שינויים

אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

נוספו 28,800 בתים, 11:47, 1 בספטמבר 2010
ביטול גרסה 5876 של [[Special:Contributions/87.68.229.138|87.68.229.138]] ([[User talk:87.68.229.138|שיחה]])
'''<nowiki>== כותרת לשאלה ==</nowiki>'''
 
לכתוב מתחתיה את שאלתכם, וללחוץ על '''שמירה''' למטה מימין
=ארכיון=
'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]'''- תרגיל 1 ו2 '''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 2| ארכיון 2]]''' - תרגיל 3 '''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 3| ארכיון 3]]''' - תרגיל 3 '''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 4| ארכיון 4]]''' - תרגיל 4 '''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 5| ארכיון 5]]''' - תרגיל 4,5 '''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 6| ארכיון 6]]''' - תרגיל 6 '''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 7| ארכיון 7]]''' - (מי עוקב) '''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 8| ארכיון 8]]''' '''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 9| ארכיון 9]]''' - לקראת הבוחן '''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 10| ארכיון 10]]''' - פוסט בוחן '''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 11| ארכיון 11]]''' - תרגיל 9 '''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 12| ארכיון 12]]''' - תרגיל 9 '''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 13| ארכיון 13]]''' - תרגיל 10 '''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 14| ארכיון 14]]''' - תרגיל 10 '''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 15| ארכיון 15]]''' - תרגיל 10 '''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 16| ארכיון 16]]''' - לקראת המבחן '''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 17| ארכיון 17]]''' - לקראת המבחן
=שאלות=
==תרגיל 3==
מבקשים למצוא את המשולש המינימלי, ואת השטח המקסימלי של משולש כזה. משהו כאן לא מסתדר...--[[משתמש:Evp55555|Evp55555]] 11:59, 23 במרץ 2010 (UTC)
==שאלה== יהיה במבחן פונקציות עם שתי משתנים?:איזה חלק לא מסתדרשידוע לי, אלו 2 שאלות שונותאם המרצה אמר שיהיה אז יהיה, אם לא אז לא תומר - מה פתאום שיהיה משהו שלא למדתם ??? הגיון חבר"ה , הגיון ! ==שאלה== תחת אילו תנאים ניתן לומר שאינטגרל על סכום אינסופי של פונקציות שווה לסכום האינסופי של האינטגרלים של הפונקציות?תודה תומר - מפנה אותך לנוסח משפטים המתאימים ! יש משפטים שמתארים תנאים מספיקים לכך . ייתכן שיהיו מצבים נוספים שזה יתקיים אבל אז צריך לבדוק כל מקרה לגופו. ==שאלה==נניח יש לי טור פונקציות שרץ על fn (הסדרה המזהה שלו). למה אם הטור |fn| מתכנס במ"ש בI, אז גם הטור המקורי מתכנס במ"ש בI? *נקודתית זה ברור מאינפי 1. לבמ"ש ההוכחה דומה. שארית הטור לא בהחלט קטנה משארית הטור בהחלט, כלומר הטור לא בהחלט מתכנס מהר יותר מאשר הטור בהחלט. ועוד שאלה: אם יש לי סדרת פונ' fn כך ש|fn| מתכנסת לפונ' גבול כלשהי f במ"ש, האם זה אומר שfn המקורית מתכנסת לf1 כלשהי במ"ש? *ברור שלא.... אינפי 1. <math>fn=(-1)^n</math> לא מתכנס בכלל, אבל הערך המוחלט מתכנס במ"ש. יש טעות בסיכום במשפט פרמה, לא? המשפט הראשון בעמוד הראשון של הסיכום...התנאים לא צריעכים להיות הפוכים??? *נכון מאד, הסרתי את הסיכום. המשפט אומר שאם יש מקסימום/מינימום והפונקציה גזירה הנגזרת הינה אפס. בוודאי שאם הנגזרת אפס אין שום הכרח שיהיה מינימום/מקסימום (לדוגמא x^3). שאלה:איך מוגדר אינטגרל של פונקציה ממינוס אינסוף לאינסוף? הגבול כאשר c רץ לאינסוף של אינטגרל של הפונקציה מ c- עד c או פשוט פיצול לשני אינטגרלים לא אמיתיים ואז כל אחד שואף בקצב שלו? זה משנה כי במקרה של פונקציה איזוגית-למשל x באפשרות הראשונה זה 0 ובשניה אינסוף פחות אינסוף שזה מתבדר.....(נכון?)תודה. *הוא מוגדר בתור הסכום של שני אינטגרלים לא אמיתיים. האינטגרל על הפונקציה x למשל מתבדר
==הגשת שעורילמה אם f פונקציה רציפה, מחזורית ואי-בית==לא הרגשתי טוב ביום ראשוןשלילית בממשיים(f אינה זהותית אפס) אז הגבול של f(x)/x^3 אינו אפס כאשר x שואף לאינסוף?? הרי f חסומה מהנתונים, ולכן לא הייתי בשיעור ולא יכולתי למסור את שעורי-הבית.האם אוכל לשים אותם בתא ? רוני נתן שאלה כזאת ואמר להוכיח שהאינטרגל של הבודק..f(x)/x מ1 עד אינסוף מתבדר.ואם הגבול שאמרתי מקודם שווה ל0 אז לפי מבחן ההשוואה האינטגרל מתכנס, אז כנראה שהגבול איננו 0,למה???
===תשובה===
אין יותר הגשה לתאים בכלל הסמסטר.
אם תוכל להעביר את התרגיל היום לתומר זה יהיה טובתומר - כמה שאלות , כמה שאלות ! :) לשאלה הראשונה על התכנסות עם ערך מוחלט גוררת התכנסות בלי , במידה שווה - ראה משפט שהוכחתם . או - אפשר לנסות לבד פשוט ביישום של קריטריון קושי להתכנסות במ"ש ! .
אינטגרל ממינוס אינס' לאינס' מוגדר על ידי פיצול באיזו נקודת ביניים - אבל בכל אופן כאשר הגבולות שלהם - אחד עם פרמטר לאינסוף ושני עם פרמטר למינוס אינסוף - הם לא תלויים אחד בשני ! ובטח לא ממינוס סי לסי כאשר סי שואף לאינסוף . זהו אינטגרל שקיים בשימושים אבל יש לו שם - PRINCIPAL VALUE - אבל זה לא האינטגרל בקורס שלנו !!! . לגבי שאלה אחרונה - תן בבקשה את ניסוח השאלה המלא כדי שאוכל להתייחס . ==שאלותשאלה מסודרת ==היינתונה פונקציה fרציפה, (הוספתי שאלה למעלה באחד הדיונים מדוע המונה מחזורית ואי- Rnשלילית ב-R. היא אינה זהותית 0.הוכח: האינטגרל של f(x)/x מ- שואף ל0 לאחר גזירות מסוימות.1 לאינסוף מתבדר.תוכל גם להגיד לי למה אי אפשר להוכיח שזה מתכנס עם שימוש במבחן ההשוואה השני? כי f לפי הנתונים חסומה,לא? ואז הגבול של (f(x):ונתנה לכך תשובה/x)/x^2 שווה לאפס ולפי המבחן f(x)/x מתכנס, תסתכל בארכיוןכי האינטגרל של x^2 מתכנס.::אבל ניתנה תשובה רק לשלב הראשון. הסתבכתי קצת עם הגזירה הראשונה. תוכל בבקשה להראות רק את השלב של הגזירה הראשונה ולהסביר למה עדיין יוצא שהמונה שואף ל0?
===תשובה===
השארית הינה:(לא ארז/תומר) נראה לי שהטעות שלך היא כזו , כשאתה עשית את מבחן ההשוואה, עשית את זה עם הפונ' x^2 והאינטרל של זה מתבדר בקטע 1 עד אינסוף (אתה מתבלבל עם 1/x^2).
<math>f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)-f^{(2)}(x_0)/2 (x-x_0)^2 - :אבל אמרתי בקטע 1 עד אינסוף...</math> ולכן הנגזרת של זה הינהלא מאפס!<math>f'(::הוא העיר לך על הפונקציה ולא על הקטע. x)-f'(x_0) - f^{(2)}(x_0)(x-x_0)-..זו פונקציה ששואפת לאינסוף ובפרט אינה אינטגרבילית על הקטע האינסופי.</math>
והטענה דומה::למה בגזירהובנוגע להוכחה , כתבת אני עשיתי את הנגזרת השניה של x-x0 ולא את הנגזרת השניה של X?זה בדרך הבאה:::שגיאת דפוס.... תיקנתי. ::::רגע, אבל זה לא ביטוי מורכב? כלומר, f'(x) כפול ביטוי שהוא x-x0? לא אמור לגזור את זה לפי (u*g)' = u'+g' ?
::::: לאנסמן את המחזור של F כ-T, <math>f^{(2)}(x_0)</math> הוא קבוע כי <math>x_0</math> קבוע!. x הינו משתנהאנחנו יודעים שהפונ' אינה זהותית אפס, ואנחנו גוזרים לפיו.::::::לכן יש נקודה X0 בקטע [1,1+T] כך ש- (סליחה על החפירה), לא ממש הצלחתי להבין.. יש לנו את הביטוי ''f''(''x0)*(x'' שווה ל-x0)M גדול ממש מאפס. מכיוון ש-F רציפה יש סביבה [a, אם b] של X0 כך שכל ס בקטע מקיים f'(x0x) הוא קבוע אז למה בגזירה הביטוי הופך לf(>M/2)(x0או אפילו גדול שווה, זה לא משנה)? ולמה xוכעת, מכיוון ש-x0 נשאר כמו שהוא?F אישלילית , נגדיר פונקציה חדשה G להיות M/2x בכל קטע מהצורה [a+n*T,b+n*T] כאשר n טבעי ואפס בכל נקודה אחרת.
זה לא מה שקרה. את <math>fברור כי שתי הפונ'(x_0)(xאי שליליות, אינטגרביליות בכל קטע מהצורה [one,R] כש-x_0)</mathR> גזרנו לפי x 1 (זה לא ביטוי קבועF רציפה בכל קטע כזה, ול-G יש מספר סופי של נקודות אי רציפות מהסוג המתאים) וקיבלנו <math>f'(x_0)</math> שזה המקדם ולכן אם האינטגרל של G בטע 1 עד אינסוף מתבדר, כך גם האינטגרל הלא אמיתי של xF.
ועכשיו, להראות שהאינטגרל של G בקטע 1 עד אינסוף מתבדר, זה לא כזה מסובך (אני עשיתי לפי קריטריון קושי, אבל אני בטוחשאפשר בעוד דרכים, ואין לי כח לכתוב את <math>זה) ובסה"כ קיבלנו שהאינטגרל של f^{(2)}(x_0)/2 (x-x_0)^2</math> גזרנו לקבל <math>f^{(2)}(x_0)(x-x_0)</math>
תחשוב, איך היית גוזר את הפונקציה ==שאלה==למה במבחן ההשוואה הראשון רוני ציין שאם 0<mathg ו f>g והאינטגרל של fמתכנס(xלא אמיתי, בשנ הסוגים הוא אמר ככה...)=a(x+b)^2</math>אז האינטגרל של g מתכנס. הוא לא אמר שאם g מתבדר גם f מתבדר,זה לא נכון??
::::::הבנתי===תשובה===המשפט השני הוא היקש לוגי מהראשון. לא יכול להיות שf יתכנס אבל g יתבדר, תודה רבהלכן אם g מתבדר אזי f מתבדר.
==שאלה==
יש לי שאלה נוספת. בהגדרה של קמירות כלפי מטה ומעלה, האם מדובר על סביבה מנוקבת של x0? כי בהגדרה אצלנו יש אי שיוויון ממש של h(x)>f(x) או h(x)<f(X), כלומר לא כוללים את x0 בסביבה, נכון? (אחרת זה לא היה גדול ממש או קטן ממש, אלא גדול שווה/קטן שווה.)
בתרגיל 11 שאלה 3 - לעוד מישהו יצא רדיוס התכנסות אפס?:: [לא תומר או ארז] לי דווקא יצא 1==שאלה==אם אני חושב שאתה צודק. המטרה של האי שיוויון צריכה להוכיח שפונק' כלשהי היא שנקודה בפונקציה קבועה לא תהיה נקודת פיתול אינטגברילית רימן, והראיתי שהסכום רימן שלה לכל חלוקה מתאימה ולכל בחירה אלפא חסומה בין הסכום רימן של פונק' אינטגרבילית(אבל היא כן נקודת קיצון!)אחרת פחות אפסילון, ואותו סכום ועוד אפסילון. האם זה מראה לי שהפונק' שלי אינטגרבילית גם? ויותר מזאת, שואפת לסכום I של אותה הפונקציה השניה?:הסכום רימן של הפונקציה האחרת עבור אותה חלוקה? ומה זה האפסילון הזה? במה הוא תלוי?
==תרגיל 2 - שאלה 3a ==האם מותר לי להגדיר פונקצייה חדשה שהיא ההפרש בין שתי הפונקציות, ולפתח אותה לפי טיילור סביב הנק' x0, ואז נתון כי f אינטגרבילית וחסומה ע"י M. צ"ל שf^2 אינטגרבילית באותו קטע.יש דרך להראות שאני יכול לבחור כל x שגדול מ-<math>x_0</math> כדי לקבל שערך הפונקצייה החדשה חיובי תמיד את זה לא ע"י הרכבת פונקציות (ומכאן להסיק שאחת מהפונקציות גדולה מהשנייהשבדרך זו הנתון ע"י החסימות מיותר)? כלומר, שלכל <math>x>x_0</math> שאני אבחר ''קיים'' c מתאים שעבורו זה מתקיים, לכן זה מתקיים לכל x כזה. האם מותר לי לומר את זהמהי הדרך?
:לא מבין את מטרת השאלה.הנתון על חסימות מיותר איך שלא תסתכל על זה, שכן זו פונקציה אינטגרבילית (ולכן חסומה)
::האם הרעיון לפתרון התרגיל, ואופן הביצוע שלו נכון (כפי שתיארתי כאן)? כי שמעתי מהרבה שהם עשו אבל יש דרך להראות את התרגיל בדרך שונה לגמרי.זה חוץ מהרכבה של פונקציה רציפה ופונקציה אינטגרבילית?
:::כל דרך שאכן מוכיחה תומר - מידת קבוצת נקודות אי הרציפות של הפונקציה החדשה היא טובה, על מנת לדעת אם התשובה היא טובה יש בדיקת תרגילים ופרסום פתרונות. בגדול מה שרשמת זה אכן נכון, כמובן נדרש פירוט מדוייקאפס ? ...
::::תודה רבה :(לא ארז/תומר) !!כן יש פיתרון אחר, והוא בעזרת תנאי רימן לאינטגרביליות.f^2 חסומה (ברור), ונותר להראות את התנאי השני.בקשר אליו, קל להראות ש
==שאלה - o, גבולות==1. הביטוי <math>ow(f(x)^2)</math> כש-x שואף לערך מסוים בעצם מסמל ביטוי שזניח ביחס ל-<math>= w(f)*2*M (xכאשר w הוא התנודה בקטע)</math>, במילים אחרות, נכון?ומכאן קל להמשיך.
2. נניח שיש לי ביטוי שעבור x ששואף לערך מסוים הוא <math>o(\frac{1}{x^3})</math> מראים את זה כך, ואני כופל אותו ב-<math>x</math>לכל x1, האם הוא הופך להיות <math>ox2 בקטע כלשהו מתקיים:f(\frac{1}{xx1)^2}-f(x2)^2</math> ?=(f(x1)-f(x2))*(f(x1)+f(x2)), ומכאן זה ברור
==שאלה==
התבקשתי להביא דוגמה לסדרת פונק' fn רציפות ב[0,1] כך שfn(x)-->0 לכל X בתחום, אך האינטגרל של fn מ0 עד 1 אינו שווה ל0.
- האם הפונקציה x^n(x^n-1) qq מקיימת את הדרוש? הפונק' אכן רציפות ב[0,1], פונקצית הגבול היא 0, אבל האינטגרל יוצא, אם אני לא טועה, 1/n פחות 1/(2n+1)..
===תשובה===
אתה בטוח שהאינטגרל שונה מאפס ולא '''שואף''' לאפס? כי כמעט כל סדרה שתבחר תעמוד בתנאי הראשון (למשל הסדרה של הפונקציות הקבועות <math>\frac{1}{n}</math>). כן
2. קל לבדוק לפי ההגדרה. נניח f הינה אם אתה רוצה סדרה שהאינטגרל עליה אינו שואף לאפס, קח סדרה של פונקציות הבאה: הגרף של הפונקציה ה-n הוא משולש עם בסיס <math>o(\frac{1}{x^3n})</math>בגובה 2n וכל שאר הפונקציה היא אפס. ולכן לפי הגדרה: <math>0=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{fהסדרה הזו שואפת לאפס (xכמובן שלא במ"ש)}{\frac{והאינטגרל על כל פונקציה בסדרה הוא תמיד 1}{x^3}}=\lim_{x\rightarrow x_0}x^3f(x)=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{xf(x)}{\frac{1}{x^2}}</math>.
ולכן הטענה נכונה==שאלה==נראית נחמדה. f:[0,1] ---> R היא פונקציה רציפה אי שלילית המקיימת f(x)<=sinx לכל x בתחום.צריך למצוא את כל פתרונות המשוואה: cosx+quad(f,0,x)-1=0.(קוסינוסX ועוד האינטגרל של f מ0 עד x פחות 1 = 0.)מעבר לעובדה שx=0 הוא פתרון אחד של המשוואה, לא הצלחתי להוכיח שלא קיימים עוד פתרונות/למצוא פתרון נוסף. ניסיתי להניח שקיים ולהשתמש במשפט רול, ניסיתי להשתמש בזה שאי שיוויון ברמת הפונק' ==> אי שיוויון ברמת האינטגרל אבל בסופו של דבר לא הגעתי למשהו שמוכיח. יש רעיון למישהו?::מישהו??  :::אם f=sinx אזי זו הפונקציה הקבועה אפס. אם f קטן ממש מהסינוס אזי הנגזרת בעלת סימן קבוע (שלילי) והפתרון היחיד הוא אפס ==שאלה בתרגיל 3 1==מישהו מוכן להסביר לי באילו מקרים כדאי לעשות גזירה איבר איבר, ומתי לעשות אינטגרציה איבר איבר? תודה.:כדאי? תמיד. מותר? כאשר יש התכנסות במ"ש לפי המשפטים שלמדתם בכיתה. ==שאלות מעניינות==* הוכח או הפרך:תהי <math>f_n(x)</math> סדרה של פונקציות גזירות ברציפות המתכנסות במ"ש לפוקציה <math>f</math>, אשר גם גזירה ברציפות,ב-<math>[a,b]</math>.אזי ש- <math>f_n' \rightarrow f'</math> במ"ש על הקטע <math>[a,b]</math>.* בנוגע למשפט דיני לטורים, נניח שיש לי טור <math>u(x)=\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)</math>, כך ש-<math>a_n(x)>0</math> והטור מתכנס ב-I. מתי אני יודע אם הפונקציה הגבולית רציפה, כך שאוכל להישתמש בדיני ולקבוע שההתכנסות במ"ש.נשמח לתשובה ממישהו,די דחוף! תודה!!! :) תומר - אם ניקח את הסידרה cosnx ונחלק הכל ב n . האם שטח מינימלי יכול להיות קיבלת סידרה שמתכנסת במ"ש ? ומה עם נגזרותיה ? ... לגבי דיני - פשוט לבדוק רציפות לפי הגדרה - גם לא אמרת שהפונקציות בסידרה רציפות - שים לב לתנאי המשפט ! . ==שאלה== שאלה שנתקעתי עליה ואשמח לכיוון: int(arctan(x)/[(x*(ln(x+1))^2)], x = 0.. infinity) ניסיתי דיריכלה, חשבתי על השוואה, ופשוט לא מצאתי. אשמח לעזרה ::מצטרף לשאלה!! איך פותרים את הדבר הזה?   (לא ארז/תומר) תנסה השוואה עם אחד חלקי [x*ln(x)^2]. שים לב ש arctanx שואף באינסוף לחצי פאי, ושעם קצת אלגברה אפשר להוכיח שמנת ה-ln-ים שואפת לאחד. כדי להראות התכנסות של האינטגרל החדש, אפשר להשתמש בהצבה t=ln(x), או לחילופין להשתמש במבחן האינטגרל+מבחן העיבוי לטורים תודה רבה :) זה לא נכון, כי יש בעיתיות גם בנקודה x=1 וגם באינסוף. ההשואה שנתת עוזרת רק לחלק של האינסוף : אבל אני לא חושב שאמורה להיות בעיה, כי זאת אומרת שהמשולש בעיה בנקודה, וזה לא אינטגרל לא אמיתי מסוג שני. ::אתה מפצל את זה לשני אינטגרלים: האינטגרל מ-1 עד אינסוף מתכנס (כי מורידים את ה-ln בעזרת אי שוויון והאינטרגל (arctanx/x^2) מתכנס (השוואה עם 1/x^2)...::עכשיו בקשר לאינטגרל מ-0 עד 1 אתה יודע ש- ln(1+x)<x לכל x ב-[0,1] ולכן האינטרגל שלנו גדול מהאינטגרל של arctan(x)/x^4 וזה מתבדר ע"פ השוואה עם 1/x^4 שמתבדר בקטע [0,1], ולכן זה גדול מאינטגרל מתבדר וזה סה"כ מתבדר. (אשמח לקבל אישור מאחד המתרגלים =) ). :(לא ארז/תומר) עבור האינטגרל מ-0 עד 1, תנסה מבחן השוואה גבולי עם אחד חלקי x^2 . שים לב ש arctanx/x שואף לאחד וש ln(1+x)/x גם שואף לאחד כאשר x שואף לאפס. ובקשר לזה שכתב מעלי- ה-x במכנה הוא לא בריבוע... :: האמת שהאינטגרל המקורי היה בין 1 לאין סוף וזאת טעות שלי שכתבתי אפס, אבל זה באמת יהיה בעצם נקודהטוב לדעת מה קורה גם אם זה היה אפס.:: תודה לשניכם :) ==שאלות.==*arctanx חיובי בקטע 1,infinity לא? היה תרגיל באחד המבחנים ששמו ערך מוחלט מסביב לarctan, באנטגרל שהתחום שלו הוא תהחום המצוין..*במבחן ההשוואה הגבולי. מותר לי להשוות פונק' חיובית עם פונק' שלילית, אם הגבול יוצא חיובי? לדוגמה, הפונקציה sinx חלקי x*lnx. בתחום [0.5,1], נניח ואני רוצה להשוות עם sinx חלקי x-1..*כאשר אני מפצלת אינטגרלים ל2 תחומים שונים [עם דגש על השונים!]. אם אחד מהם מתבדר, כל האינטגרל המקורי מתבדר, נכון? בלי קשר לחיוביות/שליליות של אחת הפונקציות.. *בהמשך לשאלה שלמעלה - אם יש לי שאלה של 'לאילו ערכי אלפא', כאשר יש לי חיבור של 2 אינטגרלים - אחד ל"א מסוג ראשון והשני ל"א מסוג שני.. אז אם למשל עבור alpha>1 האינטגרל מסוג 1 מתבדר, אין מה לבדוק את האינטגרל השני גם? וזהו, תודה רבה!
===תשובה===
האם נקודה עונה *כן הוא חיובי.*אם בתחום הפונקציה אי חיובית אז אם תכפלי אותה במינוס תקבל פונקציה אי שלילית. כמובן שמכפלה במינוס לא משנה התכנסות אינטגרל*נכון.*נכון ::כן, אבל כשהפונק' הייתה שלילית, הגבול יצא לי חיובי. אם אני כופלת במינוס 1, הגבול יוצא שלילי..:::לא יכול להיות שהגבול של המנה של שתי פונקציות אי שליליות יהיה שלילי::::::: כעיקרון אני מדברת על הגדרת השאלה? משולש הנבנה מחיתוך הצירים הפונקציה sinx חלקי x*lnx. בתחום [0.5,1] אני משווה אותה עם קו ישר העובר דרך הנקודה sinx חלקי (1,2פחות X). כמובן שלא מדובר (יום יבוא ואני אלמד להשתמש בכתיב המתמטי של ויקיפדיה... מצטערת על הקו שנמתח הסרבול). בכל מקרה, שתי הפונקציות חיוביות בתחום הזה. אבל הגבול של המנה, כאשר X שואף ל1 מצד שמאל, הוא מינוס אחת.. :כי ln שלילית בקטע הזה.::אוקי, אז בעצם מכפילים את הפונק' המקורית ב1- ואז מקבלים גבול חיובי, ואומרים שבגלל שהפונק' עם המינוס מתכנסת/מתבדרת ==> כך גם הפונק' המקורית? :נכון ==שאלה==התכנסות במ"ש של ערך מוחלט של טור הפונק' גוררת התכנסות במ"ש של טור הפונק'?:כבר נשאל בעמוד זה. כן מכיוון שהשארית של טור קטנה או שווה לשארית של הטור בהחלט ==שאלה==*הסתבכתי,אפשר עזרה?*נניח שהפונקציה f מוגדרת ורציפה בקטע סגור x=a..b הוכח כי הסכום מאחד עד אינסוף של f^n מתכנס במ"ש בקטע זה אם ורק אם הסכום הנל(f^n) מתכנס נקודתית בקטע זה.  :השאלה לא מנוסחת טוב. מה זה f ומה הוא קשור? מה ההבדל בין הנקודה סכום מאחד עד אינסוף לבין טור?תיקנתי... מה הבעייה בהגדרה של f פשוט פונקציה f(x) ::שאלתי מה הקשר של f. גם g היא פונקציה אבל היא קשורה לשאלה בדיוק כמו f... האם היא פונקצית הגבול של הטור? האם הפונקציות בסדרה רציפות? : (לא ארז וגם לא תומר) בעצם הכיוון המעניין היחיד הוא מהתכנסות נקודתית לבמ"ש. אם f^n מתכנס נקודתית אפשר לראות כי לכל x נקבל f(x<1(בערך מוחלט,2הלוואי שזה לא היה קופץ כל הזמן) לראשית הצירים.f רציפה לכן הערכים שהיא מקבלת מהווים קטע סגורc,d בתוך [-1,1), קטע בו הטור x^n מתכנס במ"ש.לכן כל סדרת נקודות אינסופית שתבחר בa,b עבור הטור לפי f שקולה בעצם לבחירת נקודות בc,d עבור הטור של x המתכנס שם במ"ש (ולפי מבחן הLIMSUP בעצם זה כל מה שצריך)
==שאלה- חקירת פונקציה==
היי ארז,
לגבי נקודות פיתול ותחומי קעירות:
הנקודות שחשודות בתור נקודות פיתול הן הנקודות בהן הנגזרת השנייה מתאפסת/לא קיימת, נכון?
אז נני מצאתי את הנקודות החשודות. איך אני מוודא שהן נקודות פיתול באמת?
ראינו בתרגול שלא מספיק לבדוק אם הפונקציה אכן משנה את הקמירות שלה בנקודות האלה, כי יכול להיות שהפונקציה תשנה את הקמירות שלה בנקודות שאינן נקודות פיתול.
אז איך בעצם בודקים שאלו אכן נקודות פיתול?
אבל למה f(x) בערך מוחלט קטן מ-1?
:הסברתי במפורט בתשובה. לא בהכרח f<1 פשוט אם הוא מתכנס הוא קטן מאחד ולכן מתכנס במ"ש. אם הוא מתכנס במ"ש ברור שהוא מתכנס. זה כל מה שצריך להוכיח.
===תשובה===
אמרנו שחייב להיות קיים משיק (כלומר נגזרת ראשונה) בנקודה על מנת שהיא תהייה פיתולאה. אם היה משיק והפונקציה הייתה מחליפה קמירות (כלומר הנגזרת השנייה כולה חיובית בצד אחד, ושלילית בצד שני) אזי זו נקודת פיתול... התבלבלתי בין f_n לf^n.... מצטער.
:זאת אומרת, אם הפונקציה גזירה פעם אחת בנקודה מסוימת, והנגזרת השנייה מחליפה סימן בנקודה הזאת, אז מדובר בנקודת פיתולהכותב מעליי צודק שהטור מתכנס כאשר <math>|f(x)|<1</math>, והוא מתכנס במ"ש כאשר <math>|f(x)|<r<1</math> אבל בגלל שהפונקציה רציפה על קטע סגור ונניח מתכנסת בו אזי היא מקבלת מינימום ומקסימום ושניהם חייבים להיות קטנים ממש מאחד (אחרת היא לא משנה אם הנגזרת השנייה קיימת או לא קיימת בנקודה. אנחנו בודקים באילו נקודות הנגזרת השנייה מתאפסת כדי שלא נצטרך לבדוק נקודות שכלל אינן רלוונטיות עבורינוהייתה מתכנסת בהם) ולכן התנאי מתקיים. האם הבנתי נכון?
::קודם * על מנת להוכיח שהוא מתכנס במ"ש בתנאי למעלה <math>|f(x)|<r<1</math> כל אני אסייג ואומר שהנחתי שהנגזרת השנייה מוגדרת בסביבה מנוקבת של הנקודה שצריך הוא מבחן הM<math>|f(הרי אמרתי שהיא חיובית או שלילית בצדדים, כלומר בסביבה ימנית או שמאליתx). במקרים אחרים צריך לבדוק ממש אם הפונקציה נמצאת מעל או מתחת למשיק לפי הגדרת נקודת הפיתול^n|<r^n</math>.
::ובקשר לשאלה שלך, התשובה היא כן. נקודות בהן הנגזרת השנייה לא מתאפסת הן נקודות בהן בשתי הסביבות של הנקודה הסימן של הנגזרת השנייה * על מנת להוכיח שהוא מתכנס עבור התנאי <math>|f(x)|<1</math> כל מה שצריך הוא זהה, ולכן הקמירות לא מתחלפתלהסתכל נקודתית על הטור <math>\sum |f^n(x)|=\sum a^n</math> כאשר <math>|f(x)|=a<1</math> וזה כמובן מתכנס.
* טריוויאלי שהוא יתבדר בכל מקום אחר.
:::הבנתי, תודה. ולגבי תחומי קמירות: בתיכון היינו נוהגים להציב בנגזרת השנייה ערכים בין כל שתי נקודות פיתול, ובהתאם לסימן של הנגזרת בערך שבחרנו היינו קובעים את הקמירות באותו תחום בין שתי נקודות הפיתול. אבל לאור המידע החדש, שקמירות של פונקציה עשויה להשתנות גם בנקודה שאינה נקודת פיתול, האם נכון לאמר שהשיטה הזאת ממש * על מנת להוכיח שהוא לא בטוחה? האם נכון לאמר שהדרך היחידה לקבוע תחומי קמירות זה לפתור את אי השוויונים מתכנס במ"ש אם לפונקציה לא היה מקסימום אבל הsup שלה היה אחד: ניקח סדרה <math>x_n</math> כך ש <math>f''(xx_n)\rightarrow 1</math>,ולכן <0math>\lim_{k\rightarrow \infty} sup|S(x)-S_k(x)|>\lim_{k\rightarrow \infty} |S(x_{n_k})-S_n(x_{n_k)}| = \infty</math>?
::::נכון. זה בגלל שבתיכון פחות התעסקתם עם נקודות אי רציפות כמו פה.(נבחר את n_k על מנת שההפרשים ישאפו לאינסוף.אנחנו יודעים שזה מותר כי <math>f(x_n)\rightarrow 1</math>)
:::::ואיך נקבע קמירות של ==שאלה==אם יש לי פונקציה בנקודות בהן היא אינה גזירה פעמייםואני מפתח לה טור חזקות נניח עם רדיוס 1, איך אני מוודא לאחר הפיתוח שהפונקציה שווה לטור בקטע?וגם פה שאלה 4 כוון כללי אם אפשר...http://moodle.technion.ac.il/file.php/1098/Exams/2004-2005-spring-test-a.pdf
:::::: בנקודה עצמה===תשובה===הוא שווה לפונקציה רק ברדיוס ההתכנסות. מה הכוונה איך אתה מוודה? קמירות היא בקטע, לא אם פתחת נכון זה חייב להיות שווה - הצעדים שלמדנו לפיתוח פונקציה לטור חזקות הם צעדים בהם השיוון בסוף חייב להתקיים (למשל פונקציה קדומה ששווה בנקודה, מוצאים אחת לטור החזקות [עדיף לבדוק את הקמירות בין הנקודותהנקודה אפס כמובן])
::::::בהרצאה הגדרנו קמירות בנקודה. אומרים שפונקציה קמרה כלפי מעלה (מטה) בקטע אם היא קמורה כלפי מעלה (מטה) בכל נקודה בקטע. בכל מקרה, איך עושים זאת אם הפונקציה לא גזירה פעמיים איפה שאנחנו רוצים לבדוק?
::::::: אני לא יודע איך אפשר להגדיר קמירות בנקודהלגבי השאלה השנייה כבר שאלו אותה, אפשר להגדיר קמירות בסביבה של נקודה. תחזור על ההגדרות שוב, ותחשב את הקמירות לפי ההגדרה.תסתכל בארכיון 17
::::::::מגדירים כך: בהנתן פונקקציה גזירה בנקודה x0, נאמר שהפונקציה קעורה כלפי מעלה בנקודה אם קיימת סביבה אבל אתה יודע שאם קיים טור חזקות המקדמים הם אלו של הנקודה בה המשיק בנקודה מתחת לגרף. עכשיו בוא נתעלם לרגע מההגדרה. איך בודקים באופן פרקטי קמירות של פונקציה בנקודהטיילור, למשל הפונקציה f(0)=0 f(x)=exp(-1/קטע בהן x^2) sהיא שווה לטור החזקות רק באפס למרות שהטור מתכנס בכל הישר (הוא תמיד אפס כי כל הנגזרות באפס הן אפס)מה שאני שואל זה איך הייתי יודע להבחין שהם שווים רק באפס למרות שהטור מתכנס תמיד, רק שזה לא גזירה פעמייםתמיד לערך הפונקציה?
===המשך===
אוקיי, זו הגדרה מקובלת בעייני, ואין לה קשר לנגזרת השנייה :אל תבלבל. הקטע עם הבדיקה בנקודה, אלא לנגזרת השנייה בסביבה זה רק כאשר הוכחת שהפונקציה שלך היא קדומה של הנקודהטור חזקות כלשהוא ועשית אינטגרציה איבר איבר. ובאופן פרקטי בודקים באופן כללי למדתם משפט אחד שמאפשר לכם להניח שטור החזקות עם מקדמי טיילור הוא אכן הפונקציה וזה כאשר הנגזרות חסומות (ראה את הנגזרת השנייה בסביבה של הנקודה ההשלמה). במקרים אחרים (או סביבה ימנית/שמאליתכמו זה שתארת) אם היא קיימת, ואם לא צריך לבדוק ישירות אם הפונקציה מעל המשיקאסור סתם להניח שיהיה שיוויון.
בעצם דיברנו על כל האפשרויות בדיון הזה.כן, אבל בתכלס אם קיים טור חזקות המקדמים שווים למקדמי טיילורמה שאתה אומר זה להתייחס "כאילו" אנחנו לא יודעים את זה ולעבוד בשיטות אחרות כן? (במקרה והנגזרות לא בהכרח חסומות)
==שאלה - פונקציית הערך המוחלט==1:כן. יכול להיות שתשתמש בטריק כי אתה לא יודע להוכיח שהפונקציה שווה לטור חזקות, אבל גם יכול להיות שזה פשוט יהיה קל יותר מאשר לחשב את הנגזרות מכל סדר... האם הנגזרת של |x| היאsign(x)
סבבה תודה רבה ==שאלה== המבחן ב15:30 נכון? כמה זמן הוא יארך??? כן, שעתיים ==שאלה== למה הסיגמה של 2. האם sign*(n+1)*3^n חלקי שורש שלישי של n! מתכנס?:אתה מתכוון ל<math>\sum \frac{2(n+1)3^n}{\sqrt[3]{n!}}</math>? תקח את השורש הn-י ותקבל 3 חלקי אינסוף כלומר שואף לאפס (הרי <math>\sqrt[n]{n!}\rightarrow \infty</math>) ==התכנסות אינטגרלים==האם האינטגרלים הבאים מתכנסים???* <math>\int_{0}^{1} \frac{\theta}{\ln(\theta)}d\theta</math>.* <math>\int_0^1 \frac{dx}{\ln(x)}</math>* <math>\int_{r=0 }^{r=1} \frac{\sin(r^2)}{r}dr</math>.האם אפשר לומר באינטגרל השלישי ש-<math>\int_{0}^{1} \frac{\sin(r^2)}{r}dr \leq \int_{0}^{1} \frac{r^2}{r}dr = \int_0^1 rdr = 1/2</math>, ואז עפ"י השוואה???
===תשובה===
האם זה נסיון שלך להוכיח שערך מוחלט של x גזירה לא לשכוח לבדוק אם האינטגרל הוא אמיתי בכלל או לא. למשל השלישי הוא פשוט בעל אי רציפות סליקה באפס כאשר זו הדוגמא הראשונה לפונקציה רציפה ש'''אינה''' גזירה באפס.ולכן אינטגרבילי (גם מה שרשמת נכון אבל בלי קשר)
סעיף אחד נכון פרט לנקודה אפסבראשון ובשני הצד הבעייתי הינו 1. במילים פשוטות הנגזרת של ניתן לבצע מבחן ההשוואה עם <math>|\frac{1}{1-x|}</math> הינה 1  ==שאלה== נתונה פונקציה f(x) בקטע [a,b] ונתון שהיא חסומה על ידי M. צריך להוכיח שאם f אינטגרבילית זה גורר ש-f^2 אינטגרבילית. חסימות זה לא בעיה, אבל הסתבכתי עם התנאי השני  אני יכול להשתמש במשפט שאם הפונקציות f,g אינטגרביליות בקטע כלשהו אז גם f כפול g אנטגרבילית שם, כאשר במקרה הזה g=f? :(לא ארז/תומר) ענו כבר על השאלה הזאת... לדעתי אי אפשר להשתמש במשפט, למרות שהוא נכון, כי אז התרגיל טריוויאלי. :הנה ההוכחה- יהי אפסילון גדול מאפס. בכל קטע g(x1)-g(x2)=(f(x1)+f(x2))*(f(x1)-f(x2)<2M*W כאשר W היא התנודה של f בקטע. (g מוגדרת כ f בריבוע). מאינטגרביליות f קיימות חלוקה עבורה סכום התנודות קטן מאפסילון חלקי 2M. ועבור אותה חלוקה בפונקציה g סכום התנודות יהיה קטן מאפסילון. תומר - ומה עם מידת נקודות אי רציפות ? אם אתם יודעים שהפונקציה אינטגרבילית זה אומר שמידת קבוצת נקודות האי רציפות שלה היא אפס . מה עם נקודות האי רציפות של הפונקציה בריבוע ? האם היא מוכלת בזו של הפונקציה המקורית ? ואם כן מה זה אומר על מידתה ? ... ==שאלה==צריך להוכיח שהטור הבא מתכנס במ"ש. f(x>)= sum from 0 ומינוס אחד to infinity of (e^-nx)* cos(nx) s בכל קטע (a, infinity] כאשר x<a>0  ניסיתי עם מבחן ה- m ולא מוגדרת באפסהצלחתי.מישהו?אפשר להשוות עם e^-n במבחן הM לא? :(לא ארז/תומר) אני חושב שצריך להשוות עם e^-an ... עם e^-n וזה עובד. עכשיו בסעיף הבא הם רוצים להוכיח/להפריך שf(x) שזה הסכום הוא פונקציה רציפה ב(o, infinity). הבעיה זה שזה קטע פתוח ולא סופי.. עדין אפשר להשתמש במשפט על טור של פונקציות רציפות המתכנס במ"ש? :תמיד משתמשים באותו טריק (לא התעמקתי בשאלה, מקווה שרלוונטי) אם ההתכנסות היא במ"ש על כל תת קטע סגור וסופי אז יוצא שפונקצית הגבול רציפה בכל נקודה בלי שתהיה התכנסות במ"ש על הקטע האינסופי/פתוח כולו. == תרגיל 11 ==מישהו יכול לכתוב שוב את הלינקים לתרגילים שבתרגיל 11, הלינקים לא עובדים לי.  :ארכיון 16... ==שאלה==מתי יפורסמו ציוני התרגיל והבוחן (אני יודע שיש לנו אותם, הכוונה עם פקטור, וציוני תרגיל 8/10 אם אני לא טועה) והאחוזים מהציון הסופי? מצטרף!! תומר - יפורסם בשעות הקרובות . אני עצמי עוד בודק תרגילים שהוגשו באיחור(!) . סבלנות . יש חדש? ==שאלה==אוקי, נניח ויש לי סדרת פונקציות, ואני צריכה לבדוק לאילו ערכי אלפא הסדרה מתכנסת במ"ש ב0,אינסוף (חצי סגור) וב[0,1]. קודם כל בדקתי את 0 אינסוף, והגעתי לזה שעבור אלפא קטן מ2 ==> הסדרה מתכנסת במש.התחום השני, [0,1], מוכל בתחום הראשון - ונניח שהגעתי לזה שהסדרה מתכנסת במש בתחום זה עבור אלפא גדול מ2-.מכיוון שהתחום מוכל, זה אומר לי גם שבפרט הסדרה מתכנסת במש גם עבור אלפא קטן מ2, וביחד - עם שתי המסקנות האלה - מתכנס לכל אלפא?
==תרגיל 3 שאלה 3==
באם אני יכול להשתמש בערכים של arctan אחרים מאלו שאני מחשב עם הנתון על sin וcos? כאילו להשתמש במחשבון לחשב ערך של arctan בנקודה מסוימת?
===תשובה===
אסור להשתמש במחשבוןלכאורה כן, אני לא מבין מה השאלה. אבל הרי ברור שאם זה מתכנס במ"ש לכל אלפא גדול ממינוס 2 או קטן משתים בפרט זה מתכנס לכל אלפא. השאלה האמיתי היא אם החישובים שלך נכונים.:השאלה היא כזו - הוכחתי שעבור אלפא קטן מ2 זה מתכנס במ"ש ב0,infinity. רק רציתי לוודא שזה אומר שעבור אלפא קטן מ2 זה מתכנס במ"ש גם ב[0,1]. זה נכון? ::הדגש הוא על הקטע הסגור? אם יש התכנסות באפס אז כן, אם לא אז לא:::כן, מדובר על קטעים סגורים. תודה:) אני טועה או שבהתחלת ההרצאה האחרונה רוני אמר שבטווח שבין רדיוס ההתכנסות לבין המינוס שלו(לא כולל הוא עצמו)- הפונקציה מתכנסת, ואח"כ הוא אמר שהיא גם מתכנסת במ"ש בכל קטע סגור שמוכל בקטע הזה.....?:זה נכון לגבי טור חזקות, אני לא בטוח איך זה קשור פה. ::יש עוד מקום עם רדיוס התכנסות חוץ מטור חזקות??? ושאלתי כי זה נראה לי מוזר להוכיח משהו ואז להוכיח משהו ותר חזק במקום להוכיח ביחד. למה פה? איפה עוד אני יכול לכתוב??? :::לא פה בפורום, התכוונתי פה בשאלה הזו... רדיוס התכנסות זה מושג של טור חזקות, וכאן מדובר על סדרת פונקציות. ==שאלה==מצטער על הבורות רגע לפני המבחן- מה זה גזירה איבר-איבר? ואינטגרציה איבר איבר? בבקשה שלא יהיה מסובך.... ===תשובה===נניח ויש לך טור מתכנס <math>g=\sum f_n</math>. השאלה היא מהי הנגזרת של g. אם מותר לגזור איבר-איבר אזי <math>g' = \sum f_n'</math>. שים לב שזה לא תמיד נכון, רק כאשר המשפטים מאפשרים לגזור איבר-איבר. אינטגרציה זה דומה <math>\int g = \sum \int f_n</math> ==שאלה==אם טור חזקות מתכנס גם בR וגם בR-, זה אומר שהוא מתכנס במ"ש ב[0,R] וב[-R,0] ואז זה אומר שהוא מתכנס במ"ש ב[-R,R]? ===תשובה===כן. באופן כללי אם טור מתכנס במ"ש בשני קטעים סגורים צמודים הוא מתכנס במ"ש באיחוד הקטעים. כי מהירות ההתכנסות עבור אפסילון היא המקסימום בין שני הn_0 של שני הקטעים. == :)==שיהיה בהצלחה לכולם! לא פחות מ100 :) תומר - מצטרף ! שיהיה בהצלחה לכולכם - במבחן הזה ובכל אלו אחריו :):תודה, ותודה לכם על סמסטר נפלא (עד כמה שהיה אפשר להשתמש בדברים ידועים . אינפי, אתם יודעים). תודה על התרגולים המצויינים, אפילו שהיו יותר מידי אנשים בכיתה... ותודה על ההשקעה בנו ועל כל העזרה (האתר, וכל דבר אחר). אולי תהיו מתרגלים שלנו באינפי 3?:ושיהיה בהצלחה לכולם! ==לארז ולתומר==רגע אחרי המבחן, וכמה ימים לפני שהאתר יתחיל לשמש, כנראה, תיכוניסטים תמימים שצעירים מאתנו בשנה, ואתם אורזים את הכל בשבילם, רציתי לומר לכם, לשניכם במ"ש, ת-ו-ד-ה ר-ב-ה!! על כל ההשקעה, הזמן, הרצון והכוח שהיה לכם להתמודד עם שתי קבוצות רועשות כמו sin0שלנו, ועוד בקורס קשה כמו אינפי 2! שיהיה לכולנו המון בהצלחה בהמשך!  מצטרף בהחלט, המון תודה לשניכם, ואולי נתראה בהמשך...:מצטרפת.. ממש תודה על הכול! מה נעשה בלי Math-wiki..מצטרף! זה לא מובן מאליו... ועם זאת, מתי נדע כמה פקטור יהיה(בטוח יהיה...!!) ::תודה רבה על כל האיחולים - המתרגלים. (בלי קשר, אני אפרסם עוד כמה דקות פתרון למבחן בדף הקורס)  אני מסכים לגמרי עם כל השאר. אתם באמת השקעתם את כל כולכם בנו ובהצלחה שלנו. באמת רואים שאכפת לכם מאיתנו למרות כל הקיטורים, בקשות לדחיות, התחננויות ולפעמים אף בכי P=אני רק לא מבין משהו אחד. ניסיתי להבין מה הייתה התועלת בשיעורי חזרה ובתרגולים הנוספים שעשיתם, ואני לא מוצא בהם תועלת למבחן... לא עשינו אפילו תרגיל אחד שהיה אפילו דומה לשאלות שהיו במבחן (אני לא מתכוון לשאלות בדיוק כמו שהיו במבחן, אבל לפחות בסגנון ובנושאים)...  כאילו שמתם דגש בשאלות לא דומות למבחן בשביל מה? הרי ראיתם את המבחן כבר... לי אישית היה די קשה להגיע לבר אילן,לתירגולים, באותו היום אבל הגעתי בכל זאת כי חשוב לי להצליח במבחנים (כמו לכולנו), אבל בתכלס שאני מסתכל על היעילות שלהם לאחר המבחן לא עזר בכלל, אלא להיפך.כל מה שאני מנסה להגיד, זה שבתרגולי חזרה לפני מבחן, תעזרו קצת יותר בכך שתתרגלו אותנו נכון, ולא לבלבל לנו את השכל עם שאלות לא קשורות בכלל... אחר כך מתלוננים שאנחנו לא מקבלים ציונים נורמלים ואתם נאלצים לעשות פקטור סתם!תודה על הכול (וזה בשיא הכנות) כי באמת השקעתם בנו  ===תשובה===אני אענה לשאלה שלך בשני מישורים* הראשון והחשוב יותר: מטרתנו הראשונה והעיקרית כמורים הינה ללמד אתכם מתמטיקה ו'''לא''' להכין אתכם למבחן. הכנה למבחן הינה משנית (אמנם חשובה גם כן). קשה להגיע לבר אילן גם במהלך הסמסטר, אך אתם מגיעים על מנת ללמוד. הסיבה שאנו רואים את המבחן קודם לכן היא בעיקר על מנת לוודא איכות שלו (שאין טעויות, רמה סבירה וכדומה), עלינו להעביר שיעורי חזרה כאילו לא ראינו את המבחן. *שנית, אני אפריך לחלוטין את הטענות שהעלאת:**שיעור ההשלמה היה חלק מחומר הקורס וכלל שאלה שהופיעה כלשונה במבחן! (הוא היה לפני שראינו את המבחן). אז כבר 20 נקודות מתנה על שיעור ההשלמה והחומר שהועלאה לאתר (אני לא העברתי את השאלה פרונטלית אבל תומר כן). אמרנו לכם לקרוא את שיעור ההשלמה.**שיעור החזרה כלל שאלה כמעט זהה לחלוטין לשאלה 3 מהמבחן (אני העברתי אותה ותומר לא).**יום או יומיים לפני המבחן עניתי באתר על שאלה דומה לשאלה 2 במבחן, והדגשתי דברים שלא היו בשאלה המקורית כי ידעתי שזה יעזור למבחן.**שאר השאלות, בוודאי היו דומות והתעסקו בנושאים דומים...  מעבר לכך, תודה על ההכרה בעבודה שלנו. תאמינו לנו שמה שעכשיו נראה לכם לא כיף, בעתיד אתם תראו כאתגר שהצלחתם בו. החיים הם לא מיטת שושנים, ומי היה רוצה לישון במיטת שושנים בכלל? זה דוקר!:זה לא רק דוקר, זה גם צמיגי :P::מתי יעלו ציוני תרגיל? :::אנחנו נעלה אותם היום==יש לי שאלה==האם בשאלה 4ב במבחן היה אפשר להגיד שההתכנסות היא ל0 כי תנאי הכרחי להתכנסות הטור היא שאיפת האיבר הכללי לאפס(הוכחה של התכנסות לאפס לא התכנסות במש)? ===תשובה===כן, זה מוכיח בהחלט התכנסות נקודתית לאפס (ולא במ"ש כפי שציינת) ==שאלה== למה מופיע לי ציון 0בתרגיל מספר 2 אם הגשתי אותו? :S :זו שאלה פילוסופית? ==הודעה== יש ציונים!!== מבחן == היה פקטור במבחן? ואם כן של כמה? מצטרף לשאלה... מאוד חשוב לנו לדעת האם להגיש ערעור או שלא.... והאם לגשת למועד ב או לאבקיצור ממש חשוב לנו לעת האם היה פקטור... :תשאלו את המרצים, אנחנו (המתרגלים) לא יודעים.