון ל<math>\sum \frac{2(n+1)3^n}{\sqrt[3]{n!}}</math>? תקח את השורש הn- מצטרף. מחשבון, מייפל, מטלב, וספרי לימוד הם כלים מאד חשובים למתמטיקאים. בשעת מבחן נבדקת היכולת המתמטית ללא חומרי עזר.י ותקבל 3 חלקי אינסוף כלומר שואף לאפס (הרי <math>\sqrt[n]{n!}\rightarrow \infty</math>)
==בקשר למבחן שהעליתםהתכנסות אינטגרלים==קודם כל, תודה רבה :האם האינטגרלים הבאים מתכנסים???* <math>\int_{0}^{1} \frac{\theta}{\ln(\theta) אבל לא מצאתי אלא שאלה אחת }d\theta</math>.* <math>\int_0^1 \frac{dx}{\ln(אם בכללx) על כל החצי הראשון של הקורס, שחשוב לא פחות מהחצי השני }</math>* <math>\int_{r=0}^{r=1} \frac{\sin(אינטגרלים לא אמיתיים, טורי חזקות וכו'r^2)}{r}dr</math>. יש מבחנים שכוללים גם את החומר הזה? אם לא - האם הבוחן הוא אינדיקטור טוב להבנת החומר? כלומראפשר לומר באינטגרל השלישי ש-<math>\int_{0}^{1} \frac{\sin(r^2)}{r}dr \leq \int_{0}^{1} \frac{r^2}{r}dr = \int_0^1 rdr = 1/2</math>, השאלות שם סהואז עפ"כ מסכמות את החומר ברמה די גבוההי השוואה?? ובנוסף, לגבי המועד ב' שהעליתם, שאלה אחת. הוכחנו לפי משפט לבג בדיוק את אותו המשפט, רק שלא נדרש שהנגזרת תהיה רציפה. למה דורשים את זה כאן? בכלל בפתרונות, הם אומרים שg*f (הרכבה) היא הרכבה של פונק' רציפות, אבל לא בטוח בכלל שf רציפה..
===תשובה===
איך היית מגדיר את שאלות 5 ו6 במועד א' ושאלה 5 במועד ב'?לא לשכוח לבדוק אם האינטגרל הוא אמיתי בכלל או לא. למשל השלישי הוא פשוט בעל אי רציפות סליקה באפס ולכן אינטגרבילי (גם מה שרשמת נכון אבל בלי קשר)
אני רואה שהם למדו גם חומר שאנחנו לא למדנו, מן הסתם המבחן יהיה על מה שכן למדנו. אי אפשר להסיק ממבחן של שנה מסוימת בדיוק מה יהיה או לא יהיה במבחן. על מנת שמבחנים לא ימשכו שעות תמיד משמיטים חומר מסוים, והחומר הזה יכול להתחלף משנה לשנה וממועד למועדבראשון ובשני הצד הבעייתי הינו 1.ניתן לבצע מבחן ההשוואה עם <math>\frac{1}{1-x}</math>
למעשה, אי אפשר בכלל לדעת מראש מה יהיה במבחן :)==שאלה==
נתונה פונקציה f(x) בקטע [a,b] ונתון שהיא חסומה על ידי M.
לגבי השאלה השנייה, יכול להיות שהם לא לימדו לבג בשנה שעברה, ולכן נתנו שאלה חלשה יותר אבל פתירהצריך להוכיח שאם f אינטגרבילית זה גורר ש-f^2 אינטגרבילית.
שניתחסימות זה לא בעיה, אתה צודק f אינה רציפה, אחרת זו שאלה טריוויאלית לחלוטין (כל פונקציה רציפה על קטע סגור אינטגרבילית שם):תראו איזה מהירות, שלחתי לרוני את הבעייה שרשמת, והוא כבר החזיר לי גרסא מתוקנת. העלאתי אותה...::תודה רבה :). בכל מקרה, אני רוצה לומר תודה על כל הפורום הזה וההשקעה האינסופית..אבל הסתבכתי עם התנאי השני
==תרגיל==
* נגדיר <math>f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}</math>. הוכיחו ש<math>f'(x)=f(x)</math>
(לא ארז/תומר) קודם כל- זהו טור חזקות שמתכנס במ"ש לכל x ממשי. לכן ניתן לגזור איבר איבר. ואז <math>אני יכול להשתמש במשפט שאם הפונקציות f'(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n*x^{n-1}}{n!}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n*x^{n-1}}{n!}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^{i}}{i!},g אינטגרביליות בקטע כלשהו אז גם f כפול g אנטגרבילית שם, כאשר במקרה הזה g=f(x)</math>.השוויון השני נכון כי עבור n=0 נקבל אפס. בשוויון הלפני אחרון החלפתי משתנה: <math>i:=n-1</math>?
:(לא ארז/תומר) ענו כבר על השאלה הזאת... לדעתי אי אפשר להשתמש במשפט, למרות שהוא נכון, כי אז התרגיל טריוויאלי.
:הנה ההוכחה- יהי אפסילון גדול מאפס. בכל קטע g(x1)-g(x2)=(f(x1)+f(x2))*(f(x1)-f(x2)<2M*W כאשר W היא התנודה של f בקטע. (g מוגדרת כ f בריבוע). מאינטגרביליות f קיימות חלוקה עבורה סכום התנודות קטן מאפסילון חלקי 2M. ועבור אותה חלוקה בפונקציה g סכום התנודות יהיה קטן מאפסילון.
:תומר - ומה עם מידת נקודות אי רציפות ? אם אתם יודעים שהפונקציה אינטגרבילית זה שאתה לא אני זה לא מפתיע, כי אני רשמתי את השאלה :) רק דילגת על חלק עיקרי בהוכחה, מדוע הטור מתכנס במ"ש לכל x ממשיאומר שמידת קבוצת נקודות האי רציפות שלה היא אפס . מה עם נקודות האי רציפות של הפונקציה בריבוע ? האם היא מוכלת בזו של הפונקציה המקורית ? ואם כן מה זה נכון בכללאומר על מידתה ?...
==שאלה==צריך להוכיח שהטור הבא מתכנס במ"ש. f(מישהו אחרx) זה נכון כי לפי המבחן של קושי עם הגבול העליון, הגבול של שורש nי של n! הוא אינסוף, ולכן הגבול של 1 חלקי זה הוא = sum from 0, ולכן הרדיוס הוא אינסוף. ואז אפשר להמשיך כמו שהבחור הקודם הראה, או להראות שan שווה בדיוק לפיתוח לטור חזקות של to infinity of (e^x שמקימת שהנגזרת שווה לפונקציה-nx)* cos(nx) s
::::נתבונן בפונקציה <math>gבכל קטע (x)=e^x</math> בקטע הסגור <math>[-ra,rinfinity]</mathכאשר a>.לכל x בקטע ולכל n טבעי מתקיים0
<math>|fניסיתי עם מבחן ה- m ולא הצלחתי.מישהו?אפשר להשוות עם e^{(-n)}(x)|=|e^x|<e^r</math>במבחן הM לא?
לכן בכל קטע סגור כזה ניתן לפתח את הפונקציה לטור חזקות, שזה בדיוק הטור בשאלה.הטור מתכנס בכל קטע סגור כזה, לכן הוא מתכנס :(נקודתיתלא ארז/תומר) על כל הישר הממשי, כלומר יש לו רדיוס התכנסות אינסוףאני חושב שצריך להשוות עם e^-an .לכן הוא מתכנס במ"ש בכל קטע סגור על הישר.לכן ניתן לגזור איבר איבר כמו למעלה.
עם e^-n וזה עובד. עכשיו בסעיף הבא הם רוצים להוכיח/להפריך שf(x) שזה הסכום הוא פונקציה רציפה ב(o, infinity). הבעיה זה שזה קטע פתוח ולא סופי.. עדין אפשר להשתמש במשפט על טור של פונקציות רציפות המתכנס במ"ש?
* אי אפשר להשתמש בפיתוח של e^x ובעובדה שהוא הנגזרת של עצמו:תמיד משתמשים באותו טריק (לא התעמקתי בשאלה, הרי זה מה שאתם מתבקשים להוכיח.*רדיוס מקווה שרלוונטי) אם ההתכנסות הוא אכן אינסוף ולכן טור החזקות מתכנס היא במ"ש על כל תת קטע סופי, ולכן מותר לגזור איבר איבר על כל קטע סופי. זו אכן התשובה. (זה לא אומר שהטור מתכנס סגור וסופי אז יוצא שפונקצית הגבול רציפה בכל נקודה בלי שתהיה התכנסות במ"ש על כל הממשיים)הקטע האינסופי/פתוח כולו.
למה אי אפשר? אם אני מראה שאת e^x אפשר לפתח לטור חזקות והרדיוס התכנסות שלו זה אינסוף== תרגיל 11 ==מישהו יכול לכתוב שוב את הלינקים לתרגילים שבתרגיל 11, ומראה שהטור חזקות זה בדיוק הטור הזה. זה הלינקים לא אומר שהנגזרת שווה לפונקציה כמו e^x?עובדים לי.
:הנחת שהנגזרת של e^x הינה e^x כאשר הראת שהטור הזה הוא הפיתוח של e^x. אבל זה מה שצריך להוכיחארכיון 16...
::איך מראים שרדיוס ההתכנסות הוא אינסוף?<math>\overline{\lim_{n\rightarrow \infty}} \frac{1}{\frac{1}{\sqrt[n]{n!}}}=\infty</math> מכיוון ש<math>\lim \sqrt[n]{n!}=\infty<שאלה==מתי יפורסמו ציוני התרגיל והבוחן (אני יודע שיש לנו אותם, הכוונה עם פקטור, וציוני תרגיל 8/math>10 אם אני לא טועה) והאחוזים מהציון הסופי?
:::יש לי סתם שאלה, בלי קשר לתרגיל הזה - אם, באותו אופן, היה יוצא שהרדיוס הוא 0, האם זה מספיק, וכל שנותר הוא לבדוק התכנסות בנק' x=0?*מספיק בשביל מה? זה אומר שהטור לא מתכנס בשום מקום פרט לנקודה. לכן הוא לא רציף ולא גזיר ולא מעניין. אין מה לבדוק התכנסות בנקודה אפס, זה תמיד מתכנס שם לקבוע a_0מצטרף!!
::::אבל איך חישבת את הגבול הזהתומר - יפורסם בשעות הקרובות . אני עצמי עוד בודק תרגילים שהוגשו באיחור(!) . סבלנות . יש חדש?
*זה תרגיל מאינפי אחד. אתה מקטין את חצי מהאיברים של n! לאחד==שאלה==אוקי, ואת החצי השני אתה מקטין לn/2 וסהנניח ויש לי סדרת פונקציות, ואני צריכה לבדוק לאילו ערכי אלפא הסדרה מתכנסת במ"כ אתה מקבל <math>n!>ש ב0,אינסוף (\frac{n}{2}חצי סגור)^{\frac{n}{2}}</math> ולכן <math>\sqrtוב[n0,1]{n!}. קודם כל בדקתי את 0 אינסוף, והגעתי לזה שעבור אלפא קטן מ2 ==>\sqrtהסדרה מתכנסת במש.התחום השני, [n0,1]{(\frac{n}{2})^{\frac{n}{2}}}=\sqrt{\frac{n}{2}}\rightarrow \infty</math>, מוכל בתחום הראשון - ונניח שהגעתי לזה שהסדרה מתכנסת במש בתחום זה עבור אלפא גדול מ2-. מכיוון שהתחום מוכל, זה אומר לי גם שבפרט הסדרה מתכנסת במש גם עבור אלפא קטן מ2, וביחד - עם שתי המסקנות האלה - מתכנס לכל אלפא?
דבר אחר, ניתן להראות שלכל x0 ממשי טור המספרים שמתקבל ממנו מתכנס, ולכן הטור מתכנס נקודתית בכל הישר, ובפרט במ"ש בכל קטע סגור בו.
*איך התכנסות בכל נקודה גוררת התכנסות ===תשובה===לכאורה כן, אני לא מבין מה השאלה. הרי ברור שאם זה מתכנס במ"ש? לכל אלפא גדול ממינוס 2 או קטן משתים בפרט זה מאד לא נכוןמתכנס לכל אלפא. ההתנכסות על כל קטע סופי השאלה האמיתי היא במ"ש מכיוון שזה טור חזקות עם רדיוס אינסוףאם החישובים שלך נכונים. טור חזקות :השאלה היא כזו - הוכחתי שעבור אלפא קטן מ2 זה מתכנס במ"ש על כל קטע סופי שקטן ממש מהרדיוס שלו.-אבל אם הטור מתכנס בכל נקודהב0, זה בדיוק כמו לאמר שהרדיוס שלו הוא אינסוףinfinity...::כן. אם זו הכוונה שלך אז אתה צודק. (חשוב לפרט רק רציתי לוודא שזה טור חזקות, ולכן הרדיוס הוא אינסוף ולכן הוא אומר שעבור אלפא קטן מ2 זה מתכנס במ"ש על כל קטע סופי)גם ב[0,1].זה נכון?
:::הדגש הוא על הקטע הסגור? אם יש התכנסות באפס אז כן, אם לא אז לא:::כן, מדובר על קטעים סגורים. תודה:אפשר לומר שהגבול שצריך לחשב הוא הממוצע הגיאומטרי של הסדרה <math>a(n):=n</math>, ולכן שאיפת הסדרה לאינסוף גוררת את שאיפת הממוצע לאינסוף לפי משפט, לא?.*אני לא זוכר משפט כזה, יכול להיות שאתה צודק..
==שאלה אני טועה או שבהתחלת ההרצאה האחרונה רוני אמר שבטווח שבין רדיוס ההתכנסות לבין המינוס שלו(לא כולל הוא עצמו)- טורי הפונקציה מתכנסת, ואח"כ הוא אמר שהיא גם מתכנסת במ"ש בכל קטע סגור שמוכל בקטע הזה.....?:זה נכון לגבי טור חזקות==, אני לא בטוח איך זה קשור פה. ::יש איזו נקודה שלא לגמרי נגענו בה בתרגול ההשלמה - טורי עוד מקום עם רדיוס התכנסות חוץ מטור חזקות??? ושאלתי כי זה נראה לי מוזר להוכיח משהו ואז להוכיח משהו ותר חזק במקום להוכיח ביחד. למה פה? איפה עוד אני יכול לכתוב??? :::לא פה בפורום, כאשר החזקה היא, למשל, <math>n^2</math> , או <math>2^n-1</math>התכוונתי פה בשאלה הזו. מתי כדאי להפריד למקרים .. רדיוס התכנסות זה מושג של מקדמים (ואז הסופרימום הוא מתי שיש מקדם)טור חזקות, ומתי כדאי להציב, למשל, <math>tוכאן מדובר על סדרת פונקציות. =x^{n^2}</math> ? (בתרגיל יש רק דוגמא לזוגיים ואי=שאלה==מצטער על הבורות רגע לפני המבחן-זוגיים)מה זה גזירה איבר-איבר? ואינטגרציה איבר איבר? בבקשה שלא יהיה מסובך....
===תשובה===
קשה קצת לענות בלי לראות דוגמאנניח ויש לך טור מתכנס <math>g=\sum f_n</math>. השאלה היא מהי הנגזרת של g. אם מותר לגזור איבר-איבר אזי <math>g' = \sum f_n'</math>. שים לב שזה לא תמיד נכון, צריך להשתמש בשיטה שבעזרתה תצליח לפתור את התרגילרק כאשר המשפטים מאפשרים לגזור איבר-איבר.
תומר - עשינו דוגמאות בהן למשל החזקות היו רק האי זוגיים למשל , והצגנו דרך להתייחסות למקרים כאלו - מופיע בסיכום תירגול ההשלמה הסרוק . בנוסף נשים לכם דוגמאות נוספות .אינטגרציה זה דומה <math>\int g = \sum \int f_n</math>
==שאלה==
אם טור חזקות מתכנס גם בR וגם בR-, זה אומר שהוא מתכנס במ"ש ב[0,R] וב[-R,0] ואז זה אומר שהוא מתכנס במ"ש ב[-R,R]?
==תרגיל 8 שאלה 2=תשובה===בתרגיל 8 שאלה 2: לא היה אפשרי לפתור כך?: f רציפה ולכן יש לה קדומה,נסמנה gכן. האינטגרל של f מa עד b באופן כללי אם טור מתכנס במ"ש בשני קטעים סגורים צמודים הוא בעצם הערך של g בנקודה b פחות ערכה בנקודה aמתכנס במ"ש באיחוד הקטעים. הפונקציה g כי מהירות ההתכנסות עבור אפסילון היא גזירה, ולכן מתקיים עבודה תנאי לגראנז',(f היא הנגזרת המקסימום בין שני הn_0 של g): ולכן קיימת נקודה c עבורה ערך הפונקציה f בנקודה שווה לערך של g בנקודה b פחות ערכה בנקודה a חלקי b-a. מ.ש.לשני הקטעים.
== :)==שיהיה בהצלחה לכולם! לא יותר קל להוכיח ככה?פחות מ100 :)
תומר - מצטרף ! שיהיה בהצלחה לכולכם - במבחן הזה ובכל אלו אחריו :זו הוכחה תקינה):תודה, ותודה לכם על סמסטר נפלא (עד כמה שהיה אפשר.אינפי, אתם יודעים). תודה על התרגולים המצויינים, אפילו שהיו יותר מידי אנשים בכיתה... ותודה על ההשקעה בנו ועל כל העזרה (האתר, וכל דבר אחר). אולי תהיו מתרגלים שלנו באינפי 3?:ושיהיה בהצלחה לכולם!
==שאלה- לגבי נושאי הקורס שהעלתםלארז ולתומר==האם למדנו בקורס רגע אחרי המבחן, וכמה ימים לפני שהאתר יתחיל לשמש, כנראה, תיכוניסטים תמימים שצעירים מאתנו בשנה, ואתם אורזים את פונקציה בעלת השתנות חסומההכל בשבילם, ומשפט ז'ורדן?לא זכור לי שלמדנו...רציתי לומר לכם, לשניכם במ"ש, ת-ו-ד-ה ר-ב-ה!! על כל ההשקעה, הזמן, הרצון והכוח שהיה לכם להתמודד עם שתי קבוצות רועשות כמו שלנו, ועוד בקורס קשה כמו אינפי 2! שיהיה לכולנו המון בהצלחה בהמשך!
:הקבוצה של רוני למדה. הקבוצה של שיין לא?
למיטב ידיעתי, ולאחר בדיקה בקלסר,
לא למדנו את שני הנושאים הנ"ל, אשמח אם עוד מישהו יוכל לאשר זאת...
אכןמצטרף בהחלט, המון תודה לשניכם, ואולי נתראה בהמשך...:מצטרפת.. ממש תודה על הכול! מה נעשה בלי Math-wiki..מצטרף! זה לא למדנו את הנושאים האלומובן מאליו... ועם זאת, מתי נדע כמה פקטור יהיה(בטוח יהיה...!!)
אז מה נסגר? האם החומר ירד מהמבחן? לא נוכל ללמוד אותו לבד?!נשמח לקבל עדכון בעניין::תודה רבה על כל האיחולים - המתרגלים... תודה!(בלי קשר, אני אפרסם עוד כמה דקות פתרון למבחן בדף הקורס)
:מה שלא למדתם בהרצאה, לא יופיע במבחן.
אני מסכים לגמרי עם כל השאר. אתם באמת השקעתם את כל כולכם בנו ובהצלחה שלנו. באמת רואים שאכפת לכם מאיתנו למרות כל הקיטורים, בקשות לדחיות, התחננויות ולפעמים אף בכי P=
אני רק לא מבין משהו אחד. ניסיתי להבין מה הייתה התועלת בשיעורי חזרה ובתרגולים הנוספים שעשיתם, ואני לא מוצא בהם תועלת למבחן... לא עשינו אפילו תרגיל אחד שהיה אפילו דומה לשאלות שהיו במבחן (אני לא מתכוון לשאלות בדיוק כמו שהיו במבחן, אבל לפחות בסגנון ובנושאים)... כאילו שמתם דגש בשאלות לא דומות למבחן בשביל מה? הרי ראיתם את המבחן כבר... לי אישית היה די קשה להגיע לבר אילן,לתירגולים, באותו היום אבל הגעתי בכל זאת כי חשוב לי להצליח במבחנים (כמו לכולנו), אבל בתכלס שאני מסתכל על היעילות שלהם לאחר המבחן לא עזר בכלל, אלא להיפך.
כל מה שאני מנסה להגיד, זה שבתרגולי חזרה לפני מבחן, תעזרו קצת יותר בכך שתתרגלו אותנו נכון, ולא לבלבל לנו את השכל עם שאלות לא קשורות בכלל... אחר כך מתלוננים שאנחנו לא מקבלים ציונים נורמלים ואתם נאלצים לעשות פקטור סתם!
תודה על הכול (וזה בשיא הכנות) כי באמת השקעתם בנו
במבחן שהועלה לאתר, במועד ב===תשובה===אני אענה לשאלה שלך בשני מישורים* הראשון והחשוב יותר: מטרתנו הראשונה והעיקרית כמורים הינה ללמד אתכם מתמטיקה ו''', לא היה אפשרי ויותר קל לפתור בדרך הבאה?:הפונקציה רציפה ולכן חסומה- כמו שכתוב בפתרון''' להכין אתכם למבחן.ואז- אם הפונקציה רציפה בקטע סגור ולכן חסומה- אז נסמן בp את ההפרש בין הערך הכי גדול לערך הכי קטן שלההכנה למבחן הינה משנית (אמנם חשובה גם כן). ואז צריך להוכיח שלכל a>0 ולכל חלוקה T קיים r שגדול מדלתא T כך ש:סיגמהקשה להגיע לבר אילן גם במהלך הסמסטר, כאשר i רץ מ1 עד n של Mi-mi כפול דלתא Xi קטן מa, נכון?ואז נגיד שMi-mi קטן מp ודלתא Xi קטן מrאך אתם מגיעים על מנת ללמוד. ולכן הסיגמה הסיבה שאנו רואים את המבחן קודם לכן היא בעצם קטנה מ- n*r*p. ולכן נבחר בעיקר על מנת לוודא איכות שלו (שאין טעויות, רמה סבירה וכדומה), עלינו להעביר שיעורי חזרה כאילו לא ראינו את r להיות a/n*p. ואז זה שווה לa וסיימנו. שיניתי את האותיות המקובלות אבל זה אותה כוונה...המבחן.
*שנית, אני אפריך לחלוטין את הטענות שהעלאת:
**שיעור ההשלמה היה חלק מחומר הקורס וכלל שאלה שהופיעה כלשונה במבחן! (הוא היה לפני שראינו את המבחן). אז כבר 20 נקודות מתנה על שיעור ההשלמה והחומר שהועלאה לאתר (אני לא העברתי את השאלה פרונטלית אבל תומר כן). אמרנו לכם לקרוא את שיעור ההשלמה.
**שיעור החזרה כלל שאלה כמעט זהה לחלוטין לשאלה 3 מהמבחן (אני העברתי אותה ותומר לא).
**יום או יומיים לפני המבחן עניתי באתר על שאלה דומה לשאלה 2 במבחן, והדגשתי דברים שלא היו בשאלה המקורית כי ידעתי שזה יעזור למבחן.
**שאר השאלות, בוודאי היו דומות והתעסקו בנושאים דומים...
ההוכחה הזאת לא אומרת שכל פונקציה חסומה היא אינטגרבילית??? משהו כאן בטוח לא נכון, אבל מה? גם פונקצית דיריכלה יוצאת כאן אינטגרבילית, פשוט להציב p=1.......
: אני מעבר לכך, תודה על ההכרה בעבודה שלנו. תאמינו לנו שמה שעכשיו נראה לכם לא לגמרי מצליח לעקוב אחרי דרך הרישום הזו אבל:*הכותב מעליי צודקכיף, כביכול הוכחת שכל חסומה היא אינטגרבילית*אני חושב שהבעייה היא שאתה מגדיר את r להיות תלוי בnבעתיד אתם תראו כאתגר שהצלחתם בו. אני החיים הם לא בטוח מה מיטת שושנים, ומי היה רוצה לישון במיטת שושנים בכלל? זה דוקר!:זה r אבל אני דיי בטוח שהוא לא צריך להיות תלוי בn רק דוקר, זה גם צמיגי :P::)מתי יעלו ציוני תרגיל?
r הוא דלתא, המספר שגדול מאורך הקטע הגדול ביותר :::אנחנו נעלה אותם היום==יש לי שאלה==האם בשאלה 4ב במבחן היה אפשר להגיד שההתכנסות היא ל0 כי תנאי הכרחי להתכנסות הטור היא שאיפת האיבר הכללי לאפס(הוכחה של החלוקה T.... מה הבעיה בלהגדיר אותו תלוי במספר האיברים בחלוקה Tהתכנסות לאפס לא התכנסות במש)?
:כי ההגדרה לגבול סכומי רימן תלוייה בלבד בפרמטר החלוקה ואין קשר למספר הקטעים בחלוקה.===תשובה===כן, זה מוכיח בהחלט התכנסות נקודתית לאפס (ולא במ"ש כפי שציינת)
==שאלה==
תהי f פונקציה רציפה ב[a,b] ונניח שקיימת חלוקה P של [a,b] שעבורה הסכום העליון שווה לאינטגרל מa עד B של הפונקציה. צריך להראות כי בהכרח f קבועה ב[a,b].
רעיון ?
למה מופיע לי ציון 0 בתרגיל מספר 2 אם הגשתי אותו? :נניח בשלילה שפונקציה אינה קבועה. נותר להראות שאם קיימת חלוקה כזו, קיים עידון שלה בעל סכום עליון קטן ממש יותר בסתירה.S
:זו שאלה פילוסופית?
::(לא ארז/תומר)אם אתה רוצה הוכחה מלאה: נתבונן בקטע החלוקה ה-i-י. נניח בשלילה שקיימת בקטע זה נקודה שערך הפונקציה בה קטן ממש מערך הפונקציה המקסימלי בקטע. ערך הפונקציה בכל x בקטע קטן שווה לערך המקסימום בקטע, וכיוון שיש נקודה בה אי השיוויון חזק, נקבל בתוספת הנתון על הרציפות שיש אי שיוויון חזק באינטגרלים. כלומר, אינטגרל על הערך המקסימלי גדול ממש מאינטגרל על הפונקציה, בקטע המדובר. כיוון שבכל קטע חלוקה אחר מתקיים שערך הפונקציה המקסימלי באותו קטע גדול שווה לכל ערך אחר בקטע (לפי הגדרת המקסימום, שקיים כי זו פונקציה רציפה בקטע סגור), אם נסכום את כל אי השוויונות האלו בתוספת אי השוויון החזק בקטע ה-i-י, נקבל שהאינטגרל על הפונקציה ב [a,b] קטן ממש מהסכום העליון של החלוקה P, בסתירה לנתון. לכן בקטע ה-i-י החלוקה קבועה. זה נכון לכל i ולכן בכל אחד מקטעי החלוקה הפונקציה קבועה. כעת נתבונן בנקודות החלוקה של P. לכל נקודה כזו (חוץ מהקיצוניות) מתקיים שהגבול של הפונקציה כש-x שואף לנקודה מימין הוא הערך הקבוע של הפונקציה בקאע שמימין לנקודה. ובאותו אופן הגבול משמאל יהיה הערך הקבוע בקטע שמשמאל לנקודה. הפונקציה רציפה בפרט בנקודות החלוקה, לכן הגבולות החד-צדדיים שווים כלומר הערכים הקבועים של הפונקציה בקטעי החלוקה הימני והשמאלי לנקודה שווים. זה נכון לכל נקודה בחלוקה ולכן הפונקציה קבועה. מש"ל.==הודעה==
יש ציונים!!==שאלה- גזירת טור חזקותמבחן ==הוכחנו בהרצאה משפט שאומר שניתן לגזור טור חזקות איבר-איבר בכל נקודה בתחום התכנסותו.הניסוח היה פקטור במבחן? ואם כן של המשפט לא דורש התכנסות במ"ש, רק עושים בזה שימוש בהוכחה.לאור המשפט הזה- האם בתרגיל שהועלה לאתר (שצריך להוכיח שהפונקציה שווה לנגזרת), אפשר פשוט לגזור איבר איבר (כי זה טור חזקות)כמה?
===תשובה===יש בזה משהו, כי הרי כל נקודה בתחום ההתכנסות של טור חזקות מוכלת בסביבה סגורה בה ההתכנסות הינה במ"שמצטרף לשאלה. (אני לא בטוח מה קורה אבל באופן כללי בנקודות הקצה של ההתכנסות, עם הנגזרת החד צדדית. במקרה שלנו זה . מאוד חשוב לנו לדעת האם להגיש ערעור או שלא.... והאם לגשת למועד ב או לא משנה כי ההתכנסות הייתה בכל הממשיים)בקיצור ממש חשוב לנו לעת האם היה פקטור...
התרגיל היה המצאה שלי על מנת לתרגל אתכם:תשאלו את המרצים, המשפט שאתה מדבר עליו הוא מה שרציתי שתראו בתכלס..אנחנו (המתרגלים) לא יודעים.
