'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 16| ארכיון 16]]''' - לקראת המבחן
'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 17| ארכיון 17]]''' - לקראת המבחן
=שאלות=
=סיכום=מצורף סיכום ממש טוב של כל המשפטים שנלמדו בקורס... תהנו!! (קרדיט ליותם ברקוביץ'): [[מדיה:summary_yotam.pdf|סיכום]]שאלה==
ארז - אתה יכול בבקשה לשים אותו בדף הראשייהיה במבחן פונקציות עם שתי משתנים? תודה...:לא שידוע לי, אם המרצה אמר שיהיה אז יהיה, אם לא אז לא
==שאלה==איך מוכיחים התכנסות של האינטגרל מתומר -0 עד 1 של <math>ln^a(x)</math> עבור a חיובימה פתאום שיהיה משהו שלא למדתם ?:(לא תומר/ארז)עבור a חיובי? זה נשמע קצת מוזר, כי ln(x) הוא שלילי בתחום הזה, ואם למשל נבחר a=0.5 כל הפונק' לא תהיה מוגדרת בתחום הזה..::עבור a>=1, אפשר להשוות את הערך המוחלט בחזקת אלפא עם הערך המוחלט עצמו (קטן שווה ממנו), ואז בגלל ש|lnx| מתכנס ב[0,1] (לפי אינטגרציה בחלקים פשוטה)? הגיון חבר"ה , גם שלנו מתכנסהגיון !
==שאלה==תהא <math>f_n</math> סדרת פונקציות רציפות תחת אילו תנאים ניתן לומר שאינטגרל על [0,1] שמקיימות <math>f_n(0)=0</math> לכל n, ותהי f רציפה על [0,1] המקיימת את אותו התנאי. אם האינטגרל מ-0 ל-x סכום אינסופי של פונקציות שווה לסכום האינסופי של <math>f_n</math> מתכנס לאינטגרל מ-0 ל-x האינטגרלים של f במ"ש ב-[0,1], הוכח או הפרך : <math>f_n</math> מתכנס ל-f בקטע [0,1].הפונקציות?תודה
(לא ארז/תומר)הפרכה, תיקח fn(x)= x^n ו f=0 כל התנאים מתקיימים - מפנה אותך לנוסח משפטים המתאימים ! יש משפטים שמתארים תנאים מספיקים לכך . ייתכן שיהיו מצבים נוספים שזה יתקיים אבל fn לא מתכנסת לf בקטעאז צריך לבדוק כל מקרה לגופו.:יפה, תודה רבה!
==שאלה==
הרגע גיליתי משהו שזעזע אותי - נניח יש לי טור פונקציות שרץ על fn (הסדרה המזהה שלו). למה <math>\frac{e^{4n}}{n!} \rightarrow 0</math> אם הטור |fn| מתכנס במ"ש בI, אז גם הטור המקורי מתכנס במ"ש בI?
(לא ארז/תומר) תנסה את מבחן דלאמבר לסדרות*נקודתית זה ברור מאינפי 1. מקבלים ביטוי ששואף לאפסלבמ"ש ההוכחה דומה. שארית הטור לא בהחלט קטנה משארית הטור בהחלט, בפרט קטן מאחד החל מ-N0 מסי\ויים, ומכאן שהסדרה אכן שואפת לאפס!כלומר הטור לא בהחלט מתכנס מהר יותר מאשר הטור בהחלט.
ועוד שאלה:למה אם יש לי סדרת פונ' fn כך ש|fn| מתכנסת לפונ' גבול כלשהי f במ"ש, האם זה מפתיעאומר שfn המקורית מתכנסת לf1 כלשהי במ"ש? למעלה יש לך e^4 (קבוע) בחזקת n ולמטה יש n!. שניהם זה מכפלה של n איברים. כאשר n גדול הרבה יותר מe^4 הביטוי למטה גדול יותר.
*ברור שלא.... אינפי 1. <math>fn==שאלה==(-1)^n</math> לא מתכנס בכלל, אבל הערך המוחלט מתכנס במ"ש. אם יש לי פונקציה שהיא מנה/מכפלה טעות בסיכום במשפט פרמה, לא? המשפט הראשון בעמוד הראשון של שתי פונקציות שאני יודע לפתח לטור חזקותהסיכום. האם אפשר לפתח כל אחת מהם בנפרד ואז להכפיל/לחלק את האיבר הכללי..התנאים לא צריעכים להיות הפוכים? מה קורה לx?? *נכון מאד, הסרתי את הסיכום. המשפט אומר שאם יש מקסימום/מינימום והפונקציה גזירה הנגזרת הינה אפס. בוודאי שאם הנגזרת אפס אין שום הכרח שיהיה מינימום/מקסימום (לדוגמא x^n 3). שאלה:איך מוגדר אינטגרל של פונקציה ממינוס אינסוף לאינסוף? הגבול כאשר c רץ לאינסוף של אינטגרל של הפונקציה מ c- עד c או פשוט פיצול לשני אינטגרלים לא אמיתיים ואז כל אחד שואף בקצב שלו? זה משנה כי במקרה של פונקציה איזוגית-למשל x באפשרות הראשונה זה0 ובשניה אינסוף פחות אינסוף שזה מתבדר.....(נכון? )תודה.הכוונה שלי לפונקציות כמו:*הוא מוגדר בתור הסכום של שני אינטגרלים לא אמיתיים. האינטגרל על הפונקציה x למשל מתבדר. למה אם f=lnפונקציה רציפה, מחזורית ואי-שלילית בממשיים(1+xf אינה זהותית אפס)/אז הגבול של f(1+x) wאת הלאן ואת 1+/x אני יודע לפתח לטור חזקות^3 אינו אפס כאשר x שואף לאינסוף?? הרי f חסומה מהנתונים, האם במקרה זה האיבר הan לא? רוני נתן שאלה כזאת ואמר להוכיח שהאינטרגל של f בטור (x)/x מ1 עד אינסוף מתבדר. ואם הגבול שאמרתי מקודם שווה לחילוק האיברים an בשני הפיתוחיםל0 אז לפי מבחן ההשוואה האינטגרל מתכנס, אז כנראה שהגבול איננו 0,למה???
===תשובה===
לא. חלוקה וכפל של טורים אינה חלוקה וכפל איבר-איבר
==המשך השאלה==אז איך כן מפתחים את הפונקציה הזו לטור חזקות? הגעתי למצב שאני צריך לפתח את ln^2(1+xתומר - כמה שאלות , כמה שאלות ! :) לטור חזקותלשאלה הראשונה על התכנסות עם ערך מוחלט גוררת התכנסות בלי , אבל כמו שאמרת, מכפלה של טורים זה לא מכפלה איבר איברבמידה שווה - ראה משפט שהוכחתם .או - אפשר לנסות לבד פשוט ביישום של קריטריון קושי להתכנסות במ"ש ! .
תומר אינטגרל ממינוס אינס' לאינס' מוגדר על ידי פיצול באיזו נקודת ביניים - יש בתורת טורי החזקות משפטים שמתייחסים למכפלת טורים , שאותם לא למדתם (זה לא שונה ממכפלת פולינומים אבל בכל אופן כאשר הגבולות שלהם - רק שכאן יש אחד עם פרמטר לאינסוף ושני עם פרמטר למינוס אינסוף מקדמים ויש להתייחס לשאלת ההתכנסות של הטור שמתקבל ...) פונקציה כזו היא "קלאסית " ליישום - הם לא תלויים אחד המשפטים בשני ! ובטח לא ממינוס סי לסי כאשר סי שואף לאינסוף . מעבר לזה זהו אינטגרל שקיים בשימושים אבל יש לו שם - אפשר לנסות למצוא נוסחא שנותנת נגזרת מסדר n PRINCIPAL VALUE - אבל זה יוצא ארוך , אבל אם מציבים אפס (טור מקלוריין ) אפשר לנסות להשתמש בה . אבל שוב - הדרך לפתח טורים ספציפיים כאלו - ( שלא ניתן למשל למצוא איזה טור הנדסי אינסופי כמו שראינו בכיתה) היא בעזרת משפטי המכפלה לא האינטגרל בקורס שלנו !!! .
לגבי שאלה אחרונה - תן בבקשה את ניסוח השאלה המלא כדי שאוכל להתייחס .
אז דבר כזה לא יכול להופיע ==שאלה מסודרת ==נתונה פונקציה fרציפה,מחזורית ואי-שלילית ב-R. היא אינה זהותית 0.הוכח: האינטגרל של f(x)/x מ-1 לאינסוף מתבדר. תוכל גם להגיד לי למה אי אפשר להוכיח שזה מתכנס עם שימוש במבחןההשוואה השני? כי f לפי הנתונים חסומה,לא? ואז הגבול של (f(x)/x)/x^2 שווה לאפס ולפי המבחן f(x)/x מתכנס, כי האינטגרל של x^2 מתכנס...
===תשובה===(לא ארז/תומר - רק ) נראה לי שהטעות שלך היא כזו , כשאתה עשית את מבחן יש לכם בראש ? ההשוואה, עשית את זה עם הפונ' x^2 והאינטרל של זה מתבדר בקטע 1 עד אינסוף (יש מונדיאל :אתה מתבלבל עם 1/x^2) - אפשר להניח שדבר כזה לא ישאלו אתכם - ומה שיכולים לשאול זה משהו שבזמן סביר ניתן לפיתוח( או על ידי זיהוי אפשרות להגעה לסידרה הנדסית כמו שעשינו בשיעור היום ...)
==תזכורת לארז==:אבל אמרתי בקטע 1 עד אינסוף...לא מאפס!היי ארז::הוא העיר לך על הפונקציה ולא על הקטע. x^2 זו פונקציה ששואפת לאינסוף ובפרט אינה אינטגרבילית על הקטע האינסופי. ובנוגע להוכחה ,אני עשיתי את זה בדרך הבאה:בשיעור החזרה היום ביקשת ממני להזכיר לך לבדוק נסמן את ההוכחה שלכם לתרגיל האחרון בקובץ החזרה המחזור של תומרF כ-T, אנחנו יודעים שהפונ' אינה זהותית אפס, לכן יש נקודה X0 בקטע [1,1+T] כך ש- (''f''(''x0'' שווה ל-M גדול ממש מאפס. בקשר להתייחסות לגבול העליוןמכיוון ש-F רציפה יש סביבה [a,b] של X0 כך שכל ס בקטע מקיים f(x)>M/התחתון כאל גבול ממש2 (או אפילו גדול שווה, והטענה שמשהו מתקיים לכל זה לא משנה) וכעת, מכיוון ש-F אישלילית , נגדיר פונקציה חדשה G להיות M/2x בכל קטע מהצורה [a+n גדול מ*T,b+n*T] כאשר n טבעי ואפס בכל נקודה אחרת. ברור כי שתי הפונ' אי שליליות, אינטגרביליות בכל קטע מהצורה [one,R] כש-NR>1 (F רציפה בכל קטע כזה, ול-G יש מספר סופי של נקודות אי רציפות מהסוג המתאים) ולכן אם האינטגרל של G בטע 1 עד אינסוף מתבדר, כך גם האינטגרל הלא אמיתי של F. תודה ועכשיו, להראות שהאינטגרל של G בקטע 1 עד אינסוף מתבדר, זה לא כזה מסובך (אני עשיתי לפי קריטריון קושי, אבל אני בטוחשאפשר בעוד דרכים, ואין לי כח לכתוב את זה) ובסה"כ קיבלנו שהאינטגרל של f(x)/x ==שאלה==למה במבחן ההשוואה הראשון רוני ציין שאם 0<g ו f>g והאינטגרל של f מתכנס(לא אמיתי, בשנ הסוגים הוא אמר ככה...) אז האינטגרל של g מתכנס. הוא לא אמר שאם g מתבדר גם f מתבדר,זה לא נכון??
===תשובה===
מה שרשום שם המשפט השני הוא כך: נניח והגבול העליון הוא Lהיקש לוגי מהראשון. לכל x>L קיים n_0 כך שלכל n>n_0 הסדרה קטנה מx. זה נכוןלא יכול להיות שf יתכנס אבל g יתבדר, כי L הוא הגבול העליון. לכן אם תמיד היה איבר בסדרה שגדול מx אז היה גבול חלקי גדול או שווה לx שגדול ממש מL בסתירהg מתבדר אזי f מתבדר.
סבבה, תודה :]==שאלה==
בתרגיל 11 שאלה 3 - לעוד מישהו יצא רדיוס התכנסות אפס?
:: [לא תומר או ארז] לי דווקא יצא 1
==שאלה==
אם אני רוצה לפתח לטור חזקות את צריכה להוכיח שפונק' כלשהי היא אינטגברילית רימן, והראיתי שהסכום רימן שלה לכל חלוקה מתאימה ולכל בחירה אלפא חסומה בין הסכום רימן של פונק' אינטגרבילית(!) אחרת פחות אפסילון, ואותו סכום ועוד אפסילון. האם זה מראה לי שהפונק' שלי אינטגרבילית גם? ויותר מזאת, שואפת לסכום I של אותה הפונקציה cosהשניה?:הסכום רימן של הפונקציה האחרת עבור אותה חלוקה? ומה זה האפסילון הזה? במה הוא תלוי? ==שאלה==נתון כי f אינטגרבילית וחסומה ע"י M. צ"ל שf^2 אינטגרבילית באותו קטע.יש דרך להראות את זה לא ע"י הרכבת פונקציות (xשבדרך זו הנתון ע"י החסימות מיותר)?מהי הדרך? :הנתון על חסימות מיותר איך שלא תסתכל על זה, שכן זו פונקציה אינטגרבילית (ולכן חסומה) אבל יש דרך להראות את זה חוץ מהרכבה של פונקציה רציפה ופונקציה אינטגרבילית? תומר - מידת קבוצת נקודות אי הרציפות של הפונקציה החדשה היא אפס ? ... (לא ארז/x תומר) כן יש פיתרון אחר, והוא בעזרת תנאי רימן לאינטגרביליות. מותר לי לפתח f^2 חסומה (ברור), ונותר להראות את cosהתנאי השני.בקשר אליו, קל להראות ש w(xf^2) לטור חזקות ואז רק לחלק <= w(f)*2*M (כאשר w הוא התנודה בקטע), ומכאן קל להמשיך. מראים את xזה כך, לכל x1,x2 בקטע כלשהו מתקיים:f(x1)^n 2-f(x2)^2<=(f(x1)-f(x2))*(f(x1)+f(x2)), ומכאן זה ברור ==שאלה==התבקשתי להביא דוגמה לסדרת פונק' fn רציפות ב[0,1] כך שfn(x)-->0 לכל X בתחום, אך האינטגרל של fn מ0 עד 1 אינו שווה ל0. - האם הפונקציה x ולקבל ^n(x^n-1 והשאר ) qq מקיימת את הדרוש? הפונק' אכן רציפות ב[0,1], פונקצית הגבול היא 0, אבל האינטגרל יוצא, אם אני לא משתנהטועה, וזה הפיתוח של cos1/n פחות 1/(x2n+1)/x לטור חזקות?..
===תשובה===
אתה בטוח שהאינטגרל שונה מאפס ולא '''שואף''' לאפס? כי כמעט כל סדרה שתבחר תעמוד בתנאי הראשון (למשל הסדרה של הפונקציות הקבועות <math>\frac{1}{n}</math>). אם אתה רוצה סדרה שהאינטגרל עליה אינו שואף לאפס, קח סדרה של פונקציות הבאה: הגרף של הפונקציה ה-n הוא משולש עם בסיס <math>\frac{1}{n}</math> בגובה 2n וכל שאר הפונקציה היא אפס. הסדרה הזו שואפת לאפס (כמובן שלא במ"ש) והאינטגרל על כל פונקציה בסדרה הוא תמיד 1. ==שאלה==נראית נחמדה. f:[0,1] ---> R היא פונקציה רציפה אי שלילית המקיימת f(x)<=sinx לכל x בתחום. צריך למצוא את כל פתרונות המשוואה: cosx+quad(f,0,x)-1=0.(קוסינוסX ועוד האינטגרל של f מ0 עד x פחות 1 = 0.)מעבר לעובדה שx=0 הוא פתרון אחד של המשוואה, לא הצלחתי להוכיח שלא קיימים עוד פתרונות/למצוא פתרון נוסף. ניסיתי להניח שקיים ולהשתמש במשפט רול, ניסיתי להשתמש בזה שאי שיוויון ברמת הפונק' ==> אי שיוויון ברמת האינטגרל אבל בסופו של דבר לא הגעתי למשהו שמוכיח. יש רעיון למישהו?::מישהו?? :::אם f=sinx אזי זו הפונקציה הקבועה אפס. אם f קטן ממש מהסינוס אזי הנגזרת בעלת סימן קבוע (שלילי) והפתרון היחיד הוא אפס ==שאלה==מישהו מוכן להסביר לי באילו מקרים כדאי לעשות גזירה איבר איבר, ומתי לעשות אינטגרציה איבר איבר? תודה.:כדאי? תמיד. מותר? כאשר יש התכנסות במ"ש לפי המשפטים שלמדתם בכיתה. ==שאלות מעניינות==* הוכח או הפרך:תהי <math>f_n(x)</math> סדרה של פונקציות גזירות ברציפות המתכנסות במ"ש לפוקציה <math>f</math>, אשר גם גזירה ברציפות,ב-<math>[a,b]</math>.אזי ש- <math>f_n' \rightarrow f'</math> במ"ש על הקטע <math>[a,b]</math>.* בנוגע למשפט דיני לטורים, נניח שיש לי טור <math>u(x)=\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)</math>, כך ש-<math>a_n(x)>0</math> והטור מתכנס ב-I. מתי אני יודע אם הפונקציה הגבולית רציפה, כך שאוכל להישתמש בדיני ולקבוע שההתכנסות במ"ש.נשמח לתשובה ממישהו,די דחוף! תודה!!! :) תומר - אם ניקח את הסידרה cosnx ונחלק הכל ב n . האם קיבלת סידרה שמתכנסת במ"ש ? ומה עם נגזרותיה ? ... לגבי דיני - פשוט לבדוק רציפות לפי הגדרה - גם לא אמרת שהפונקציות בסידרה רציפות - שים לב לתנאי המשפט ! . ==שאלה== שאלה שנתקעתי עליה ואשמח לכיוון: int(arctan(x)/[(x*(ln(x+1))^2)], x = 0 .. infinity) ניסיתי דיריכלה, חשבתי על השוואה, ופשוט לא מצאתי. אשמח לעזרה ::מצטרף לשאלה!! איך פותרים את הדבר הזה? (לא ארז/תומר) כןתנסה השוואה עם אחד חלקי [x*ln(x)^2]. שים לב ש arctanx שואף באינסוף לחצי פאי, מותרושעם קצת אלגברה אפשר להוכיח שמנת ה-ln-ים שואפת לאחד. כדי להראות התכנסות של האינטגרל החדש, אפשר להשתמש בהצבה t=ln(x), או לחילופין להשתמש במבחן האינטגרל+מבחן העיבוי לטורים תודה רבה :) זה לא נכון, כי יש בעיתיות גם בנקודה x=1 וגם באינסוף. ההשואה שנתת עוזרת רק לחלק של האינסוף : אבל אני לא חושב שאמורה להיות בעיה, כי זאת בעיה בנקודה, וזה לא אינטגרל לא אמיתי מסוג שני. ::אתה מפצל את זה לשני אינטגרלים: האינטגרל מ-1 עד אינסוף מתכנס (כי מורידים את ה-ln בעזרת אי שוויון והאינטרגל (arctanx/x^2) מתכנס (השוואה עם 1/x^2)...::עכשיו בקשר לאינטגרל מ-0 עד 1 אתה יודע ש- ln(1+x)<x לכל x ב-[0,1] ולכן האינטרגל שלנו גדול מהאינטגרל של arctan(x)/x^4 וזה מתבדר ע"פ השוואה עם 1/x^4 שמתבדר בקטע [0,1], ולכן זה גדול מאינטגרל מתבדר וזה סה"כ מתבדר. (אשמח לקבל אישור מאחד המתרגלים =) ). :(לא ארז/תומר) עבור האינטגרל מ-0 עד 1, תנסה מבחן השוואה גבולי עם אחד חלקי x^2 . שים לב ש arctanx/x שואף לאחד וש ln(1+x)/x גם שואף לאחד כאשר x שואף לאפס. ובקשר לזה שכתב מעלי- ה-x במכנה הוא לא בריבוע...
==המשך== זה לא עזר לי, אני מנסה לפתח לטור חזקות (שאלה ממבחן ) סביב 0 את הפונקציה f(x)= integral from 0 to x of :: האמת שהאינטגרל המקורי היה בין 1-cos(t) / t^2 dtניסיתי לעשות גזירה איבר איבר לאין סוף וזאת טעות שלי שכתבתי אפס, אבל אין לי מושג איך להתקדם עם הביטוי שבתוך האינטגרלזה באמת יהיה טוב לדעת מה קורה גם אם זה היה אפס.:: תודה לשניכם :)
דבר נוסף- אני רוצה לדוגמא לפתח את ==שאלות.==*arctanx חיובי בקטע 1,infinity לא? היה תרגיל באחד המבחנים ששמו ערך מוחלט מסביב לarctan, באנטגרל שהתחום שלו הוא תהחום המצוין..*במבחן ההשוואה הגבולי. מותר לי להשוות פונק' חיובית עם פונק' שלילית, אם הגבול יוצא חיובי? לדוגמה, הפונקציה f(sinx חלקי x) =*lnx. בתחום [0.5,1], נניח ואני רוצה להשוות עם sinx חלקי x^-2 1.. *כאשר אני יכול להשתמש בסכום מפצלת אינטגרלים ל2 תחומים שונים [עם דגש על השונים!]. אם אחד מהם מתבדר, כל האינטגרל המקורי מתבדר, נכון? בלי קשר לחיוביות/שליליות של סדרה הנדסית אבל אז אני מקבל (1אחת הפונקציות.. *בהמשך לשאלה שלמעלה -x^2) בחזקת nאם יש לי שאלה של 'לאילו ערכי אלפא', שזה לא ממש סימפטי. כאשר יש דרך לעשות לי חיבור של 2 אינטגרלים - אחד ל"א מסוג ראשון והשני ל"א מסוג שני.. אז אם למשל עבור alpha>1 האינטגרל מסוג 1 מתבדר, אין מה לבדוק את זה יפה יותרהאינטגרל השני גם?
וזהו, תודה רבה!
===תשובה===
לגבי השאלה הראשונה - אתה גוזר את הפונקציה ומקבל <math>\frac{1-cosx}{x^2}</math> שזה שווה <math>\frac{1-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}}{x^2}=*כן הוא חיובי.\frac{-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}}{x^2}=*אם בתחום הפונקציה אי חיובית אז אם תכפלי אותה במינוס תקבל פונקציה אי שלילית. כמובן שמכפלה במינוס לא משנה התכנסות אינטגרל-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2(n-1)}}{(2n)!}*נכון.</math>*נכון
::כן, אבל כשהפונק' הייתה שלילית, הגבול יצא לי חיובי. אם אני כופלת במינוס 1, הגבול יוצא שלילי..:::לא יכול להיות שהגבול של המנה של שתי פונקציות אי שליליות יהיה שלילי::::::: כעיקרון אני מדברת על הפונקציה sinx חלקי x*lnx. בתחום [0.5,1] אני משווה אותה עם sinx חלקי (עד כדי טעות1 פחות X). (יום יבוא ואני אלמד להשתמש בכתיב המתמטי של ויקיפדיה... מצטערת על הסרבול). בכל מקרה, שתי הפונקציות חיוביות בתחום הזה. אבל הגבול של המנה, כאשר X שואף ל1 מצד שמאל, הוא מינוס אחת..
עכשיו צריך לעשות אינטגרציה איבר איבר לקבל :כי ln שלילית בקטע הזה.::אוקי, אז בעצם מכפילים את התוצאה הרצוייההפונק' המקורית ב1- ואז מקבלים גבול חיובי, ואומרים שבגלל שהפונק' עם המינוס מתכנסת/מתבדרת ==> כך גם הפונק' המקורית? :נכון
==שאלה==
והשאלה השנייה שליהתכנסות במ"ש של ערך מוחלט של טור הפונק' גוררת התכנסות במ"ש של טור הפונק'?:כבר נשאל בעמוד זה. כן מכיוון שהשארית של טור קטנה או שווה לשארית של הטור בהחלט
==שאלה==
*הסתבכתי,אפשר עזרה?*נניח שהפונקציה f מוגדרת ורציפה בקטע סגור x=a..b הוכח כי הסכום מאחד עד אינסוף של f^n מתכנס במ"ש בקטע זה אם ורק אם הסכום הנל(f^n) מתכנס נקודתית בקטע זה. :השאלה לא מנוסחת טוב. מה זה f ומה הוא קשור? מה ההבדל בין סכום מאחד עד אינסוף לבין טור?תיקנתי... מה הבעייה בהגדרה של f פשוט פונקציה f(x) ::שאלתי מה הקשר של f. גם g היא פונקציה אבל היא קשורה לשאלה בדיוק כמו f... האם יש אפשרות שמישהו יעלה את היא פונקצית הגבול של הטור? האם הפונקציות בסדרה רציפות? : (לא ארז וגם לא תומר) בעצם הכיוון המעניין היחיד הוא מהתכנסות נקודתית לבמ"ש. אם f^n מתכנס נקודתית אפשר לראות כי לכל x נקבל f(x<1 (בערך מוחלט, הלוואי שזה לא היה קופץ כל הזמן). f רציפה לכן הערכים שהיא מקבלת מהווים קטע סגורc,d בתוך [-1,1), קטע בו הטור x^n מתכנס במ"ש. לכן כל סדרת נקודות אינסופית שתבחר בa,b עבור הטור לפי f שקולה בעצם לבחירת נקודות בc,d עבור הטור של x המתכנס שם במ"ש (ולפי מבחן הLIMSUP בעצם זה כל מה שעשו בתרגיל חזרה היום בבקשהשצריך). אבל למה f(x) בערך מוחלט קטן מ-1?:הסברתי במפורט בתשובה. לא בהכרח f<1 פשוט אם הוא מתכנס הוא קטן מאחד ולכן מתכנס במ"ש. אם הוא מתכנס במ"ש ברור שהוא מתכנס. זה כל מה שצריך להוכיח. ===תשובה===אה.... התבלבלתי בין f_n לf^n.... מצטער. הכותב מעליי צודק שהטור מתכנס כאשר <math>|f(x)|<1</math>, והוא מתכנס במ"ש כאשר <math>|f(x)|<r<1</math> אבל בגלל שהפונקציה רציפה על קטע סגור ונניח מתכנסת בו אזי היא מקבלת מינימום ומקסימום ושניהם חייבים להיות קטנים ממש מאחד (אחרת היא לא הייתה מתכנסת בהם) ולכן התנאי מתקיים. * על מנת להוכיח שהוא מתכנס במ"ש בתנאי למעלה <math>|f(x)|<r<1</math> כל שצריך הוא מבחן הM<math>|f(x)^n|<r^n</math>. * על מנת להוכיח שהוא מתכנס עבור התנאי <math>|f(x)|<1</math> כל מה שצריך הוא להסתכל נקודתית על הטור <math>\sum |f^n(x)|=\sum a^n</math> כאשר <math>|f(x)|=a<1</math> וזה כמובן מתכנס. * טריוויאלי שהוא יתבדר בכל מקום אחר. * על מנת להוכיח שהוא לא מתכנס במ"ש אם לפונקציה לא היה מקסימום אבל הsup שלה היה אחד: ניקח סדרה <math>x_n</math> כך ש <math>f(x_n) \rightarrow 1</math> ולכן <math>\lim_{k\rightarrow \infty} sup|S(x)-S_k(x)|>\lim_{k\rightarrow \infty} |S(x_{n_k})-S_n(x_{n_k)}| = \infty</math> (נבחר את n_k על מנת שההפרשים ישאפו לאינסוף. אנחנו יודעים שזה מותר כי <math>f(x_n)\rightarrow 1</math>)
==שאלה==
מישהו יודע אם יש לי פונקציה ואני מפתח לה טור חזקות נניח עם רדיוס 1, איך אני מוודא לאחר הפיתוח שהפונקציה שווה לטור בקטע?וגם פה שאלה 4 כוון כללי אם אפשר...http://moodle.technion.ac.il/file.php/1098/Exams/2004-2005-spring-test-a.pdf ===תשובה===הוא שווה לפונקציה רק ברדיוס ההתכנסות. מה המבנה הכוונה איך אתה מוודה? אם פתחת נכון זה חייב להיות שווה - הצעדים שלמדנו לפיתוח פונקציה לטור חזקות הם צעדים בהם השיוון בסוף חייב להתקיים (למשל פונקציה קדומה ששווה בנקודה אחת לטור החזקות [עדיף לבדוק את הנקודה אפס כמובן]) לגבי השאלה השנייה כבר שאלו אותה, תסתכל בארכיון 17 אבל אתה יודע שאם קיים טור חזקות המקדמים הם אלו של המבחןטיילור, אורךלמשל הפונקציה f(0)=0 f(x)=exp(-1/x^2) sהיא שווה לטור החזקות רק באפס למרות שהטור מתכנס בכל הישר (הוא תמיד אפס כי כל הנגזרות באפס הן אפס)מה שאני שואל זה איך הייתי יודע להבחין שהם שווים רק באפס למרות שהטור מתכנס תמיד, רק שזה לא תמיד לערך הפונקציה? :אל תבלבל. הקטע עם הבדיקה בנקודה זה רק כאשר הוכחת שהפונקציה שלך היא קדומה של טור חזקות כלשהוא ועשית אינטגרציה איבר איבר. באופן כללי למדתם משפט אחד שמאפשר לכם להניח שטור החזקות עם מקדמי טיילור הוא אכן הפונקציה וזה כאשר הנגזרות חסומות (ראה את ההשלמה). במקרים אחרים (כמו זה שתארת) אסור סתם להניח שיהיה שיוויון.
תומר - אני יודע ... (שאלת מי יודע :) ...יופיכן, אתה יכול לפרטאבל בתכלס אם קיים טור חזקות המקדמים שווים למקדמי טיילורמה שאתה אומר זה להתייחס "כאילו" אנחנו לא יודעים את זה ולעבוד בשיטות אחרות כן?(במקרה והנגזרות לא בהכרח חסומות)
לאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאא! :) די כבר עם הדברים השוליים האלו ! מה משנה מה מבנה המבחן ! התעסקו בלהתכונן ולא בחישובים טקטיים של מספר שאלות כן...אתם צריכים להבין שאנחנו יכול להיות שתשתמש בטריק כי אתה לא מורידים חומר לפי המבנהיודע להוכיח שהפונקציה שווה לטור חזקות,כי איננו יודעים לפי מספר השאלות מה אבל גם יכול להיות שזה פשוט יהיה במבחן......זה רק עוזר להגיע רגועים קל יותר,ובכל מוסד כלשהו נהוג לכל הפחות לפרסם מאשר לחשב את מבנה המבחןהנגזרות מכל סדר....אם אתם לא מוכנים לפרסם היום,אז לכל הפחות בבקשה תפרסמו אותו ביום שלישי בלילה
תומר - שאלות על מבנה המבחן הפנו לרוני או מיכאל ... אני לא נכנס לפרטים שהם פשוט זניחים . אף אחד לא רוצה להכשיל או לתת מבחן קשה בכוונה - והמבנה של המבחן לא יגיד לכם כלום . עד כאן .סבבה תודה רבה
==שאלה==
צריך להפריך: אם (fn(x) היא סדרה מונטונית (הסדרה עצמה מונוטונית, לא הפונק', כלומר מונוטונית לפי n) של פונקציות רציפות המתכנסות נקודתית לפונק' f(x) בקטע I. אזי f(x) מונוטונית.
יש למישהו דוגמה להפרכה?
המבחן ב15: [לא תומר/ארז] אולי הסדרה x^2 + 1/n המתכנסת נקודתית לx^230 נכון? כמה זמן הוא יארך??:::איך זה מפריך? פונק' הגבול היא x^2, מונוטונית.:::: קח את I להיות [1-,1] וזה לא
נכוןכן, כל סדרה קבועה של פונקציה שאינה מונוטונית גם תקיים את זה (בדוגמא הזו פשוט מזיזים את כל הפונקציה למטה.)שעתיים
==שאלונת.שאלה==נניח והגדרנו את G(x) להיות האינטגרל של f מ0 ועד x.
האם זה מוגדר היטב עבור xלמה הסיגמה של 2*(n+1)*3^n חלקי שורש שלישי של n! מתכנס?:אתה מתכוון ל<0math>\sum \frac{2(n+1)3^n}{\sqrt[3]{n!}}</math>? כלומר, זה שווה למינוס האינטגרל כאשר מחליפים תקח את הגבולות, אבל האם בפונק' זו, ובכלל כשאני מגדירה פונק' קדומה לפונקציה אחרת השורש הn-י ותקבל 3 חלקי אינסוף כלומר שואף לאפס (במידה והיא אינטגרבילית למשל בכל קטע סגורהרי <math>\sqrt[n]{n!}\rightarrow \infty</math>), מותר לי להכניס X שקטן מ0?
תומר - בעצם , אם לוקחים איזושהיא נקודה קבועה c בקטע , ומגדירים אינטגרל מסויים של פונקציה רציפה מ c כגבול תחתון , ל - x כגבול עליון - נקבל , שהפונקציה הזו היא קדומה של הפונקציה באיטגרנד ! ==התכנסות אינטגרלים==האם האינטגרלים הבאים מתכנסים???* <math>\int_{0}^{1} \frac{\theta}{\ln(הסתכלו על ההוכחה ותראו שאפשר לעשות התאמה כזו ...\theta)::אז לא ממש הבנתי}d\theta</math>.. כן מותר להציב * <math>\int_0^1 \frac{dx}{\ln(x)}</math>* <math>\int_{r=0?}^{r=1} \frac{\sin(r^2)}{r}dr</math>.תומר האם אפשר לומר באינטגרל השלישי ש- מותר להציב כל x - בין היתר קטן מ c<math>\int_{0}^{1} \frac{\sin(r^2)}{r}dr \leq \int_{0}^{1} \frac{r^2}{r}dr = \int_0^1 rdr = 1/2</math>, ואז עפ"י השוואה???
השאלה היא ===תשובה===לא לשכוח לבדוק אם f אינטגרבילית גם בשליליים. אם כן, האינטגרל מאפס עד x שלילי הוא אמיתי בכלל או לא. למשל השלישי הוא פשוט מינוס האינטגרל מx עד 0 בעל אי רציפות סליקה באפס ולכן אינטגרבילי (כמו שאמרתגם מה שרשמת נכון אבל בלי קשר) ולכן זה בוודאי מוגדר היטב.
תומר - שאלת וענית בעצמך ! אני הוספתי שאפשר למצוא קדומה לפונקציה רציפה כאשר האינטגרל מהמשפט היסודי של החוודא מוגדר גם כאשר הבראשון ובשני הצד הבעייתי הינו 1. ניתן לבצע מבחן ההשוואה עם <math>\frac{1}{1-x כגבול עליון , בעצם קטן יותר מהגבול התחתון ! כמובן כאשר הגבול התחתון זו נקודה פנימית בקטע כך שיש סביבה שלה שמוכלת כולה בקטע !}</math>
==שאלה==
לא צריך לדעת לשנן משפטים לפי נוסח מדויק, נכון? לא יבקשו מאיתנו 'לצטט במדויק את המשפט היסודי של החדו"א...'
תומר נתונה פונקציה f(x) בקטע [a,b] ונתון שהיא חסומה על ידי M. צריך להוכיח שאם f אינטגרבילית זה גורר ש- לגבי הוכחת המשפטים עצמם - לזה כבר התייחסו המרצים f^2 אינטגרבילית. חסימות זה לא בעיה, אבל נוסח משפט - ברור שחייבים לדעת ! אחרת איך תדעו האם בכלל אתם יכולים הסתבכתי עם התנאי השני אני יכול להשתמש במשפט שאם הפונקציות f,g אינטגרביליות בקטע כלשהו אז גם f כפול g אנטגרבילית שם, כאשר במקרה הזה g=f? ::ואם אנחנו יודעים באופן כללי? צריך לדעת ממש באופן מדויק כל משפט ומשפט?(לא ארז/תומר) ענו כבר על השאלה הזאת... לדעתי אי אפשר להשתמש במשפט, למרות שהוא נכון, כי אז התרגיל טריוויאלי. תומר :הנה ההוכחה- לא יודע מה זה "כללי" - או שיודעים מה טענת המשפט או שלא יודעים יהי אפסילון גדול מאפס. לדוגמא בכל קטע g(x1)- יש הבדל אם באיזה משפט פונקציה צריכה להיות רציפה , או שצריך לדרוש גזירה שזה תנאי חזק יותר . או למשל בתנאי דיני להתכנסות במידה שווה בקטע g(x2)=(f(x1)+f(x2))*(f(x1)- הקטע צריך להיות סגור או שלא חייבים שיהיה סגור f(x2)<2M*W כאשר W היא התנודה של f בקטע.(g מוגדרת כ f בריבוע).מאינטגרביליות f קיימות חלוקה עבורה סכום התנודות קטן מאפסילון חלקי 2M. למשל ועבור אותה חלוקה בפונקציה g סכום התנודות יהיה קטן מאפסילון. תומר - ומה עם מידת נקודות אי רציפות ? אם לא נזכור נוסח אתם יודעים שהפונקציה אינטגרבילית זה אומר שמידת קבוצת נקודות האי רציפות שלה היא אפס . מה עם נקודות האי רציפות של משפט איך נדע שמותר להשתמש בו הפונקציה בריבוע ?האם היא מוכלת בזו של הפונקציה המקורית ?ואם כן מה זה אומר על מידתה ?...
==שאלה==
צריך להוכיח שהטור הבא מתכנס במ"ש.
f(x)= sum from 0 to infinity of (e^-nx)* cos(nx) s
איך מראים שהטור מ-n=1 עד אינסוף של sinבכל קטע (nx) מתבדר? a, infinity] כאשר a>0
תומר ניסיתי עם מבחן ה- האם האיבר הכללי בטור , עבור x קבוע (וכמובן שונה מכפולות של פאי m ולא הצלחתי...) שואף לאפס מישהו? זו שאלה שמזכירה אינפי 1 . האם הגבול של הסידרה sinnx שואף לאפס ? וביתר כלליות אפשר להשוות עם e^- האם בכלל קיים גבול לסידרה זו n במבחן הM לא?
חישבו על זה קצת :(לא ארז/תומר) אני חושב שצריך להשוות עם e^- ואם אראה שבעייתי - אצרף פיתרון an ... נסו להשתמש בנוסחאות טריגונומטריות :
sin(עם e^-n+1)x-sinוזה עובד. עכשיו בסעיף הבא הם רוצים להוכיח/להפריך שf(n-1)x=2cos(nx)*sinx שזה הסכום הוא פונקציה רציפה ב(הפרש סינוסים ...o, infinity) , ובסינוס זווית כפולה : sin2nx=2sinnx*cosnx .הבעיה זה שזה קטע פתוח ולא סופי..עדין אפשר להשתמש במשפט על טור של פונקציות רציפות המתכנס במ"ש?
==עוד תרגיל==תהי סדרת פונקציות מונוטוניות מתכנסת. הוכח/הפרך: פונקצית הגבול הינה מונוטונית==תשובה==תמיד משתמשים באותו טריק (לא ארז/תומרהתעמקתי בשאלה, מקווה שרלוונטי)-נראה לי שזה נכון. תניח בשלילה אם ההתכנסות היא במ"ש על כל תת קטע סגור וסופי אז יוצא שפונקצית הגבול לא מונוטונית. נניח ב.ה.כ שמדברים על מונוטונית יורדת. ואז קיימת רציפה בכל נקודה b>a כך בלי שתהיה התכנסות במ"ש: (f(b)>f(a.כעת נתבונן באפסילון שקטן מ-f(b)-f(a))על הקטע האינסופי/2), וע"פ הגדרת הגבול תקבל שקיים N כך שלכל n>N קיימת נקודה x1 כך ש-fn(x1) קרובה ל-f(b) עד כדי אפסילון וכן אותו הדבר לגבי x2 כך שfn(x2) קרובה ל-f(a) עד כדי אפסילון. מכיוון שאין חיתוך בין תחומי האפסילון אזי בהכרח (fn(x1)>f(nx2 לכל n>N, בעוד שמכיוון שx1 שואף לb וx2 שואף לa אזי x1>x2 בסתירה למונוטוניות (היורדת) של fn.כל מה שנותר להוכיח זה שאם fn מונוטוניות יורדות אזי f לא יכולה להיות מונוטונית עולה שזה פשוטפתוח כולו.
== תרגיל 11 ==
מישהו יכול לכתוב שוב את הלינקים לתרגילים שבתרגיל 11, הלינקים לא עובדים לי.
:ארכיון 16...
==שאלה==
תחום ההתכנסות במ"ש של טור חזקות הוא בדיוק תחום ההתכנסות שלומתי יפורסמו ציוני התרגיל והבוחן (אני יודע שיש לנו אותם, הכוונה עם פקטור, וציוני תרגיל 8/10 אם אני לא טועה) והאחוזים מהציון הסופי?
תומר - לחזור על נוסח המשפטים !מצטרף!!
==תשובה==אם הוא מתכנס תומר - יפורסם בשעות הקרובות . אני עצמי עוד בודק תרגילים שהוגשו באיחור(אפילו בתנאי) בR הוא מתכנס במידה שווה בקטה הפתוח (R,-R!). סבלנות . יש חדש?
אם הוא מתבדר בR הוא לא מתכנס במידה שווה בקטע הפתוח ==שאלה==אוקי, נניח ויש לי סדרת פונקציות, ואני צריכה לבדוק לאילו ערכי אלפא הסדרה מתכנסת במ"ש ב0,אינסוף (Rחצי סגור) וב[0,1]. קודם כל בדקתי את 0 אינסוף, והגעתי לזה שעבור אלפא קטן מ2 ==> הסדרה מתכנסת במש.התחום השני, [0,1], מוכל בתחום הראשון -R)ונניח שהגעתי לזה שהסדרה מתכנסת במש בתחום זה עבור אלפא גדול מ2-. מכיוון שהתחום מוכל, זה אומר לי גם שבפרט הסדרה מתכנסת במש גם עבור אלפא קטן מ2, וביחד - עם שתי המסקנות האלה - מתכנס לכל אלפא?
בכל מקרה לכל 0<R>r הוא מתכנס במידה שווה בקטע הסגור [r,r-]
:===תשובה===לכאורה כן, אני לא חושב שזה נכון - בהרצאה למדנו מבין מה השאלה. הרי ברור שאם הטור זה מתכנס בבמ"ש לכל אלפא גדול ממינוס 2 או קטן משתים בפרט זה מתכנס לכל אלפא. השאלה האמיתי היא אם החישובים שלך נכונים.:השאלה היא כזו -x=R אז הטור הוכחתי שעבור אלפא קטן מ2 זה מתכנס במ"ש ב-[R,0] ב0, וכך גם עבור x=-R , אז בסה"כ מקבלים שתחום ההתכנסות infinity. רק רציתי לוודא שזה אומר שעבור אלפא קטן מ2 זה מתכנס במ"ש תמיד שווה לתחום ההתכנסות (אלא אם R=גם ב[0 ואז יש רק התכנסות נקודתית),1]. זה נכון?
ברור שאם ::הדגש הוא מתכנס בR אתה צודקעל הקטע הסגור? אם יש התכנסות באפס אז כן, אבל מה אם הוא לאאז לא:::כן, מדובר על קטעים סגורים. תודה:) אני טועה או שבהתחלת ההרצאה האחרונה רוני אמר שבטווח שבין רדיוס ההתכנסות לבין המינוס שלו(לא כולל הוא עצמו)- הפונקציה מתכנסת, ואח"כ הוא אמר שהיא גם מתכנסת במ"ש בכל קטע סגור שמוכל בקטע הזה.....?:זה נכון לגבי טור חזקות, אני לא בטוח איך זה קשור פה. ::יש עוד מקום עם רדיוס התכנסות חוץ מטור חזקות??? ושאלתי כי זה נראה לי מוזר להוכיח משהו ואז להוכיח משהו ותר חזק במקום להוכיח ביחד. למה פה? איפה עוד אני יכול לכתוב??? :::לא פה בפורום, התכוונתי פה בשאלה הזו... רדיוס התכנסות זה מושג של טור חזקות, וכאן מדובר על סדרת פונקציות.
==שאלה==
לא הבנתי משהו. כתוב לי במחברת שהטור פונקציות x^k מ1 עד אינסוף, בקטע (1,1מצטער על הבורות רגע לפני המבחן-) פונ' הגבול שלו רציפה: x/1מה זה גזירה איבר-x וגם כל x^k רציפות, אבל ההתכנסות אינה במ"שאיבר? ואינטגרציה איבר איבר? בבקשה שלא יהיה מסובך.... ===תשובה===נניח ויש לך טור מתכנס <math>g=\sum f_n</math>. השאלה שלי היא למה? הרי הסכום הN מהי הנגזרת של הטור, הוא מ1 עד N, וSn זה סכום סדרה אינסופית מתכנסת Sn=a1/1-qg. ואז Snאם מותר לגזור איבר-Sאיבר אזי <math>g' =0 ואז זה בסדר\sum f_n'</math>. איפה הטעות שלי? עריכה: שים לב שזה לא משנהתמיד נכון, רק כאשר המשפטים מאפשרים לגזור איבר-איבר. אינטגרציה זה כי הנוסחא Sדומה <math>\int g =a1\sum \int f_n</1-q עובדת רק על סדרה הנדסית *אינסופית*...math>
==שאלה==
נניח יש לי טור פונקציות שרץ על fn (הסדרה המזהה שלו). למה אם הטור |fn| טור חזקות מתכנס במ"ש בIגם בR וגם בR-, אז גם הטור המקורי זה אומר שהוא מתכנס במ"ש בI?ועוד שאלה: אם יש לי סדרת פונ' fn כך ש|fn| מתכנסת לפונ' גבול כלשהי f במ"שב[0,R] וב[-R, האם 0] ואז זה אומר שfn המקורית מתכנסת לf1 כלשהי שהוא מתכנס במ"שב[-R,R]?
יש טעות בסיכום במשפט פרמה, לא? המשפט הראשון בעמוד הראשון של הסיכום===תשובה===כן.באופן כללי אם טור מתכנס במ"ש בשני קטעים סגורים צמודים הוא מתכנס במ"ש באיחוד הקטעים.כי מהירות ההתכנסות עבור אפסילון היא המקסימום בין שני הn_0 של שני הקטעים.התנאים לא צריעכים להיות הפוכים???
שאלה== :איך מוגדר אינטגרל של פונקציה ממינוס אינסוף לאינסוף? הגבול כאשר c רץ לאינסוף של אינטגרל של הפונקציה מ c- עד c או פשוט פיצול לשני אינטגרלים )==שיהיה בהצלחה לכולם! לא אמיתיים ואז כל אחד שואף בקצב שלו? זה משנה כי במקרה של פונקציה איזוגית-למשל x באפשרות הראשונה זה 0 ובשניה אינסוף פחות אינסוף שזה מתבדר.....(נכון?מ100 :)תודה.
תומר - מצטרף ! שיהיה בהצלחה לכולכם - במבחן הזה ובכל אלו אחריו :)
:תודה, ותודה לכם על סמסטר נפלא (עד כמה שהיה אפשר. אינפי, אתם יודעים). תודה על התרגולים המצויינים, אפילו שהיו יותר מידי אנשים בכיתה... ותודה על ההשקעה בנו ועל כל העזרה (האתר, וכל דבר אחר). אולי תהיו מתרגלים שלנו באינפי 3?
:ושיהיה בהצלחה לכולם!
למה אם f פונקציה רציפה, מחזורית ואי-שלילית בממשיים(f אינה זהותית אפס) אז הגבול של f(x)/x^3 אינו אפס כאשר x שואף לאינסוף?? הרי f חסומה מהנתונים==לארז ולתומר==רגע אחרי המבחן,לא? רוני נתן שאלה כזאת ואמר להוכיח שהאינטרגל של f(x)/x מ1 עד אינסוף מתבדר. ואם הגבול שאמרתי מקודם שווה ל0 אז לפי מבחן ההשוואה האינטגרל מתכנסוכמה ימים לפני שהאתר יתחיל לשמש, אז כנראה שהגבול איננו 0,למה???תומר - כמה שאלות תיכוניסטים תמימים שצעירים מאתנו בשנה, כמה שאלות ! :) לשאלה הראשונה על התכנסות עם ערך מוחלט גוררת התכנסות בלי ואתם אורזים את הכל בשבילם, במידה שווה - ראה משפט שהוכחתם . או - אפשר לנסות לבד פשוט ביישום של קריטריון קושי להתכנסות רציתי לומר לכם, לשניכם במ"ש ! .אינטגרל ממינוס אינס' לאינס' מוגדר על ידי פיצול באיזו נקודת ביניים , ת- אבל בכל אופן כאשר הגבולות שלהם ו- אחד עם פרמטר לאינסוף ושני עם פרמטר למינוס אינסוף ד- הם לא תלויים אחד בשני ! ובטח לא ממינוס סי לסי כאשר סי שואף לאינסוף . זהו אינטגרל שקיים בשימושים אבל יש לו שם ה ר- PRINCIPAL VALUE ב- אבל זה לא האינטגרל ה!! על כל ההשקעה, הזמן, הרצון והכוח שהיה לכם להתמודד עם שתי קבוצות רועשות כמו שלנו, ועוד בקורס שלנו קשה כמו אינפי 2!שיהיה לכולנו המון בהצלחה בהמשך!! .לגבי שאלה אחרונה - תן בבקשה את ניסוח השאלה המלא כדי שאוכל להתייחס .
תודה.:נתונה פונקציה fרציפה,מחזורית ואי-שלילית ב-R. היא אינה זהותית 0.הוכח: האינטגרל של f(x)/x מ-1 לאינסוף מתבדר. תוכל גם להגיד לי למה אי אפשר להוכיח שזה מתכנס עם שימוש במבחן ההשוואה השני? כי f לפי הנתונים חסומה,לא? ואז הגבול של (f(x)/x)/x^2 שווה לאפס ולפי המבחן f(x)/x מתכנס, כי האינטגרל של x^2 מתכנס...
מצטרף בהחלט, המון תודה לשניכם, ואולי נתראה בהמשך...
:מצטרפת.. ממש תודה על הכול! מה נעשה בלי Math-wiki..
מצטרף! זה לא מובן מאליו... ועם זאת, מתי נדע כמה פקטור יהיה(בטוח יהיה...!!)
למה ::תודה רבה על כל האיחולים - המתרגלים. (בלי קשר, אני אפרסם עוד כמה דקות פתרון למבחן בדף הקורס) אני מסכים לגמרי עם כל השאר. אתם באמת השקעתם את כל כולכם בנו ובהצלחה שלנו. באמת רואים שאכפת לכם מאיתנו למרות כל הקיטורים, בקשות לדחיות, התחננויות ולפעמים אף בכי P=אני רק לא מבין משהו אחד. ניסיתי להבין מה הייתה התועלת בשיעורי חזרה ובתרגולים הנוספים שעשיתם, ואני לא מוצא בהם תועלת למבחן... לא עשינו אפילו תרגיל אחד שהיה אפילו דומה לשאלות שהיו במבחן ההשוואה (אני לא מתכוון לשאלות בדיוק כמו שהיו במבחן, אבל לפחות בסגנון ובנושאים)... כאילו שמתם דגש בשאלות לא דומות למבחן בשביל מה? הרי ראיתם את המבחן כבר... לי אישית היה די קשה להגיע לבר אילן,לתירגולים, באותו היום אבל הגעתי בכל זאת כי חשוב לי להצליח במבחנים (כמו לכולנו), אבל בתכלס שאני מסתכל על היעילות שלהם לאחר המבחן לא עזר בכלל, אלא להיפך.כל מה שאני מנסה להגיד, זה שבתרגולי חזרה לפני מבחן, תעזרו קצת יותר בכך שתתרגלו אותנו נכון, ולא לבלבל לנו את השכל עם שאלות לא קשורות בכלל... אחר כך מתלוננים שאנחנו לא מקבלים ציונים נורמלים ואתם נאלצים לעשות פקטור סתם!תודה על הכול (וזה בשיא הכנות) כי באמת השקעתם בנו ===תשובה===אני אענה לשאלה שלך בשני מישורים* הראשון רוני ציין שאם 0<g והחשוב יותר: מטרתנו הראשונה והעיקרית כמורים הינה ללמד אתכם מתמטיקה ו f>g והאינטגרל של f מתכנס'''לא''' להכין אתכם למבחן. הכנה למבחן הינה משנית (אמנם חשובה גם כן). קשה להגיע לבר אילן גם במהלך הסמסטר, אך אתם מגיעים על מנת ללמוד. הסיבה שאנו רואים את המבחן קודם לכן היא בעיקר על מנת לוודא איכות שלו (שאין טעויות, רמה סבירה וכדומה), עלינו להעביר שיעורי חזרה כאילו לא אמיתיראינו את המבחן. *שנית, בשנ הסוגים אני אפריך לחלוטין את הטענות שהעלאת:**שיעור ההשלמה היה חלק מחומר הקורס וכלל שאלה שהופיעה כלשונה במבחן! (הוא אמר ככההיה לפני שראינו את המבחן).אז כבר 20 נקודות מתנה על שיעור ההשלמה והחומר שהועלאה לאתר (אני לא העברתי את השאלה פרונטלית אבל תומר כן).אמרנו לכם לקרוא את שיעור ההשלמה.**שיעור החזרה כלל שאלה כמעט זהה לחלוטין לשאלה 3 מהמבחן (אני העברתי אותה ותומר לא) אז האינטגרל של g מתכנס. הוא **יום או יומיים לפני המבחן עניתי באתר על שאלה דומה לשאלה 2 במבחן, והדגשתי דברים שלא היו בשאלה המקורית כי ידעתי שזה יעזור למבחן.**שאר השאלות, בוודאי היו דומות והתעסקו בנושאים דומים... מעבר לכך, תודה על ההכרה בעבודה שלנו. תאמינו לנו שמה שעכשיו נראה לכם לא אמר שאם g מתבדר גם f מתבדרכיף,בעתיד אתם תראו כאתגר שהצלחתם בו. החיים הם לא מיטת שושנים, ומי היה רוצה לישון במיטת שושנים בכלל? זה דוקר!:זה לא נכוןרק דוקר, זה גם צמיגי :P::מתי יעלו ציוני תרגיל? :::אנחנו נעלה אותם היום==יש לי שאלה==האם בשאלה 4ב במבחן היה אפשר להגיד שההתכנסות היא ל0 כי תנאי הכרחי להתכנסות הטור היא שאיפת האיבר הכללי לאפס(הוכחה של התכנסות לאפס לא התכנסות במש)? ===תשובה===כן, זה מוכיח בהחלט התכנסות נקודתית לאפס (ולא במ"ש כפי שציינת) ==שאלה== למה מופיע לי ציון 0 בתרגיל מספר 2 אם הגשתי אותו? :S :זו שאלה פילוסופית? ==הודעה== יש ציונים!!== מבחן == היה פקטור במבחן? ואם כן של כמה? מצטרף לשאלה... מאוד חשוב לנו לדעת האם להגיש ערעור או שלא.... והאם לגשת למועד ב או לאבקיצור ממש חשוב לנו לעת האם היה פקטור... :תשאלו את המרצים, אנחנו (המתרגלים) לא יודעים.
