'''<nowiki>== כותרת לשאלה ==</nowiki>'''
לכתוב מתחתיה את שאלתכם, וללחוץ על '''שמירה''' למטה מימין
=ארכיון=תרגיל 2 א בתרגיל 1==ארז, האי שוויון לא נכון. צריך להפוך אותו לאי שוויון "חלש", או להפוך את הקטע מסגור לפתוח.
===תשובה==='''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1 ו2נכון'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 2| ארכיון 2]]''' - תרגיל 3 '''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 3| ארכיון 3]]''' - תרגיל 3 '''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 4| ארכיון 4]]''' - תרגיל 4 '''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 5| ארכיון 5]]''' - תרגיל 4, זה צריך להיות הקטע הפתוח. רעיון התרגיל כמובן הוא אותו דבר...5:האם מותר להשתמש בזה שאם הנגזרת חיובית אז הפונקציה עולה?::זו לא הכוונה.. תשתמשו במה שלמדנו בשיעור.'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 6| ארכיון 6]]''' - תרגיל 6 '''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 7| ארכיון 7]]''' - (מי עוקב) '''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 8| ארכיון 8]]''' '''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 9| ארכיון 9]]''' - לקראת הבוחן '''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 10| ארכיון 10]]''' - פוסט בוחן '''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 11| ארכיון 11]]''' - תרגיל 9 '''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 12| ארכיון 12]]''' - תרגיל 9 '''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 13| ארכיון 13]]''' - תרגיל 10 '''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 14| ארכיון 14]]''' - תרגיל 10 '''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 15| ארכיון 15]]''' - תרגיל 10 '''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 16| ארכיון 16]]''' - לקראת המבחן '''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 17| ארכיון 17]]''' - לקראת המבחן =שאלות=
==שאלה==
=דחיה בהגשת התרגיל הקרוב='''
דחיה בהגשת התרגיל הקרוב:'''
שלום תומר, קוראים לי עדי איקן ובשבוע הקרוב אני לא אהיה כי אני ב"מסע ישראלי" מהבית ספר
לכן רציתי לבקש דחיה בהגשת התרגיל הקרוב
תודה
יהיה במבחן פונקציות עם שתי משתנים?
:לא שידוע לי, אם המרצה אמר שיהיה אז יהיה, אם לא אז לא
:אוקייתומר - מה פתאום שיהיה משהו שלא למדתם ??? הגיון חבר"ה , תהנההגיון ! ==שאלה== תחת אילו תנאים ניתן לומר שאינטגרל על סכום אינסופי של פונקציות שווה לסכום האינסופי של האינטגרלים של הפונקציות?תודה תומר - מפנה אותך לנוסח משפטים המתאימים ! יש משפטים שמתארים תנאים מספיקים לכך . ייתכן שיהיו מצבים נוספים שזה יתקיים אבל אז צריך לבדוק כל מקרה לגופו.
==שאלה==
בתרגיל 1ג נניח יש לי טור פונקציות שרץ על fn (הסדרה המזהה שלו). למה אם הטור |fn| מתכנס במ"ש בI, אז גם הטור המקורי מתכנס במ"ש בI? *נקודתית זה ברור מאינפי 1. לבמ"ש ההוכחה דומה. שארית הטור לא בהכרח נכון בהחלט קטנה משארית הטור בהחלט, כלומר הטור לא בהחלט מתכנס מהר יותר מאשר הטור בהחלט. ועוד שאלה: אם 0יש לי סדרת פונ' fn כך ש|fn| מתכנסת לפונ' גבול כלשהי f במ"ש, האם זה אומר שfn המקורית מתכנסת לf1 כלשהי במ"ש? *ברור שלא.... אינפי 1. <math>fn=(0-1)f^n</math> לא מתכנס בכלל, אבל הערך המוחלט מתכנס במ"ש. יש טעות בסיכום במשפט פרמה, לא? המשפט הראשון בעמוד הראשון של הסיכום.. לדוג' הפונ Y=0 .התנאים לא צריעכים להיות הפוכים??? *נכון מאד, הסרתי את הסיכום. המשפט אומר שאם יש מקסימום/מינימום והפונקציה גזירה הנגזרת שלה הינה אפס. בוודאי שאם הנגזרת אפס אין שום הכרח שיהיה מינימום/מקסימום (לדוגמא x^3). שאלה:איך מוגדר אינטגרל של פונקציה ממינוס אינסוף לאינסוף? הגבול כאשר c רץ לאינסוף של אינטגרל של הפונקציה מ c- עד c או פשוט פיצול לשני אינטגרלים לא אמיתיים ואז כל אחד שואף בקצב שלו? זה משנה כי במקרה של פונקציה איזוגית-למשל x באפשרות הראשונה זה y'=0 ולא מוגדרת חלוקהובשניה אינסוף פחות אינסוף שזה מתבדר.....(נכון?)תודה. *הוא מוגדר בתור הסכום של שני אינטגרלים לא אמיתיים. האינטגרל על הפונקציה x למשל מתבדר. למה אם f פונקציה רציפה, מחזורית ואי-שלילית בממשיים(f אינה זהותית אפס) אז הגבול של f(x)/x^3 אינו אפס כאשר x שואף לאינסוף?? הרי f חסומה מהנתונים,לא? רוני נתן שאלה כזאת ואמר להוכיח שהאינטרגל של f(x)/x מ1 עד אינסוף מתבדר. ואם הגבול שאמרתי מקודם שווה ל0 אז לפי מבחן ההשוואה האינטגרל מתכנס, אז כנראה שהגבול איננו 0,למה???
===תשובה===
נכון. תוסיפו את הנתון <math>\forall x \in (0,1) : f(x)\neq 0</math>.
==שאלה תומר - 1/א' ==כמה שאלות , כמה שאלות ! :) 'הוכח שלכל פולינום ממעלה n יש לכל היותר n שורשים שונים' : אפשר כיוון להוכחה? מפני שאפשר להניח שיש פולינום לשאלה הראשונה על התכנסות עם יותר מ-n שורשים שוניםערך מוחלט גוררת התכנסות בלי , ואז יש לו הצגה מהצורה:<math> (xבמידה שווה -x_1)^{r_1}..ראה משפט שהוכחתם .(xאו -x_{n+1})^{r_{n+1}} </math>, וכשפותחים את הסוגריים מקבלים פולינום ממעלה n+1...:תחשוב על משפט רולאפשר לנסות לבד פשוט ביישום של קריטריון קושי להתכנסות במ"ש ! .
==שאלה==בשאלה 3e (בתרגילי לופיטל), האם יש צורך להשתמש בזהויות טריגונומטריות "אינטגרל ממינוס אינס' לאינס' מוגדר על ידי פיצול באיזו נקודת ביניים - אבל בכל אופן כאשר הגבולות שלהם - אחד עם פרמטר לאינסוף ושני עם פרמטר למינוס אינסוף - הם לא שכיחות" כלשהן? כי הדרכים הסטנדרטיות נראות תלויים אחד בשני ! ובטח לא מועילות במיוחד - כבר גזרתי לבצעתי את כלל לופיטל 3 פעמים, והגעתי לביטוי שכבר אי אפשר לפשט (כשלא צמצמתי), וכאשר כן צמצמתי הגעתי לביטוי שאי אפשר להמשיך איתו (המונה ממינוס סי לסי כאשר סי שואף לגבול שאינו אפס, המכנה שואף לאפס)לאינסוף . זהו אינטגרל שקיים בשימושים אבל יש לו שם - PRINCIPAL VALUE - אבל זה לא האינטגרל בקורס שלנו !!! .
לגבי שאלה אחרונה - תן בבקשה את ניסוח השאלה המלא כדי שאוכל להתייחס .
==שאלה מסודרת ==
נתונה פונקציה fרציפה,מחזורית ואי-שלילית ב-R. היא אינה זהותית 0.הוכח: האינטגרל של f(x)/x מ-1 לאינסוף מתבדר. תוכל גם להגיד לי למה אי אפשר להוכיח שזה מתכנס עם שימוש במבחן ההשוואה השני? כי f לפי הנתונים חסומה,לא? ואז הגבול של (f(x)/x)/x^2 שווה לאפס ולפי המבחן f(x)/x מתכנס, כי האינטגרל של x^2 מתכנס...
===תשובה===
אין צורך להשתמש בדברים (לא שכיחיםארז/תומר) נראה לי שהטעות שלך היא כזו , כשאתה עשית את מבחן ההשוואה, עשית את זה עם הפונ' x^2 והאינטרל של זה מתבדר בקטע 1 עד אינסוף (אתה מתבלבל עם 1/x^2). :אבל אמרתי בקטע 1 עד אינסוף...לא מאפס!::הוא העיר לך על הפונקציה ולא ראיתי שיש שם כותרת "תרגילי לופיטל"על הקטע.x^2 זו פונקציה ששואפת לאינסוף ובפרט אינה אינטגרבילית על הקטע האינסופי. ובנוגע להוכחה , אני עשיתי את זה בדרך הבאה: נסמן את המחזור של F כ-T, אנחנו יודעים שהפונ' אינה זהותית אפס, לכן יש נקודה X0 בקטע [1,1+T] כך ש- (''f''(''x0'' שווה ל-M גדול ממש מאפס. מכיוון ש-F רציפה יש סביבה [a,b] של X0 כך שכל ס בקטע מקיים f(x)>M/2 (או אפילו גדול שווה, זה לא משנה) וכעת, מכיוון ש-F אישלילית , נגדיר פונקציה חדשה G להיות M/2x בכל קטע מהצורה [a+n*T,b+n*T] כאשר n טבעי ואפס בכל נקודה אחרת. ברור כי שתי הפונ' אי שליליות, אינטגרביליות בכל קטע מהצורה [one,R] כש- R>1 (F רציפה בכל קטע כזה, ול-G יש מספר סופי של נקודות אי רציפות מהסוג המתאים) ולכן אם האינטגרל של G בטע 1 עד אינסוף מתבדר, כך גם האינטגרל הלא אמיתי של F. ועכשיו, להראות שהאינטגרל של G בקטע 1 עד אינסוף מתבדר, זה לא כזה מסובך (אני עשיתי לפי קריטריון קושי, אבל אני בטוחשאפשר בעוד דרכים, ואין לי כח לכתוב את זה) ובסה"כ קיבלנו שהאינטגרל של f(x)/x
==שאלה==
יש לי פונקצייה ששואפת ל-למה במבחן ההשוואה הראשון רוני ציין שאם 0 ב'''ערך כלשהו'''<g ו f>g והאינטגרל של f מתכנס(לא אמיתי, ופונקצייה שחסומהבשנ הסוגים הוא אמר ככה. האם אני יכול להגיד שגם מכפלת הפונקציות הללו שואפת ל-0 באותו ערך..) אז האינטגרל של g מתכנס. הוא לא אמר שאם g מתבדר גם f מתבדר,זה לא נכון??
===תשובה===
כןהמשפט השני הוא היקש לוגי מהראשון. מכיוון שהתכונה הזו קיימת עבור סדרותלא יכול להיות שf יתכנס אבל g יתבדר, בעזרת הגדרה הגבול לפי היינה קל לכן אם g מתבדר אזי f מתבדר. ==שאלה== בתרגיל 11 שאלה 3 - לעוד מישהו יצא רדיוס התכנסות אפס?:: [לא תומר או ארז] לי דווקא יצא 1==שאלה==אם אני צריכה להוכיח שפונק' כלשהי היא אינטגברילית רימן, והראיתי שהסכום רימן שלה לכל חלוקה מתאימה ולכל בחירה אלפא חסומה בין הסכום רימן של פונק' אינטגרבילית(!) אחרת פחות אפסילון, ואותו סכום ועוד אפסילון. האם זה מראה לי שהפונק' שלי אינטגרבילית גם? ויותר מזאת, שואפת לסכום I של אותה הפונקציה השניה?:הסכום רימן של הפונקציה האחרת עבור אותה חלוקה? ומה זה האפסילון הזה? במה הוא תלוי? ==שאלה==נתון כי f אינטגרבילית וחסומה ע"י M. צ"ל שf^2 אינטגרבילית באותו קטע.יש דרך להראות את זה לא ע"י הרכבת פונקציות(שבדרך זו הנתון ע"י החסימות מיותר)?מהי הדרך? :הנתון על חסימות מיותר איך שלא תסתכל על זה, שכן זו פונקציה אינטגרבילית (ולכן חסומה) אבל יש דרך להראות את זה חוץ מהרכבה של פונקציה רציפה ופונקציה אינטגרבילית? תומר - מידת קבוצת נקודות אי הרציפות של הפונקציה החדשה היא אפס ? ... (לא ארז/תומר) כן יש פיתרון אחר, והוא בעזרת תנאי רימן לאינטגרביליות.f^2 חסומה (ברור), ונותר להראות את התנאי השני.בקשר אליו, קל להראות ש w(f^2)<= w(f)*2*M (כאשר w הוא התנודה בקטע), ומכאן קל להמשיך.
מראים את זה כך, לכל x1,x2 בקטע כלשהו מתקיים:
f(x1)^2-f(x2)^2<=(f(x1)-f(x2))*(f(x1)+f(x2)), ומכאן זה ברור
==שאלה==
נניח שיש לי פונקצייה, ואני מפשט אותה בדרכים שונות מבלי באמת התבקשתי להביא דוגמה לסדרת פונק'לשנות' אותה fn רציפות ב[0,1] כך שfn(צמצוםx)-->0 לכל X בתחום, שימוש בזהויות טריגאך האינטגרל של fn מ0 עד 1 אינו שווה ל0. - האם הפונקציה x^n(x^n-1) qq מקיימת את הדרוש? הפונק'אכן רציפות ב[0, וכ'ו)1], כאשר תחום ההגדרה משתנהפונקצית הגבול היא 0, ובנק' a יש גבול ימני אבל מצד שמאל ל-a היא לא מוגדרת. האם מותר לי לומר שגם בפונקצייה המקוריתהאינטגרל יוצא, אם כךאני לא טועה, אין גבול ב-a?1/n פחות 1/(2n+1)..
===תשובה===
תאלץ להיות יותר ספציפי. אבל אם שינית את תחום ההגדרה ואין יותר גבול מצד אחד בעקבות זה, למה שלא יהיה גבול במקוראתה בטוח שהאינטגרל שונה מאפס ולא '''שואף''' לאפס?כי כמעט כל סדרה שתבחר תעמוד בתנאי הראשון (למשל הסדרה של הפונקציות הקבועות <math>\frac{1}{n}</math>).
לדוגמא, אם תיקח e בחזקת ln של פונקציהאתה רוצה סדרה שהאינטגרל עליה אינו שואף לאפס, אוטומטית כל פעם שהפונקציה f שלילית קח סדרה של פונקציות הבאה: הגרף של הפונקציה ה-n הוא משולש עם בסיס <math>\frac{1}{n}</math> בגובה 2n וכל שאר הפונקציה החדשה לא מוגדרת. זה אומר שבהכרח אין לf גבול בנקודות בהן היא שלילית?אפס. הסדרה הזו שואפת לאפס (כמובן שלא במ"ש) והאינטגרל על כל פונקציה בסדרה הוא תמיד 1.
==שאלה==נראית נחמדה. f:צודק[0,1] ---> R היא פונקציה רציפה אי שלילית המקיימת f(x)<=sinx לכל x בתחום. פשוט צריך למצוא את כל פתרונות המשוואה: cosx+quad(f,0,x)-1=0.(קוסינוסX ועוד האינטגרל של f מ0 עד x פחות 1 = 0.)מעבר לעובדה שx=0 הוא פתרון אחד של המשוואה, לא הצלחתי להוכיח שלא קיימים עוד פתרונות/למצוא פתרון נוסף. ניסיתי להניח שקיים ולהשתמש במשפט רול, ניסיתי להשתמש בזה שאי שיוויון ברמת הפונק' ==> אי שיוויון ברמת האינטגרל אבל בסופו של דבר לא הגעתי לפונקצייהלמשהו שמוכיח. יש רעיון למישהו?::מישהו?? :::אם f=sinx אזי זו הפונקציה הקבועה אפס. אם f קטן ממש מהסינוס אזי הנגזרת בעלת סימן קבוע (שלילי) והפתרון היחיד הוא אפס ==שאלה==מישהו מוכן להסביר לי באילו מקרים כדאי לעשות גזירה איבר איבר, ומתי לעשות אינטגרציה איבר איבר? תודה.:כדאי? תמיד. מותר? כאשר יש התכנסות במ"ש לפי המשפטים שלמדתם בכיתה. ==שאלות מעניינות==* הוכח או הפרך: תהי <math>\sqrt{(sinf_n(x))</math> סדרה של פונקציות גזירות ברציפות המתכנסות במ"ש לפוקציה <math>f</math>, אשר גם גזירה ברציפות,ב-<math>[a,b]</math>.אזי ש- <math>f_n' \rightarrow f'</math> במ"ש על הקטע <math>[a,b]</math>.* בנוגע למשפט דיני לטורים, נניח שיש לי טור <math>u(x)=\sum_{n=1+cos}^{\infty}a_n(x))}</math>, שאין לה גבול שמאלי בכך ש-<math>a_n(x)>0</math> והטור מתכנס ב-I. מתי אני יודע אם הפונקציה הגבולית רציפה, ובתרגיל המקורי היה עליי למצוא כך שאוכל להישתמש בדיני ולקבוע שההתכנסות במ"ש.נשמח לתשובה ממישהו,די דחוף! תודה!!! :) תומר - אם ניקח את הגבול הסידרה cosnx ונחלק הכל בn . האם קיבלת סידרה שמתכנסת במ"ש ? ומה עם נגזרותיה ? ... לגבי דיני -פשוט לבדוק רציפות לפי הגדרה - גם לא אמרת שהפונקציות בסידרה רציפות - שים לב לתנאי המשפט ! . ==שאלה== שאלה שנתקעתי עליה ואשמח לכיוון: int(arctan(x)/[(x*(ln(x+1))^2)], x = 0 .. infinity) ניסיתי דיריכלה, חשבתי על השוואה, ופשוט לא מצאתי. אשמח לעזרה ::מצטרף לשאלה!! איך פותרים את הדבר הזה? (אם קייםלא ארז/תומר)תנסה השוואה עם אחד חלקי [x*ln(x)^2].שים לב ש arctanx שואף באינסוף לחצי פאי, ושעם קצת אלגברה אפשר להוכיח שמנת ה-ln-ים שואפת לאחד. כדי להראות התכנסות של האינטגרל החדש, אפשר להשתמש בהצבה t=ln(x), או לחילופין להשתמש במבחן האינטגרל+מבחן העיבוי לטורים
תודה רבה ::לא בטוח איך הגעת לזה, אבל הוצאת שורש שקולה להפעלת ln ויוצרת את אותה בעייה שתיארתי למעלה. יכול להיות שיש לך טעות חישוב פשוט?)
:::כןזה לא נכון, כי יש לי טעות חישוב, תודה :) . אבל רגע - אחרי פישוט קבלתי: <math>\sqrt{בעיתיות גם בנקודה x=1+cos(x)}</math>, כאשר יש גבול בנק', אבל כשבדקתי בתוכנה אם יש גבול בנק' ראיתי שיש גבולות שמאלי וימני ששונים זה מזה. זה ממש מוזר..וגם באינסוף.ההשואה שנתת עוזרת רק לחלק של האינסוף
:::: טעות חישוב נוספת, ואני אודה אם אבל אני לא תירשום אותה פה אחרי שתגלה אותה חושב שאמורה להיות בעיה, כי זה כבר ממש יתן את התשובה..זאת בעיה בנקודה, וזה לא אינטגרל לא אמיתי מסוג שני.
::אתה מפצל את זה לשני אינטגרלים:::איפה טעות החישוב? בפישוט הביטוי, או בחישוב הגבולות החד צדדיים?האינטגרל מ-1 עד אינסוף מתכנס (כי מורידים את ה-ln בעזרת אי שוויון והאינטרגל (arctanx/x^2) מתכנס (השוואה עם 1/x^2)...:::::: תחשוב לבדעכשיו בקשר לאינטגרל מ-0 עד 1 אתה יודע ש- ln(1+x)<x לכל x ב-[0, תציב קצת 1] ולכן האינטרגל שלנו גדול מהאינטגרל של arctan(x)/x^4 וזה מתבדר ע"פ השוואה עם מחשבון1/x^4 שמתבדר בקטע [0,1], ולכן זה גדול מאינטגרל מתבדר וזה סה"כ מתבדר. (אשמח לקבל אישור מאחד המתרגלים =) ).
'''לאיזה שאלה זה קשור?''':(לא ארז/תומר) עבור האינטגרל מ-0 עד 1, תנסה מבחן השוואה גבולי עם אחד חלקי x^2 . שים לב ש arctanx/x שואף לאחד וש ln(1+x)/x גם שואף לאחד כאשר x שואף לאפס. ובקשר לזה שכתב מעלי- ה-x במכנה הוא לא בריבוע...
:: האמת שהאינטגרל המקורי היה בין 1 לאין סוף וזאת טעות שלי שכתבתי אפס, אבל זה לא ברור?? תקרא את שאלות התרגיל.באמת יהיה טוב לדעת מה קורה גם אם זה היה אפס.:: תודה לשניכם :)
==תרגיל 1 סעיף ב'שאלות.==*arctanx חיובי בקטע 1,infinity לא? היה תרגיל באחד המבחנים ששמו ערך מוחלט מסביב לarctan, באנטגרל שהתחום שלו הוא תהחום המצוין..*במבחן ההשוואה הגבולי. מותר לי להשוות פונק' חיובית עם פונק' שלילית, אם הגבול יוצא חיובי? לדוגמה, הפונקציה sinx חלקי x*lnx. בתחום [0.5,1], נניח ואני רוצה להשוות עם sinx חלקי x-1..*כאשר אני מפצלת אינטגרלים ל2 תחומים שונים [עם דגש על השונים!]. אם אחד מהם מתבדר, כל האינטגרל המקורי מתבדר, נכון? בלי קשר לחיוביות/שליליות של אחת הפונקציות.. *בהמשך לשאלה שלמעלה - אם יש אפשרות לרמז כלשהולי שאלה של 'לאילו ערכי אלפא', כאשר יש לי חיבור של 2 אינטגרלים - אחד ל"א מסוג ראשון והשני ל"א מסוג שני.. אז אם למשל עבור alpha>1 האינטגרל מסוג 1 מתבדר, אין מה לבדוק את האינטגרל השני גם?
וזהו, תודה רבה!
===תשובה===
באיזה משפט השתמשת בשני הסעיפים האחרים באותה שאלה?*כן הוא חיובי.*אם בתחום הפונקציה אי חיובית אז אם תכפלי אותה במינוס תקבל פונקציה אי שלילית. כמובן שמכפלה במינוס לא משנה התכנסות אינטגרל*נכון.*נכון
::כן, אבל כשהפונק' הייתה שלילית, הגבול יצא לי חיובי. אם אני כופלת במינוס 1, הגבול יוצא שלילי..
:::לא יכול להיות שהגבול של המנה של שתי פונקציות אי שליליות יהיה שלילי
::::::: כעיקרון אני מדברת על הפונקציה sinx חלקי x*lnx. בתחום [0.5,1] אני משווה אותה עם sinx חלקי (1 פחות X). (יום יבוא ואני אלמד להשתמש בכתיב המתמטי של ויקיפדיה... מצטערת על הסרבול). בכל מקרה, שתי הפונקציות חיוביות בתחום הזה. אבל הגבול של המנה, כאשר X שואף ל1 מצד שמאל, הוא מינוס אחת..
<nowiki> השתמשתי ברול אבל זה לא עזר לי לפתור :כי ln שלילית בקטע הזה.::אוקי, אז בעצם מכפילים את השאלה הזאת.<הפונק' המקורית ב1- ואז מקבלים גבול חיובי, ואומרים שבגלל שהפונק' עם המינוס מתכנסת/nowikiמתבדרת ==>כך גם הפונק' המקורית?
:נכון
==שאלה==התכנסות במ"ש של ערך מוחלט של טור הפונק' גוררת התכנסות במ"ש של טור הפונק'?:אז תנסה שוב.. כבר נשאל בעמוד זה לא מאד מסובך.כן מכיוון שהשארית של טור קטנה או שווה לשארית של הטור בהחלט
==שאלה==
נתקלתי בבעיה בסעיף c בשאלה 3:מצד אחד יוצא לי שהגבול הוא אפס*הסתבכתי, אבל אחרי שאני עושה לופיטל, רק לופיטל אחד, יוצא לי שהגבול הוא 0.5אפשר עזרה?בדקתי כמה פעמים ולא מצאתי איפה טעיתי*נניח שהפונקציה f מוגדרת ורציפה בקטע סגור x=a..b הוכח כי הסכום מאחד עד אינסוף של f^n מתכנס במ"ש בקטע זה אם ורק אם הסכום הנל(f^n) מתכנס נקודתית בקטע זה.אשמח לעזרה, תודה :)
:השאלה לא מנוסחת טוב. מה זה f ומה הוא קשור? מה ההבדל בין סכום מאחד עד אינסוף לבין טור?
תיקנתי... מה הבעייה בהגדרה של f פשוט פונקציה f(x)
::שאלתי מה הקשר של f. גם g היא פונקציה אבל היא קשורה לשאלה בדיוק כמו f... האם היא פונקצית הגבול של הטור? האם הפונקציות בסדרה רציפות?
: (לא ארז וגם לא תומר) בעצם הכיוון המעניין היחיד הוא מהתכנסות נקודתית לבמ"ש. אם f^n מתכנס נקודתית אפשר לראות כי לכל x נקבל f(x<1 (בערך מוחלט, הלוואי שזה לא היה קופץ כל הזמן). f רציפה לכן הערכים שהיא מקבלת מהווים קטע סגורc,d בתוך [-1,1), קטע בו הטור x^n מתכנס במ"ש. לכן כל סדרת נקודות אינסופית שתבחר בa,b עבור הטור לפי f שקולה בעצם לבחירת נקודות בc,d עבור הטור של x המתכנס שם במ"ש (ולפי מבחן הLIMSUP בעצם זה כל מה שצריך).
אבל למה f(x) בערך מוחלט קטן מ-1?
:הסברתי במפורט בתשובה. לא בהכרח f<1 פשוט אם הוא מתכנס הוא קטן מאחד ולכן מתכנס במ"ש. אם הוא מתכנס במ"ש ברור שהוא מתכנס. זה כל מה שצריך להוכיח.
===תשובה===
לא יודעאה.... התבלבלתי בין f_n לf^n.... מצטער. הכותב מעליי צודק שהטור מתכנס כאשר <math>|f(x)|<1</math>, יכולות והוא מתכנס במ"ש כאשר <math>|f(x)|<r<1</math> אבל בגלל שהפונקציה רציפה על קטע סגור ונניח מתכנסת בו אזי היא מקבלת מינימום ומקסימום ושניהם חייבים להיות לך הרבה טעיותקטנים ממש מאחד (אחרת היא לא הייתה מתכנסת בהם) ולכן התנאי מתקיים. * על מנת להוכיח שהוא מתכנס במ"ש בתנאי למעלה <math>|f(x)|<r<1</math> כל שצריך הוא מבחן הM<math>|f(x)^n|<r^n</math>. * על מנת להוכיח שהוא מתכנס עבור התנאי <math>|f(x)|<1</math> כל מה שצריך הוא להסתכל נקודתית על הטור <math>\sum |f^n(x)|=\sum a^n</math> כאשר <math>|f(x)|=a<1</math> וזה כמובן מתכנס. * טריוויאלי שהוא יתבדר בכל מקום אחר. מאיזה צד זה יוצא אפס?
איך אחרי לופיטל * על מנת להוכיח שהוא לא מתכנס במ"ש אם לפונקציה לא היה מקסימום אבל הsup שלה היה אחד אתה כבר מגיע לתשובה? הרי יש לך למעלה ולמטה 0 עדיין.: ניקח סדרה <math>x_n</math> כך ש <math>f(x_n) \rightarrow 1</math> ולכן <math>\lim_{k\rightarrow \infty} sup|S(x)-S_k(x)|>\lim_{k\rightarrow \infty} |S(x_{n_k})-S_n(x_{n_k)}| = \infty</math>
יש לזכור שאפס כפול אינסוף זה לא אפס בהכרח..(נבחר את n_k על מנת שההפרשים ישאפו לאינסוף. אנחנו יודעים שזה מותר כי <math>f(אולי זה מה שיצא לךx_n)\rightarrow 1</math>)
==שאלה==
לתומראם יש לי פונקציה ואני מפתח לה טור חזקות נניח עם רדיוס 1,איך אני נמצא במשלחת של בית הספר לגרמניה בין התאריכים 16מוודא לאחר הפיתוח שהפונקציה שווה לטור בקטע?וגם פה שאלה 4 כוון כללי אם אפשר.3-23.3בתאריכים אלה יש שני תרגילים שצריך להגיש (אחד ב-16.3 ואחד ב23http://moodle.3)technion. את התרגיל הראשון אוכל להגיש (על ידי מסירה לחבר לפני כן) אך את התרגיל של ה-23ac.3 לא אוכל להספיק להגיש (או אפילו לראות)il/file.php/1098/Exams/2004-2005-spring-test-a. האם אוכל לקבלת דחייה של מספר ימים ולשים לך את התרגיל בתאתומpdf
'''תומר ===תשובה''' ===הוא שווה לפונקציה רק ברדיוס ההתכנסות. מה הכוונה איך אתה מוודה? אם פתחת נכון זה חייב להיות שווה - הודעת לי מבעוד מועד ואין בעייה ! שתהיה נסיעה טובה הצעדים שלמדנו לפיתוח פונקציה לטור חזקות הם צעדים בהם השיוון בסוף חייב להתקיים (למשל פונקציה קדומה ששווה בנקודה אחת לטור החזקות [עדיף לבדוק את הנקודה אפס כמובן]) לגבי השאלה השנייה כבר שאלו אותה, תסתכל בארכיון 17 אבל אתה יודע שאם קיים טור חזקות המקדמים הם אלו של טיילור, למשל הפונקציה f(0)=0 f(x)=exp(-1/x^2) sהיא שווה לטור החזקות רק באפס למרות שהטור מתכנס בכל הישר (הוא תמיד אפס כי כל הנגזרות באפס הן אפס)מה שאני שואל זה איך הייתי יודע להבחין שהם שווים רק באפס למרות שהטור מתכנס תמיד, רק שזה לא תמיד לערך הפונקציה? :אל תבלבל. הקטע עם הבדיקה בנקודה זה רק כאשר הוכחת שהפונקציה שלך היא קדומה של טור חזקות כלשהוא ועשית אינטגרציה איבר איבר. באופן כללי למדתם משפט אחד שמאפשר לכם להניח שטור החזקות עם מקדמי טיילור הוא אכן הפונקציה וזה כאשר הנגזרות חסומות (ראה את ההשלמה). במקרים אחרים (כמו זה שתארת) אסור סתם להניח שיהיה שיוויון. כן, אבל בתכלס אם קיים טור חזקות המקדמים שווים למקדמי טיילורמה שאתה אומר זה להתייחס "כאילו" אנחנו לא יודעים את זה ולעבוד בשיטות אחרות כן? (במקרה והנגזרות לא בהכרח חסומות) :כן. יכול להיות שתשתמש בטריק כי אתה לא יודע להוכיח שהפונקציה שווה לטור חזקות, אבל גם יכול להיות שזה פשוט יהיה קל יותר מאשר לחשב את הנגזרות מכל סדר... סבבה תודה רבה
==שאלה==
בשאלה 3 סעיף C, בדקתי במחשבון (ובציור הגרפי של maple) ולפיהן יוצא שהגבול הוא אפס, אך לאחר לופיטל שני, אני מקבל את הביטוי:
cosהמבחן ב15:30 נכון? כמה זמן הוא יארך??? כן, שעתיים ==שאלה== למה הסיגמה של 2*(xn+1)*3^n חלקי שורש שלישי של n! מתכנס?:אתה מתכוון ל<math>\sum \frac{2(n+1)3^n}{\sqrt[3]{n!}}</math>? תקח את השורש הn-י ותקבל 3 חלקי אינסוף כלומר שואף לאפס (2cosהרי <math>\sqrt[n]{n!}\rightarrow \infty</math>) ==התכנסות אינטגרלים==האם האינטגרלים הבאים מתכנסים???* <math>\int_{0}^{1} \frac{\theta}{\ln(\theta)}d\theta</math>.* <math>\int_0^1 \frac{dx}{\ln(x)}</math>* <math>\int_{r=0}^{r=1} \frac{\sin(r^2)+x}{r}dr</math>.האם אפשר לומר באינטגרל השלישי ש-<math>\int_{0}^2*{1} \frac{\sin(xr^2)) ביטוי זה שואף לחצי.}{r}dr \leq \int_{0}^{1} \frac{r^2}{r}dr = \int_0^1 rdr = 1/2</math>, ואז עפ"י השוואה???
איפה הטעות? (האם הביטוי שהגעתי אליו לא נכון או שהגבול הוא חצי והמחשבונים טועים?)
===תשובה===
בטח לקחת מספר קטן מידי והוא התאפסלא לשכוח לבדוק אם האינטגרל הוא אמיתי בכלל או לא. תציב במחשבון 0למשל השלישי הוא פשוט בעל אי רציפות סליקה באפס ולכן אינטגרבילי (גם מה שרשמת נכון אבל בלי קשר) בראשון ובשני הצד הבעייתי הינו 1.01ניתן לבצע מבחן ההשוואה עם <math>\frac{1}{1-x}</math>
==שאלה==
נתונה פונקציה f(x) בקטע [a,b] ונתון שהיא חסומה על ידי M.
1) האם אני יכול להסתמך על צריך להוכיח שאם f אינטגרבילית זה שלמשוואה לינארית יש רק שורש אחד (כלומר לא ייתכן שיהיו לה שני מאפסים)?גורר ש-f^2 אינטגרבילית.
:אם הבנתי נכון איפה אתה נמצאחסימות זה לא בעיה, נראה לי שאתה יכול ללכת צעד אחד קדימה (ממשוואה לינארית לגזירה הבאה), ולהגיע לביטוי מפורש קצת יותר...אבל הסתבכתי עם התנאי השני
::אוקי, תודה
אני יכול להשתמש במשפט שאם הפונקציות f,g אינטגרביליות בקטע כלשהו אז גם f כפול g אנטגרבילית שם, כאשר במקרה הזה g==שאלה לארז==היי ארזf?
קוראים לי עמית וייס ואני טס לפולין מהתעריך 15:(לא ארז/תומר) ענו כבר על השאלה הזאת.3. עד ה. לדעתי אי אפשר להשתמש במשפט, למרות שהוא נכון, כי אז התרגיל טריוויאלי. :הנה ההוכחה- 28יהי אפסילון גדול מאפס.3 ולכן לא אהיה פה כדי להגיש את שני התרגילים והייתי רוצה לבקש הערכה כדי שאוכל להגיד את שני תרגילים אלה אחרי שאחזור לארץבכל קטע g(x1)-g(x2)=(f(x1)+f(x2))*(f(x1)-f(x2)<2M*W כאשר W היא התנודה של f בקטע. (g מוגדרת כ f בריבוע). מאינטגרביליות f קיימות חלוקה עבורה סכום התנודות קטן מאפסילון חלקי 2M. ועבור אותה חלוקה בפונקציה g סכום התנודות יהיה קטן מאפסילון. האם זה אפשרי?
===תשובה===אפשריתומר - ומה עם מידת נקודות אי רציפות ? אם אתם יודעים שהפונקציה אינטגרבילית זה אומר שמידת קבוצת נקודות האי רציפות שלה היא אפס . מה עם נקודות האי רציפות של הפונקציה בריבוע ? האם היא מוכלת בזו של הפונקציה המקורית ? ואם כן מה זה אומר על מידתה ? ... תהנה
==שאלה==
בקשר לגבול ההוא עם חצי או צריך להוכיח שהטור הבא מתכנס במ"ש. f(x)= sum from 0, הבנתי את הטעות, תודה בכל מקרה :to infinity of (e^-nx)* cos(nx)s
עכשיובכל קטע (a, בשאלה 1 א - את האמת, אין לי כיוון אפילו. infinity] כאשר a>0
לעומת זאת, בשאלה בסעיף ב' ניסיתי עם מבחן ה- m ולא הצלחתי להוכיח שיש פיתרון יחיד או שאין פיתרון בכלל. איך אני שולל את זה שאין פיתרון בכללמישהו?אפשר להשוות עם e^-n במבחן הM לא?
תודה:(לא ארז/תומר) אני חושב שצריך להשוות עם e^-an ...
:הגבול בפלוס אינסוף הוא פלוס אינסוף ובמינוס אינסוף הגבול הוא מינוס אינסוףעם e^-n וזה עובד.הפונקציה עכשיו בסעיף הבא הם רוצים להוכיח/להפריך שf(x) שזה הסכום הוא פונקציה רציפה ולכן לפי משפט ערך הביניים יש נקודה שבה היא מתאפסתב(o, infinity). הבעיה זה שזה קטע פתוח ולא סופי..עדין אפשר להשתמש במשפט על טור של פונקציות רציפות המתכנס במ"ש?
::אפשר גם בלי גבולות - נניח שאין פתרון, אז הפונקצייה תמיד משתמשים באותו טריק (לא מתאפסת. אתה יודע שיש נק' בה היא חיוביתהתעמקתי בשאלה, ויש נק' בה מקווה שרלוונטי) אם ההתכנסות היא שלילית, לכן לפי משפט ערך הביניים - בגלל הרציפות שלה - היא חייבת להתאפס, מתישהו בין שתי הנק' האלהבמ"ש על כל תת קטע סגור וסופי אז יוצא שפונקצית הגבול רציפה בכל נקודה בלי שתהיה התכנסות במ"ש על הקטע האינסופי/פתוח כולו.
== תרגיל 11 ==
מישהו יכול לכתוב שוב את הלינקים לתרגילים שבתרגיל 11, הלינקים לא עובדים לי.
תשובות יפות. בסעיף א', בדיוק כמו באחרים משתמשים ברול:ארכיון 16...
==שאלה==מתי יפורסמו ציוני התרגיל והבוחן (אני יודע שיש לנו אותם, הכוונה עם פקטור, וציוני תרגיל 8/10 אם אני לא הבנתי כל כך את השימוש ברולטועה) והאחוזים מהציון הסופי? מצטרף!! תומר - יפורסם בשעות הקרובות .אני עצמי עוד בודק תרגילים שהוגשו באיחור(!) .סבלנות . לא הבנתי איך מוכיחים שיש פתרון יחיד ולאו דווקא כמה. יש חדש? ==שאלה==אוקי, נניח ויש לי סדרת פונקציות, ואני צריכה לבדוק לאילו ערכי אלפא הסדרה מתכנסת במ"ש ב0,אינסוף (חצי סגור) וב[0,1].קודם כל בדקתי את 0 אינסוף, והגעתי לזה שעבור אלפא קטן מ2 ==> הסדרה מתכנסת במש.התחום השני, [0,1], מוכל בתחום הראשון - ונניח שהגעתי לזה שהסדרה מתכנסת במש בתחום זה עבור אלפא גדול מ2-.מכיוון שהתחום מוכל, זה אומר לי גם שבפרט הסדרה מתכנסת במש גם עבור אלפא קטן מ2, וביחד - עם שתי המסקנות האלה - מתכנס לכל אלפא?
===תשובה===
פתרון יפורסם לאחר הגשת התרגילים (יום שלישי)לכאורה כן, אני לא מבין מה השאלה. הרי ברור שאם זה מתכנס במ"ש לכל אלפא גדול ממינוס 2 או קטן משתים בפרט זה מתכנס לכל אלפא. השאלה האמיתי היא אם החישובים שלך נכונים.:השאלה היא כזו - הוכחתי שעבור אלפא קטן מ2 זה מתכנס במ"ש ב0,infinity. רק רציתי לוודא שזה אומר שעבור אלפא קטן מ2 זה מתכנס במ"ש גם ב[0,1]. זה נכון?
==תרגיל 2==ארז::הדגש הוא על הקטע הסגור? אם יש התכנסות באפס אז כן, אם לא עשינו חקירת פונקציות בתרגולאז לא:::כן, ולא כולנו כ"כ טובים בזה מהתיכון.מדובר על קטעים סגורים.תודה:)
''אני טועה או שבהתחלת ההרצאה האחרונה רוני אמר שבטווח שבין רדיוס ההתכנסות לבין המינוס שלו(לא כולל הוא עצמו)- הפונקציה מתכנסת, ואח"כ הוא אמר שהיא גם מתכנסת במ"ש בכל קטע סגור שמוכל בקטע הזה.....?:זה נכון לגבי טור חזקות, אני לא בטוח איך זה קשור פה.
----'''הערה חשובה לגבי תרגיל מספר 2''''' תומר - מכיוון שלא עברנו על חקירת פונקציות בתירגולים השבוע ,ביום ראשון , נדחה את פיתרון שאלה מספר 1 בתרגיל מספר 2 לתרגיל הבא ::יש עוד מקום עם רדיוס התכנסות חוץ מטור חזקות??? ושאלתי כי זה נראה לי מוזר להוכיח משהו ואז להוכיח משהו ותר חזק במקום להוכיח ביחד. נא למה פה? איפה עוד אני יכול לכתוב??? :::לא להתייחס לשאלה זו ! תרגיל חדש מתוקן יפורסם הלילה / עד מחר פה בפורום, יום שני התכוונתי פה בשאלה הזו. תהיה בו תוספת קטנה . נא התעדכנו ( בהתאם :) ) . תומר רדיוס התכנסות זה מושג של טור חזקות, וכאן מדובר על סדרת פונקציות.
==שאלה==
איך אפשר לגרנז' ב2 <math>formula</math>a והרי tanx לא רציפה בקטע הסגור אפס וחצי פיימצטער על הבורות רגע לפני המבחן- מה זה גזירה איבר-איבר? ואינטגרציה איבר איבר? בבקשה שלא יהיה מסובך....
:צודק===תשובה===נניח ויש לך טור מתכנס <math>g=\sum f_n</math>. השאלה היא מהי הנגזרת של g. אם מותר לגזור איבר-איבר אזי <math>g' = \sum f_n'</math>. שים לב שזה לא תמיד נכון, רק כאשר המשפטים מאפשרים לגזור איבר-איבר. אז מה כן אפשר?
::תחשוב קצת, לא תמיד צריך ללכת ישר עם הראש בקיר אינטגרציה זה דומה <math>\int g ==תרגיל 3 בתרגיל החדש==נניח שפיתחתי את fו g פיתוח טיילור עד הנגזרת ה- (n-1)-ית, וברצוני להביע את השארית בצורת לגרנז' בעזרת הנגזרת ה-n-ית.מנין אני יכול לדעת שבשתי השאריות מדובר באותו c שבין 0 ל-x? נראה שזהו המפתח לפתרון התרגיל..\sum \int f_n</math>
==שאלה==
אם טור חזקות מתכנס גם בR וגם בR-, זה אומר שהוא מתכנס במ"ש ב[0,R] וב[-R,0] ואז זה אומר שהוא מתכנס במ"ש ב[-R,R]?
===תשובה===
כפי שתארת את הבעייה, לא ניתן לדעת כי c לא מובטח בשום דרךכן. אבל באופן כללי אם תפתור את הבעייה בצורה טיפה שונה תצליחטור מתכנס במ"ש בשני קטעים סגורים צמודים הוא מתכנס במ"ש באיחוד הקטעים. כי מהירות ההתכנסות עבור אפסילון היא המקסימום בין שני הn_0 של שני הקטעים.:האם עלי להציג את השארית בצורה שונה?
== :)==שיהיה בהצלחה לכולם! לא פחות מ100 :תחשוב...)
תומר - מצטרף ! שיהיה בהצלחה לכולכם - במבחן הזה ובכל אלו אחריו :):תודה, ותודה לכם על סמסטר נפלא (עד כמה שהיה אפשר. אינפי, אתם יודעים). תודה על התרגולים המצויינים, אפילו שהיו יותר מידי אנשים בכיתה... ותודה על ההשקעה בנו ועל כל העזרה (האתר, וכל דבר אחר). אולי תהיו מתרגלים שלנו באינפי 3?:ושיהיה בהצלחה לכולם! == שאלה 4 בתרגיל לארז ולתומר==מותר רגע אחרי המבחן, וכמה ימים לפני שהאתר יתחיל לשמש, כנראה, תיכוניסטים תמימים שצעירים מאתנו בשנה, ואתם אורזים את הכל בשבילם, רציתי לומר לכם, לשניכם במ"ש, ת-ו-ד-ה ר-ב-ה!! על כל ההשקעה, הזמן, הרצון והכוח שהיה לכם להתמודד עם שתי קבוצות רועשות כמו שלנו, ועוד בקורס קשה כמו אינפי 2! שיהיה לכולנו המון בהצלחה בהמשך! מצטרף בהחלט, המון תודה לשניכם, ואולי נתראה בהמשך...:מצטרפת.. ממש תודה על הכול! מה נעשה בלי Math-wiki..מצטרף! זה לא מובן מאליו... ועם זאת, מתי נדע כמה פקטור יהיה(בטוח יהיה...!!) ::תודה רבה על כל האיחולים - המתרגלים. (בלי קשר, אני אפרסם עוד כמה דקות פתרון למבחן בדף הקורס) אני מסכים לגמרי עם כל השאר. אתם באמת השקעתם את כל כולכם בנו ובהצלחה שלנו. באמת רואים שאכפת לכם מאיתנו למרות כל הקיטורים, בקשות לדחיות, התחננויות ולפעמים אף בכי P=אני רק לא מבין משהו אחד. ניסיתי להבין מה הייתה התועלת בשיעורי חזרה ובתרגולים הנוספים שעשיתם, ואני לא מוצא בהם תועלת למבחן... לא עשינו אפילו תרגיל אחד שהיה אפילו דומה לשאלות שהיו במבחן (אני לא מתכוון לשאלות בדיוק כמו שהיו במבחן, אבל לפחות בסגנון ובנושאים)... כאילו שמתם דגש בשאלות לא דומות למבחן בשביל מה? הרי ראיתם את המבחן כבר... לי לפתח אישית היה די קשה להגיע לבר אילן,לתירגולים, באותו היום אבל הגעתי בכל זאת כי חשוב לי להצליח במבחנים (כמו לכולנו), אבל בתכלס שאני מסתכל על היעילות שלהם לאחר המבחן לא עזר בכלל, אלא להיפך.כל ביטוי בנפרד שיש בפונקציות לאיזה סדר מה שאני רוצה או שכל הביטויים חייבים להיות מפותחים לאותו סדר?מנסה להגיד, זה שבתרגולי חזרה לפני מבחן, תעזרו קצת יותר בכך שתתרגלו אותנו נכון, ולא לבלבל לנו את השכל עם שאלות לא קשורות בכלל... אחר כך מתלוננים שאנחנו לא מקבלים ציונים נורמלים ואתם נאלצים לעשות פקטור סתם!תודה על הכול (וזה בשיא הכנות) כי באמת השקעתם בנו
===תשובה===
מותר לפתח איך שאתה רוצה בעזרת טיילור כל עוד אתה מגיע לתשובה בסוףאני אענה לשאלה שלך בשני מישורים* הראשון והחשוב יותר: מטרתנו הראשונה והעיקרית כמורים הינה ללמד אתכם מתמטיקה ו'''לא''' להכין אתכם למבחן.הכנה למבחן הינה משנית (אמנם חשובה גם כן).קשה להגיע לבר אילן גם במהלך הסמסטר, אך אתם מגיעים על מנת ללמוד. הסיבה שאנו רואים את המבחן קודם לכן היא בעיקר על מנת לוודא איכות שלו (שאין טעויות, רמה סבירה וכדומה), עלינו להעביר שיעורי חזרה כאילו לא ראינו את המבחן.
==בקשה==היי ארז*שנית, בתרגול האחרון הוכחת שאם נתונה פונקציה fאני אפריך לחלוטין את הטענות שהעלאת:**שיעור ההשלמה היה חלק מחומר הקורס וכלל שאלה שהופיעה כלשונה במבחן! (xהוא היה לפני שראינו את המבחן) גזירה n פעמים בנקודה x0 ומסמנים <math>Rn. אז כבר 20 נקודות מתנה על שיעור ההשלמה והחומר שהועלאה לאתר (xאני לא העברתי את השאלה פרונטלית אבל תומר כן)=f(x)-Pn(x)</math> אז מתקיים ש. אמרנו לכם לקרוא את שיעור ההשלמה.<math>lim**שיעור החזרה כלל שאלה כמעט זהה לחלוטין לשאלה 3 מהמבחן (x->x0אני העברתי אותה ותומר לא)(Rn(x)/(x-x0)^n)=0</math>. שתי שאלות בקשר לזה:**יום או יומיים לפני המבחן עניתי באתר על שאלה דומה לשאלה 2 במבחן, והדגשתי דברים שלא היו בשאלה המקורית כי ידעתי שזה יעזור למבחן.**שאר השאלות, בוודאי היו דומות והתעסקו בנושאים דומים...
1. אמרת שהמשפט הזה לא דורש את כל התנאים של פיתוח טיילור. למה? אלו כל התנאים לפיתוח טיילור.
2מעבר לכך, תודה על ההכרה בעבודה שלנו. לא הצלחת להסביר תאמינו לנו למה המונה שואף לאפס לכן אפשר להפעיל לופיטלשמה שעכשיו נראה לכם לא כיף, בעתיד אתם תראו כאתגר שהצלחתם בו. החיים הם לא מיטת שושנים, ומי היה רוצה לישון במיטת שושנים בכלל? זה דוקר!:זה לא רק דוקר, זה גם צמיגי :P::מתי יעלו ציוני תרגיל? :::אנחנו נעלה אותם היום==יש לי שאלה==האם תוכל להסבירבשאלה 4ב במבחן היה אפשר להגיד שההתכנסות היא ל0 כי תנאי הכרחי להתכנסות הטור היא שאיפת האיבר הכללי לאפס(הוכחה של התכנסות לאפס לא התכנסות במש)?
===תשובה===
1. במשפט טיילור דורשים גזירות '''בסביבה''' של הנקודה כן, זה מוכיח בהחלט התכנסות נקודתית לאפס (ולא בנקודה בלבד.במ"ש כפי שציינת) ==שאלה== למה מופיע לי ציון 0 בתרגיל מספר 2 אם הגשתי אותו? :S :זו שאלה פילוסופית? ==הודעה==
2. יש ציונים!!== מבחן == היה פקטור במבחן? ואם כן. אני אסביר עבור השלב הראשון, השאר דיי דומים. בשלב הראשוןשל כמה?
<math>R_n(x)= f(x) - P_n(x) = f(x) - f(x_0) - f'(x_0)(x-x_0)-מצטרף לשאלה... מאוד חשוב לנו לדעת האם להגיש ערעור או שלא.... והאם לגשת למועד ב או לאבקיצור ממש חשוב לנו לעת האם היה פקטור...</math>
כאשר לוקחים גבול <math>x\rightarrow x_0</math> אזי <math>f:תשאלו את המרצים, אנחנו (xהמתרגלים)\rightarrow f(x_0)</math> בגלל שאם הפונקציה גזירה בנקודה היא רציפה בנקודה. שאר הגורמים נכפלים בחזקה כלשהי של <math>(x-x_0)</math> ולכן גם שואפים לאפס..לא יודעים.