'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 16| ארכיון 16]]''' - לקראת המבחן
'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 17| ארכיון 17]]''' - לקראת המבחן
=שאלות=
=סיכום=מצורף סיכום ממש טוב של כל המשפטים שנלמדו בקורס... תהנו!! (קרדיט ליותם ברקוביץ'): [[מדיה:summary_yotam.pdf|סיכום]]שאלה==
ארז יהיה במבחן פונקציות עם שתי משתנים?:לא שידוע לי, אם המרצה אמר שיהיה אז יהיה, אם לא אז לא תומר - אתה יכול בבקשה לשים אותו בדף הראשימה פתאום שיהיה משהו שלא למדתם ? ?? הגיון חבר"ה , הגיון ! ==שאלה== תחת אילו תנאים ניתן לומר שאינטגרל על סכום אינסופי של פונקציות שווה לסכום האינסופי של האינטגרלים של הפונקציות?תודה תומר - מפנה אותך לנוסח משפטים המתאימים ! יש משפטים שמתארים תנאים מספיקים לכך ..ייתכן שיהיו מצבים נוספים שזה יתקיים אבל אז צריך לבדוק כל מקרה לגופו.
==שאלה==
איך מוכיחים התכנסות של האינטגרל מ-0 עד נניח יש לי טור פונקציות שרץ על fn (הסדרה המזהה שלו). למה אם הטור |fn| מתכנס במ"ש בI, אז גם הטור המקורי מתכנס במ"ש בI? *נקודתית זה ברור מאינפי 1 של . לבמ"ש ההוכחה דומה. שארית הטור לא בהחלט קטנה משארית הטור בהחלט, כלומר הטור לא בהחלט מתכנס מהר יותר מאשר הטור בהחלט. ועוד שאלה: אם יש לי סדרת פונ' fn כך ש|fn| מתכנסת לפונ' גבול כלשהי f במ"ש, האם זה אומר שfn המקורית מתכנסת לf1 כלשהי במ"ש? *ברור שלא.... אינפי 1. <math>ln^afn=(x-1)^n</math> עבור a חיובי?לא מתכנס בכלל, אבל הערך המוחלט מתכנס במ"ש.:(יש טעות בסיכום במשפט פרמה, לא תומר? המשפט הראשון בעמוד הראשון של הסיכום...התנאים לא צריעכים להיות הפוכים??? *נכון מאד, הסרתי את הסיכום. המשפט אומר שאם יש מקסימום/ארזמינימום והפונקציה גזירה הנגזרת הינה אפס. בוודאי שאם הנגזרת אפס אין שום הכרח שיהיה מינימום/מקסימום (לדוגמא x^3)עבור a חיובי. שאלה:איך מוגדר אינטגרל של פונקציה ממינוס אינסוף לאינסוף? הגבול כאשר c רץ לאינסוף של אינטגרל של הפונקציה מ c- עד c או פשוט פיצול לשני אינטגרלים לא אמיתיים ואז כל אחד שואף בקצב שלו? זה נשמע קצת מוזר, משנה כי ln(במקרה של פונקציה איזוגית-למשל xבאפשרות הראשונה זה 0 ובשניה אינסוף פחות אינסוף שזה מתבדר.....(נכון?) תודה. *הוא שלילי בתחום הזהמוגדר בתור הסכום של שני אינטגרלים לא אמיתיים. האינטגרל על הפונקציה x למשל מתבדר. למה אם f פונקציה רציפה, מחזורית ואי-שלילית בממשיים(f אינה זהותית אפס) אז הגבול של f(x)/x^3 אינו אפס כאשר x שואף לאינסוף?? הרי f חסומה מהנתונים,לא? רוני נתן שאלה כזאת ואמר להוכיח שהאינטרגל של f(x)/x מ1 עד אינסוף מתבדר. ואם למשל נבחר a=הגבול שאמרתי מקודם שווה ל0 אז לפי מבחן ההשוואה האינטגרל מתכנס, אז כנראה שהגבול איננו 0,למה??? ===תשובה=== תומר - כמה שאלות , כמה שאלות ! :) לשאלה הראשונה על התכנסות עם ערך מוחלט גוררת התכנסות בלי , במידה שווה - ראה משפט שהוכחתם .5 כל הפונקאו - אפשר לנסות לבד פשוט ביישום של קריטריון קושי להתכנסות במ"ש ! . אינטגרל ממינוס אינס' לאינס' מוגדר על ידי פיצול באיזו נקודת ביניים - אבל בכל אופן כאשר הגבולות שלהם - אחד עם פרמטר לאינסוף ושני עם פרמטר למינוס אינסוף - הם לא תהיה מוגדרת בתחום הזהתלויים אחד בשני ! ובטח לא ממינוס סי לסי כאשר סי שואף לאינסוף .זהו אינטגרל שקיים בשימושים אבל יש לו שם - PRINCIPAL VALUE - אבל זה לא האינטגרל בקורס שלנו !!! .::עבור a>לגבי שאלה אחרונה - תן בבקשה את ניסוח השאלה המלא כדי שאוכל להתייחס . =1=שאלה מסודרת ==נתונה פונקציה fרציפה, מחזורית ואי-שלילית ב-R. היא אינה זהותית 0.הוכח: האינטגרל של f(x)/x מ-1 לאינסוף מתבדר. תוכל גם להגיד לי למה אי אפשר להשוות את הערך המוחלט בחזקת אלפא להוכיח שזה מתכנס עם הערך המוחלט עצמו שימוש במבחן ההשוואה השני? כי f לפי הנתונים חסומה,לא? ואז הגבול של (קטן f(x)/x)/x^2 שווה ממנולאפס ולפי המבחן f(x)/x מתכנס, ואז בגלל ש|lnx| כי האינטגרל של x^2 מתכנס ב... ===תשובה===(לא ארז/תומר) נראה לי שהטעות שלך היא כזו , כשאתה עשית את מבחן ההשוואה, עשית את זה עם הפונ' x^2 והאינטרל של זה מתבדר בקטע 1 עד אינסוף (אתה מתבלבל עם 1/x^2). :אבל אמרתי בקטע 1 עד אינסוף...לא מאפס!::הוא העיר לך על הפונקציה ולא על הקטע. x^2 זו פונקציה ששואפת לאינסוף ובפרט אינה אינטגרבילית על הקטע האינסופי. ובנוגע להוכחה , אני עשיתי את זה בדרך הבאה: נסמן את המחזור של F כ-T, אנחנו יודעים שהפונ' אינה זהותית אפס, לכן יש נקודה X0 בקטע [01,1+T] כך ש- (לפי אינטגרציה בחלקים פשוטה''f''(''x0'' שווה ל-M גדול ממש מאפס. מכיוון ש-F רציפה יש סביבה [a,b] של X0 כך שכל ס בקטע מקיים f(x)>M/2 (או אפילו גדול שווה, זה לא משנה) וכעת, מכיוון ש-F אישלילית , נגדיר פונקציה חדשה G להיות M/2x בכל קטע מהצורה [a+n*T,b+n*T] כאשר n טבעי ואפס בכל נקודה אחרת. ברור כי שתי הפונ' אי שליליות, אינטגרביליות בכל קטע מהצורה [one,R] כש- R>1 (F רציפה בכל קטע כזה, ול-G יש מספר סופי של נקודות אי רציפות מהסוג המתאים) ולכן אם האינטגרל של G בטע 1 עד אינסוף מתבדר, כך גם שלנו מתכנסהאינטגרל הלא אמיתי של F. ועכשיו, להראות שהאינטגרל של G בקטע 1 עד אינסוף מתבדר, זה לא כזה מסובך (אני עשיתי לפי קריטריון קושי, אבל אני בטוחשאפשר בעוד דרכים, ואין לי כח לכתוב את זה) ובסה"כ קיבלנו שהאינטגרל של f(x)/x
==שאלה==
תהא <math>f_n</math> סדרת פונקציות רציפות על [למה במבחן ההשוואה הראשון רוני ציין שאם 0,1] שמקיימות <mathg ו f>f_ng והאינטגרל של f מתכנס(0)=0</math> לכל n, ותהי f רציפה על [0לא אמיתי,1] המקיימת את אותו התנאיבשנ הסוגים הוא אמר ככה. אם ..) אז האינטגרל מ-0 ל-x של <math>f_n</math> g מתכנס לאינטגרל מ-0 ל-x של . הוא לא אמר שאם g מתבדר גם f במ"ש ב-[0מתבדר,1], הוכח או הפרך : <math>f_n</math> מתכנס ל-f בקטע [0,1].זה לא נכון??
(לא ארז/תומר)הפרכה, תיקח fn(x)= x^n ו f=0 כל התנאים מתקיימים אבל fn לא מתכנסת לf בקטע.=תשובה===:יפההמשפט השני הוא היקש לוגי מהראשון. לא יכול להיות שf יתכנס אבל g יתבדר, תודה רבה!לכן אם g מתבדר אזי f מתבדר.
==שאלה==
הרגע גיליתי משהו שזעזע אותי - למה <math>\frac{e^{4n}}{n!} \rightarrow 0</math> ?
(בתרגיל 11 שאלה 3 - לעוד מישהו יצא רדיוס התכנסות אפס?:: [לא ארז/תומראו ארז] לי דווקא יצא 1==שאלה==אם אני צריכה להוכיח שפונק' כלשהי היא אינטגברילית רימן, והראיתי שהסכום רימן שלה לכל חלוקה מתאימה ולכל בחירה אלפא חסומה בין הסכום רימן של פונק' אינטגרבילית(!) תנסה את מבחן דלאמבר לסדרותאחרת פחות אפסילון, ואותו סכום ועוד אפסילון. מקבלים ביטוי ששואף לאפסהאם זה מראה לי שהפונק' שלי אינטגרבילית גם? ויותר מזאת, בפרט קטן מאחד החל מ-N0 מסי\ויים, ומכאן שהסדרה אכן שואפת לאפס!לסכום I של אותה הפונקציה השניה?:הסכום רימן של הפונקציה האחרת עבור אותה חלוקה? ומה זה האפסילון הזה? במה הוא תלוי?
:למה ==שאלה==נתון כי f אינטגרבילית וחסומה ע"י M. צ"ל שf^2 אינטגרבילית באותו קטע.יש דרך להראות את זה מפתיעלא ע"י הרכבת פונקציות (שבדרך זו הנתון ע"י החסימות מיותר)? למעלה יש לך e^4 מהי הדרך? :הנתון על חסימות מיותר איך שלא תסתכל על זה, שכן זו פונקציה אינטגרבילית (קבועולכן חסומה) בחזקת n ולמטה אבל יש n!. שניהם דרך להראות את זה מכפלה חוץ מהרכבה של n איבריםפונקציה רציפה ופונקציה אינטגרבילית? תומר - מידת קבוצת נקודות אי הרציפות של הפונקציה החדשה היא אפס ? . כאשר n גדול הרבה יותר מe.. (לא ארז/תומר) כן יש פיתרון אחר, והוא בעזרת תנאי רימן לאינטגרביליות.f^4 הביטוי למטה גדול יותר2 חסומה (ברור), ונותר להראות את התנאי השני.בקשר אליו, קל להראות ש w(f^2)<= w(f)*2*M (כאשר w הוא התנודה בקטע), ומכאן קל להמשיך. מראים את זה כך, לכל x1,x2 בקטע כלשהו מתקיים:f(x1)^2-f(x2)^2<=(f(x1)-f(x2))*(f(x1)+f(x2)), ומכאן זה ברור
==שאלה==
אם יש לי פונקציה שהיא מנה/מכפלה התבקשתי להביא דוגמה לסדרת פונק' fn רציפות ב[0,1] כך שfn(x)-->0 לכל X בתחום, אך האינטגרל של שתי פונקציות שאני יודע לפתח לטור חזקותfn מ0 עד 1 אינו שווה ל0. - האם אפשר לפתח כל אחת מהם בנפרד ואז להכפיל/לחלק את האיבר הכללי? מה קורה לxהפונקציה x^n במקרה זה? הכוונה שלי לפונקציות כמו:f=ln(1+x)/(^n-1+x) w qq מקיימת את הלאן ואת הדרוש? הפונק' אכן רציפות ב[0,1+x ], פונקצית הגבול היא 0, אבל האינטגרל יוצא, אם אני יודע לפתח לטור חזקותלא טועה, האם במקרה זה האיבר הan של f בטור שווה לחילוק האיברים an בשני הפיתוחים?1/n פחות 1/(2n+1)..
===תשובה===
לא. חלוקה וכפל אתה בטוח שהאינטגרל שונה מאפס ולא '''שואף''' לאפס? כי כמעט כל סדרה שתבחר תעמוד בתנאי הראשון (למשל הסדרה של טורים אינה חלוקה וכפל איבר-איברהפונקציות הקבועות <math>\frac{1}{n}</math>).
==המשך השאלה==אז איך כן מפתחים את אם אתה רוצה סדרה שהאינטגרל עליה אינו שואף לאפס, קח סדרה של פונקציות הבאה: הגרף של הפונקציה ה-n הוא משולש עם בסיס <math>\frac{1}{n}</math> בגובה 2n וכל שאר הפונקציה היא אפס. הסדרה הזו לטור חזקות? הגעתי למצב שאני צריך לפתח את ln^2שואפת לאפס (1+xכמובן שלא במ"ש) לטור חזקות, אבל כמו שאמרת, מכפלה של טורים זה לא מכפלה איבר איבר.והאינטגרל על כל פונקציה בסדרה הוא תמיד 1.
תומר - יש בתורת טורי החזקות משפטים שמתייחסים למכפלת טורים ==שאלה==נראית נחמדה. f:[0, שאותם לא למדתם (זה לא שונה ממכפלת פולינומים 1] - רק שכאן יש אינסוף מקדמים ויש להתייחס לשאלת ההתכנסות של הטור שמתקבל ...) פונקציה כזו היא "קלאסית " ליישום אחד המשפטים . מעבר לזה - אפשר לנסות למצוא נוסחא שנותנת נגזרת מסדר n - זה יוצא ארוך , אבל אם מציבים אפס > R היא פונקציה רציפה אי שלילית המקיימת f(טור מקלוריין x) אפשר לנסות להשתמש בה <=sinx לכל x בתחום. אבל שוב - הדרך לפתח טורים ספציפיים כאלו צריך למצוא את כל פתרונות המשוואה: cosx+quad(f,0,x)- 1=0.( קוסינוסX ועוד האינטגרל של f מ0 עד x פחות 1 = 0.)מעבר לעובדה שx=0 הוא פתרון אחד של המשוואה, לא הצלחתי להוכיח שלא ניתן למשל קיימים עוד פתרונות/למצוא איזה טור הנדסי אינסופי כמו שראינו בכיתה) היא בעזרת משפטי המכפלה פתרון נוסף.ניסיתי להניח שקיים ולהשתמש במשפט רול, ניסיתי להשתמש בזה שאי שיוויון ברמת הפונק' ==> אי שיוויון ברמת האינטגרל אבל בסופו של דבר לא הגעתי למשהו שמוכיח. יש רעיון למישהו?::מישהו??
אז דבר כזה לא יכול להופיע במבחן? :::אם f=sinx אזי זו הפונקציה הקבועה אפס. אם f קטן ממש מהסינוס אזי הנגזרת בעלת סימן קבוע (שלילי) והפתרון היחיד הוא אפס
תומר - רק מבחן יש לכם בראש ==שאלה==מישהו מוכן להסביר לי באילו מקרים כדאי לעשות גזירה איבר איבר, ומתי לעשות אינטגרציה איבר איבר? (יש מונדיאל תודה.:) - אפשר להניח שדבר כזה לא ישאלו אתכם - ומה שיכולים לשאול זה משהו שבזמן סביר ניתן לפיתוח( או על ידי זיהוי אפשרות להגעה לסידרה הנדסית כמו שעשינו בשיעור היום .כדאי? תמיד.מותר? כאשר יש התכנסות במ"ש לפי המשפטים שלמדתם בכיתה.)
==תזכורת לארזשאלות מעניינות==היי ארז* הוכח או הפרך:תהי <math>f_n(x)</math> סדרה של פונקציות גזירות ברציפות המתכנסות במ"ש לפוקציה <math>f</math>,אשר גם גזירה ברציפות,ב-<math>[a,b]</math>.בשיעור החזרה היום ביקשת ממני להזכיר לך אזי ש- <math>f_n' \rightarrow f'</math> במ"ש על הקטע <math>[a,b]</math>.* בנוגע למשפט דיני לטורים, נניח שיש לי טור <math>u(x)=\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)</math>, כך ש-<math>a_n(x)>0</math> והטור מתכנס ב-I. מתי אני יודע אם הפונקציה הגבולית רציפה, כך שאוכל להישתמש בדיני ולקבוע שההתכנסות במ"ש.נשמח לתשובה ממישהו,די דחוף! תודה!!! :) תומר - אם ניקח את הסידרה cosnx ונחלק הכל ב n . האם קיבלת סידרה שמתכנסת במ"ש ? ומה עם נגזרותיה ? ... לגבי דיני - פשוט לבדוק רציפות לפי הגדרה - גם לא אמרת שהפונקציות בסידרה רציפות - שים לב לתנאי המשפט ! . ==שאלה== שאלה שנתקעתי עליה ואשמח לכיוון: int(arctan(x)/[(x*(ln(x+1))^2)], x = 0 .. infinity) ניסיתי דיריכלה, חשבתי על השוואה, ופשוט לא מצאתי. אשמח לעזרה ::מצטרף לשאלה!! איך פותרים את ההוכחה שלכם לתרגיל האחרון בקובץ החזרה של הדבר הזה? (לא ארז/תומר) תנסה השוואה עם אחד חלקי [x*ln(x)^2]. שים לב ש arctanx שואף באינסוף לחצי פאי, ושעם קצת אלגברה אפשר להוכיח שמנת ה-ln-ים שואפת לאחד. כדי להראות התכנסות של האינטגרל החדש, אפשר להשתמש בהצבה t=ln(x), או לחילופין להשתמש במבחן האינטגרל+מבחן העיבוי לטורים תודה רבה :) זה לא נכון, כי יש בעיתיות גם בנקודה x=1 וגם באינסוף. ההשואה שנתת עוזרת רק לחלק של האינסוף : אבל אני לא חושב שאמורה להיות בעיה, כי זאת בעיה בנקודה, וזה לא אינטגרל לא אמיתי מסוג שני. ::אתה מפצל את זה לשני אינטגרלים: האינטגרל מ-1 עד אינסוף מתכנס (כי מורידים את ה-ln בעזרת אי שוויון והאינטרגל (arctanx/x^2) מתכנס (השוואה עם 1/x^2)...::עכשיו בקשר להתייחסות לגבול העליוןלאינטגרל מ-0 עד 1 אתה יודע ש- ln(1+x)<x לכל x ב-[0,1] ולכן האינטרגל שלנו גדול מהאינטגרל של arctan(x)/התחתון כאל גבול ממשx^4 וזה מתבדר ע"פ השוואה עם 1/x^4 שמתבדר בקטע [0, והטענה שמשהו מתקיים לכל n 1], ולכן זה גדול מאינטגרל מתבדר וזה סה"כ מתבדר. (אשמח לקבל אישור מאחד המתרגלים =) ). :(לא ארז/תומר) עבור האינטגרל מ-N0 עד 1, תנסה מבחן השוואה גבולי עם אחד חלקי x^2 . שים לב ש arctanx/x שואף לאחד וש ln(1+x)/x גם שואף לאחד כאשר x שואף לאפס. ובקשר לזה שכתב מעלי- ה-x במכנה הוא לא בריבוע... :: האמת שהאינטגרל המקורי היה בין 1 לאין סוף וזאת טעות שלי שכתבתי אפס, אבל זה באמת יהיה טוב לדעת מה קורה גם אם זה היה אפס.:: תודהלשניכם :) ==שאלות.==*arctanx חיובי בקטע 1,infinity לא? היה תרגיל באחד המבחנים ששמו ערך מוחלט מסביב לarctan, באנטגרל שהתחום שלו הוא תהחום המצוין..*במבחן ההשוואה הגבולי. מותר לי להשוות פונק' חיובית עם פונק' שלילית, אם הגבול יוצא חיובי? לדוגמה, הפונקציה sinx חלקי x*lnx. בתחום [0.5,1], נניח ואני רוצה להשוות עם sinx חלקי x-1..*כאשר אני מפצלת אינטגרלים ל2 תחומים שונים [עם דגש על השונים!]. אם אחד מהם מתבדר, כל האינטגרל המקורי מתבדר, נכון? בלי קשר לחיוביות/שליליות של אחת הפונקציות.. *בהמשך לשאלה שלמעלה - אם יש לי שאלה של 'לאילו ערכי אלפא', כאשר יש לי חיבור של 2 אינטגרלים - אחד ל"א מסוג ראשון והשני ל"א מסוג שני.. אז אם למשל עבור alpha>1 האינטגרל מסוג 1 מתבדר, אין מה לבדוק את האינטגרל השני גם? וזהו, תודה רבה!
===תשובה===
מה שרשום שם *כן הוא כך: נניח והגבול העליון הוא Lחיובי. לכל x>L קיים n_0 כך שלכל n>n_0 הסדרה קטנה מx*אם בתחום הפונקציה אי חיובית אז אם תכפלי אותה במינוס תקבל פונקציה אי שלילית. זה כמובן שמכפלה במינוס לא משנה התכנסות אינטגרל*נכון, כי L הוא הגבול העליון. אם תמיד היה איבר בסדרה שגדול מx אז היה גבול חלקי גדול או שווה לx שגדול ממש מL בסתירה.*נכון
סבבה::כן, תודה אבל כשהפונק' הייתה שלילית, הגבול יצא לי חיובי. אם אני כופלת במינוס 1, הגבול יוצא שלילי..:::לא יכול להיות שהגבול של המנה של שתי פונקציות אי שליליות יהיה שלילי::::::: כעיקרון אני מדברת על הפונקציה sinx חלקי x*lnx. בתחום [0.5,1]אני משווה אותה עם sinx חלקי (1 פחות X). (יום יבוא ואני אלמד להשתמש בכתיב המתמטי של ויקיפדיה... מצטערת על הסרבול). בכל מקרה, שתי הפונקציות חיוביות בתחום הזה. אבל הגבול של המנה, כאשר X שואף ל1 מצד שמאל, הוא מינוס אחת.. :כי ln שלילית בקטע הזה.::אוקי, אז בעצם מכפילים את הפונק' המקורית ב1- ואז מקבלים גבול חיובי, ואומרים שבגלל שהפונק' עם המינוס מתכנסת/מתבדרת ==> כך גם הפונק' המקורית? :נכון
==שאלה==
אם אני רוצה לפתח לטור חזקות את הפונקציה cos(x)/x . מותר לי לפתח את cos(x) לטור חזקות ואז רק לחלק את x^n ב-x ולקבל x^n-1 והשאר לא משתנה, וזה הפיתוח התכנסות במ"ש של cos(x)/x לטור חזקותערך מוחלט של טור הפונק' גוררת התכנסות במ"ש של טור הפונק'?:כבר נשאל בעמוד זה. כן מכיוון שהשארית של טור קטנה או שווה לשארית של הטור בהחלט
===תשובה=שאלה==*הסתבכתי,אפשר עזרה?*נניח שהפונקציה f מוגדרת ורציפה בקטע סגור x=a..b הוכח כי הסכום מאחד עד אינסוף של f^n מתכנס במ"ש בקטע זה אם ורק אם הסכום הנל(לא ארז/תומרf^n) כן, מותרמתכנס נקודתית בקטע זה.
==המשך==
זה לא עזר לי, אני מנסה לפתח לטור חזקות (שאלה ממבחן ) סביב 0 את הפונקציה
f(x)= integral from 0 to x of 1-cos(t) / t^2 dt
ניסיתי לעשות גזירה איבר איבר , אבל אין לי מושג איך להתקדם עם הביטוי שבתוך האינטגרל.
דבר נוסף- אני רוצה לדוגמא לפתח את הפונקציה :השאלה לא מנוסחת טוב. מה זה f(x) =x^-2 ומה הוא קשור? מה ההבדל בין סכום מאחד עד אינסוף לבין טור?תיקנתי. אני יכול להשתמש בסכום .. מה הבעייה בהגדרה של סדרה הנדסית אבל אז אני מקבל f פשוט פונקציה f(1-x^2) בחזקת n, שזה לא ממש סימפטי. יש דרך לעשות את זה יפה יותר?
::שאלתי מה הקשר של f. גם g היא פונקציה אבל היא קשורה לשאלה בדיוק כמו f... האם היא פונקצית הגבול של הטור? האם הפונקציות בסדרה רציפות?
: (לא ארז וגם לא תומר) בעצם הכיוון המעניין היחיד הוא מהתכנסות נקודתית לבמ"ש. אם f^n מתכנס נקודתית אפשר לראות כי לכל x נקבל f(x<1 (בערך מוחלט, הלוואי שזה לא היה קופץ כל הזמן). f רציפה לכן הערכים שהיא מקבלת מהווים קטע סגורc,d בתוך [-1,1), קטע בו הטור x^n מתכנס במ"ש. לכן כל סדרת נקודות אינסופית שתבחר בa,b עבור הטור לפי f שקולה בעצם לבחירת נקודות בc,d עבור הטור של x המתכנס שם במ"ש (ולפי מבחן הLIMSUP בעצם זה כל מה שצריך).
אבל למה f(x) בערך מוחלט קטן מ-1?
:הסברתי במפורט בתשובה. לא בהכרח f<1 פשוט אם הוא מתכנס הוא קטן מאחד ולכן מתכנס במ"ש. אם הוא מתכנס במ"ש ברור שהוא מתכנס. זה כל מה שצריך להוכיח.
===תשובה===
לגבי השאלה הראשונה - אתה גוזר את הפונקציה ומקבל <math>\frac{1-cosx}{xאה.... התבלבלתי בין f_n לf^2}</math> שזה שווה <math>\frac{1-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}}{x^2}=\frac{-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}}{x^2}=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2(n-1)}}{(2n)!}</math>.... מצטער.
הכותב מעליי צודק שהטור מתכנס כאשר <math>|f(עד כדי טעותx)|<1</math>, והוא מתכנס במ"ש כאשר <math>|f(x)|<r<1</math> אבל בגלל שהפונקציה רציפה על קטע סגור ונניח מתכנסת בו אזי היא מקבלת מינימום ומקסימום ושניהם חייבים להיות קטנים ממש מאחד (אחרת היא לא הייתה מתכנסת בהם) ולכן התנאי מתקיים.
עכשיו צריך לעשות אינטגרציה איבר איבר לקבל * על מנת להוכיח שהוא מתכנס במ"ש בתנאי למעלה <math>|f(x)|<r<1</math> כל שצריך הוא מבחן הM<math>|f(x)^n|<r^n</math>. * על מנת להוכיח שהוא מתכנס עבור התנאי <math>|f(x)|<1</math> כל מה שצריך הוא להסתכל נקודתית על הטור <math>\sum |f^n(x)|=\sum a^n</math> כאשר <math>|f(x)|=a<1</math> וזה כמובן מתכנס. * טריוויאלי שהוא יתבדר בכל מקום אחר. * על מנת להוכיח שהוא לא מתכנס במ"ש אם לפונקציה לא היה מקסימום אבל הsup שלה היה אחד: ניקח סדרה <math>x_n</math> כך ש <math>f(x_n) \rightarrow 1</math> ולכן <math>\lim_{k\rightarrow \infty} sup|S(x)-S_k(x)|>\lim_{k\rightarrow \infty} |S(x_{n_k})-S_n(x_{n_k)}| = \infty</math> (נבחר את התוצאה הרצוייהn_k על מנת שההפרשים ישאפו לאינסוף. אנחנו יודעים שזה מותר כי <math>f(x_n)\rightarrow 1</math>)
==שאלה==
והשאלה אם יש לי פונקציה ואני מפתח לה טור חזקות נניח עם רדיוס 1, איך אני מוודא לאחר הפיתוח שהפונקציה שווה לטור בקטע?וגם פה שאלה 4 כוון כללי אם אפשר...http://moodle.technion.ac.il/file.php/1098/Exams/2004-2005-spring-test-a.pdf ===תשובה===הוא שווה לפונקציה רק ברדיוס ההתכנסות. מה הכוונה איך אתה מוודה? אם פתחת נכון זה חייב להיות שווה - הצעדים שלמדנו לפיתוח פונקציה לטור חזקות הם צעדים בהם השיוון בסוף חייב להתקיים (למשל פונקציה קדומה ששווה בנקודה אחת לטור החזקות [עדיף לבדוק את הנקודה אפס כמובן]) לגבי השאלה השנייה שליכבר שאלו אותה, תסתכל בארכיון 17 אבל אתה יודע שאם קיים טור חזקות המקדמים הם אלו של טיילור, למשל הפונקציה f(0)=0 f(x)=exp(-1/x^2) sהיא שווה לטור החזקות רק באפס למרות שהטור מתכנס בכל הישר (הוא תמיד אפס כי כל הנגזרות באפס הן אפס)מה שאני שואל זה איך הייתי יודע להבחין שהם שווים רק באפס למרות שהטור מתכנס תמיד, רק שזה לא תמיד לערך הפונקציה? :אל תבלבל. הקטע עם הבדיקה בנקודה זה רק כאשר הוכחת שהפונקציה שלך היא קדומה של טור חזקות כלשהוא ועשית אינטגרציה איבר איבר. באופן כללי למדתם משפט אחד שמאפשר לכם להניח שטור החזקות עם מקדמי טיילור הוא אכן הפונקציה וזה כאשר הנגזרות חסומות (ראה את ההשלמה). במקרים אחרים (כמו זה שתארת) אסור סתם להניח שיהיה שיוויון. כן, אבל בתכלס אם קיים טור חזקות המקדמים שווים למקדמי טיילורמה שאתה אומר זה להתייחס "כאילו" אנחנו לא יודעים את זה ולעבוד בשיטות אחרות כן?(במקרה והנגזרות לא בהכרח חסומות) :כן. יכול להיות שתשתמש בטריק כי אתה לא יודע להוכיח שהפונקציה שווה לטור חזקות, אבל גם יכול להיות שזה פשוט יהיה קל יותר מאשר לחשב את הנגזרות מכל סדר... סבבה תודה רבה
==שאלה==
האם יש אפשרות שמישהו יעלה את מה שעשו בתרגיל חזרה היום בבקשההמבחן ב15:30 נכון?כמה זמן הוא יארך??? כן, שעתיים
==שאלה==
מישהו יודע מה המבנה של המבחן, אורך?
תומר - אני יודע ... למה הסיגמה של 2*(שאלת מי יודע :n+1) ...*3^n חלקי שורש שלישי של n! מתכנס?יופי, :אתה יכול לפרטמתכוון ל<math>\sum \frac{2(n+1)3^n}{\sqrt[3]{n!}}</math>?תקח את השורש הn-י ותקבל 3 חלקי אינסוף כלומר שואף לאפס (הרי <math>\sqrt[n]{n!}\rightarrow \infty</math>)
לאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאא! :==התכנסות אינטגרלים==האם האינטגרלים הבאים מתכנסים???* <math>\int_{0}^{1} \frac{\theta}{\ln(\theta) די כבר עם הדברים השוליים האלו ! מה משנה מה מבנה המבחן ! התעסקו בלהתכונן ולא בחישובים טקטיים של מספר שאלות ..}d\theta</math>.אתם צריכים להבין שאנחנו לא מורידים חומר לפי המבנה,כי איננו יודעים לפי מספר השאלות מה יהיה במבחן......* <math>\int_0^1 \frac{dx}{\ln(x)}</math>זה רק עוזר להגיע רגועים יותר,ובכל מוסד כלשהו נהוג לכל הפחות לפרסם את מבנה המבחן...* <math>\int_{r=0}^{r=1} \frac{\sin(r^2)}{r}dr</math>.אם אתם לא מוכנים לפרסם היוםהאם אפשר לומר באינטגרל השלישי ש-<math>\int_{0}^{1} \frac{\sin(r^2)}{r}dr \leq \int_{0}^{1} \frac{r^2}{r}dr = \int_0^1 rdr = 1/2</math>,אז לכל הפחות בבקשה תפרסמו אותו ביום שלישי בלילה ואז עפ"י השוואה???
תומר - שאלות על מבנה המבחן הפנו לרוני ===תשובה===לא לשכוח לבדוק אם האינטגרל הוא אמיתי בכלל או מיכאל לא... אני לא נכנס לפרטים שהם למשל השלישי הוא פשוט זניחים בעל אי רציפות סליקה באפס ולכן אינטגרבילי (גם מה שרשמת נכון אבל בלי קשר) בראשון ובשני הצד הבעייתי הינו 1. אף אחד לא רוצה להכשיל או לתת ניתן לבצע מבחן קשה בכוונה ההשוואה עם <math>\frac{1}{1- והמבנה של המבחן לא יגיד לכם כלום . עד כאן .x}</math>
==שאלה==
צריך להפריך: אם (fn(x) היא סדרה מונטונית (הסדרה עצמה מונוטונית, לא הפונק', כלומר מונוטונית לפי n) של פונקציות רציפות המתכנסות נקודתית לפונק' f(x) בקטע I. אזי f(x) מונוטונית.
יש למישהו דוגמה להפרכה?
: [לא תומר/ארז] אולי הסדרה נתונה פונקציה f(x^2 + 1/n המתכנסת נקודתית לx^2?:::איך זה מפריך? פונק' הגבול היא x^2, מונוטונית.:::: קח את I להיות ) בקטע [1-a,1b] וזה לאונתון שהיא חסומה על ידי M.
נכון, כל סדרה קבועה של פונקציה שאינה מונוטונית גם תקיים את צריך להוכיח שאם f אינטגרבילית זה (בדוגמא הזו פשוט מזיזים את כל הפונקציה למטהגורר ש-f^2 אינטגרבילית.)
==שאלונת.==נניח והגדרנו את G(x) להיות האינטגרל של f מ0 ועד x. חסימות זה לא בעיה, אבל הסתבכתי עם התנאי השני
האם זה מוגדר היטב עבור x<0? כלומר, זה שווה למינוס האינטגרל כאשר מחליפים את הגבולות, אבל האם בפונק' זו, ובכלל כשאני מגדירה פונק' קדומה לפונקציה אחרת (במידה והיא אינטגרבילית למשל בכל קטע סגור), מותר לי להכניס X שקטן מ0?
תומר - בעצם אני יכול להשתמש במשפט שאם הפונקציות f, אם לוקחים איזושהיא נקודה קבועה c g אינטגרביליות בקטע כלשהו אז גם f כפול g אנטגרבילית שם, ומגדירים אינטגרל מסויים של פונקציה רציפה מ c כגבול תחתון , ל - x כגבול עליון - נקבל , שהפונקציה הזו היא קדומה של הפונקציה באיטגרנד ! (הסתכלו על ההוכחה ותראו שאפשר לעשות התאמה כזו ...)::אז לא ממש הבנתי.. כן מותר להציב x<0כאשר במקרה הזה g=f?תומר - מותר להציב כל x - בין היתר קטן מ c
:(לא ארז/תומר) ענו כבר על השאלה הזאת... לדעתי אי אפשר להשתמש במשפט, למרות שהוא נכון, כי אז התרגיל טריוויאלי.
:הנה ההוכחה- יהי אפסילון גדול מאפס. בכל קטע g(x1)-g(x2)=(f(x1)+f(x2))*(f(x1)-f(x2)<2M*W כאשר W היא התנודה של f בקטע. (g מוגדרת כ f בריבוע). מאינטגרביליות f קיימות חלוקה עבורה סכום התנודות קטן מאפסילון חלקי 2M. ועבור אותה חלוקה בפונקציה g סכום התנודות יהיה קטן מאפסילון.
השאלה היא תומר - ומה עם מידת נקודות אי רציפות ? אם f אתם יודעים שהפונקציה אינטגרבילית גם בשלילייםזה אומר שמידת קבוצת נקודות האי רציפות שלה היא אפס . אם מה עם נקודות האי רציפות של הפונקציה בריבוע ? האם היא מוכלת בזו של הפונקציה המקורית ? ואם כן, האינטגרל מאפס עד x שלילי הוא פשוט מינוס האינטגרל מx עד 0 (כמו שאמרת) ולכן מה זה בוודאי מוגדר היטבאומר על מידתה ? ...
תומר ==שאלה==צריך להוכיח שהטור הבא מתכנס במ"ש. f(x)= sum from 0 to infinity of (e^- שאלת וענית בעצמך ! אני הוספתי שאפשר למצוא קדומה לפונקציה רציפה כאשר האינטגרל מהמשפט היסודי של החוודא מוגדר גם nx)* cos(nx) s בכל קטע (a, infinity] כאשר a>0 ניסיתי עם מבחן ה-m ולא הצלחתי.מישהו?אפשר להשוות עם e^-n במבחן הM לא? :(לא ארז/תומר) אני חושב שצריך להשוות עם e^-an ... עם e^-n וזה עובד. עכשיו בסעיף הבא הם רוצים להוכיח/להפריך שf(x כגבול עליון ) שזה הסכום הוא פונקציה רציפה ב(o, בעצם קטן יותר מהגבול התחתון ! כמובן כאשר infinity). הבעיה זה שזה קטע פתוח ולא סופי.. עדין אפשר להשתמש במשפט על טור של פונקציות רציפות המתכנס במ"ש? :תמיד משתמשים באותו טריק (לא התעמקתי בשאלה, מקווה שרלוונטי) אם ההתכנסות היא במ"ש על כל תת קטע סגור וסופי אז יוצא שפונקצית הגבול התחתון זו רציפה בכל נקודה פנימית בקטע כך שיש סביבה שלה שמוכלת כולה בקטע !בלי שתהיה התכנסות במ"ש על הקטע האינסופי/פתוח כולו. == תרגיל 11 ==מישהו יכול לכתוב שוב את הלינקים לתרגילים שבתרגיל 11, הלינקים לא עובדים לי. :ארכיון 16...
==שאלה==
לא צריך לדעת לשנן משפטים לפי נוסח מדויקמתי יפורסמו ציוני התרגיל והבוחן (אני יודע שיש לנו אותם, נכון? הכוונה עם פקטור, וציוני תרגיל 8/10 אם אני לא יבקשו מאיתנו 'לצטט במדויק את המשפט היסודי של החדו"א...'טועה) והאחוזים מהציון הסופי?
מצטרף!! תומר - לגבי הוכחת המשפטים עצמם - לזה כבר התייחסו המרצים יפורסם בשעות הקרובות . אבל נוסח משפט - ברור שחייבים לדעת אני עצמי עוד בודק תרגילים שהוגשו באיחור(! אחרת איך תדעו האם בכלל אתם יכולים להשתמש במשפט ?::ואם אנחנו יודעים באופן כללי? צריך לדעת ממש באופן מדויק כל משפט ומשפט?) .סבלנות . תומר - לא יודע מה זה "כללי" - או שיודעים מה טענת המשפט או שלא יודעים . לדוגמא - יש הבדל אם באיזה משפט פונקציה צריכה להיות רציפה , או שצריך לדרוש גזירה שזה תנאי חזק יותר . או למשל בתנאי דיני להתכנסות במידה שווה בקטע - הקטע צריך להיות סגור או שלא חייבים שיהיה סגור ... למשל . אם לא נזכור נוסח של משפט איך נדע שמותר להשתמש בו ??חדש?
==שאלה==
אוקי, נניח ויש לי סדרת פונקציות, ואני צריכה לבדוק לאילו ערכי אלפא הסדרה מתכנסת במ"ש ב0,אינסוף (חצי סגור) וב[0,1]. קודם כל בדקתי את 0 אינסוף, והגעתי לזה שעבור אלפא קטן מ2 ==> הסדרה מתכנסת במש.
התחום השני, [0,1], מוכל בתחום הראשון - ונניח שהגעתי לזה שהסדרה מתכנסת במש בתחום זה עבור אלפא גדול מ2-. מכיוון שהתחום מוכל, זה אומר לי גם שבפרט הסדרה מתכנסת במש גם עבור אלפא קטן מ2, וביחד - עם שתי המסקנות האלה - מתכנס לכל אלפא?
איך מראים שהטור מ-n=1 עד אינסוף של sin(nx) מתבדר?
תומר - האם האיבר הכללי בטור ===תשובה===לכאורה כן, עבור x קבוע (וכמובן שונה מכפולות של פאי אני לא מבין מה השאלה.הרי ברור שאם זה מתכנס במ"ש לכל אלפא גדול ממינוס 2 או קטן משתים בפרט זה מתכנס לכל אלפא.השאלה האמיתי היא אם החישובים שלך נכונים.) שואף לאפס ? זו שאלה שמזכירה אינפי :השאלה היא כזו - הוכחתי שעבור אלפא קטן מ2 זה מתכנס במ"ש ב0,infinity. רק רציתי לוודא שזה אומר שעבור אלפא קטן מ2 זה מתכנס במ"ש גם ב[0,1 ]. האם הגבול של הסידרה sinnx שואף לאפס ? וביתר כלליות - האם בכלל קיים גבול לסידרה זו זה נכון?
חישבו ::הדגש הוא על הקטע הסגור? אם יש התכנסות באפס אז כן, אם לא אז לא:::כן, מדובר על זה קצת - ואם אראה שבעייתי - אצרף פיתרון קטעים סגורים. נסו להשתמש בנוסחאות טריגונומטריות תודה: )
sinאני טועה או שבהתחלת ההרצאה האחרונה רוני אמר שבטווח שבין רדיוס ההתכנסות לבין המינוס שלו(n+1לא כולל הוא עצמו)x-sin(n-1)x=2cos(nx)*sinx (הפרש סינוסים הפונקציה מתכנסת, ואח"כ הוא אמר שהיא גם מתכנסת במ"ש בכל קטע סגור שמוכל בקטע הזה...) , ובסינוס זווית כפולה : sin2nx=2sinnx*cosnx ..?:זה נכון לגבי טור חזקות, אני לא בטוח איך זה קשור פה.
==::יש עוד תרגיל==תהי סדרת פונקציות מונוטוניות מתכנסת. הוכח/הפרך: פונקצית הגבול הינה מונוטונית==תשובה==(לא ארז/תומר)-מקום עם רדיוס התכנסות חוץ מטור חזקות??? ושאלתי כי זה נראה לי שזה נכון. תניח בשלילה שפונקצית הגבול לא מונוטונית. נניח ב.ה.כ שמדברים על מונוטונית יורדת. מוזר להוכיח משהו ואז קיימת נקודה b>a כך ש: (f(b)>f(a.כעת נתבונן באפסילון שקטן מ-f(b)-f(a))/2), וע"פ הגדרת הגבול תקבל שקיים N כך שלכל n>N קיימת נקודה x1 כך ש-fn(x1) קרובה ל-f(b) עד כדי אפסילון וכן אותו הדבר לגבי x2 כך שfn(x2) קרובה ל-f(a) עד כדי אפסילון. מכיוון שאין חיתוך בין תחומי האפסילון אזי בהכרח (fn(x1)>f(nx2 לכל n>N, בעוד שמכיוון שx1 שואף לb וx2 שואף לa אזי x1>x2 בסתירה למונוטוניות (היורדת) של fn.כל מה שנותר להוכיח זה שאם fn מונוטוניות יורדות אזי f לא יכולה להיות מונוטונית עולה שזה פשוטמשהו ותר חזק במקום להוכיח ביחד.למה פה? איפה עוד אני יכול לכתוב???
:::לא פה בפורום, התכוונתי פה בשאלה הזו... רדיוס התכנסות זה מושג של טור חזקות, וכאן מדובר על סדרת פונקציות.
==שאלה==
תחום ההתכנסות במ"ש של טור חזקות הוא בדיוק תחום ההתכנסות שלומצטער על הבורות רגע לפני המבחן- מה זה גזירה איבר-איבר?ואינטגרציה איבר איבר? בבקשה שלא יהיה מסובך....
===תשובה===אם הוא נניח ויש לך טור מתכנס (אפילו בתנאי) בR הוא מתכנס במידה שווה בקטה הפתוח (R<math>g=\sum f_n</math>. השאלה היא מהי הנגזרת של g. אם מותר לגזור איבר-איבר אזי <math>g' = \sum f_n'</math>. שים לב שזה לא תמיד נכון,רק כאשר המשפטים מאפשרים לגזור איבר-R)איבר.
אם הוא מתבדר בR הוא לא מתכנס במידה שווה בקטע הפתוח (R,-R)אינטגרציה זה דומה <math>\int g = \sum \int f_n</math>
בכל מקרה לכל ==שאלה==אם טור חזקות מתכנס גם בR וגם בR-, זה אומר שהוא מתכנס במ"ש ב[0<,R>r הוא מתכנס במידה שווה בקטע הסגור ] וב[r-R,r0] ואז זה אומר שהוא מתכנס במ"ש ב[-R,R]?
:אני לא חושב שזה נכון - בהרצאה למדנו שאם הטור מתכנס ב-x=R אז הטור ==תשובה===כן. באופן כללי אם טור מתכנס במ"ש ב-[R,0] , וכך גם עבור x=-R , אז בסה"כ מקבלים שתחום ההתכנסות בשני קטעים סגורים צמודים הוא מתכנס במ"ש תמיד שווה לתחום באיחוד הקטעים. כי מהירות ההתכנסות (אלא אם R=0 ואז יש רק התכנסות נקודתית)עבור אפסילון היא המקסימום בין שני הn_0 של שני הקטעים.
==שאלה:)==שיהיה בהצלחה לכולם! לא הבנתי משהו. כתוב לי במחברת שהטור פונקציות x^k מ1 פחות מ100 :) תומר - מצטרף ! שיהיה בהצלחה לכולכם - במבחן הזה ובכל אלו אחריו :):תודה, ותודה לכם על סמסטר נפלא (עד אינסוףכמה שהיה אפשר. אינפי, בקטע אתם יודעים). תודה על התרגולים המצויינים, אפילו שהיו יותר מידי אנשים בכיתה... ותודה על ההשקעה בנו ועל כל העזרה (1האתר,1וכל דבר אחר). אולי תהיו מתרגלים שלנו באינפי 3?:ושיהיה בהצלחה לכולם! ==לארז ולתומר==רגע אחרי המבחן, וכמה ימים לפני שהאתר יתחיל לשמש, כנראה, תיכוניסטים תמימים שצעירים מאתנו בשנה, ואתם אורזים את הכל בשבילם, רציתי לומר לכם, לשניכם במ"ש, ת-ו-ד-ה ר-ב-ה!! על כל ההשקעה, הזמן, הרצון והכוח שהיה לכם להתמודד עם שתי קבוצות רועשות כמו שלנו, ועוד בקורס קשה כמו אינפי 2! שיהיה לכולנו המון בהצלחה בהמשך! מצטרף בהחלט, המון תודה לשניכם, ואולי נתראה בהמשך...:מצטרפת.. ממש תודה על הכול! מה נעשה בלי Math-wiki..מצטרף! זה לא מובן מאליו... ועם זאת, מתי נדע כמה פקטור יהיה(בטוח יהיה...!!) פונ' הגבול שלו רציפה : x/1:תודה רבה על כל האיחולים -x וגם המתרגלים. (בלי קשר, אני אפרסם עוד כמה דקות פתרון למבחן בדף הקורס) אני מסכים לגמרי עם כל x^k רציפותהשאר. אתם באמת השקעתם את כל כולכם בנו ובהצלחה שלנו. באמת רואים שאכפת לכם מאיתנו למרות כל הקיטורים, בקשות לדחיות, התחננויות ולפעמים אף בכי P=אני רק לא מבין משהו אחד. ניסיתי להבין מה הייתה התועלת בשיעורי חזרה ובתרגולים הנוספים שעשיתם, ואני לא מוצא בהם תועלת למבחן... לא עשינו אפילו תרגיל אחד שהיה אפילו דומה לשאלות שהיו במבחן (אני לא מתכוון לשאלות בדיוק כמו שהיו במבחן, אבל ההתכנסות אינה במ"שלפחות בסגנון ובנושאים). השאלה שלי היא למה.. כאילו שמתם דגש בשאלות לא דומות למבחן בשביל מה? הרי הסכום הN של הטורראיתם את המבחן כבר... לי אישית היה די קשה להגיע לבר אילן, הוא מ1 עד Nלתירגולים, באותו היום אבל הגעתי בכל זאת כי חשוב לי להצליח במבחנים (כמו לכולנו), אבל בתכלס שאני מסתכל על היעילות שלהם לאחר המבחן לא עזר בכלל, אלא להיפך.כל מה שאני מנסה להגיד, וSn זה סכום סדרה אינסופית מתכנסת Sn=a1/1-qשבתרגולי חזרה לפני מבחן, תעזרו קצת יותר בכך שתתרגלו אותנו נכון, ולא לבלבל לנו את השכל עם שאלות לא קשורות בכלל. ואז Sn-S.. אחר כך מתלוננים שאנחנו לא מקבלים ציונים נורמלים ואתם נאלצים לעשות פקטור סתם!תודה על הכול (וזה בשיא הכנות) כי באמת השקעתם בנו =0 ואז זה בסדר==תשובה===אני אענה לשאלה שלך בשני מישורים* הראשון והחשוב יותר: מטרתנו הראשונה והעיקרית כמורים הינה ללמד אתכם מתמטיקה ו'''לא''' להכין אתכם למבחן. הכנה למבחן הינה משנית (אמנם חשובה גם כן). קשה להגיע לבר אילן גם במהלך הסמסטר, אך אתם מגיעים על מנת ללמוד. הסיבה שאנו רואים את המבחן קודם לכן היא בעיקר על מנת לוודא איכות שלו (שאין טעויות, רמה סבירה וכדומה), עלינו להעביר שיעורי חזרה כאילו לא ראינו את המבחן. איפה הטעות שלי? עריכה*שנית, אני אפריך לחלוטין את הטענות שהעלאת: **שיעור ההשלמה היה חלק מחומר הקורס וכלל שאלה שהופיעה כלשונה במבחן! (הוא היה לפני שראינו את המבחן). אז כבר 20 נקודות מתנה על שיעור ההשלמה והחומר שהועלאה לאתר (אני לא משנההעברתי את השאלה פרונטלית אבל תומר כן). זה כי הנוסחא S=a1/1-q עובדת רק אמרנו לכם לקרוא את שיעור ההשלמה.**שיעור החזרה כלל שאלה כמעט זהה לחלוטין לשאלה 3 מהמבחן (אני העברתי אותה ותומר לא).**יום או יומיים לפני המבחן עניתי באתר על סדרה הנדסית שאלה דומה לשאלה 2 במבחן, והדגשתי דברים שלא היו בשאלה המקורית כי ידעתי שזה יעזור למבחן.*אינסופית*שאר השאלות, בוודאי היו דומות והתעסקו בנושאים דומים... מעבר לכך, תודה על ההכרה בעבודה שלנו. תאמינו לנו שמה שעכשיו נראה לכם לא כיף, בעתיד אתם תראו כאתגר שהצלחתם בו. החיים הם לא מיטת שושנים, ומי היה רוצה לישון במיטת שושנים בכלל? זה דוקר!:זה לא רק דוקר, זה גם צמיגי :P::מתי יעלו ציוני תרגיל? :::אנחנו נעלה אותם היום==יש לי שאלה==האם בשאלה 4ב במבחן היה אפשר להגיד שההתכנסות היא ל0 כי תנאי הכרחי להתכנסות הטור היא שאיפת האיבר הכללי לאפס(הוכחה של התכנסות לאפס לא התכנסות במש)? ===תשובה===כן, זה מוכיח בהחלט התכנסות נקודתית לאפס (ולא במ"ש כפי שציינת)
==שאלה==
נניח יש לי טור פונקציות שרץ על fn (הסדרה המזהה שלו). למה אם הטור |fn| מתכנס במ"ש בI, אז גם הטור המקורי מתכנס במ"ש בI?
ועוד שאלה: אם יש לי סדרת פונ' fn כך ש|fn| מתכנסת לפונ' גבול כלשהי f במ"ש, האם זה אומר שfn המקורית מתכנסת לf1 כלשהי במ"ש?
יש טעות בסיכום במשפט פרמה, לא? המשפט הראשון בעמוד הראשון של הסיכום...התנאים לא צריעכים להיות הפוכים??למה מופיע לי ציון 0 בתרגיל מספר 2 אם הגשתי אותו?:S
:זו שאלה:איך מוגדר אינטגרל של פונקציה ממינוס אינסוף לאינסוף? הגבול כאשר c רץ לאינסוף של אינטגרל של הפונקציה מ c- עד c או פשוט פיצול לשני אינטגרלים לא אמיתיים ואז כל אחד שואף בקצב שלו? זה משנה כי במקרה של פונקציה איזוגית-למשל x באפשרות הראשונה זה 0 ובשניה אינסוף פחות אינסוף שזה מתבדר.....(נכוןפילוסופית?)תודה.
==הודעה==
למה אם f פונקציה רציפה, מחזורית ואי-שלילית בממשיים(f אינה זהותית אפס) אז הגבול יש ציונים!!== מבחן == היה פקטור במבחן? ואם כן של f(x)/x^3 אינו אפס כאשר x שואף לאינסוףכמה?? הרי f חסומה מהנתונים מצטרף לשאלה... מאוד חשוב לנו לדעת האם להגיש ערעור או שלא.... והאם לגשת למועד ב או לאבקיצור ממש חשוב לנו לעת האם היה פקטור... :תשאלו את המרצים,לא? רוני נתן שאלה כזאת ואמר להוכיח שהאינטרגל של fאנחנו (xהמתרגלים)/x מ1 עד אינסוף מתבדרלא יודעים. ואם הגבול שאמרתי מקודם שווה ל0 אז לפי מבחן ההשוואה האינטגרל מתכנס, אז כנראה שהגבול איננו 0,למה???
