'''<nowiki>== כותרת לשאלה ==</nowiki>'''
לכתוב מתחתיה את שאלתכם, וללחוץ על '''שמירה''' למטה מימין
=ארכיון=
'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 2| ארכיון 2]]''' - תרגיל 3
'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 3| ארכיון 3]]''' - תרגיל 3
'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 4| ארכיון 4]]''' - תרגיל 4
'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 5| ארכיון 5]]''' - תרגיל 4,5
'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 6| ארכיון 6]]''' - תרגיל 6
'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 7| ארכיון 7]]''' - (מי עוקב)
'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 8| ארכיון 8]]'''
'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 9| ארכיון 9]]''' - לקראת הבוחן
'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 10| ארכיון 10]]''' - פוסט בוחן
'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 11| ארכיון 11]]''' - תרגיל 9
'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 12| ארכיון 12]]''' - תרגיל 9
'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 13| ארכיון 13]]''' - תרגיל 10
'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 14| ארכיון 14]]''' - תרגיל 10
'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 15| ארכיון 15]]''' - תרגיל 10
'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 16| ארכיון 16]]''' - לקראת המבחן
'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 17| ארכיון 17]]''' - לקראת המבחן
=שאלות=
==שאלה==
מבקשים ממני נקודות קיצון - האם אני יכול להסיק על סמך עליות וירידות של הפונקצייה את נק' הקיצון שלה? כלומר, יש לי פונקצייה שבדיעבד אני מגלה שהנגזרת בנקודה לא קיימת, אבל אני רואה את ההתנהגות של הנגזרת בשני צידיה. למה, בעצם, הייתי צריך לחשב את הנגזרת בנקודה שלה (גם אם היא כן הייתה קיימת)?
יהיה במבחן פונקציות עם שתי משתנים?
:לא שידוע לי, אם המרצה אמר שיהיה אז יהיה, אם לא אז לא
תומר - מה פתאום שיהיה משהו שלא למדתם ??? הגיון חבר"ה , הגיון !
==שאלה==
תחת אילו תנאים ניתן לומר שאינטגרל על סכום אינסופי של פונקציות שווה לסכום האינסופי של האינטגרלים של הפונקציות?
תודה
תומר - מפנה אותך לנוסח משפטים המתאימים ! יש משפטים שמתארים תנאים מספיקים לכך . ייתכן שיהיו מצבים נוספים שזה יתקיים אבל אז צריך לבדוק כל מקרה לגופו.
==שאלה==
נניח יש לי טור פונקציות שרץ על fn (הסדרה המזהה שלו). למה אם הטור |fn| מתכנס במ"ש בI, אז גם הטור המקורי מתכנס במ"ש בI?
*נקודתית זה ברור מאינפי 1. לבמ"ש ההוכחה דומה. שארית הטור לא בהחלט קטנה משארית הטור בהחלט, כלומר הטור לא בהחלט מתכנס מהר יותר מאשר הטור בהחלט.
ועוד שאלה: אם יש לי סדרת פונ' fn כך ש|fn| מתכנסת לפונ' גבול כלשהי f במ"ש, האם זה אומר שfn המקורית מתכנסת לf1 כלשהי במ"ש?
*ברור שלא.... אינפי 1. <math>fn=(-1)^n</math> לא מתכנס בכלל, אבל הערך המוחלט מתכנס במ"ש.
יש טעות בסיכום במשפט פרמה, לא? המשפט הראשון בעמוד הראשון של הסיכום...התנאים לא צריעכים להיות הפוכים???
*נכון מאד, הסרתי את הסיכום. המשפט אומר שאם יש מקסימום/מינימום והפונקציה גזירה הנגזרת הינה אפס. בוודאי שאם הנגזרת אפס אין שום הכרח שיהיה מינימום/מקסימום (לדוגמא x^3).
שאלה:איך מוגדר אינטגרל של פונקציה ממינוס אינסוף לאינסוף? הגבול כאשר c רץ לאינסוף של אינטגרל של הפונקציה מ c- עד c או פשוט פיצול לשני אינטגרלים לא אמיתיים ואז כל אחד שואף בקצב שלו? זה משנה כי במקרה של פונקציה איזוגית-למשל x באפשרות הראשונה זה 0 ובשניה אינסוף פחות אינסוף שזה מתבדר.....(נכון?)תודה.
*הוא מוגדר בתור הסכום של שני אינטגרלים לא אמיתיים. האינטגרל על הפונקציה x למשל מתבדר.
למה אם f פונקציה רציפה, מחזורית ואי-שלילית בממשיים(f אינה זהותית אפס) אז הגבול של f(x)/x^3 אינו אפס כאשר x שואף לאינסוף?? הרי f חסומה מהנתונים,לא? רוני נתן שאלה כזאת ואמר להוכיח שהאינטרגל של f(x)/x מ1 עד אינסוף מתבדר. ואם הגבול שאמרתי מקודם שווה ל0 אז לפי מבחן ההשוואה האינטגרל מתכנס, אז כנראה שהגבול איננו 0,למה???
===תשובה===
קודם כל, צריך לדעת גם את הערך בנקודה. למשל, ניקח את הפונקציה |x| ונגדיר אותה להיות 1 באפס. אז הנקודה אפס הופכת להיות מקסימום במקום מינימום.
שניתתומר - כמה שאלות , אם הנגזרת קיימת ושונה מאפסכמה שאלות ! :) לשאלה הראשונה על התכנסות עם ערך מוחלט גוררת התכנסות בלי , מיד אתה יכול לומר שזו לא נקודת קיצון, לכן אתה מחשב את הנגזרתבמידה שווה - ראה משפט שהוכחתם . או - אפשר לנסות לבד פשוט ביישום של קריטריון קושי להתכנסות במ"ש ! .
==שאלות==א)ב1 להחשיב משולש אינטגרל ממינוס אינס' לאינס' מוגדר על ידי פיצול באיזו נקודת ביניים - אבל בכל אופן כאשר הגבולות שלהם - אחד עם שטח 0 כמשולש?ב)הקבוצה של תומר בסוף פרמטר לאינסוף ושני עם פרמטר למינוס אינסוף - הם לא מגישה את תר' 4 נכון?תודהתלויים אחד בשני ! ובטח לא ממינוס סי לסי כאשר סי שואף לאינסוף . זהו אינטגרל שקיים בשימושים אבל יש לו שם - PRINCIPAL VALUE - אבל זה לא האינטגרל בקורס שלנו !!! .
לגבי שאלה אחרונה - תן בבקשה את ניסוח השאלה המלא כדי שאוכל להתייחס .
==שאלה מסודרת ==
נתונה פונקציה fרציפה,מחזורית ואי-שלילית ב-R. היא אינה זהותית 0.הוכח: האינטגרל של f(x)/x מ-1 לאינסוף מתבדר. תוכל גם להגיד לי למה אי אפשר להוכיח שזה מתכנס עם שימוש במבחן ההשוואה השני? כי f לפי הנתונים חסומה,לא? ואז הגבול של (f(x)/x)/x^2 שווה לאפס ולפי המבחן f(x)/x מתכנס, כי האינטגרל של x^2 מתכנס...
===תשובה===
א. כבר שאלו (לא ארז/תומר) נראה לי שהטעות שלך היא כזו , כשאתה עשית את מבחן ההשוואה, עשית את זה. צריך משולש עם הפונ'''ישר זוית''' שהצלעות שלו הם הצירים וקו ישר דרך נקודה מסוימת. נקודה בודדת פשוט לא עונה על התנאים האלהx^2 והאינטרל של זה מתבדר בקטע 1 עד אינסוף (אתה מתבלבל עם 1/x^2).
ב:אבל אמרתי בקטע 1 עד אינסוף... לא יודע, ה תלוי בתומרמאפס!'''תשובה''' - תומר : לגבי שאלה 4 - עם קבוצת יום ראשון "שלי" פתרנו מספר אינטגרלים בעזרת אינטגרציה בחלקים , ולכן ניתן לפתור את שאלה 4 :הוא העיר לך על הפונקציה ולא על הקטע. הקבוצה של המרצה רוני מיום שלישי לא ראתה תרגילים כנ"ל איתי ולכן לא צריכה לפתור את שאלת האינטגרלים x^2 זו פונקציה ששואפת לאינסוף ובפרט אינה אינטגרבילית על הקטע האינסופי. תומר
==שאלה==ובנוגע להוכחה , אני עשיתי את זה בדרך הבאה:
בנסמן את המחזור של F כ-1א אין מסT, אנחנו יודעים שהפונ' שהוא השטח המקסימלי.....זה אינסוף.....אם כןאינה זהותית אפס,מה עליי לכתוב?אין מסלכן יש נקודה X0 בקטע [1,1+T] כך ש- (' שהוא שטח מקסימלי?'f''תשובה(''x0' ' שווה ל- תומר : אם קיים שטח מקסימלי (מספרי ! ) M גדול ממש מאפס. מכיוון ש-F רציפה יש לרשום מהו סביבה [a, אך אם אין מספר ממשי שהוא השטח המקסימלי b] של X0 כך שכל ס בקטע מקיים f(מסיבה שיש לנמק... x) >M/2 (או אפילו גדול שווה, זה לא משנה) וכעת, מכיוון ש- יש לרשום זאת F אישלילית , נגדיר פונקציה חדשה G להיות M/2x בכל קטע מהצורה [a+n*T,b+n*T] כאשר n טבעי ואפס בכל נקודה אחרת. תומר ברור כי שתי הפונ' אי שליליות, אינטגרביליות בכל קטע מהצורה [one,R] כש- R>1 (F רציפה בכל קטע כזה, ול-G יש מספר סופי של נקודות אי רציפות מהסוג המתאים) ולכן אם האינטגרל של G בטע 1 עד אינסוף מתבדר, כך גם האינטגרל הלא אמיתי של F. ועכשיו, להראות שהאינטגרל של G בקטע 1 עד אינסוף מתבדר, זה לא כזה מסובך (אני עשיתי לפי קריטריון קושי, אבל אני בטוחשאפשר בעוד דרכים, ואין לי כח לכתוב את זה) ובסה"כ קיבלנו שהאינטגרל של f(x)/x
==שאלה==
מתי מגישים את תרגיל 3למה במבחן ההשוואה הראשון רוני ציין שאם 0<g ו f>g והאינטגרל של f מתכנס(לא אמיתי, בשנ הסוגים הוא אמר ככה...) אז האינטגרל של g מתכנס. הוא לא אמר שאם g מתבדר גם f מתבדר,זה לא נכון??
===תשובה===
מיד אחרי החופשהמשפט השני הוא היקש לוגי מהראשון. לא יכול להיות שf יתכנס אבל g יתבדר, לכן אם g מתבדר אזי f מתבדר.
:הלימודים (שלנו, למי שלומד בראשון ושלישי) יתחדשו בעצם ב-11.4? (החופש חל עד 6.4 כולל, ממה שהבנתי באתר של בר-אילן)==שאלה==
בתרגיל 11 שאלה 3 - לעוד מישהו יצא רדיוס התכנסות אפס?::עושה רושם כזה[לא תומר או ארז] לי דווקא יצא 1==שאלה==אם אני צריכה להוכיח שפונק' כלשהי היא אינטגברילית רימן, והראיתי שהסכום רימן שלה לכל חלוקה מתאימה ולכל בחירה אלפא חסומה בין הסכום רימן של פונק' אינטגרבילית(!) אחרת פחות אפסילון, ואותו סכום ועוד אפסילון. האם זה מראה לי שהפונק' שלי אינטגרבילית גם? ויותר מזאת, שואפת לסכום I של אותה הפונקציה השניה?:הסכום רימן של הפונקציה האחרת עבור אותה חלוקה? ומה זה האפסילון הזה? במה הוא תלוי?
==תרגיל 3 - 2שאלה==לגבי נקודות פיתולנתון כי f אינטגרבילית וחסומה ע"י M. ההגדרה בכלל לא מתייחסת לקיום של משיק בנקודת פיתול, אז אני לא מבין מדוע מתייחסים לכך.סהצ"כ צריכה להיות סביבה מימין/שמאל שבה הפונקציה קמורה/קעורה וסביבה מהצד השני בה מתקיים ההפך,כך שאין בדיוק התייחסות למשיק בנקודה הזאת. אם אפשר הבהרה לגבי זאתל שf^2 אינטגרבילית באותו קטע.יש דרך להראות את זה לא ע"י הרכבת פונקציות (שבדרך זו הנתון ע"י החסימות מיותר)?מהי הדרך?
:הנתון על חסימות מיותר איך שלא תסתכל על זה, שכן זו פונקציה אינטגרבילית (ולכן חסומה)
===תשובה===סביבה מסביב לנקודה, בה הפונקציה קעורה או קמורה ביחס לנקודה, כלומר ביחס למשיק בנקודה.עדיין,למה צריך שיהיה משיק בנקודה הזאת (כלומר קיום נגזרת ראשונה בנקודה).ואם השיפוע אבל יש דרך להראות את זה חוץ מהרכבה של המשיק הוא אינסוף (משהו מהצורה a/0) או מינוס אינסוף אז זאת בהכרח לא נקודת פיתולפונקציה רציפה ופונקציה אינטגרבילית?
==שאלהתומר - זוגיות ואי זוגיות==מידת קבוצת נקודות אי הרציפות של הפונקציה החדשה היא אפס ? ...
אם אני רוצה להראות שפונקציה מסוימת אינה זוגית ואינה אי זוגית, האם עלי להראות זאת ממש ע"י הצבת נקודות וסתירת הזוגיות והאי זוגיות, או שאני יכול פשוט להציב <math>f(-xלא ארז/תומר)</math> ולהראות שאני לא מקבל לא את <math>כן יש פיתרון אחר, והוא בעזרת תנאי רימן לאינטגרביליות.f^2 חסומה (xברור)</math> ולא , ונותר להראות את <math>-f(x)</math>?התנאי השני.בקשר אליו, קל להראות ש
w(f^2)<= w(f)*2*M (כאשר w הוא התנודה בקטע), ומכאן קל להמשיך.
===תשובה==לא מבין מראים את ההבדל. פונקציה היא אינה זוגית אם קיימת נקודה אחת a בה זה כך, לכל x1,x2 בקטע כלשהו מתקיים:f(x1)^2-f(x2)^2<math>=(f(x1)-af(x2)\neq )*(f(ax1)</math>.+f(x2)), ומכאן זה ברור
כמו כן==שאלה==התבקשתי להביא דוגמה לסדרת פונק' fn רציפות ב[0, היא אינה אי זוגית אם קיימת נקודה b 1] כך ש <math>fשfn(-bx)\neq -f->0 לכל X בתחום, אך האינטגרל של fn מ0 עד 1 אינו שווה ל0. - האם הפונקציה x^n(bx^n-1)< qq מקיימת את הדרוש? הפונק' אכן רציפות ב[0,1], פונקצית הגבול היא 0, אבל האינטגרל יוצא, אם אני לא טועה, 1/math>n פחות 1/(2n+1)..
זו שלילה לוגית פשוטה להגדרה===תשובה===אתה בטוח שהאינטגרל שונה מאפס ולא '''שואף''' לאפס? כי כמעט כל סדרה שתבחר תעמוד בתנאי הראשון (למשל הסדרה של הפונקציות הקבועות <math>\frac{1}{n}</math>).
אם אתה רוצה סדרה שהאינטגרל עליה אינו שואף לאפס, קח סדרה של פונקציות הבאה:לא הבנת את השאלה שלי. הכוונה שלי הייתה האם עלי להצביע על נקודה שאינה מקיימת את הזוגיות/אי זוגיות ולהראות שהיא אינה מקיימת את זה, או להציב בפונקציה הגרף של הפונקציה ה-X ולהראות שאני לא מקבל את הדרוש. כי בעצם יכול להיות שאחרי שאני מציב מינוס X יש דרך שאני לא רואה לפתח את הביטוי שהתקבל ולקבל שהפונקציה זוגית/אי זוגית. אז האם עלי להצביע על נקודה שסותרת את הזוגיות/אי זוגיות, או שאני יכול באופן כללי להציב מינוס X ולהראות שאני מקבל ביטוי שאינו n הוא משולש עם בסיס <math>f(x)\frac{1}{n}</math> או <math>-fבגובה 2n וכל שאר הפונקציה היא אפס. הסדרה הזו שואפת לאפס (xכמובן שלא במ"ש)</math>?והאינטגרל על כל פונקציה בסדרה הוא תמיד 1.
::אתה חייב להבין שאין הבדל בין 2 השיטות==שאלה==נראית נחמדה. אני אסביר שיטתיתf:*הצבת מינוס x וקיבלת ביטוי*פיתחת את הביטוי הנ"ל והראת שהוא '''אינו''' <math[0,1] --->R היא פונקציה רציפה אי שלילית המקיימת f(x)</math> או <math>=sinx לכל x בתחום. צריך למצוא את כל פתרונות המשוואה: cosx+quad(f(-,0,x)</math>-1=0.*לפי הגדרה, אם הביטוי שקיבלת הוא אינו <math>f(x)</math> כלומר קיימת נקודה בה הביטוי שהגעת אליו ו<math>קוסינוסX ועוד האינטגרל של f(מ0 עד xפחות 1 = 0.)<מעבר לעובדה שx=0 הוא פתרון אחד של המשוואה, לא הצלחתי להוכיח שלא קיימים עוד פתרונות/mathלמצוא פתרון נוסף. ניסיתי להניח שקיים ולהשתמש במשפט רול, ניסיתי להשתמש בזה שאי שיוויון ברמת הפונק' ==> שונים. מכיוון שפונקציות שוות אם"ם הן שוות בכל נקודהאי שיוויון ברמת האינטגרל אבל בסופו של דבר לא הגעתי למשהו שמוכיח.יש רעיון למישהו?::מישהו??
לסיכום, הניסוח לא משנה. קל יותר להראות סתירה על ידי מציאת נקודות a,b כפי שתארתי למעלה:::אם f=sinx אזי זו הפונקציה הקבועה אפס.אם f קטן ממש מהסינוס אזי הנגזרת בעלת סימן קבוע (שלילי) והפתרון היחיד הוא אפס
לדוגמא:<math>f(-3)=e^{-3}\neq -e^3=-f(3)</math> ולכן הפונקציה <math>f(x)שאלה=e^x</math> '''אינה אי זוגית'''=מישהו מוכן להסביר לי באילו מקרים כדאי לעשות גזירה איבר איבר, ומתי לעשות אינטגרציה איבר איבר? תודה.:כדאי? תמיד. מותר? כאשר יש התכנסות במ"ש לפי המשפטים שלמדתם בכיתה.
==שאלות מעניינות==* הוכח או הפרך:::הנקודה שלי הייתה שאחרי שהצבת תהי <math>ff_n(-x)</math> אין דרך לדעת שזה לא שווה ל סדרה של פונקציות גזירות ברציפות המתכנסות במ"ש לפוקציה <math>f</math>, אשר גם גזירה ברציפות,ב-<math>[a,b]</math>.אזי ש- <math>f_n' \rightarrow f'</math> במ"ש על הקטע <math>[a,b]</math>.* בנוגע למשפט דיני לטורים, נניח שיש לי טור <math>u(x)=\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)</math> עד שלא הצבת איזשהו X וראית שמתקבלים ערכים שונים, כך ש-<math>a_n(x)>0</math> והטור מתכנס ב-I. השאלה שלי היא מתי אני יודע אם צריך להראות את ההצבה הזאתהפונקציה הגבולית רציפה, או שמספיק לאמר שהגענו לשני ביטויים שונים, שבטוח קיים איזשהו X שאם מציבים אותו בשני הביטויים מקבלים ערכים שוניםכך שאוכל להישתמש בדיני ולקבוע שההתכנסות במ"ש.נשמח לתשובה ממישהו,די דחוף! תודה!!! :)
:::: שום דבר לא בטוח עד שלא בודקים אותו. תומר - אם הגעת נגיד לביטויים סינוס וקוסינוס ניתן לאמר שהם שונים כי זה ידוע שיש נקודות שתציב שיתנו תוצאות שונותניקח את הסידרה cosnx ונחלק הכל ב n . אם הגעת לביטויים האם קיבלת סידרה שמתכנסת במ"ש ? ומה עם נגזרותיה ? ... לגבי דיני - פשוט לבדוק רציפות לפי הגדרה - גם לא מוכרים אתה חייב להציבאמרת שהפונקציות בסידרה רציפות - שים לב לתנאי המשפט ! .
==שאלה==
אם פונקציה מוגדרת לכל X, אז בוודאות אין לה אסימפטוטה אנכית?
שאלה שנתקעתי עליה ואשמח לכיוון: int(arctan(x)/[(x*(ln(x+1))^2)], x = 0 .. infinity) ניסיתי דיריכלה, חשבתי על השוואה, ופשוט לא מצאתי. אשמח לעזרה ::מצטרף לשאלה!! איך פותרים את הדבר הזה? (זה לא ארז/תומר) לא בהכרחתנסה השוואה עם אחד חלקי [x*ln(x)^2]. למשל הפונקציה fשים לב ש arctanx שואף באינסוף לחצי פאי, ושעם קצת אלגברה אפשר להוכיח שמנת ה-ln-ים שואפת לאחד. כדי להראות התכנסות של האינטגרל החדש, אפשר להשתמש בהצבה t=ln(x), או לחילופין להשתמש במבחן האינטגרל+מבחן העיבוי לטורים תודה רבה :) זה לא נכון, כי יש בעיתיות גם בנקודה x=1וגם באינסוף. ההשואה שנתת עוזרת רק לחלק של האינסוף : אבל אני לא חושב שאמורה להיות בעיה, כי זאת בעיה בנקודה, וזה לא אינטגרל לא אמיתי מסוג שני. ::אתה מפצל את זה לשני אינטגרלים: האינטגרל מ-1 עד אינסוף מתכנס (כי מורידים את ה-ln בעזרת אי שוויון והאינטרגל (arctanx/x כאשר ^2) מתכנס (השוואה עם 1/x>^2)...::עכשיו בקשר לאינטגרל מ-0 ו fעד 1 אתה יודע ש- ln(1+x)=<x לכל x ב-[0 כאשר ,1] ולכן האינטרגל שלנו גדול מהאינטגרל של arctan(x<)/x^4 וזה מתבדר ע"פ השוואה עם 1/x^4 שמתבדר בקטע [0,1], ולכן זה גדול מאינטגרל מתבדר וזה סה"כ מתבדר. (אשמח לקבל אישור מאחד המתרגלים =) ). :(לא ארז/תומר) עבור האינטגרל מ-0עד 1, מוגדרת לכל תנסה מבחן השוואה גבולי עם אחד חלקי x ממשי ^2 . שים לב ש arctanx/x שואף לאחד וש ln(1+x)/x גם שואף לאחד כאשר x שואף לאפס. ובקשר לזה שכתב מעלי- ה-x במכנה הוא לא בריבוע... :: האמת שהאינטגרל המקורי היה בין 1 לאין סוף וזאת טעות שלי שכתבתי אפס, אבל יש לה אסימפטוטה אנכית Xזה באמת יהיה טוב לדעת מה קורה גם אם זה היה אפס.:: תודה לשניכם :) =0=שאלות.==*arctanx חיובי בקטע 1, כי infinity לא? היה תרגיל באחד המבחנים ששמו ערך מוחלט מסביב לarctan, באנטגרל שהתחום שלו הוא תהחום המצוין..*במבחן ההשוואה הגבולי. מותר לי להשוות פונק' חיובית עם פונק' שלילית, אם הגבול ב-יוצא חיובי? לדוגמה, הפונקציה sinx חלקי x*lnx. בתחום [0 מימין הוא אינסוף. לעומת זאת5,1], נניח ואני רוצה להשוות עם sinx חלקי x- 1..*כאשר אני מפצלת אינטגרלים ל2 תחומים שונים [עם דגש על השונים!]. אם פונקציה רציפה אז בוודאות אין לה אסימפטוטה אנכיתאחד מהם מתבדר, כי כל האינטגרל המקורי מתבדר, נכון? בלי קשר לחיוביות/שליליות של אחת הפונקציות.. *בהמשך לשאלה שלמעלה - אם יש לי שאלה של 'לאילו ערכי אלפא', כאשר יש לי חיבור של 2 אינטגרלים - אחד ל"א מסוג ראשון והשני ל"א מסוג שני.. אז אם למשל xעבור alpha>1 האינטגרל מסוג 1 מתבדר, אין מה לבדוק את האינטגרל השני גם? וזהו, תודה רבה! =a אסימפטוטה אנכית אז לפי רציפות הגבול ב x=a שווה לערך =תשובה===*כן הוא חיובי.*אם בתחום הפונקציה בנקודה זואי חיובית אז אם תכפלי אותה במינוס תקבל פונקציה אי שלילית. כמובן שמכפלה במינוס לא משנה התכנסות אינטגרל*נכון.*נכון ::כן, שלא אבל כשהפונק' הייתה שלילית, הגבול יצא לי חיובי. אם אני כופלת במינוס 1, הגבול יוצא שלילי..:::לא יכול להיות אינסופי(כי שהגבול של המנה של שתי פונקציות אי שליליות יהיה שלילי::::::: כעיקרון אני מדברת על הפונקציה רציפה ובפרט מוגדרתsinx חלקי x*lnx. בתחום [0.5,1] אני משווה אותה עם sinx חלקי (1 פחות X).(יום יבוא ואני אלמד להשתמש בכתיב המתמטי של ויקיפדיה... מצטערת על הסרבול). בכל מקרה, שתי הפונקציות חיוביות בתחום הזה. אבל הגבול של המנה, כאשר X שואף ל1 מצד שמאל, הוא מינוס אחת.. :כי ln שלילית בקטע הזה.::אוקי, אז בעצם מכפילים את הפונק' המקורית ב1- ואז מקבלים גבול חיובי, ואומרים שבגלל שהפונק' עם המינוס מתכנסת/מתבדרת ==> כך גם הפונק' המקורית? :נכון
==שאלה==
בשאלה 3התכנסות במ"ש של ערך מוחלט של טור הפונק' גוררת התכנסות במ"ש של טור הפונק'?:כבר נשאל בעמוד זה. כן מכיוון שהשארית של טור קטנה או שווה לשארית של הטור בהחלט ==שאלה==*הסתבכתי, אפשר עזרה?*נניח שהפונקציה f מוגדרת ורציפה בקטע סגור x=a..b הוכח כי הסכום מאחד עד אינסוף של f^n מתכנס במ"ש בקטע זה אם ורק אם הסכום הנל(f^n) מתכנס נקודתית בקטע זה. :השאלה לא מנוסחת טוב. מה הכוונה לחשב בכל נק'זה f ומה הוא קשור? לחקורמה ההבדל בין סכום מאחד עד אינסוף לבין טור?תיקנתי... מה הבעייה בהגדרה של f פשוט פונקציה f(x) ::שאלתי מה הקשר של f. גם g היא פונקציה אבל היא קשורה לשאלה בדיוק כמו f... האם היא פונקצית הגבול של הטור? האם הפונקציות בסדרה רציפות? : (לא ארז וגם לא תומר) בעצם הכיוון המעניין היחיד הוא מהתכנסות נקודתית לבמ"ש. אם f^n מתכנס נקודתית אפשר לראות כי לכל x נקבל f(x<1 (בערך מוחלט, הלוואי שזה לא היה קופץ כל הזמן). f רציפה לכן הערכים שהיא מקבלת מהווים קטע סגורc,d בתוך [-1,1), קטע בו הטור x^n מתכנס במ"ש. לכן כל סדרת נקודות אינסופית שתבחר בa,b עבור הטור לפי f שקולה בעצם לבחירת נקודות בc,d עבור הטור של x המתכנס שם במ"ש (ולפי מבחן הLIMSUP בעצם זה כל מה שצריך). אבל למה f(x) בערך מוחלט קטן מ-1?:הסברתי במפורט בתשובה. לא בהכרח f<1 פשוט אם הוא מתכנס הוא קטן מאחד ולכן מתכנס במ"ש. אם הוא מתכנס במ"ש ברור שהוא מתכנס. זה כל מה שצריך להוכיח.
===תשובה===
להגיד מה הערך בכל נקודהאה.... התבלבלתי בין f_n לf^n.... מצטער. הכותב מעליי צודק שהטור מתכנס כאשר <math>|f(x)|<1</math>, בלי מחשבון והוא מתכנס במ"ש כאשר <math>|f(כלומר בלי להפעיל את הפונקציה arctanx)|<r<1</math> אבל בגלל שהפונקציה רציפה על קטע סגור ונניח מתכנסת בו אזי היא מקבלת מינימום ומקסימום ושניהם חייבים להיות קטנים ממש מאחד (אחרת היא לא הייתה מתכנסת בהם) ולכן התנאי מתקיים. תנסה להבין קצת * על מנת להוכיח שהוא מתכנס במ"ש בתנאי למעלה <math>|f(x)|<r<1</math> כל שצריך הוא מבחן הM<math>|f(x)^n|<r^n</math>. * על מנת להוכיח שהוא מתכנס עבור התנאי <math>|f(x)|<1</math> כל מה שצריך הוא להסתכל נקודתית על הטור <math>\sum |f^n(x)|=\sum a^n</math> כאשר <math>|f(x)|=a<1</math> וזה כמובן מתכנס. * טריוויאלי שהוא יתבדר בכל מקום אחר. * על מנת להוכיח שהוא לא מתכנס במ"ש אם לפונקציה לא היה מקסימום אבל הsup שלה היה אחד: ניקח סדרה <math>x_n</math> כך ש <math>f(x_n) \rightarrow 1</math> ולכן <math>\lim_{k\rightarrow \infty} sup|S(x)-S_k(x)|>\lim_{k\rightarrow \infty} |S(x_{n_k})-S_n(x_{n_k)}| = \infty</math> (נבחר את הפונקציה ותראה n_k על מנת שההפרשים ישאפו לאינסוף. אנחנו יודעים שזה לא מסובךמותר כי <math>f(x_n)\rightarrow 1</math>)
==שאלה==
היי ארז, בתרגול הזכרת איזה משפט שאומר שאם אם יש לי פונקציה גזירה פעמיים בקטע כלשהו, והיא מחליפה סימן כשהיא עוברת בנקודה מסוימתואני מפתח לה טור חזקות נניח עם רדיוס 1, אז זה אומר שזאת נקודת פיתולאיך אני מוודא לאחר הפיתוח שהפונקציה שווה לטור בקטע?וגם פה שאלה 4 כוון כללי אם אפשר. אנחנו (בקבוצה של ד"ר שיין) לא הזכרנו את המשפט הזה בהרצאה.אשמח אם תכתוב פה את נוסח מדויק פחות או יותר של המשפט, עם כיוון פחות או יותר להוכחה שלו.http://moodle.technion.ac.il/file.php/1098/Exams/2004-2005-spring-test-a.pdf
===תשובה===
נסתכל על פיתוח טיילור <math>f^{(2)}(c)(xהוא שווה לפונקציה רק ברדיוס ההתכנסות. מה הכוונה איך אתה מוודה? אם פתחת נכון זה חייב להיות שווה -x_0)^2/2=fהצעדים שלמדנו לפיתוח פונקציה לטור חזקות הם צעדים בהם השיוון בסוף חייב להתקיים (xלמשל פונקציה קדומה ששווה בנקודה אחת לטור החזקות [עדיף לבדוק את הנקודה אפס כמובן])-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)</math>. משמאל זו השארית, ומימין זה ההפרש בין הפונקציה לבין המשיק בנקודה <math>x_0</math>. ברור שהסימן של הצד השמאלי נקבע אך ורק על פי סימן הנגזרת השנייה, כאשר <math>c</math> נמצא בין <math>x</math> ו <math>x_0</math>.
לכן אם הנגזרת השנייה מקבלת סימן אחד בסביבה ימנית של <math>x_0</math> וסימן הפוך בסביבה שמאלית, אז בצד עם הסימן השלילי הפונקציה מתחת למשיק, ובצד עם הסימן הימני הפונקציה מעל המשיק. ולכן זו נקודת פיתול.
זו אגב גם ההוכחה למה שרשמתי כשקורה שמתאפסות כל הנגזרות עד שלב n.לגבי השאלה השנייה כבר שאלו אותה, תסתכל בארכיון 17
:היי ארזאבל אתה יודע שאם קיים טור חזקות המקדמים הם אלו של טיילור, אנא קרא זאת בעיון: מה שאתה רשמת, מוכיח שאם הנגזרת השנייה בנקודה כלשהי היא חיובית אז למשל הפונקציה קעורה בה כלפי מעלה, ולהפך. נקודת פיתול לפי ההגדרה f(0)=0 f(x)=exp(-1/x^2) sהיא נקודה אשר אם מעבירים בה משיק אז מצד אחד המשי שווה לטור החזקות רק באפס למרות שהטור מתכנס בכל הישר (הוא מעל הפונקציה ומהצד השני הוא מתחת לפונקציה. ההגדרה של נקודת פיתול כלל לא מדברת על שינוי קעירות. אם אנחנו יוצאים מנקודת הנחה שנקודת פיתול היא נקודה בה הפונקציה משנה קעירות אז תמיד אפס כי כל הנגזרות באפס הן אפס)מה שרשמת אכן מוכיח זאת, אבל אני לא רואה שאני שואל זה איך מההוכחה שלך נובע שזאת נקודת פיתול לפי ההגדרה שלה. ההוכחה צריכה להתמד במשיק אך ורק בנקודה x0 עצמה. אגבהייתי יודע להבחין שהם שווים רק באפס למרות שהטור מתכנס תמיד, פיתוח הטיילור שלך רק שזה לא נכון.תמיד לערך הפונקציה?
(זה לא ארז) בפיתוח הטיילור צריך להיות באגף ימין מינוס f(x0) , אבל זה לא משנה את ההוכחה... וארז דווקא כן הוכיח לפי הגדרה- הוא הראה שההפרש בין הפונקציה לבין המשיק בנקודה x0 הוא חיובי,כלומר שהפונקציה מעל המשיק בנקודה x0, לכל x>x0 ולהפך בצד השני...כלומר הוכחה של נקודת פיתול לפי ההגדרה. בהוכחה מתייחסים למשיק בנקודה קבועה x0 ולא בנקודה משתנה x...
::תודה על התיקון יש שם עוד כמה טעויות, תקנתי את הנוסחאאל תבלבל. מה שאמרת נכוןהקטע עם הבדיקה בנקודה זה רק כאשר הוכחת שהפונקציה שלך היא קדומה של טור חזקות כלשהוא ועשית אינטגרציה איבר איבר. פשוט צריך לשים לב שהמשיק בנקודה x_0 הינו <math>y=f'באופן כללי למדתם משפט אחד שמאפשר לכם להניח שטור החזקות עם מקדמי טיילור הוא אכן הפונקציה וזה כאשר הנגזרות חסומות (x_0ראה את ההשלמה). במקרים אחרים (x-x_0) + f(x_0כמו זה שתארת)</math>אסור סתם להניח שיהיה שיוויון.
:::אני חושב שהבנתיכן, תודה. :אבל בתכלס אם קיים טור חזקות המקדמים שווים למקדמי טיילורמה שאתה אומר זה להתייחס "כאילו" אנחנו לא יודעים את זה ולעבוד בשיטות אחרות כן? (במקרה והנגזרות לא בהכרח חסומות)
::::ואיך מוכיחים שבנקודת פיתול פונקציה משנה כן. יכול להיות שתשתמש בטריק כי אתה לא יודע להוכיח שהפונקציה שווה לטור חזקות, אבל גם יכול להיות שזה פשוט יהיה קל יותר מאשר לחשב את הקעירות שלה?הנגזרות מכל סדר...
::::: כי אם יש נגזרת שניה רציפה בסביבה של נקודה, ואם היא חיובית בנקודה, אז הפונקציה קמורה כלפי מעלה בנקודה. זו בדיוק אותה הוכחה כמו למעלה, כי אם הנגזרת השנייה חיובית בנקודה היא חיובית בסביבה שלה (רציפות) ולכן בכל נקודה פרט לנקודת הפיתול הנגזרת השנייה היא בעלת סימן חיובי או שלילי בצד החיובי הפונקציה קמורה כלפי מעלה, ובצד השלילי כלפי מטה.סבבה תודה רבה
::::::אז באופן כללי, אם הנגזרת השנייה אינה רציפה בסביבה של נקודת פיתול כלשהי, יכול להיות שהפונקציה לא תחליף שם את הקמירות שלה?==שאלה==
המבחן ב15::::::: האמת שאני לא יודע :) אני לא מצליח לחשוב על דוגמא30 נכון? כמה זמן הוא יארך???
כן, שעתיים ==שאלה== למה הסיגמה של 2*(n+1)*3^n חלקי שורש שלישי של n! מתכנס?::::::::אז בעצם, הקשר בין נקודת פיתול והחלפת הקמירות הוא כלל לא כזה הדוק. ראינו שיכול להיות שפונקציה תחליף אתה מתכוון ל<math>\sum \frac{2(n+1)3^n}{\sqrt[3]{n!}}</math>? תקח את הקמירות שלה בנקודה שאינה נקודת פיתול, ומההגדרה של נקודת פיתול לא נובע באופן ישיר שהיא מחליפה בה קמירותהשורש הn-י ותקבל 3 חלקי אינסוף כלומר שואף לאפס (הרי <math>\sqrt[n]{n!}\rightarrow \infty</math>) ==התכנסות אינטגרלים==האם האינטגרלים הבאים מתכנסים???* <math>\int_{0}^{1} \frac{\theta}{\ln(\theta)}d\theta</math>. * <math>\int_0^1 \frac{dx}{\ln(x)}</math>* <math>\int_{r=0}^{r=1} \frac{\sin(r^2)}{r}dr</math>.האם אני צודקאפשר לומר באינטגרל השלישי ש-<math>\int_{0}^{1} \frac{\sin(r^2)}{r}dr \leq \int_{0}^{1} \frac{r^2}{r}dr = \int_0^1 rdr = 1/2</math>, ואז עפ"י השוואה???
==שאלה 2 - חקירת פונקציות של ערך מוחלט==
כיצד ניתן לחשב נגזרת שנייה של ערך מוחלט? הצלחתי לחשב נגזרת ראשונה ע"י זה שנעזרתי ב-sign כנגזרת של ערך מוחלט כשהיא מוגדרת בפונקצייה, אבל איך אפשר להמשיך? גם כשניסיתי לחשב לפי הגדרת הגבול של הנגזרת (השנייה) קבלתי ביטוי באורך של שורה שכולל sign של לא מעט ביטויים (ארבעה, ליתר דיוק)... איך אפשר לפשט את זה?
===תשובה===
לא לשכוח לבדוק אם האינטגרל הוא אמיתי בכלל או לא. למשל השלישי הוא פשוט מאד: בעל אי רציפות סליקה באפס ערך מוחלט לא גזירה ולכן אין לה נגזרת שנייה שם. בכל מקום אחר הנגזרת הראשונה הינה קבועה בסביבה אינטגרבילי (אחד או מינוס אחדגם מה שרשמת נכון אבל בלי קשר) ולכן הנגזרת השנייה של ערך מוחלט הינה אפס בכל מקום פרט לנקודה אפס שם היא אינה מוגדרת.
בראשון ובשני הצד הבעייתי הינו 1. ניתן לבצע מבחן ההשוואה עם <math>\frac{1}{1-x}</math> ==שאלה== נתונה פונקציה f(x) בקטע [a,b] ונתון שהיא חסומה על ידי M. צריך להוכיח שאם f אינטגרבילית זה גורר ש-f^2 אינטגרבילית. חסימות זה לא בעיה, אבל הסתבכתי עם התנאי השני אני יכול להשתמש במשפט שאם הפונקציות f,g אינטגרביליות בקטע כלשהו אז גם f כפול g אנטגרבילית שם, כאשר במקרה הזה g=f? :אההה יפה מאוד(לא ארז/תומר) ענו כבר על השאלה הזאת... לדעתי אי אפשר להשתמש במשפט, למרות שהוא נכון, תודה רבה כי אז התרגיל טריוויאלי. :הנה ההוכחה- יהי אפסילון גדול מאפס. בכל קטע g(x1)! ויש לי עוד שאלה - רק כדי להבין עד הסוף g(x2)=(f(x1)+f(x2))*(f(x1)-f(x2)<2M*W כאשר W היא התנודה של f בקטע. (g מוגדרת כ f בריבוע). מאינטגרביליות f קיימות חלוקה עבורה סכום התנודות קטן מאפסילון חלקי 2M. ועבור אותה חלוקה בפונקציה g סכום התנודות יהיה קטן מאפסילון. תומר - כמו שנקודה אינה קיצון ומה עם מידת נקודות אי רציפות ? אם הפונקצייה אתם יודעים שהפונקציה אינטגרבילית זה אומר שמידת קבוצת נקודות האי רציפות שלה היא אפס . מה עם נקודות האי רציפות של הפונקציה בריבוע ? האם היא מוכלת בזו של הפונקציה המקורית ? ואם כן מה זה אומר על מידתה ? ... ==שאלה==צריך להוכיח שהטור הבא מתכנס במ"ש. f(x)= sum from 0 to infinity of (e^-nx)* cos(nx) s בכל קטע (a, infinity] כאשר a>0 ניסיתי עם מבחן ה- m ולא הצלחתי.מישהו?אפשר להשוות עם e^-n במבחן הM לא מוגדרת בה? :(לא ארז/תומר) אני חושב שצריך להשוות עם e^-an ... עם e^-n וזה עובד. עכשיו בסעיף הבא הם רוצים להוכיח/להפריך שf(x) שזה הסכום הוא פונקציה רציפה ב(o, כך גם infinity). הבעיה זה שזה קטע פתוח ולא סופי.. עדין אפשר להשתמש במשפט על טור של פונקציות רציפות המתכנס במ"ש? :תמיד משתמשים באותו טריק (לא התעמקתי בשאלה, מקווה שרלוונטי) אם ההתכנסות היא במ"ש על כל תת קטע סגור וסופי אז יוצא שפונקצית הגבול רציפה בכל נקודה אינה פיתול בלי שתהיה התכנסות במ"ש על הקטע האינסופי/פתוח כולו. == תרגיל 11 ==מישהו יכול לכתוב שוב את הלינקים לתרגילים שבתרגיל 11, הלינקים לא עובדים לי. :ארכיון 16... ==שאלה==מתי יפורסמו ציוני התרגיל והבוחן (אני יודע שיש לנו אותם, הכוונה עם פקטור, וציוני תרגיל 8/10 אם הנגזרת אני לא מוגדרת בהטועה) והאחוזים מהציון הסופי?
::נכון. * קיצון היא נקודה שיותר גדולה או קטנה מכל הנקודות בסביבתה, לכן אם הפונקציה אינה מוגדרת בנקודה, היא בוודאי אינה יותר גבוהה או קטנה.* פיתול היא נקודה אשר בסביבה בצד אחד שלה הפונקציה מעל המשיק, והמצד השני מתחת למשיק. אם אין נגזרת ראשונה בנקודה, בוודאי אין משיק בנקודה, ולכן ההגדרה לא מתקיימת.*הערה-אבל בכלל התייחסות למשיק בנקודה הזאת. מדובר על המשיקים של הנקודות מימין ומשמאל לנקודה. אני לא מוצא קשר לנקודה עצמה.מצטרף!!
לאתומר - יפורסם בשעות הקרובות . אני מציע שתסגרו על ההגדרה. נקודת פיתול מוגדרת כך:*קובעים את המשיק בנקודה עצמי עוד בודק תרגילים שהוגשו באיחור(!). סבלנות .*אם קיימת סביבה, בה מימין לנקודה הפונקציה מעל המשיק שקבענו, ומשמאל מתחת (או להפך) זו נקודת פיתול. יש חדש?
==שאלה==
בקשר לקעירות כלפי מעלה/מטהאוקי, יש דבר שאינו מובן נניח ויש ליסדרת פונקציות, ואני צריכה לבדוק לאילו ערכי אלפא הסדרה מתכנסת במ"ש ב0,אינסוף (חצי סגור) וב[0,1]. קודם כל, מגדירים קעירות בנקודה או בקטע? אם מגדירים בנקודה, לא ברור איך אפשר להוכיח שבנק' פיתול פונקציה משנה בדקתי את הקעירות0 אינסוף, והגעתי לזה שעבור אלפא קטן מ2 ==> הסדרה מתכנסת במש. אם מגדירים בקטעהתחום השני, אז[0, 1], מוכל בתחום הראשון - ונניח שהגעתי לזה שהסדרה מתכנסת במש בתחום זה אומר שאם קבענו נקודה x0, ואז ב(x0,אינסוף) אנחנו רואים שהמשיק מתחת לפונקציהעבור אלפא גדול מ2-. מכיוון שהתחום מוכל, זה אומר שהיא קעורה כלפי מעלה בכל הקטע הזה? זה לי גם לא נכון..שבפרט הסדרה מתכנסת במש גם עבור אלפא קטן מ2, וביחד - עם שתי המסקנות האלה - מתכנס לכל אלפא?
===תשובה===
לכאורה כן, אני לא מבין מה השאלה הזו נשאלה מספר פעמים כבר בדיון הזה.הרי ברור שאם זה מתכנס במ"ש לכל אלפא גדול ממינוס 2 או קטן משתים בפרט זה מתכנס לכל אלפא. השאלה האמיתי היא אם החישובים שלך נכונים.:השאלה היא כזו - הוכחתי שעבור אלפא קטן מ2 זה מתכנס במ"ש ב0,infinity. רק רציתי לוודא שזה אומר שעבור אלפא קטן מ2 זה מתכנס במ"ש גם ב[0,1]. זה נכון?
מכיוון שאני ::הדגש הוא על הקטע הסגור? אם יש התכנסות באפס אז כן, אם לא אז לא בטוח מה ההגדרות המדויקות שהמרצים נתנו לכם:::כן, קשה לי להגיב מדובר על זהקטעים סגורים.תודה:)
נקודת פיתול מוגדרת כפי שהגדרתי למעלהאני טועה או שבהתחלת ההרצאה האחרונה רוני אמר שבטווח שבין רדיוס ההתכנסות לבין המינוס שלו(לא כולל הוא עצמו)- הפונקציה מתכנסת, וקעירות מוגדרת בנקודהואח"כ הוא אמר שהיא גם מתכנסת במ"ש בכל קטע סגור שמוכל בקטע הזה..... האם המשפט שאומר שבנקודת פיתול הפונקציה משנה קעירות נוסח בכיתה? האם הוא הוכח? :זה נכון לגבי טור חזקות, אני חושב שזו שאלה למרציםלא בטוח איך זה קשור פה.
:לא נוסח ולא הוכח, אבל :יש עוד מקום עם רדיוס התכנסות חוץ מטור חזקות??? ושאלתי כי זה הקריטריון שהשתמשנו בו בתרגול כדי לקבוע אם הנקודות החשודות הן אכן נקודות פיתול. המשפט הזה נראה לך נכוןלי מוזר להוכיח משהו ואז להוכיח משהו ותר חזק במקום להוכיח ביחד. למה פה? איפה עוד אני יכול לכתוב???
::בכיוון אחד הוא נכון כפי שהוכחתי באתר:לא פה בפורום, כלומר אם הנגזרת השנייה מחליפה סימן, סימן שזו נקודת פיתולהתכוונתי פה בשאלה הזו. המקרה קצה שלגביו אני לא בטוח הוא כאשר הנגזרת השנייה אינה רציפה.. רדיוס התכנסות זה מושג של טור חזקות, ואז קשה לדבר וכאן מדובר על הקעירות של הנקודות בסביבהסדרת פונקציות.
==שאלה==יש תאריך לבוחןמצטער על הבורות רגע לפני המבחן- מה זה גזירה איבר-איבר?ואינטגרציה איבר איבר? בבקשה שלא יהיה מסובך.... ===תשובה===נניח ויש לך טור מתכנס <math>g=\sum f_n</math>. השאלה היא מהי הנגזרת של g. אם מותר לגזור איבר-איבר אזי <math>g' = \sum f_n'</math>. שים לב שזה לא תמיד נכון, רק כאשר המשפטים מאפשרים לגזור איבר-איבר. אינטגרציה זה דומה <math>\int g = \sum \int f_n</math>
==שאלה==
ראיתי פה ששאלו את אם טור חזקות מתכנס גם בR וגם בR-, זה כבר אבל בכל זאתאומר שהוא מתכנס במ"ש ב[0, איך אני מוצא נק' חיתוך עם ציר הR] וב[-X R,0] ואז זה אומר שהוא מתכנס במ"ש ב[-2BR,R]?
זה שזה לא ממש מדוייק זה מובן לי, אבל אני לא יודע איך למצוא אותן ממש===תשובה===כן. באופן כללי אם טור מתכנס במ"ש בשני קטעים סגורים צמודים הוא מתכנס במ"ש באיחוד הקטעים. כי מהירות ההתכנסות עבור אפסילון היא המקסימום בין שני הn_0 של שני הקטעים.
תודה== :)==שיהיה בהצלחה לכולם! לא פחות מ100 :)
תומר - מצטרף ! שיהיה בהצלחה לכולכם - במבחן הזה ובכל אלו אחריו :מה זאת אומרת? לא צריך למצוא אותן ממש):תודה, ותודה לכם על סמסטר נפלא (עד כמה שהיה אפשר. אתה יודע "בערך" איפה הןאינפי, מספיק בשביל לסרטט ולהבין את הפונקציהאתם יודעים).תודה על התרגולים המצויינים, אפילו שהיו יותר מידי אנשים בכיתה... ותודה על ההשקעה בנו ועל כל העזרה (האתר, וכל דבר אחר). אולי תהיו מתרגלים שלנו באינפי 3?:ושיהיה בהצלחה לכולם!
אוקי==לארז ולתומר==רגע אחרי המבחן, וכמה ימים לפני שהאתר יתחיל לשמש, כנראה, תיכוניסטים תמימים שצעירים מאתנו בשנה, ואתם אורזים את הכל בשבילם, רציתי לומר לכם, לשניכם במ"ש, ת-ו-ד-ה ר-ב-ה!! על כל ההשקעה, הזמן, הרצון והכוח שהיה לכם להתמודד עם שתי קבוצות רועשות כמו שלנו, ועוד בקורס קשה כמו אינפי 2! שיהיה לכולנו המון בהצלחה בהמשך! מצטרף בהחלט, המון תודהלשניכם, ואולי נתראה בהמשך...:מצטרפת.. ממש תודה על הכול! מה נעשה בלי Math-wiki..מצטרף! זה לא מובן מאליו... ועם זאת, מתי נדע כמה פקטור יהיה(בטוח יהיה...!!) ::תודה רבה על כל האיחולים - המתרגלים. (בלי קשר, אני אפרסם עוד כמה דקות פתרון למבחן בדף הקורס) אני מסכים לגמרי עם כל השאר. אתם באמת השקעתם את כל כולכם בנו ובהצלחה שלנו. באמת רואים שאכפת לכם מאיתנו למרות כל הקיטורים, בקשות לדחיות, התחננויות ולפעמים אף בכי P=אני רק לא מבין משהו אחד. ניסיתי להבין מה הייתה התועלת בשיעורי חזרה ובתרגולים הנוספים שעשיתם, ואני לא מוצא בהם תועלת למבחן... לא עשינו אפילו תרגיל אחד שהיה אפילו דומה לשאלות שהיו במבחן (אני לא מתכוון לשאלות בדיוק כמו שהיו במבחן, אבל לפחות בסגנון ובנושאים)... כאילו שמתם דגש בשאלות לא דומות למבחן בשביל מה? הרי ראיתם את המבחן כבר... לי אישית היה די קשה להגיע לבר אילן,לתירגולים, באותו היום אבל הגעתי בכל זאת כי חשוב לי להצליח במבחנים (כמו לכולנו), אבל בתכלס שאני מסתכל על היעילות שלהם לאחר המבחן לא עזר בכלל, אלא להיפך.כל מה שאני מנסה להגיד, זה שבתרגולי חזרה לפני מבחן, תעזרו קצת יותר בכך שתתרגלו אותנו נכון, ולא לבלבל לנו את השכל עם שאלות לא קשורות בכלל... אחר כך מתלוננים שאנחנו לא מקבלים ציונים נורמלים ואתם נאלצים לעשות פקטור סתם!תודה על הכול (וזה בשיא הכנות) כי באמת השקעתם בנו ===תשובה===אני אענה לשאלה שלך בשני מישורים* הראשון והחשוב יותר: מטרתנו הראשונה והעיקרית כמורים הינה ללמד אתכם מתמטיקה ו'''לא''' להכין אתכם למבחן. הכנה למבחן הינה משנית (אמנם חשובה גם כן). קשה להגיע לבר אילן גם במהלך הסמסטר, אך אתם מגיעים על מנת ללמוד. הסיבה שאנו רואים את המבחן קודם לכן היא בעיקר על מנת לוודא איכות שלו (שאין טעויות, רמה סבירה וכדומה), עלינו להעביר שיעורי חזרה כאילו לא ראינו את המבחן. *שנית, אני אפריך לחלוטין את הטענות שהעלאת:**שיעור ההשלמה היה חלק מחומר הקורס וכלל שאלה שהופיעה כלשונה במבחן! (הוא היה לפני שראינו את המבחן). אז כבר 20 נקודות מתנה על שיעור ההשלמה והחומר שהועלאה לאתר (אני לא העברתי את השאלה פרונטלית אבל תומר כן). אמרנו לכם לקרוא את שיעור ההשלמה.**שיעור החזרה כלל שאלה כמעט זהה לחלוטין לשאלה 3 מהמבחן (אני העברתי אותה ותומר לא).**יום או יומיים לפני המבחן עניתי באתר על שאלה דומה לשאלה 2 במבחן, והדגשתי דברים שלא היו בשאלה המקורית כי ידעתי שזה יעזור למבחן.**שאר השאלות, בוודאי היו דומות והתעסקו בנושאים דומים... מעבר לכך, תודה על ההכרה בעבודה שלנו. תאמינו לנו שמה שעכשיו נראה לכם לא כיף, בעתיד אתם תראו כאתגר שהצלחתם בו. החיים הם לא מיטת שושנים, ומי היה רוצה לישון במיטת שושנים בכלל? זה דוקר!:זה לא רק דוקר, זה גם צמיגי :P::מתי יעלו ציוני תרגיל? :::אנחנו נעלה אותם היום==יש לי שאלה==האם בשאלה 4ב במבחן היה אפשר להגיד שההתכנסות היא ל0 כי תנאי הכרחי להתכנסות הטור היא שאיפת האיבר הכללי לאפס(הוכחה של התכנסות לאפס לא התכנסות במש)? ===תשובה===כן, זה מוכיח בהחלט התכנסות נקודתית לאפס (ולא במ"ש כפי שציינת)
==שאלה==
זה אמנם לא קשור לאינפי, אבל רציתי לדעת האם המבנה של המועד ב' בלינארית יהיה זהה לזה של המועד א'.
אני התחלתי ללמוד למועד ב' ואני פשוט חוזר על משפטים ותרגילים ורציתי לדעת למה מופיע לי ציון 0 בתרגיל מספר 2 אם משהו אמור להשתנות, אוהגשתי אותו? :S :זו שאלה פילוסופית? ==הודעה==
שיש דברים מסויימים שאני סתם עושה אותם, נגיד כמו ללמוד הוכחות יש ציונים!!== מבחן == היה פקטור במבחן? ואם כן של משפטים.כמה?
ארז, אשמח אם תוכל לתת מצטרף לשאלה... מאוד חשוב לנו קצת מידע על המועד לדעת האם להגיש ערעור או שלא.... והאם לגשת למועד ב' ועל המבנה שלואו לאבקיצור ממש חשוב לנו לעת האם היה פקטור...
תודה:תשאלו את המרצים, אנחנו (המתרגלים) לא יודעים.