כאן המקום לשאול שאלות. כל שעליכם לעשות הוא ללחוץ על ''' [עריכה]''' (משמאל לכותרת "שאלות"), להוסיף בתחילת הדף את השורה הבאה:
'''<nowiki>== שאלה לארז כותרת לשאלה ==</nowiki>'''
היי ארזלכתוב מתחתיה את שאלתכם, וללחוץ על '''שמירה''' למטה מימין
קוראים לי עמית וייס ואני טס לפולין מהתעריך 15.=ארכיון= '''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1 ו2 '''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 2| ארכיון 2]]''' - תרגיל 3. עד ה '''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - 28.שאלות ותשובות - ארכיון 3| ארכיון 3]]''' - תרגיל 3 ולכן לא אהיה פה כדי להגיש את שני התרגילים והייתי רוצה לבקש הערכה כדי שאוכל להגיד את שני תרגילים אלה אחקי שאחזור לארץ.האם זה אפשרי?'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 4| ארכיון 4]]''' - תרגיל 4 '''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 5| ארכיון 5]]''' - תרגיל 4,5 '''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 6| ארכיון 6]]''' - תרגיל 6 '''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 7| ארכיון 7]]''' - (מי עוקב) '''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 8| ארכיון 8]]''' '''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 9| ארכיון 9]]''' - לקראת הבוחן '''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 10| ארכיון 10]]''' - פוסט בוחן '''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 11| ארכיון 11]]''' - תרגיל 9 '''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 12| ארכיון 12]]''' - תרגיל 9 '''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 13| ארכיון 13]]''' - תרגיל 10 '''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 14| ארכיון 14]]''' - תרגיל 10 '''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 15| ארכיון 15]]''' - תרגיל 10 '''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 16| ארכיון 16]]''' - לקראת המבחן '''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 17| ארכיון 17]]''' - לקראת המבחן
=שאלות=
==תרגיל 2 א בתרגיל 1שאלה==ארזיהיה במבחן פונקציות עם שתי משתנים?:לא שידוע לי, אם המרצה אמר שיהיה אז יהיה, האי שוויון אם לא נכוןאז לא תומר - מה פתאום שיהיה משהו שלא למדתם ??? הגיון חבר"ה , הגיון ! ==שאלה== תחת אילו תנאים ניתן לומר שאינטגרל על סכום אינסופי של פונקציות שווה לסכום האינסופי של האינטגרלים של הפונקציות?תודה תומר - מפנה אותך לנוסח משפטים המתאימים ! יש משפטים שמתארים תנאים מספיקים לכך . ייתכן שיהיו מצבים נוספים שזה יתקיים אבל אז צריך להפוך אותו לאי שוויון לבדוק כל מקרה לגופו. ==שאלה==נניח יש לי טור פונקציות שרץ על fn (הסדרה המזהה שלו). למה אם הטור |fn| מתכנס במ"חלשש בI, אז גם הטור המקורי מתכנס במ"ש בI? *נקודתית זה ברור מאינפי 1. לבמ"ש ההוכחה דומה. שארית הטור לא בהחלט קטנה משארית הטור בהחלט, או להפוך כלומר הטור לא בהחלט מתכנס מהר יותר מאשר הטור בהחלט. ועוד שאלה: אם יש לי סדרת פונ' fn כך ש|fn| מתכנסת לפונ' גבול כלשהי f במ"ש, האם זה אומר שfn המקורית מתכנסת לf1 כלשהי במ"ש? *ברור שלא.... אינפי 1. <math>fn=(-1)^n</math> לא מתכנס בכלל, אבל הערך המוחלט מתכנס במ"ש. יש טעות בסיכום במשפט פרמה, לא? המשפט הראשון בעמוד הראשון של הסיכום...התנאים לא צריעכים להיות הפוכים??? *נכון מאד, הסרתי את הקטע מסגור לפתוחהסיכום.המשפט אומר שאם יש מקסימום/מינימום והפונקציה גזירה הנגזרת הינה אפס. בוודאי שאם הנגזרת אפס אין שום הכרח שיהיה מינימום/מקסימום (לדוגמא x^3). שאלה:איך מוגדר אינטגרל של פונקציה ממינוס אינסוף לאינסוף? הגבול כאשר c רץ לאינסוף של אינטגרל של הפונקציה מ c- עד c או פשוט פיצול לשני אינטגרלים לא אמיתיים ואז כל אחד שואף בקצב שלו? זה משנה כי במקרה של פונקציה איזוגית-למשל x באפשרות הראשונה זה 0 ובשניה אינסוף פחות אינסוף שזה מתבדר.....(נכון?)תודה. *הוא מוגדר בתור הסכום של שני אינטגרלים לא אמיתיים. האינטגרל על הפונקציה x למשל מתבדר. למה אם f פונקציה רציפה, מחזורית ואי-שלילית בממשיים(f אינה זהותית אפס) אז הגבול של f(x)/x^3 אינו אפס כאשר x שואף לאינסוף?? הרי f חסומה מהנתונים,לא? רוני נתן שאלה כזאת ואמר להוכיח שהאינטרגל של f(x)/x מ1 עד אינסוף מתבדר. ואם הגבול שאמרתי מקודם שווה ל0 אז לפי מבחן ההשוואה האינטגרל מתכנס, אז כנראה שהגבול איננו 0,למה???
===תשובה===
נכוןתומר - כמה שאלות , זה צריך להיות הקטע הפתוחכמה שאלות ! :) לשאלה הראשונה על התכנסות עם ערך מוחלט גוררת התכנסות בלי , במידה שווה - ראה משפט שהוכחתם . רעיון התרגיל כמובן הוא אותו דבראו - אפשר לנסות לבד פשוט ביישום של קריטריון קושי להתכנסות במ"ש ! . אינטגרל ממינוס אינס' לאינס' מוגדר על ידי פיצול באיזו נקודת ביניים - אבל בכל אופן כאשר הגבולות שלהם - אחד עם פרמטר לאינסוף ושני עם פרמטר למינוס אינסוף - הם לא תלויים אחד בשני ! ובטח לא ממינוס סי לסי כאשר סי שואף לאינסוף .זהו אינטגרל שקיים בשימושים אבל יש לו שם - PRINCIPAL VALUE - אבל זה לא האינטגרל בקורס שלנו !!! . לגבי שאלה אחרונה - תן בבקשה את ניסוח השאלה המלא כדי שאוכל להתייחס . ==שאלה מסודרת ==נתונה פונקציה fרציפה,מחזורית ואי-שלילית ב-R. היא אינה זהותית 0.הוכח:האם מותר להשתמש בזה שאם הנגזרת חיובית אז הפונקציה עולההאינטגרל של f(x)/x מ-1 לאינסוף מתבדר. תוכל גם להגיד לי למה אי אפשר להוכיח שזה מתכנס עם שימוש במבחן ההשוואה השני?כי f לפי הנתונים חסומה,לא? ואז הגבול של (f(x)/x)/x^2 שווה לאפס ולפי המבחן f(x)/x מתכנס, כי האינטגרל של x^2 מתכנס... ===תשובה===(לא ארז/תומר) נראה לי שהטעות שלך היא כזו , כשאתה עשית את מבחן ההשוואה, עשית את זה עם הפונ' x^2 והאינטרל של זה מתבדר בקטע 1 עד אינסוף (אתה מתבלבל עם 1/x^2). :אבל אמרתי בקטע 1 עד אינסוף...לא מאפס!::הוא העיר לך על הפונקציה ולא על הקטע. x^2 זו לא הכוונהפונקציה ששואפת לאינסוף ובפרט אינה אינטגרבילית על הקטע האינסופי. ובנוגע להוכחה , אני עשיתי את זה בדרך הבאה: נסמן את המחזור של F כ-T, אנחנו יודעים שהפונ' אינה זהותית אפס, לכן יש נקודה X0 בקטע [1,1+T] כך ש- (''f''(''x0'' שווה ל-M גדול ממש מאפס. תשתמשו במה שלמדנו בשיעורמכיוון ש-F רציפה יש סביבה [a,b] של X0 כך שכל ס בקטע מקיים f(x)>M/2 (או אפילו גדול שווה, זה לא משנה) וכעת, מכיוון ש-F אישלילית , נגדיר פונקציה חדשה G להיות M/2x בכל קטע מהצורה [a+n*T,b+n*T] כאשר n טבעי ואפס בכל נקודה אחרת. ברור כי שתי הפונ' אי שליליות, אינטגרביליות בכל קטע מהצורה [one,R] כש- R>1 (F רציפה בכל קטע כזה, ול-G יש מספר סופי של נקודות אי רציפות מהסוג המתאים) ולכן אם האינטגרל של G בטע 1 עד אינסוף מתבדר, כך גם האינטגרל הלא אמיתי של F. ועכשיו, להראות שהאינטגרל של G בקטע 1 עד אינסוף מתבדר, זה לא כזה מסובך (אני עשיתי לפי קריטריון קושי, אבל אני בטוחשאפשר בעוד דרכים, ואין לי כח לכתוב את זה) ובסה"כ קיבלנו שהאינטגרל של f(x)/x
==שאלה==
למתי הקב' למה במבחן ההשוואה הראשון רוני ציין שאם 0<g ו f>g והאינטגרל של תומר יניב צריכה להגיש את התרגיל?יהיה לנו את התרגול רק ביום שלישיf מתכנס(לא אמיתי, בשנ הסוגים הוא אמר ככה...) אז האינטגרל של g מתכנס.הוא לא אמר שאם g מתבדר גם f מתבדר,זה לא נכון??
'''===תשובה''' - תומר : ===התרגילים לשני המרצים יהיו זהים וגם הקבוצה של יום שלישי תהנה מאותו פרק זמן של שבוע להגשת התרגיל :)המשפט השני הוא היקש לוגי מהראשון. לא יכול להיות שf יתכנס אבל g יתבדר, לכן אם g מתבדר אזי f מתבדר.
==שאלה==
בתרגיל 1ג זה 11 שאלה 3 - לעוד מישהו יצא רדיוס התכנסות אפס?:: [לא בהכרח נכון אם 0תומר או ארז] לי דווקא יצא 1==שאלה==אם אני צריכה להוכיח שפונק' כלשהי היא אינטגברילית רימן, והראיתי שהסכום רימן שלה לכל חלוקה מתאימה ולכל בחירה אלפא חסומה בין הסכום רימן של פונק' אינטגרבילית(0!)אחרת פחות אפסילון, ואותו סכום ועוד אפסילון. האם זה מראה לי שהפונק' שלי אינטגרבילית גם? ויותר מזאת, שואפת לסכום I של אותה הפונקציה השניה?:הסכום רימן של הפונקציה האחרת עבור אותה חלוקה? ומה זה האפסילון הזה? במה הוא תלוי? ==שאלה==נתון כי fאינטגרבילית וחסומה ע"י M.צ"ל שf^2 אינטגרבילית באותו קטע.יש דרך להראות את זה לא ע"י הרכבת פונקציות (שבדרך זו הנתון ע"י החסימות מיותר)?מהי הדרך? :הנתון על חסימות מיותר איך שלא תסתכל על זה, שכן זו פונקציה אינטגרבילית (ולכן חסומה) אבל יש דרך להראות את זה חוץ מהרכבה של פונקציה רציפה ופונקציה אינטגרבילית? תומר - מידת קבוצת נקודות אי הרציפות של הפונקציה החדשה היא אפס ? . לדוג' הפונ Y.. (לא ארז/תומר) כן יש פיתרון אחר, והוא בעזרת תנאי רימן לאינטגרביליות.f^2 חסומה (ברור), ונותר להראות את התנאי השני.בקשר אליו, קל להראות ש w(f^2)<=0 הנגזרת שלה w(f)*2*M (כאשר w הוא התנודה בקטע), ומכאן קל להמשיך. מראים את זה y'כך, לכל x1,x2 בקטע כלשהו מתקיים:f(x1)^2-f(x2)^2<=(f(x1)-f(x2))*(f(x1)+f(x2)), ומכאן זה ברור ==שאלה==התבקשתי להביא דוגמה לסדרת פונק' fn רציפות ב[0 ולא מוגדרת חלוקה,1] כך שfn(x)-->0 לכל X בתחום, אך האינטגרל של fn מ0 עד 1 אינו שווה ל0. - האם הפונקציה x^n(x^n-1) qq מקיימת את הדרוש? הפונק' אכן רציפות ב[0,1], פונקצית הגבול היא 0, אבל האינטגרל יוצא, אם אני לא טועה, 1/n פחות 1/(2n+1)..
===תשובה===
נכון. תוסיפו את הנתון אתה בטוח שהאינטגרל שונה מאפס ולא '''שואף''' לאפס? כי כמעט כל סדרה שתבחר תעמוד בתנאי הראשון (למשל הסדרה של הפונקציות הקבועות <math>\forall x \in (0,frac{1) : f(x)\neq 0}{n}</math>).
==שאלה אם אתה רוצה סדרה שהאינטגרל עליה אינו שואף לאפס, קח סדרה של פונקציות הבאה: הגרף של הפונקציה ה- 1/א' =='הוכח שלכל פולינום ממעלה n יש לכל היותר n שורשים שונים' : אפשר כיוון להוכחה? מפני שאפשר להניח שיש פולינום הוא משולש עם יותר מ-n שורשים שונים, ואז יש לו הצגה מהצורה:בסיס <math> (x-x_1)^\frac{r_1}...(x-x_{n+1})^{r_{n+1}} </math>, וכשפותחים את הסוגריים מקבלים פולינום ממעלה n+1בגובה 2n וכל שאר הפונקציה היא אפס...:תחשוב הסדרה הזו שואפת לאפס (כמובן שלא במ"ש) והאינטגרל על משפט רולכל פונקציה בסדרה הוא תמיד 1.
==שאלה==
בשאלה 3e (בתרגילי לופיטל)נראית נחמדה. f:[0, האם יש צורך להשתמש בזהויות טריגונומטריות "לא שכיחות" כלשהן? כי הדרכים הסטנדרטיות נראות לא מועילות במיוחד 1] - כבר גזרתי לבצעתי את כלל לופיטל 3 פעמים, והגעתי לביטוי שכבר --> R היא פונקציה רציפה אי אפשר לפשט שלילית המקיימת f(כשלא צמצמתיx), וכאשר כן צמצמתי הגעתי לביטוי שאי אפשר להמשיך איתו <=sinx לכל x בתחום. צריך למצוא את כל פתרונות המשוואה: cosx+quad(המונה שואף לגבול שאינו אפסf, המכנה שואף לאפס0,x)-1=0.(קוסינוסX ועוד האינטגרל של f מ0 עד x פחות 1 = 0.)מעבר לעובדה שx=0 הוא פתרון אחד של המשוואה, לא הצלחתי להוכיח שלא קיימים עוד פתרונות/למצוא פתרון נוסף. ניסיתי להניח שקיים ולהשתמש במשפט רול, ניסיתי להשתמש בזה שאי שיוויון ברמת הפונק' ==> אי שיוויון ברמת האינטגרל אבל בסופו של דבר לא הגעתי למשהו שמוכיח. יש רעיון למישהו?::מישהו??
:::אם f=sinx אזי זו הפונקציה הקבועה אפס. אם f קטן ממש מהסינוס אזי הנגזרת בעלת סימן קבוע (שלילי) והפתרון היחיד הוא אפס
==שאלה==
מישהו מוכן להסביר לי באילו מקרים כדאי לעשות גזירה איבר איבר, ומתי לעשות אינטגרציה איבר איבר? תודה.
:כדאי? תמיד. מותר? כאשר יש התכנסות במ"ש לפי המשפטים שלמדתם בכיתה.
==שאלות מעניינות==
* הוכח או הפרך:
תהי <math>f_n(x)</math> סדרה של פונקציות גזירות ברציפות המתכנסות במ"ש לפוקציה <math>f</math>, אשר גם גזירה ברציפות,ב-<math>[a,b]</math>.
אזי ש- <math>f_n' \rightarrow f'</math> במ"ש על הקטע <math>[a,b]</math>.
* בנוגע למשפט דיני לטורים, נניח שיש לי טור <math>u(x)=\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)</math>, כך ש-<math>a_n(x)>0</math> והטור מתכנס ב-I.
מתי אני יודע אם הפונקציה הגבולית רציפה, כך שאוכל להישתמש בדיני ולקבוע שההתכנסות במ"ש.
נשמח לתשובה ממישהו,די דחוף! תודה!!! :)
תומר - אם ניקח את הסידרה cosnx ונחלק הכל ב n . האם קיבלת סידרה שמתכנסת במ"ש ? ומה עם נגזרותיה ? ...
לגבי דיני - פשוט לבדוק רציפות לפי הגדרה - גם לא אמרת שהפונקציות בסידרה רציפות - שים לב לתנאי המשפט ! .
==שאלה==
שאלה שנתקעתי עליה ואשמח לכיוון:
int(arctan(x)/[(x*(ln(x+1))^2)], x = 0 .. infinity)
ניסיתי דיריכלה, חשבתי על השוואה, ופשוט לא מצאתי. אשמח לעזרה
::מצטרף לשאלה!! איך פותרים את הדבר הזה?
(לא ארז/תומר) תנסה השוואה עם אחד חלקי [x*ln(x)^2]. שים לב ש arctanx שואף באינסוף לחצי פאי, ושעם קצת אלגברה אפשר להוכיח שמנת ה-ln-ים שואפת לאחד. כדי להראות התכנסות של האינטגרל החדש, אפשר להשתמש בהצבה t=ln(x), או לחילופין להשתמש במבחן האינטגרל+מבחן העיבוי לטורים
תודה רבה :)
זה לא נכון, כי יש בעיתיות גם בנקודה x=1 וגם באינסוף. ההשואה שנתת עוזרת רק לחלק של האינסוף
: אבל אני לא חושב שאמורה להיות בעיה, כי זאת בעיה בנקודה, וזה לא אינטגרל לא אמיתי מסוג שני.
::אתה מפצל את זה לשני אינטגרלים: האינטגרל מ-1 עד אינסוף מתכנס (כי מורידים את ה-ln בעזרת אי שוויון והאינטרגל (arctanx/x^2) מתכנס (השוואה עם 1/x^2)...
::עכשיו בקשר לאינטגרל מ-0 עד 1 אתה יודע ש- ln(1+x)<x לכל x ב-[0,1] ולכן האינטרגל שלנו גדול מהאינטגרל של arctan(x)/x^4 וזה מתבדר ע"פ השוואה עם 1/x^4 שמתבדר בקטע [0,1], ולכן זה גדול מאינטגרל מתבדר וזה סה"כ מתבדר. (אשמח לקבל אישור מאחד המתרגלים =) ).
:(לא ארז/תומר) עבור האינטגרל מ-0 עד 1, תנסה מבחן השוואה גבולי עם אחד חלקי x^2 . שים לב ש arctanx/x שואף לאחד וש ln(1+x)/x גם שואף לאחד כאשר x שואף לאפס.
ובקשר לזה שכתב מעלי- ה-x במכנה הוא לא בריבוע...
:: האמת שהאינטגרל המקורי היה בין 1 לאין סוף וזאת טעות שלי שכתבתי אפס, אבל זה באמת יהיה טוב לדעת מה קורה גם אם זה היה אפס.
:: תודה לשניכם :)
==שאלות.==
*arctanx חיובי בקטע 1,infinity לא? היה תרגיל באחד המבחנים ששמו ערך מוחלט מסביב לarctan, באנטגרל שהתחום שלו הוא תהחום המצוין..
*במבחן ההשוואה הגבולי. מותר לי להשוות פונק' חיובית עם פונק' שלילית, אם הגבול יוצא חיובי? לדוגמה, הפונקציה sinx חלקי x*lnx. בתחום [0.5,1], נניח ואני רוצה להשוות עם sinx חלקי x-1..
*כאשר אני מפצלת אינטגרלים ל2 תחומים שונים [עם דגש על השונים!]. אם אחד מהם מתבדר, כל האינטגרל המקורי מתבדר, נכון? בלי קשר לחיוביות/שליליות של אחת הפונקציות..
*בהמשך לשאלה שלמעלה - אם יש לי שאלה של 'לאילו ערכי אלפא', כאשר יש לי חיבור של 2 אינטגרלים - אחד ל"א מסוג ראשון והשני ל"א מסוג שני.. אז אם למשל עבור alpha>1 האינטגרל מסוג 1 מתבדר, אין מה לבדוק את האינטגרל השני גם?
וזהו, תודה רבה!
===תשובה===
אין צורך להשתמש בדברים *כן הוא חיובי.*אם בתחום הפונקציה אי חיובית אז אם תכפלי אותה במינוס תקבל פונקציה אי שלילית. כמובן שמכפלה במינוס לא שכיחיםמשנה התכנסות אינטגרל*נכון.*נכון ::כן, אבל כשהפונק' הייתה שלילית, הגבול יצא לי חיובי. אם אני כופלת במינוס 1, הגבול יוצא שלילי..:::לא יכול להיות שהגבול של המנה של שתי פונקציות אי שליליות יהיה שלילי::::::: כעיקרון אני מדברת על הפונקציה sinx חלקי x*lnx. בתחום [0.5,1] אני משווה אותה עם sinx חלקי (1 פחות X). (יום יבוא ואני אלמד להשתמש בכתיב המתמטי של ויקיפדיה... מצטערת על הסרבול). בכל מקרה, שתי הפונקציות חיוביות בתחום הזה. אבל הגבול של המנה, כאשר X שואף ל1 מצד שמאל, הוא מינוס אחת.. ולא ראיתי שיש שם כותרת "תרגילי לופיטל" :כי ln שלילית בקטע הזה.::אוקי, אז בעצם מכפילים את הפונק' המקורית ב1- ואז מקבלים גבול חיובי, ואומרים שבגלל שהפונק' עם המינוס מתכנסת/מתבדרת ==> כך גם הפונק' המקורית? :נכון
==שאלה==
יש לי פונקצייה ששואפת ל-0 ב'''התכנסות במ"ש של ערך כלשהו'מוחלט של טור הפונק'גוררת התכנסות במ"ש של טור הפונק'?:כבר נשאל בעמוד זה. כן מכיוון שהשארית של טור קטנה או שווה לשארית של הטור בהחלט ==שאלה==*הסתבכתי, ופונקצייה שחסומהאפשר עזרה?*נניח שהפונקציה f מוגדרת ורציפה בקטע סגור x=a. .b הוכח כי הסכום מאחד עד אינסוף של f^n מתכנס במ"ש בקטע זה אם ורק אם הסכום הנל(f^n) מתכנס נקודתית בקטע זה. :השאלה לא מנוסחת טוב. מה זה f ומה הוא קשור? מה ההבדל בין סכום מאחד עד אינסוף לבין טור?תיקנתי... מה הבעייה בהגדרה של f פשוט פונקציה f(x) ::שאלתי מה הקשר של f. גם g היא פונקציה אבל היא קשורה לשאלה בדיוק כמו f... האם היא פונקצית הגבול של הטור? האם אני יכול להגיד שגם מכפלת הפונקציות הללו שואפת לבסדרה רציפות? : (לא ארז וגם לא תומר) בעצם הכיוון המעניין היחיד הוא מהתכנסות נקודתית לבמ"ש. אם f^n מתכנס נקודתית אפשר לראות כי לכל x נקבל f(x<1 (בערך מוחלט, הלוואי שזה לא היה קופץ כל הזמן). f רציפה לכן הערכים שהיא מקבלת מהווים קטע סגורc,d בתוך [-0 באותו ערך1,1), קטע בו הטור x^n מתכנס במ"ש. לכן כל סדרת נקודות אינסופית שתבחר בa,b עבור הטור לפי f שקולה בעצם לבחירת נקודות בc,d עבור הטור של x המתכנס שם במ"ש (ולפי מבחן הLIMSUP בעצם זה כל מה שצריך). אבל למה f(x) בערך מוחלט קטן מ-1?:הסברתי במפורט בתשובה. לא בהכרח f<1 פשוט אם הוא מתכנס הוא קטן מאחד ולכן מתכנס במ"ש. אם הוא מתכנס במ"ש ברור שהוא מתכנס. זה כל מה שצריך להוכיח.
===תשובה===
כןאה. מכיוון שהתכונה הזו קיימת עבור סדרות, בעזרת הגדרה הגבול לפי היינה קל להוכיח אותה עבור פונקציות... התבלבלתי בין f_n לf^n.... מצטער.
הכותב מעליי צודק שהטור מתכנס כאשר <math>|f(x)|<1</math>, והוא מתכנס במ"ש כאשר <math>|f(x)|<r<1</math> אבל בגלל שהפונקציה רציפה על קטע סגור ונניח מתכנסת בו אזי היא מקבלת מינימום ומקסימום ושניהם חייבים להיות קטנים ממש מאחד (אחרת היא לא הייתה מתכנסת בהם) ולכן התנאי מתקיים.
* על מנת להוכיח שהוא מתכנס במ"ש בתנאי למעלה <math>|f(x)|<r<1</math> כל שצריך הוא מבחן הM
<math>|f(x)^n|<r^n</math>.
* על מנת להוכיח שהוא מתכנס עבור התנאי <math>|f(x)|<1</math> כל מה שצריך הוא להסתכל נקודתית על הטור <math>\sum |f^n(x)|=\sum a^n</math> כאשר <math>|f(x)|=a<1</math> וזה כמובן מתכנס.
* טריוויאלי שהוא יתבדר בכל מקום אחר.
* על מנת להוכיח שהוא לא מתכנס במ"ש אם לפונקציה לא היה מקסימום אבל הsup שלה היה אחד: ניקח סדרה <math>x_n</math> כך ש <math>f(x_n) \rightarrow 1</math> ולכן
<math>\lim_{k\rightarrow \infty} sup|S(x)-S_k(x)|>\lim_{k\rightarrow \infty} |S(x_{n_k})-S_n(x_{n_k)}| = \infty</math>
(נבחר את n_k על מנת שההפרשים ישאפו לאינסוף. אנחנו יודעים שזה מותר כי
<math>f(x_n)\rightarrow 1</math>)
==שאלה==
נניח שיש אם יש לי פונקצייה, פונקציה ואני מפשט אותה בדרכים שונות מבלי באמת 'לשנות' אותה (צמצום, שימוש בזהויות טריג', וכ'ו), כאשר תחום ההגדרה משתנה, ובנק' a יש גבול ימני אבל מצד שמאל ל-a היא לא מוגדרת. האם מותר לי לומר שגם בפונקצייה המקוריתמפתח לה טור חזקות נניח עם רדיוס 1, איך אני מוודא לאחר הפיתוח שהפונקציה שווה לטור בקטע?וגם פה שאלה 4 כוון כללי אם כך, אין גבול באפשר...http://moodle.technion.ac.il/file.php/1098/Exams/2004-2005-spring-test-a?.pdf
===תשובה===
תאלץ להיות יותר ספציפיהוא שווה לפונקציה רק ברדיוס ההתכנסות. אבל מה הכוונה איך אתה מוודה? אם שינית את תחום ההגדרה ואין יותר גבול מצד אחד בעקבות פתחת נכון זה, למה שלא יהיה גבול במקור?חייב להיות שווה - הצעדים שלמדנו לפיתוח פונקציה לטור חזקות הם צעדים בהם השיוון בסוף חייב להתקיים (למשל פונקציה קדומה ששווה בנקודה אחת לטור החזקות [עדיף לבדוק את הנקודה אפס כמובן])
לדוגמא, אם תיקח e בחזקת ln של פונקציה, אוטומטית כל פעם שהפונקציה f שלילית הפונקציה החדשה לא מוגדרת. זה אומר שבהכרח אין לf גבול בנקודות בהן היא שלילית?
:צודק. פשוט הגעתי לפונקצייה: <math>\sqrt{(sin(x))(1+cos(x))}</math>לגבי השאלה השנייה כבר שאלו אותה, שאין לה גבול שמאלי ב-0, ובתרגיל המקורי היה עליי למצוא את הגבול ב-0 (אם קיים).תסתכל בארכיון 17
::לא בטוח אבל אתה יודע שאם קיים טור חזקות המקדמים הם אלו של טיילור, למשל הפונקציה f(0)=0 f(x)=exp(-1/x^2) sהיא שווה לטור החזקות רק באפס למרות שהטור מתכנס בכל הישר (הוא תמיד אפס כי כל הנגזרות באפס הן אפס)מה שאני שואל זה איך הגעת לזההייתי יודע להבחין שהם שווים רק באפס למרות שהטור מתכנס תמיד, אבל הוצאת שורש שקולה להפעלת ln ויוצרת את אותה בעייה שתיארתי למעלה. יכול להיות שיש לך טעות חישוב פשוטרק שזה לא תמיד לערך הפונקציה?
:::כן, יש לי טעות חישוב, תודה :) . אבל רגע - אחרי פישוט קבלתי: <math>\sqrt{1+cos(x)}</math>, כאשר יש גבול בנק', אבל כשבדקתי בתוכנה אם יש גבול בנק' ראיתי שיש גבולות שמאלי וימני ששונים זה מזה. זה ממש מוזר...
:::: טעות חישוב נוספת, ואני אודה אם לא תירשום אותה פה אחרי שתגלה אותה כי אל תבלבל. הקטע עם הבדיקה בנקודה זה כבר ממש יתן רק כאשר הוכחת שהפונקציה שלך היא קדומה של טור חזקות כלשהוא ועשית אינטגרציה איבר איבר. באופן כללי למדתם משפט אחד שמאפשר לכם להניח שטור החזקות עם מקדמי טיילור הוא אכן הפונקציה וזה כאשר הנגזרות חסומות (ראה את התשובה.ההשלמה).במקרים אחרים (כמו זה שתארת) אסור סתם להניח שיהיה שיוויון.
:::::איפה טעות החישוב? בפישוט הביטויכן, או בחישוב הגבולות החד צדדייםאבל בתכלס אם קיים טור חזקות המקדמים שווים למקדמי טיילורמה שאתה אומר זה להתייחס "כאילו" אנחנו לא יודעים את זה ולעבוד בשיטות אחרות כן?:::::: תחשוב לבד, תציב קצת עם מחשבון(במקרה והנגזרות לא בהכרח חסומות)
'''לאיזה שאלה זה קשור?''':כן. יכול להיות שתשתמש בטריק כי אתה לא יודע להוכיח שהפונקציה שווה לטור חזקות, אבל גם יכול להיות שזה פשוט יהיה קל יותר מאשר לחשב את הנגזרות מכל סדר...
זה לא ברור?? תקרא את שאלות התרגיל..סבבה תודה רבה
==תרגיל שאלה== המבחן ב15:30 נכון? כמה זמן הוא יארך??? כן, שעתיים ==שאלה== למה הסיגמה של 2*(n+1 סעיף ב')*3^n חלקי שורש שלישי של n! מתכנס?:אתה מתכוון ל<math>\sum \frac{2(n+1)3^n}{\sqrt[3]{n!}}</math>? תקח את השורש הn-י ותקבל 3 חלקי אינסוף כלומר שואף לאפס (הרי <math>\sqrt[n]{n!}\rightarrow \infty</math>) ==התכנסות אינטגרלים==יש אפשרות לרמז כלשהוהאם האינטגרלים הבאים מתכנסים???* <math>\int_{0}^{1} \frac{\theta}{\ln(\theta)}d\theta</math>.* <math>\int_0^1 \frac{dx}{\ln(x)}</math>* <math>\int_{r=0}^{r=1} \frac{\sin(r^2)}{r}dr</math>.האם אפשר לומר באינטגרל השלישי ש-<math>\int_{0}^{1} \frac{\sin(r^2)}{r}dr \leq \int_{0}^{1} \frac{r^2}{r}dr = \int_0^1 rdr = 1/2</math>, ואז עפ"י השוואה???
===תשובה===
באיזה משפט השתמשת בשני הסעיפים האחרים באותה שאלה?לא לשכוח לבדוק אם האינטגרל הוא אמיתי בכלל או לא. למשל השלישי הוא פשוט בעל אי רציפות סליקה באפס ולכן אינטגרבילי (גם מה שרשמת נכון אבל בלי קשר)
בראשון ובשני הצד הבעייתי הינו 1. ניתן לבצע מבחן ההשוואה עם <math>\frac{1}{1-x}</math>
<nowiki> השתמשתי ברול אבל ==שאלה== נתונה פונקציה f(x) בקטע [a,b] ונתון שהיא חסומה על ידי M. צריך להוכיח שאם f אינטגרבילית זה לא עזר לי לפתור את השאלה הזאתגורר ש-f^2 אינטגרבילית.</nowiki> חסימות זה לא בעיה, אבל הסתבכתי עם התנאי השני אני יכול להשתמש במשפט שאם הפונקציות f,g אינטגרביליות בקטע כלשהו אז גם f כפול g אנטגרבילית שם, כאשר במקרה הזה g=f?
:(לא ארז/תומר) ענו כבר על השאלה הזאת... לדעתי אי אפשר להשתמש במשפט, למרות שהוא נכון, כי אז התרגיל טריוויאלי.
:הנה ההוכחה- יהי אפסילון גדול מאפס. בכל קטע g(x1)-g(x2)=(f(x1)+f(x2))*(f(x1)-f(x2)<2M*W כאשר W היא התנודה של f בקטע. (g מוגדרת כ f בריבוע). מאינטגרביליות f קיימות חלוקה עבורה סכום התנודות קטן מאפסילון חלקי 2M. ועבור אותה חלוקה בפונקציה g סכום התנודות יהיה קטן מאפסילון.
:אז תנסה שוב.תומר - ומה עם מידת נקודות אי רציפות ? אם אתם יודעים שהפונקציה אינטגרבילית זה אומר שמידת קבוצת נקודות האי רציפות שלה היא אפס . מה עם נקודות האי רציפות של הפונקציה בריבוע ? האם היא מוכלת בזו של הפונקציה המקורית ? ואם כן מה זה לא מאד מסובךאומר על מידתה ? ...
==שאלה==
נתקלתי בבעיה בסעיף c בשאלה 3צריך להוכיח שהטור הבא מתכנס במ"ש. f(x)= sum from 0 to infinity of (e^-nx)* cos(nx) s בכל קטע (a, infinity] כאשר a>0 ניסיתי עם מבחן ה- m ולא הצלחתי.מישהו?אפשר להשוות עם e^-n במבחן הM לא? :(לא ארז/תומר) אני חושב שצריך להשוות עם e^-an ...מצד אחד יוצא לי שהגבול עם e^-n וזה עובד. עכשיו בסעיף הבא הם רוצים להוכיח/להפריך שf(x) שזה הסכום הוא אפספונקציה רציפה ב(o, אבל אחרי שאני עושה לופיטל, רק לופיטל אחדinfinity). הבעיה זה שזה קטע פתוח ולא סופי.. עדין אפשר להשתמש במשפט על טור של פונקציות רציפות המתכנס במ"ש? :תמיד משתמשים באותו טריק (לא התעמקתי בשאלה, מקווה שרלוונטי) אם ההתכנסות היא במ"ש על כל תת קטע סגור וסופי אז יוצא שפונקצית הגבול רציפה בכל נקודה בלי שתהיה התכנסות במ"ש על הקטע האינסופי/פתוח כולו. == תרגיל 11 ==מישהו יכול לכתוב שוב את הלינקים לתרגילים שבתרגיל 11, הלינקים לא עובדים לי שהגבול הוא 0.5 בדקתי כמה פעמים ולא מצאתי איפה טעיתי:ארכיון 16...אשמח לעזרה==שאלה==מתי יפורסמו ציוני התרגיל והבוחן (אני יודע שיש לנו אותם, תודה :הכוונה עם פקטור, וציוני תרגיל 8/10 אם אני לא טועה)והאחוזים מהציון הסופי? מצטרף!! תומר - יפורסם בשעות הקרובות . אני עצמי עוד בודק תרגילים שהוגשו באיחור(!) . סבלנות . יש חדש? ==שאלה==אוקי, נניח ויש לי סדרת פונקציות, ואני צריכה לבדוק לאילו ערכי אלפא הסדרה מתכנסת במ"ש ב0,אינסוף (חצי סגור) וב[0,1]. קודם כל בדקתי את 0 אינסוף, והגעתי לזה שעבור אלפא קטן מ2 ==> הסדרה מתכנסת במש.התחום השני, [0,1], מוכל בתחום הראשון - ונניח שהגעתי לזה שהסדרה מתכנסת במש בתחום זה עבור אלפא גדול מ2-. מכיוון שהתחום מוכל, זה אומר לי גם שבפרט הסדרה מתכנסת במש גם עבור אלפא קטן מ2, וביחד - עם שתי המסקנות האלה - מתכנס לכל אלפא?
===תשובה===
לכאורה כן, אני לא יודעמבין מה השאלה. הרי ברור שאם זה מתכנס במ"ש לכל אלפא גדול ממינוס 2 או קטן משתים בפרט זה מתכנס לכל אלפא. השאלה האמיתי היא אם החישובים שלך נכונים.:השאלה היא כזו - הוכחתי שעבור אלפא קטן מ2 זה מתכנס במ"ש ב0,infinity. רק רציתי לוודא שזה אומר שעבור אלפא קטן מ2 זה מתכנס במ"ש גם ב[0, יכולות להיות לך הרבה טעיות1]. מאיזה צד זה יוצא אפסנכון?
איך אחרי לופיטל אחד אתה כבר מגיע לתשובה::הדגש הוא על הקטע הסגור? הרי אם יש לך למעלה ולמטה 0 עדייןהתכנסות באפס אז כן, אם לא אז לא:::כן, מדובר על קטעים סגורים.תודה:)
אני טועה או שבהתחלת ההרצאה האחרונה רוני אמר שבטווח שבין רדיוס ההתכנסות לבין המינוס שלו(לא כולל הוא עצמו)- הפונקציה מתכנסת, ואח"כ הוא אמר שהיא גם מתכנסת במ"ש בכל קטע סגור שמוכל בקטע הזה.....?:זה נכון לגבי טור חזקות, אני לא בטוח איך זה קשור פה. ::יש לזכור שאפס כפול אינסוף עוד מקום עם רדיוס התכנסות חוץ מטור חזקות??? ושאלתי כי זה נראה לי מוזר להוכיח משהו ואז להוכיח משהו ותר חזק במקום להוכיח ביחד. למה פה? איפה עוד אני יכול לכתוב??? :::לא אפס בהכרחפה בפורום, התכוונתי פה בשאלה הזו... (אולי רדיוס התכנסות זה מה שיצא לך)מושג של טור חזקות, וכאן מדובר על סדרת פונקציות.
==שאלה==
לתומר,אני נמצא במשלחת של בית הספר לגרמניה בין התאריכים 16.3מצטער על הבורות רגע לפני המבחן-23.3בתאריכים אלה יש שני תרגילים שצריך להגיש (אחד במה זה גזירה איבר-16איבר? ואינטגרציה איבר איבר? בבקשה שלא יהיה מסובך.3 ואחד ב23.3). את התרגיל הראשון אוכל להגיש (על ידי מסירה לחבר לפני כן) אך את התרגיל של ה-23.3 לא אוכל להספיק להגיש (או אפילו לראות). האם אוכל לקבלת דחייה של מספר ימים ולשים לך את התרגיל בתאתומ
'''תומר ===תשובה===נניח ויש לך טור מתכנס <math>g=\sum f_n</math>. השאלה היא מהי הנגזרת של g. אם מותר לגזור איבר-איבר אזי <math>g'= \sum f_n'' </math>. שים לב שזה לא תמיד נכון, רק כאשר המשפטים מאפשרים לגזור איבר- הודעת לי מבעוד מועד ואין בעייה ! שתהיה נסיעה טובה :)איבר. אינטגרציה זה דומה <math>\int g = \sum \int f_n</math>
==שאלה==
בשאלה 3 סעיף Cאם טור חזקות מתכנס גם בR וגם בR-, בדקתי במחשבון (ובציור הגרפי של maple) ולפיהן יוצא שהגבול הוא אפסזה אומר שהוא מתכנס במ"ש ב[0, אך לאחר לופיטל שניR] וב[-R, אני מקבל את הביטוי:0] ואז זה אומר שהוא מתכנס במ"ש ב[-R,R]?
cos(x^2)/(2cos(x^2)+x^2*sin(x^2)) ביטוי זה שואף לחצי===תשובה===כן. באופן כללי אם טור מתכנס במ"ש בשני קטעים סגורים צמודים הוא מתכנס במ"ש באיחוד הקטעים. כי מהירות ההתכנסות עבור אפסילון היא המקסימום בין שני הn_0 של שני הקטעים.
איפה הטעות== :)==שיהיה בהצלחה לכולם! לא פחות מ100 :) תומר - מצטרף ! שיהיה בהצלחה לכולכם - במבחן הזה ובכל אלו אחריו :):תודה, ותודה לכם על סמסטר נפלא (עד כמה שהיה אפשר. אינפי, אתם יודעים). תודה על התרגולים המצויינים, אפילו שהיו יותר מידי אנשים בכיתה... ותודה על ההשקעה בנו ועל כל העזרה (האתר, וכל דבר אחר). אולי תהיו מתרגלים שלנו באינפי 3? :ושיהיה בהצלחה לכולם! ==לארז ולתומר==רגע אחרי המבחן, וכמה ימים לפני שהאתר יתחיל לשמש, כנראה, תיכוניסטים תמימים שצעירים מאתנו בשנה, ואתם אורזים את הכל בשבילם, רציתי לומר לכם, לשניכם במ"ש, ת-ו-ד-ה ר-ב-ה!! על כל ההשקעה, הזמן, הרצון והכוח שהיה לכם להתמודד עם שתי קבוצות רועשות כמו שלנו, ועוד בקורס קשה כמו אינפי 2! שיהיה לכולנו המון בהצלחה בהמשך! מצטרף בהחלט, המון תודה לשניכם, ואולי נתראה בהמשך...:מצטרפת.. ממש תודה על הכול! מה נעשה בלי Math-wiki..מצטרף! זה לא מובן מאליו... ועם זאת, מתי נדע כמה פקטור יהיה(האם הביטוי שהגעתי אליו בטוח יהיה...!!) ::תודה רבה על כל האיחולים - המתרגלים. (בלי קשר, אני אפרסם עוד כמה דקות פתרון למבחן בדף הקורס) אני מסכים לגמרי עם כל השאר. אתם באמת השקעתם את כל כולכם בנו ובהצלחה שלנו. באמת רואים שאכפת לכם מאיתנו למרות כל הקיטורים, בקשות לדחיות, התחננויות ולפעמים אף בכי P=אני רק לא נכון או שהגבול הוא חצי והמחשבונים טועיםמבין משהו אחד. ניסיתי להבין מה הייתה התועלת בשיעורי חזרה ובתרגולים הנוספים שעשיתם, ואני לא מוצא בהם תועלת למבחן... לא עשינו אפילו תרגיל אחד שהיה אפילו דומה לשאלות שהיו במבחן (אני לא מתכוון לשאלות בדיוק כמו שהיו במבחן, אבל לפחות בסגנון ובנושאים)... כאילו שמתם דגש בשאלות לא דומות למבחן בשביל מה?הרי ראיתם את המבחן כבר... לי אישית היה די קשה להגיע לבר אילן,לתירגולים, באותו היום אבל הגעתי בכל זאת כי חשוב לי להצליח במבחנים (כמו לכולנו), אבל בתכלס שאני מסתכל על היעילות שלהם לאחר המבחן לא עזר בכלל, אלא להיפך.כל מה שאני מנסה להגיד, זה שבתרגולי חזרה לפני מבחן, תעזרו קצת יותר בכך שתתרגלו אותנו נכון, ולא לבלבל לנו את השכל עם שאלות לא קשורות בכלל... אחר כך מתלוננים שאנחנו לא מקבלים ציונים נורמלים ואתם נאלצים לעשות פקטור סתם!תודה על הכול (וזה בשיא הכנות)כי באמת השקעתם בנו
===תשובה===
בטח לקחת מספר קטן מידי והוא התאפסאני אענה לשאלה שלך בשני מישורים* הראשון והחשוב יותר: מטרתנו הראשונה והעיקרית כמורים הינה ללמד אתכם מתמטיקה ו'''לא''' להכין אתכם למבחן. תציב במחשבון 0הכנה למבחן הינה משנית (אמנם חשובה גם כן).01קשה להגיע לבר אילן גם במהלך הסמסטר, אך אתם מגיעים על מנת ללמוד. הסיבה שאנו רואים את המבחן קודם לכן היא בעיקר על מנת לוודא איכות שלו (שאין טעויות, רמה סבירה וכדומה), עלינו להעביר שיעורי חזרה כאילו לא ראינו את המבחן. *שנית, אני אפריך לחלוטין את הטענות שהעלאת:**שיעור ההשלמה היה חלק מחומר הקורס וכלל שאלה שהופיעה כלשונה במבחן! (הוא היה לפני שראינו את המבחן). אז כבר 20 נקודות מתנה על שיעור ההשלמה והחומר שהועלאה לאתר (אני לא העברתי את השאלה פרונטלית אבל תומר כן). אמרנו לכם לקרוא את שיעור ההשלמה.**שיעור החזרה כלל שאלה כמעט זהה לחלוטין לשאלה 3 מהמבחן (אני העברתי אותה ותומר לא).**יום או יומיים לפני המבחן עניתי באתר על שאלה דומה לשאלה 2 במבחן, והדגשתי דברים שלא היו בשאלה המקורית כי ידעתי שזה יעזור למבחן.**שאר השאלות, בוודאי היו דומות והתעסקו בנושאים דומים... מעבר לכך, תודה על ההכרה בעבודה שלנו. תאמינו לנו שמה שעכשיו נראה לכם לא כיף, בעתיד אתם תראו כאתגר שהצלחתם בו. החיים הם לא מיטת שושנים, ומי היה רוצה לישון במיטת שושנים בכלל? זה דוקר!:זה לא רק דוקר, זה גם צמיגי :P::מתי יעלו ציוני תרגיל? :::אנחנו נעלה אותם היום==יש לי שאלה==האם בשאלה 4ב במבחן היה אפשר להגיד שההתכנסות היא ל0 כי תנאי הכרחי להתכנסות הטור היא שאיפת האיבר הכללי לאפס(הוכחה של התכנסות לאפס לא התכנסות במש)? ===תשובה===כן, זה מוכיח בהחלט התכנסות נקודתית לאפס (ולא במ"ש כפי שציינת)
==שאלה==
למה מופיע לי ציון 0 בתרגיל מספר 2 אם הגשתי אותו? :S
:זו שאלה פילוסופית?
==הודעה==
1) האם אני יכול להסתמך על זה שלמשוואה לינארית יש רק שורש אחד (כלומר לא ייתכן שיהיו לה שני מאפסים)ציונים!!== מבחן == היה פקטור במבחן? ואם כן של כמה?
:אם הבנתי נכון איפה אתה נמצא, נראה לי שאתה יכול ללכת צעד אחד קדימה (ממשוואה לינארית לגזירה הבאה), ולהגיע לביטוי מפורש קצת יותרמצטרף לשאלה... מאוד חשוב לנו לדעת האם להגיש ערעור או שלא.... והאם לגשת למועד ב או לאבקיצור ממש חשוב לנו לעת האם היה פקטור...
::אוקיתשאלו את המרצים, תודהאנחנו (המתרגלים) לא יודעים.