'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 6| ארכיון 6]]''' - תרגיל 6
'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 7| ארכיון 7]]''' - (מי עוקב)
'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 8| ארכיון 8]]'''
'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 9| ארכיון 9]]''' - לקראת הבוחן
'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 10| ארכיון 10]]''' - פוסט בוחן
'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 11| ארכיון 11]]''' - תרגיל 9
'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 12| ארכיון 12]]''' - תרגיל 9
'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 13| ארכיון 13]]''' - תרגיל 10
'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 14| ארכיון 14]]''' - תרגיל 10
'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 15| ארכיון 15]]''' - תרגיל 10
'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 16| ארכיון 16]]''' - לקראת המבחן
'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 17| ארכיון 17]]''' - לקראת המבחן
=שאלות=
==שאלה==
יהיה במבחן פונקציות עם שתי משתנים?
:לא שידוע לי, אם המרצה אמר שיהיה אז יהיה, אם לא אז לא
תומר - מה פתאום שיהיה משהו שלא למדתם ??? הגיון חבר"ה , הגיון !
==שאלה==
תחת אילו תנאים ניתן לומר שאינטגרל על סכום אינסופי של פונקציות שווה לסכום האינסופי של האינטגרלים של הפונקציות?
תודה
תומר - מפנה אותך לנוסח משפטים המתאימים ! יש משפטים שמתארים תנאים מספיקים לכך . ייתכן שיהיו מצבים נוספים שזה יתקיים אבל אז צריך לבדוק כל מקרה לגופו.
==שאלה==
בתרגיל 6נניח יש לי טור פונקציות שרץ על fn (הסדרה המזהה שלו). למה אם הטור |fn| מתכנס במ"ש בI, אז גם הטור המקורי מתכנס במ"ש בI? *נקודתית זה ברור מאינפי 1. לבמ"ש ההוכחה דומה. שארית הטור לא בהחלט קטנה משארית הטור בהחלט, כלומר הטור לא בהחלט מתכנס מהר יותר מאשר הטור בהחלט. ועוד שאלה: אם יש לי סדרת פונ' fn כך ש|fn| מתכנסת לפונ' גבול כלשהי f במ"ש, האם מותר להשתמש בעובדה שאם פונקצייה היא איזה אומר שfn המקורית מתכנסת לf1 כלשהי במ"ש? *ברור שלא.... אינפי 1. <math>fn=(-שלילית1)^n</math> לא מתכנס בכלל, אז גם כל אבל הערך המוחלט מתכנס במ"ש. יש טעות בסיכום במשפט פרמה, לא? המשפט הראשון בעמוד הראשון של הסיכום...התנאים לא צריעכים להיות הפוכים??? *נכון מאד, הסרתי את הסיכום. המשפט אומר שאם יש מקסימום/מינימום והפונקציה גזירה הנגזרת הינה אפס. בוודאי שאם הנגזרת אפס אין שום הכרח שיהיה מינימום/מקסימום (לדוגמא x^3). שאלה:איך מוגדר אינטגרל בכל קטע של הפונקצייה יהיה איפונקציה ממינוס אינסוף לאינסוף? הגבול כאשר c רץ לאינסוף של אינטגרל של הפונקציה מ c-שליליעד c או פשוט פיצול לשני אינטגרלים לא אמיתיים ואז כל אחד שואף בקצב שלו? זה משנה כי במקרה של פונקציה איזוגית-למשל x באפשרות הראשונה זה 0 ובשניה אינסוף פחות אינסוף שזה מתבדר.....(נכון?)תודה. *הוא מוגדר בתור הסכום של שני אינטגרלים לא אמיתיים. האינטגרל על הפונקציה x למשל מתבדר. למה אם f פונקציה רציפה, מחזורית ואי-שלילית בממשיים(f אינה זהותית אפס) אז הגבול של f(x)/x^3 אינו אפס כאשר x שואף לאינסוף?? הרי f חסומה מהנתונים,לא? רוני נתן שאלה כזאת ואמר להוכיח שהאינטרגל של f(x)/x מ1 עד אינסוף מתבדר. ואם הגבול שאמרתי מקודם שווה ל0 אז לפי מבחן ההשוואה האינטגרל מתכנס, אז כנראה שהגבול איננו 0,למה???
===תשובה===
כןתומר - כמה שאלות , כמה שאלות ! :) לשאלה הראשונה על התכנסות עם ערך מוחלט גוררת התכנסות בלי , במידה שווה - ראה משפט שהוכחתם . או - אפשר לנסות לבד פשוט ביישום של קריטריון קושי להתכנסות במ"ש ! . אינטגרל ממינוס אינס' לאינס' מוגדר על ידי פיצול באיזו נקודת ביניים - אבל בכל אופן כאשר הגבולות שלהם - אחד עם פרמטר לאינסוף ושני עם פרמטר למינוס אינסוף - הם לא תלויים אחד בשני ! ובטח לא ממינוס סי לסי כאשר סי שואף לאינסוף . זהו אינטגרל שקיים בשימושים אבל יש לו שם - PRINCIPAL VALUE - אבל זה גם טיעון טריוויאלילא האינטגרל בקורס שלנו !!! . לגבי שאלה אחרונה - תן בבקשה את ניסוח השאלה המלא כדי שאוכל להתייחס . ==שאלה מסודרת ==נתונה פונקציה fרציפה,מחזורית ואי-שלילית ב-R. היא אינה זהותית 0. הרי הוכח: האינטגרל של f(x)/x מ-1 לאינסוף מתבדר. תוכל גם להגיד לי למה אי אפשר להוכיח שזה מתכנס עם שימוש במבחן ההשוואה השני? כי f לפי הנתונים חסומה,לא? ואז הגבול של (f(x)/x)/x^2 שווה לאפס ולפי המבחן f(x)/x מתכנס, כי האינטגרל של x^2 מתכנס... ===תשובה===(לא ארז/תומר) נראה לי שהטעות שלך היא כזו , כשאתה עשית את מבחן ההשוואה, עשית את זה עם הפונ' x^2 והאינטרל של זה מתבדר בקטע 1 עד אינסוף (אתה מתבלבל עם 1/x^2). :אבל אמרתי בקטע 1 עד אינסוף...לא מאפס!::הוא גבול סכומי רימןהעיר לך על הפונקציה ולא על הקטע. x^2 זו פונקציה ששואפת לאינסוף ובפרט אינה אינטגרבילית על הקטע האינסופי. ובנוגע להוכחה , וסכומי הרימן אני עשיתי את זה בדרך הבאה: נסמן את המחזור של F כ-T, אנחנו יודעים שהפונ' אינה זהותית אפס, לכן יש נקודה X0 בקטע [1,1+T] כך ש- (''f''(''x0'' שווה ל-M גדול ממש מאפס. מכיוון ש-F רציפה יש סביבה [a,b] של X0 כך שכל ס בקטע מקיים f(x)>M/2 (או אפילו גדול שווה, זה לא משנה) וכעת, מכיוון ש-F אישלילית , נגדיר פונקציה חדשה G להיות M/2x בכל קטע מהצורה [a+n*T,b+n*T] כאשר n טבעי ואפס בכל נקודה אחרת. ברור כי שתי הפונ' אי שלילית הינם אי שלילייםשליליות, אינטגרביליות בכל קטע מהצורה [one,R] כש- R>1 (F רציפה בכל קטע כזה, ול-G יש מספר סופי של נקודות אי רציפות מהסוג המתאים) ולכן אם האינטגרל של G בטע 1 עד אינסוף מתבדר, כך גם הגבול אי שליליהאינטגרל הלא אמיתי של F. ועכשיו, להראות שהאינטגרל של G בקטע 1 עד אינסוף מתבדר, זה לא כזה מסובך (אני עשיתי לפי קריטריון קושי, אבל אני בטוחשאפשר בעוד דרכים, ואין לי כח לכתוב את זה) ובסה"כ קיבלנו שהאינטגרל של f(x)/x
==שאלה==
האם שאני עושה אינטגרל מסוים ומבצע הצבה t=x+something למה במבחן ההשוואה הראשון רוני ציין שאם 0<g ו f>g והאינטגרל של f מתכנס(לא אמיתי, אני מקבל אינטרגרל בשנ הסוגים הוא אמר ככה...) אז האינטגרל של t עם dtg מתכנס. אם אני משנה גבולות לגבולות מתאימים ל-tהוא לא אמר שאם g מתבדר גם f מתבדר, האם אני יכול לכתוב את זה כמו אינטגרל שתלוי בx dx עם הגבולות החדשים (כמו שעשינו בתרגול), במקום לכתוב את זה כאינטגרל של tלא נכון??
===תשובה===
באינטגרל המסוים שם המשתנה אינו חשוב. האינטגרל המסוים הינו '''מספר''' קבוע. האינטגרל הלא מסוים המשפט השני הוא פונציה קדומה במשתנה כלשהו. לכן באינטגרל הלא מסוים יש משמעות ליחס בין t לx שאלו המשתנים, ואי אפשר להחליף את השמות שלהם כרצוננוהיקש לוגי מהראשון. לא יכול להיות שf יתכנס אבל באינטגרל המסויםg יתבדר, יש לנו מספר קבוע ושם המשתנה אינו חשוב, כי ממילא הוא אינו יוצא מחוץ לאינטגרללכן אם g מתבדר אזי f מתבדר.
==שאלה בנוגע לפרסום התרגיל==שמתי לב שהתרגיל בתרגיל 11 שאלה 3 - לעוד מישהו יצא רדיוס התכנסות אפס?:: [לא תומר או ארז] לי דווקא יצא 1==שאלה==אם אני צריכה להוכיח שפונק' כלשהי היא אינטגברילית רימן, והראיתי שהסכום רימן שלה לכל חלוקה מתאימה ולכל בחירה אלפא חסומה בין הסכום רימן של פונק' אינטגרבילית(!) אחרת פחות אפסילון, ואותו סכום ועוד אפסילון. האם זה מראה לי שהפונק' שלי אינטגרבילית גם? ויותר מזאת, שואפת לסכום I של אותה הפונקציה השניה?:הסכום רימן של הפונקציה האחרת עבור אותה חלוקה? ומה זה האפסילון הזה והתרגיל הקודם פורסמו בימי שלישי ורביעי? במה הוא תלוי? ==שאלה==נתון כי f אינטגרבילית וחסומה ע"י M. אולי לקבוצה השנייה צ"ל שf^2 אינטגרבילית באותו קטע.יש דרך להראות את זה סבבה לא ע"י הרכבת פונקציות (שבדרך זו הנתון ע"י החסימות מיותר)?מהי הדרך? :הנתון על חסימות מיותר איך שלא תסתכל על זה, שכן זו פונקציה אינטגרבילית (ולכן חסומה) אבל למי שמגיש יש דרך להראות את התרגיל ביום ראשון כמוני יצטרך לעשות אותו שני ימים פחותזה חוץ מהרכבה של פונקציה רציפה ופונקציה אינטגרבילית? תומר - מידת קבוצת נקודות אי הרציפות של הפונקציה החדשה היא אפס ? ... אז מי שבקבוצה א' יכול להגיש את התרגילים במועד של קבוצה ב' או שאצטרך להשלים עם רוע הגזרה (סליחה על הטון המוגזם הזהלא ארז/תומר) כן יש פיתרון אחר, והוא בעזרת תנאי רימן לאינטגרביליות.f^2 חסומה (ברור), ונותר להראות את התנאי השני.בקשר אליו, קל להראות ש w(f^2)<= w(f)*2*M (כאשר w הוא התנודה בקטע), ומכאן קל להמשיך. מראים את זה קצת מבאס כך, לכל x1,x2 בקטע כלשהו מתקיים:$f(x1)^2-f(x2)^2<=(f(x1)-f(x2))*(f(x1)+f(x2)), ומכאן זה ברור ==שאלה==התבקשתי להביא דוגמה לסדרת פונק' fn רציפות ב[0,1] כך שfn(x)-->0 לכל X בתחום, אך האינטגרל של fn מ0 עד 1 אינו שווה ל0. - האם הפונקציה x^n(x^n-1) qq מקיימת את הדרוש?הפונק' אכן רציפות ב[0,1], פונקצית הגבול היא 0, אבל האינטגרל יוצא, אם אני לא טועה, 1/n פחות 1/(2n+1)..
===תשובה===
כרגע זה רוע הגזירהאתה בטוח שהאינטגרל שונה מאפס ולא '''שואף''' לאפס? כי כמעט כל סדרה שתבחר תעמוד בתנאי הראשון (למשל הסדרה של הפונקציות הקבועות <math>\frac{1}{n}</math>). אם אתה רוצה סדרה שהאינטגרל עליה אינו שואף לאפס, נשתדל לפרסם את התרגיל יותר מוקדם בפעמים הבאותקח סדרה של פונקציות הבאה: הגרף של הפונקציה ה-n הוא משולש עם בסיס <math>\frac{1}{n}</math> בגובה 2n וכל שאר הפונקציה היא אפס. הסדרה הזו שואפת לאפס (כמובן שלא במ"ש) והאינטגרל על כל פונקציה בסדרה הוא תמיד 1.
==שאלה==
נראית נחמדה. f:[0,1] ---> R היא פונקציה רציפה אי שלילית המקיימת f(x)<=sinx לכל x בתחום. צריך למצוא את כל פתרונות המשוואה:
cosx+quad(f,0,x)-1=0.
(קוסינוסX ועוד האינטגרל של f מ0 עד x פחות 1 = 0.)
מעבר לעובדה שx=0 הוא פתרון אחד של המשוואה, לא הצלחתי להוכיח שלא קיימים עוד פתרונות/למצוא פתרון נוסף. ניסיתי להניח שקיים ולהשתמש במשפט רול, ניסיתי להשתמש בזה שאי שיוויון ברמת הפונק' ==> אי שיוויון ברמת האינטגרל אבל בסופו של דבר לא הגעתי למשהו שמוכיח. יש רעיון למישהו?
::מישהו??
:::אם f=sinx אזי זו הפונקציה הקבועה אפס. אם f קטן ממש מהסינוס אזי הנגזרת בעלת סימן קבוע (שלילי) והפתרון היחיד הוא אפס
==שאלה==
אפשר להסתמך מישהו מוכן להסביר לי באילו מקרים כדאי לעשות גזירה איבר איבר, ומתי לעשות אינטגרציה איבר איבר? תודה.:כדאי? תמיד. מותר? כאשר יש התכנסות במ"ש לפי המשפטים שלמדתם בכיתה. ==שאלות מעניינות==* הוכח או הפרך:תהי <math>f_n(x)</math> סדרה של פונקציות גזירות ברציפות המתכנסות במ"ש לפוקציה <math>f</math>, אשר גם גזירה ברציפות,ב-<math>[a,b]</math>.אזי ש- <math>f_n' \rightarrow f'</math> במ"ש על הקטע <math>[a,b]</math>.* בנוגע למשפט דיני לטורים, נניח שיש לי טור <math>u(x)=\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)</math>, כך שאי שיוויון ממשש-<math>a_n(x)>0</math> והטור מתכנס ב-I. מתי אני יודע אם הפונקציה הגבולית רציפה, כך שאוכל להישתמש בדיני ולקבוע שההתכנסות במ"ש.נשמח לתשובה ממישהו,די דחוף!תודה!!! :) ברמת הפונקציה גורר אי שיוויון תומר - אם ניקח את הסידרה cosnx ונחלק הכל ב n . האם קיבלת סידרה שמתכנסת במ"ש ? ומה עם נגזרותיה ? ... לגבי דיני - פשוט לבדוק רציפות לפי הגדרה - גם לא אמרת שהפונקציות בסידרה רציפות - שים לב לתנאי המשפט ! . ==שאלה== שאלה שנתקעתי עליה ואשמח לכיוון: int(ממשarctan(x)/[(x*(ln(x+1))^2)], x = 0 .. infinity) ניסיתי דיריכלה, חשבתי על השוואה, ופשוט לא מצאתי. אשמח לעזרה ::מצטרף לשאלה!! איך פותרים את הדבר הזה? (לא ארז/תומר) ברמת תנסה השוואה עם אחד חלקי [x*ln(x)^2]. שים לב ש arctanx שואף באינסוף לחצי פאי, ושעם קצת אלגברה אפשר להוכיח שמנת ה-ln-ים שואפת לאחד. כדי להראות התכנסות של האינטגרל? החדש, אפשר להשתמש בהצבה t=ln(x), או שזו בעצם המהות לחילופין להשתמש במבחן האינטגרל+מבחן העיבוי לטורים תודה רבה :) זה לא נכון, כי יש בעיתיות גם בנקודה x=1 וגם באינסוף. ההשואה שנתת עוזרת רק לחלק של שאלה האינסוף : אבל אני לא חושב שאמורה להיות בעיה, כי זאת בעיה בנקודה, וזה לא אינטגרל לא אמיתי מסוג שני. ::אתה מפצל את זה לשני אינטגרלים: האינטגרל מ-1 עד אינסוף מתכנס (כי מורידים את ה-ln בעזרת אי שוויון והאינטרגל (arctanx/x^2 ואי אפשר להסתמך על ) מתכנס (השוואה עם 1/x^2)...::עכשיו בקשר לאינטגרל מ-0 עד 1 אתה יודע ש- ln(1+x)<x לכל x ב-[0,1] ולכן האינטרגל שלנו גדול מהאינטגרל של arctan(x)/x^4 וזה מתבדר ע"פ השוואה עם 1/x^4 שמתבדר בקטע [0,1], ולכן זהגדול מאינטגרל מתבדר וזה סה"כ מתבדר.(אשמח לקבל אישור מאחד המתרגלים =) ). :(לא ארז/תומר) עבור האינטגרל מ-0 עד 1, תנסה מבחן השוואה גבולי עם אחד חלקי x^2 . שים לב ש arctanx/x שואף לאחד וש ln(1+x)/x גם שואף לאחד כאשר x שואף לאפס. ובקשר לזה שכתב מעלי- ה-x במכנה הוא לא בריבוע... :: האמת שהאינטגרל המקורי היה בין 1 לאין סוף וזאת טעות שלי שכתבתי אפס, אבל זה באמת יהיה טוב לדעת מה קורה גם אם זה היה אפס.:: תודה לשניכם :) ==שאלות.==*arctanx חיובי בקטע 1,infinity לא? היה תרגיל באחד המבחנים ששמו ערך מוחלט מסביב לarctan, באנטגרל שהתחום שלו הוא תהחום המצוין..*במבחן ההשוואה הגבולי. מותר לי להשוות פונק' חיובית עם פונק' שלילית, אם הגבול יוצא חיובי? לדוגמה, הפונקציה sinx חלקי x*lnx. בתחום [0.5,1], נניח ואני רוצה להשוות עם sinx חלקי x-1..*כאשר אני מפצלת אינטגרלים ל2 תחומים שונים [עם דגש על השונים!]. אם אחד מהם מתבדר, כל האינטגרל המקורי מתבדר, נכון? בלי קשר לחיוביות/שליליות של אחת הפונקציות.. *בהמשך לשאלה שלמעלה - אם יש לי שאלה של 'לאילו ערכי אלפא', כאשר יש לי חיבור של 2 אינטגרלים - אחד ל"א מסוג ראשון והשני ל"א מסוג שני.. אז אם למשל עבור alpha>1 האינטגרל מסוג 1 מתבדר, אין מה לבדוק את האינטגרל השני גם? וזהו, תודה רבה!
===תשובה===
זו לא עובדה נכונה באופן כללי*כן הוא חיובי. איך אתה מגדיר *אם בתחום הפונקציה אי שיוויון ממש בין פונקציות? נניח ויש חיובית אז אם תכפלי אותה במינוס תקבל פונקציה שבנקודה מסויימת שווה לאחד, ובשאר הנקודות היא אפסאי שלילית. האם היא גדולה ממש מהפונקציה שהיא זהותית אפס להגדרתך? האינטרגל עליה שווה לאפס ממשכמובן שמכפלה במינוס לא משנה התכנסות אינטגרל*נכון.*נכון
בתרגיל זה::כן, יש להראות שאם הפונקציה רציפהאבל כשהפונק' הייתה שלילית, מספיק שהיא גדולה ממש מפונקציה אחרת בנקודה אחתהגבול יצא לי חיובי. אם אני כופלת במינוס 1, הגבול יוצא שלילי..:::לא יכול להיות שהגבול של המנה של שתי פונקציות אי שליליות יהיה שלילי::::::: כעיקרון אני מדברת על הפונקציה sinx חלקי x*lnx. בתחום [0.5, וגדולה שווה בשאר הנקודות אזי האינטגרל עליה גדול 1] אני משווה אותה עם sinx חלקי (זו מסקנה טריוויאלית מהתרגיל1 פחות X). ולכן כמובן יש להוכיח למה דווקא עבור פונקציה רציפה זה עובד, כי עבור פונקציות שאינן רציפות זה פשוט לא נכון (הדוגמא שנתתייום יבוא ואני אלמד להשתמש בכתיב המתמטי של ויקיפדיה... מצטערת על הסרבול). בכל מקרה, שתי הפונקציות חיוביות בתחום הזה. אבל הגבול של המנה, כאשר X שואף ל1 מצד שמאל, הוא מינוס אחת..
:לא הבהרתי כי ln שלילית בקטע הזה.::אוקי, אז בעצם מכפילים את עצמי מספיק טוב הפונק' המקורית ב1- התכוונתי אי שיוויון ממש מ0. כלומר - אם f(x)ואז מקבלים גבול חיובי, ואומרים שבגלל שהפונק' עם המינוס מתכנסת/מתבדרת ==>0 לכל X בקטע סגור כלשהו אז האינטגרל כך גם הוא גדול מ0 לכל X בתחום הסגור הנ"ל.הפונק' המקורית?
::איך זה מתקשר לשאלה 2? ושוב, יש לך הוכחה לטענה כזו? (ההוכחה תהיה בעקבות משפט לבג, הפונקציה תהיה רציפה לפחות בנקודה אחת בקטע (למעשה הרבה יותר) ואז שם תוכל לחזור על ההוכחה של שאלה 2).:::התכוונתי לשאלה 2 בתרגיל 6..נכון
==שאלה==התכנסות במ"ש של ערך מוחלט של טור הפונק' גוררת התכנסות במ"ש של טור הפונק'?::::אני יודע, וחוזר על השאלה. ההפך משווה זהותית לאפס לא אומר שזה גדול ממש מאפס בכל נקודה. מציע שתקרא שוב את מה שכתבתי..כבר נשאל בעמוד זה.כן מכיוון שהשארית של טור קטנה או שווה לשארית של הטור בהחלט
:::::נראה לי שהוא התכוון שהוא מניח בשלילה שקיימת נקודה עבורה הפונקצייה חיובית ממש==שאלה==*הסתבכתי, ומנסה לפתח את הביטוי לרמת האינטגרלאפשר עזרה?*נניח שהפונקציה f מוגדרת ורציפה בקטע סגור x=a..b הוכח כי הסכום מאחד עד אינסוף של f^n מתכנס במ"ש בקטע זה אם ורק אם הסכום הנל(f^n) מתכנס נקודתית בקטע זה.
::::::סבבה, ועבור נקודה אחת המשפט שהוא מנסה לומר נכון בלבד עבור פונקציה שרציפה בנקודה הזו, ואותו יש להוכיח.
::::::: הבנתיהשאלה לא מנוסחת טוב.. אז אפשר רמז לרעיון של ההוכחהמה זה f ומה הוא קשור?מה ההבדל בין סכום מאחד עד אינסוף לבין טור?תיקנתי... מה הבעייה בהגדרה של f פשוט פונקציה f(x)
:::::::אוקיי, וצריך ממש להוכיח את המשפט שאי-שוויון ברמת שאלתי מה הקשר של f. גם g היא פונקציה אבל היא קשורה לשאלה בדיוק כמו f... האם היא פונקצית הגבול של הטור? האם הפונקציות (כשהן בסדרה רציפות) גורר אי-שוויון ברמת האינטגרל, או שמותר להשתמש בו? לאיזה משפט התכוונת שצריך להוכיח?
צריך להוכיח את התרגיל כלשונו: (לא ארז וגם לא תומר) בעצם הכיוון המעניין היחיד הוא מהתכנסות נקודתית לבמ"ש. אם f^n מתכנס נקודתית אפשר לראות כי לכל x נקבל f(x<1 (בערך מוחלט, ללא עזר במשפטים אחריםהלוואי שזה לא היה קופץ כל הזמן). שאר הדברים שאמרתי נובעים מהתרגילf רציפה לכן הערכים שהיא מקבלת מהווים קטע סגורc,d בתוך [-1,1), קטע בו הטור x^n מתכנס במ"ש. ולגבי רמזלכן כל סדרת נקודות אינסופית שתבחר בa, תקרא את התשובה המקורית שלי עם הדוגמא הנגדית שאינה רציפהb עבור הטור לפי f שקולה בעצם לבחירת נקודות בc, ותנסה להבין מדוע ברציפה התרגיל נכוןd עבור הטור של x המתכנס שם במ"ש (ולפי מבחן הLIMSUP בעצם זה כל מה שצריך).
==מונוטוניות==בשאלה 4 אבל למה f(בתרגיל מס' 6x)בערך מוחלט קטן מ-1?:הסברתי במפורט בתשובה. צריך לא בהכרח f<1 פשוט אם הוא מתכנס הוא קטן מאחד ולכן מתכנס במ"ש. אם הוא מתכנס במ"ש ברור שהוא מתכנס. זה כל מה שצריך להוכיח באופן פורמלי שהפונקציה מונוטונית?.
===תשובה===
אם רוצים לטעון שפונקציה מונוטונית צריך אה.... התבלבלתי בין f_n לf^n.... מצטער. הכותב מעליי צודק שהטור מתכנס כאשר <math>|f(x)|<1</math>, והוא מתכנס במ"ש כאשר <math>|f(x)|<r<1</math> אבל בגלל שהפונקציה רציפה על קטע סגור ונניח מתכנסת בו אזי היא מקבלת מינימום ומקסימום ושניהם חייבים להיות קטנים ממש מאחד (אחרת היא לא הייתה מתכנסת בהם) ולכן התנאי מתקיים. * על מנת להוכיח שהוא מתכנס במ"ש בתנאי למעלה <math>|f(x)|<r<1</math> כל שצריך הוא מבחן הM<math>|f(x)^n|<r^n</math>. * על מנת להוכיח שהוא מתכנס עבור התנאי <math>|f(x)|<1</math> כל מה שצריך הוא להסתכל נקודתית על הטור <math>\sum |f^n(x)|=\sum a^n</math> כאשר <math>|f(x)|=a<1</math> וזה כמובן מתכנס. * טריוויאלי שהוא יתבדר בכל מקום אחר. * על מנת להוכיח שהוא לא מתכנס במ"ש אם לפונקציה לא היה מקסימום אבל הsup שלה היה אחד: ניקח סדרה <math>x_n</math> כך ש <math>f(x_n) \rightarrow 1</math> ולכן <math>\lim_{k\rightarrow \infty} sup|S(x)-S_k(x)|>\lim_{k\rightarrow \infty} |S(x_{n_k})-S_n(x_{n_k)}| = \infty</math> (נבחר את זהn_k על מנת שההפרשים ישאפו לאינסוף.אנחנו יודעים שזה מותר כי <math>f(x_n)\rightarrow 1</math>)
==שאלה==
בתרגיל 7 אם יש לי פונקציה ואני מפתח לה טור חזקות נניח עם רדיוס 1, איך אני מוודא לאחר הפיתוח שהפונקציה שווה לטור בקטע?וגם פה שאלה 74 כוון כללי אם אפשר...http://moodle.technion.ac.il/file.php/1098/Exams/2004- התוצאה שאני מקבל יכולה להיות משהו שתלוי ב2005-x כפול f של משהו שתלוי בspring-x? או צריך להיות ביטוי שתלוי רק בtest-x בלי f?a.pdf
===תשובה===
בוודאי תלוי בfהוא שווה לפונקציה רק ברדיוס ההתכנסות.מה הכוונה איך אתה מוודה? אם פתחת נכון זה חייב להיות שווה - הצעדים שלמדנו לפיתוח פונקציה לטור חזקות הם צעדים בהם השיוון בסוף חייב להתקיים (למשל פונקציה קדומה ששווה בנקודה אחת לטור החזקות [עדיף לבדוק את הנקודה אפס כמובן]) לגבי השאלה השנייה כבר שאלו אותה, תסתכל בארכיון 17 אבל אתה יודע שאם קיים טור חזקות המקדמים הם אלו של טיילור, למשל הפונקציה f(0)=0 f(x)=exp(-1/x^2) sהיא שווה לטור החזקות רק באפס למרות שהטור מתכנס בכל הישר (הוא תמיד אפס כי כל הנגזרות באפס הן אפס)מה שאני שואל זה איך הייתי יודע להבחין שהם שווים רק באפס למרות שהטור מתכנס תמיד, רק שזה לא תמיד לערך הפונקציה? :אל תבלבל.הקטע עם הבדיקה בנקודה זה רק כאשר הוכחת שהפונקציה שלך היא קדומה של טור חזקות כלשהוא ועשית אינטגרציה איבר איבר.באופן כללי למדתם משפט אחד שמאפשר לכם להניח שטור החזקות עם מקדמי טיילור הוא אכן הפונקציה וזה כאשר הנגזרות חסומות (ראה את ההשלמה). במקרים אחרים (כמו זה שתארת) אסור סתם להניח שיהיה שיוויון. כן, אבל בתכלס אם קיים טור חזקות המקדמים שווים למקדמי טיילורמה שאתה אומר זה להתייחס "כאילו" אנחנו לא יודעים את זה ולעבוד בשיטות אחרות כן? (במקרה והנגזרות לא בהכרח חסומות) :כן. יכול להיות שתשתמש בטריק כי אתה לא יודע להוכיח שהפונקציה שווה לטור חזקות, אבל גם יכול להיות שזה פשוט יהיה קל יותר מאשר לחשב את הנגזרות מכל סדר... סבבה תודה רבה ==שאלה== המבחן ב15:30 נכון? כמה זמן הוא יארך??? כן, שעתיים ==שאלה== למה הסיגמה של 2*(n+1)*3^n חלקי שורש שלישי של n! מתכנס?:אתה מתכוון ל<math>\sum \frac{2(n+1)3^n}{\sqrt[3]{n!}}</math>? תקח את השורש הn-י ותקבל 3 חלקי אינסוף כלומר שואף לאפס (הרי <math>\sqrt[n]{n!}\rightarrow \infty</math>) ==התכנסות אינטגרלים==האם האינטגרלים הבאים מתכנסים???* <math>\int_{0}^{1} \frac{\theta}{\ln(\theta)}d\theta</math>.* <math>\int_0^1 \frac{dx}{\ln(x)}</math>* <math>\int_{r=0}^{r=1} \frac{\sin(r^2)}{r}dr</math>.האם אפשר לומר באינטגרל השלישי ש-<math>\int_{0}^{1} \frac{\sin(r^2)}{r}dr \leq \int_{0}^{1} \frac{r^2}{r}dr = \int_0^1 rdr = 1/2</math>, ואז עפ"י השוואה???
==תרגיל 7 שאלה 1א==
האם להניח ש:<math>a-\alpha<b-\alpha</math> וכן <math>\alpha>0
</math>
===תשובה===
לא, וגם אין צורך. הנוסחא הראשונה טריוויאלית לחלוטין, והשנייה מצמצמת את תנאיי השאלהלשכוח לבדוק אם האינטגרל הוא אמיתי בכלל או לא.למשל השלישי הוא פשוט בעל אי רציפות סליקה באפס ולכן אינטגרבילי (גם מה שרשמת נכון אבל בלי קשר)
בראשון ובשני הצד הבעייתי הינו 1. ניתן לבצע מבחן ההשוואה עם <math>\frac{1}{1-x}</math>
תרגיל 7 ==שאלה 3.b זה לא טריוויאלי? אאי אפשר להגיד ככה:F גזירה על כל הממשיים ולכן רציפה שם. ולכן היא מוגדרת על כל הממשיים.ולכן, לכל מספר M ניקח את הקטע מאפס עד M+1, ואז העקומה תמיד תהיה ארוכה יותר ממנו...זה לא קשור בכלל לאינטגרלים... או שאני טועה...?==
נתונה פונקציה f(x) בקטע [a,b] ונתון שהיא חסומה על ידי M. צריך להוכיח שאם f אינטגרבילית זה גורר ש-f^2 אינטגרבילית. חסימות זה לא בעיה, אבל הסתבכתי עם התנאי השני אני יכול להשתמש במשפט שאם הפונקציות f,g אינטגרביליות בקטע כלשהו אז גם f כפול g אנטגרבילית שם, כאשר במקרה הזה g=f? :ולמה העקומה תהיה יותר גדולה מאורך הקטע(לא ארז/תומר) ענו כבר על השאלה הזאת... לדעתי אי אפשר להשתמש במשפט, למרות שהוא נכון, כי אז התרגיל טריוויאלי. :הנה ההוכחה- יהי אפסילון גדול מאפס. בכל קטע g(x1)-g(x2)=(f(x1)+f(x2))*(f(x1)-f(x2)<2M*W כאשר W היא התנודה של f בקטע. (g מוגדרת כ f בריבוע). מאינטגרביליות f קיימות חלוקה עבורה סכום התנודות קטן מאפסילון חלקי 2M. ועבור אותה חלוקה בפונקציה g סכום התנודות יהיה קטן מאפסילון. תומר - ומה עם מידת נקודות אי רציפות ? אם אתם יודעים שהפונקציה אינטגרבילית זה אומר שמידת קבוצת נקודות האי רציפות שלה היא אפס . מה עם נקודות האי רציפות של הפונקציה בריבוע ? האם היא מוכלת בזו של הפונקציה המקורית ? ואם כן מה שצריך להוכיח, ואת זה כמובן עושים בעזרת האינטגרל שזה הדרך שלנו למדוד אורךאומר על מידתה ? ...
==שאלה==
בשאלה 3 סעיף ב'צריך להוכיח שהטור הבא מתכנס במ"ש. f(x)= sum from 0 to infinity of (e^-nx)* cos(nx) s בכל קטע (a, infinity] כאשר a>0 ניסיתי עם מבחן ה- m ולא הצלחתי.מישהו?אפשר להשוות עם e^-n במבחן הM לא חסרה ההנחה שהפונקציה גזירה ברציפות?וגם:(לא ארז/תומר) אני חושב שצריך להשוות עם e^-an ... עם e^-n וזה עובד. עכשיו בסעיף הבא הם רוצים להוכיח/להפריך שf(x) שזה הסכום הוא פונקציה רציפה ב(o, infinity). הבעיה זה שזה קטע פתוח ולא סופי.. עדין אפשר לקבל בבקשה איזשהו רמזון לתרגיל 4להשתמש במשפט על טור של פונקציות רציפות המתכנס במ"ש? :תמיד משתמשים באותו טריק (לא התעמקתי בשאלה, מקווה שרלוונטי) אם ההתכנסות היא במ"ש על כל תת קטע סגור וסופי אז יוצא שפונקצית הגבול רציפה בכל נקודה בלי שתהיה התכנסות במ"ש על הקטע האינסופי/פתוח כולו. == תרגיל 11 ==מישהו יכול לכתוב שוב את הלינקים לתרגילים שבתרגיל 11, הלינקים לא עובדים לי. :ארכיון 16... ==שאלה==מתי יפורסמו ציוני התרגיל והבוחן (אני יודע שיש לנו אותם, הכוונה עם פקטור, וציוני תרגיל 8/10 אם אני לא טועה) והאחוזים מהציון הסופי? מצטרף!! תומר - יפורסם בשעות הקרובות . אני עצמי עוד בודק תרגילים שהוגשו באיחור(!) . סבלנות . יש חדש? ==שאלה==אוקי, נניח ויש לי סדרת פונקציות, ואני צריכה לבדוק לאילו ערכי אלפא הסדרה מתכנסת במ"ש ב0,אינסוף (חצי סגור) וב[0,1]. קודם כל בדקתי את 0 אינסוף, והגעתי לזה שעבור אלפא קטן מ2 ==> הסדרה מתכנסת במש.התחום השני, [0,1], מוכל בתחום הראשון - ונניח שהגעתי לזה שהסדרה מתכנסת במש בתחום זה עבור אלפא גדול מ2-. מכיוון שהתחום מוכל, זה אומר לי גם שבפרט הסדרה מתכנסת במש גם עבור אלפא קטן מ2, וביחד - עם שתי המסקנות האלה - מתכנס לכל אלפא?
===תשובה===
נכוןלכאורה כן, אני לא מבין מה השאלה. הרי ברור שאם זה מתכנס במ"ש לכל אלפא גדול ממינוס 2 או קטן משתים בפרט זה מתכנס לכל אלפא. השאלה האמיתי היא צריכה להיות אם החישובים שלך נכונים.:השאלה היא כזו - הוכחתי שעבור אלפא קטן מ2 זה מתכנס במ"ש ב0,infinity. רק רציתי לוודא שזה אומר שעבור אלפא קטן מ2 זה מתכנס במ"ש גם ב[0,1]. זה נכון? ::הדגש הוא על הקטע הסגור? אם יש התכנסות באפס אז כן, אם לא אז לא:::כן, מדובר על קטעים סגורים. תודה:) אני טועה או שבהתחלת ההרצאה האחרונה רוני אמר שבטווח שבין רדיוס ההתכנסות לבין המינוס שלו(לא כולל הוא עצמו)- הפונקציה מתכנסת, ואח"כ הוא אמר שהיא גם מתכנסת במ"ש בכל קטע סגור שמוכל בקטע הזה.....?:זה נכון לגבי טור חזקות, אני לא בטוח איך זה קשור פה. ::יש עוד מקום עם רדיוס התכנסות חוץ מטור חזקות??? ושאלתי כי זה נראה לי מוזר להוכיח משהו ואז להוכיח משהו ותר חזק במקום להוכיח ביחד. למה פה? איפה עוד אני יכול לכתוב??? :::לא פה בפורום, התכוונתי פה בשאלה הזו... רדיוס התכנסות זה מושג של טור חזקות, וכאן מדובר על סדרת פונקציות. ==שאלה==מצטער על הבורות רגע לפני המבחן- מה זה גזירה ברציפות איבר-איבר? ואינטגרציה איבר איבר? בבקשה שלא יהיה מסובך.... ===תשובה===נניח ויש לך טור מתכנס <math>g=\sum f_n</math>. השאלה היא מהי הנגזרת של g. אם מותר לגזור איבר-איבר אזי <math>g' = \sum f_n'</math>. שים לב שזה לא תמיד נכון, רק כאשר המשפטים מאפשרים לגזור איבר-איבר. אינטגרציה זה דומה <math>\int g = \sum \int f_n</math> ==שאלה==אם טור חזקות מתכנס גם בR וגם בR-, זה אומר שהוא מתכנס במ"ש ב[0,R] וב[-R,0] ואז זה אומר שהוא מתכנס במ"ש ב[-R,R]? ===תשובה===כן. באופן כללי אם טור מתכנס במ"ש בשני קטעים סגורים צמודים הוא מתכנס במ"ש באיחוד הקטעים. כי מהירות ההתכנסות עבור אפסילון היא המקסימום בין שני הn_0 של שני הקטעים. == :)==שיהיה בהצלחה לכולם! לא פחות מ100 :) תומר - מצטרף ! שיהיה בהצלחה לכולכם - במבחן הזה ובכל אלו אחריו :):תודה, ותודה לכם על מנת להשתמש בנוסחאת חישוב עקום סמסטר נפלא (עד כמה שהיה אפשר. אינפי, אתם יודעים). תודה על התרגולים המצויינים, אפילו שהיו יותר מידי אנשים בכיתה... ותודה על ההשקעה בנו ועל כל העזרה (האתר, וכל דבר אחר). אולי תהיו מתרגלים שלנו באינפי 3?:ושיהיה בהצלחה לכולם! ==לארז ולתומר==רגע אחרי המבחן, וכמה ימים לפני שהאתר יתחיל לשמש, כנראה, תיכוניסטים תמימים שצעירים מאתנו בשנה, ואתם אורזים את הכל בשבילם, רציתי לומר לכם, לשניכם במ"ש, ת-ו-ד-ה ר-ב-ה!! על כל ההשקעה, הזמן, הרצון והכוח שהיה לכם להתמודד עם שתי קבוצות רועשות כמו שלנו, ועוד בקורס קשה כמו אינפי 2! שיהיה לכולנו המון בהצלחה בהמשך! מצטרף בהחלט, המון תודה לשניכם, ואולי נתראה בהמשך...:מצטרפת.. ממש תודה על הכול! מה נעשה בלי Math-wiki..מצטרף! זה לא מובן מאליו... ועם זאת, מתי נדע כמה פקטור יהיה(בטוח יהיה...!!) ::תודה רבה על כל האיחולים - המתרגלים. (בלי קשר, אני אפרסם עוד כמה דקות פתרון למבחן בדף הקורס) אני מסכים לגמרי עם כל השאר. אתם באמת השקעתם את כל כולכם בנו ובהצלחה שלנו. באמת רואים שאכפת לכם מאיתנו למרות כל הקיטורים, בקשות לדחיות, התחננויות ולפעמים אף בכי P=אני רק לא מבין משהו אחד. ניסיתי להבין מה הייתה התועלת בשיעורי חזרה ובתרגולים הנוספים שעשיתם, ואני לא מוצא בהם תועלת למבחן... לא עשינו אפילו תרגיל אחד שהיה אפילו דומה לשאלות שהיו במבחן (אני לא מתכוון לשאלות בדיוק כמו שהיו במבחן, אבל לפחות בסגנון ובנושאים)... כאילו שמתם דגש בשאלות לא דומות למבחן בשביל מה? הרי ראיתם את המבחן כבר... לי אישית היה די קשה להגיע לבר אילן,לתירגולים, באותו היום אבל הגעתי בכל זאת כי חשוב לי להצליח במבחנים (כמו לכולנו), אבל בתכלס שאני מסתכל על היעילות שלהם לאחר המבחן לא עזר בכלל, אלא להיפך.כל מה שאני מנסה להגיד, זה שבתרגולי חזרה לפני מבחן, תעזרו קצת יותר בכך שתתרגלו אותנו נכון, ולא לבלבל לנו את השכל עם שאלות לא קשורות בכלל... אחר כך מתלוננים שאנחנו לא מקבלים ציונים נורמלים ואתם נאלצים לעשות פקטור סתם!תודה על הכול (וזה בשיא הכנות) כי באמת השקעתם בנו ===תשובה===אני אענה לשאלה שלך בשני מישורים* הראשון והחשוב יותר: מטרתנו הראשונה והעיקרית כמורים הינה ללמד אתכם מתמטיקה ו'''לא''' להכין אתכם למבחן. הכנה למבחן הינה משנית (אמנם חשובה גם כן). קשה להגיע לבר אילן גם במהלך הסמסטר, אך אתם מגיעים על מנת שהנגזרת תהיה אינטגרביליתללמוד.הסיבה שאנו רואים את המבחן קודם לכן היא בעיקר על מנת לוודא איכות שלו (שאין טעויות, רמה סבירה וכדומה), עלינו להעביר שיעורי חזרה כאילו לא ראינו את המבחן. *שנית, אני אפריך לחלוטין את הטענות שהעלאת:**שיעור ההשלמה היה חלק מחומר הקורס וכלל שאלה שהופיעה כלשונה במבחן! (הוא היה לפני שראינו את המבחן). אז כבר 20 נקודות מתנה על שיעור ההשלמה והחומר שהועלאה לאתר (אני לא העברתי את השאלה פרונטלית אבל תומר כן). אמרנו לכם לקרוא את שיעור ההשלמה.**שיעור החזרה כלל שאלה כמעט זהה לחלוטין לשאלה 3 מהמבחן (אני העברתי אותה ותומר לא).**יום או יומיים לפני המבחן עניתי באתר על שאלה דומה לשאלה 2 במבחן, והדגשתי דברים שלא היו בשאלה המקורית כי ידעתי שזה יעזור למבחן.**שאר השאלות, בוודאי היו דומות והתעסקו בנושאים דומים... מעבר לכך, תודה על ההכרה בעבודה שלנו. תאמינו לנו שמה שעכשיו נראה לכם לא כיף, בעתיד אתם תראו כאתגר שהצלחתם בו. החיים הם לא מיטת שושנים, ומי היה רוצה לישון במיטת שושנים בכלל? זה דוקר!:זה לא רק דוקר, זה גם צמיגי :P::מתי יעלו ציוני תרגיל? :::אנחנו נעלה אותם היום==יש לי שאלה==האם בשאלה 4ב במבחן היה אפשר להגיד שההתכנסות היא ל0 כי תנאי הכרחי להתכנסות הטור היא שאיפת האיבר הכללי לאפס(הוכחה של התכנסות לאפס לא התכנסות במש)? ===תשובה===כן, זה מוכיח בהחלט התכנסות נקודתית לאפס (ולא במ"ש כפי שציינת) ==שאלה== למה מופיע לי ציון 0 בתרגיל מספר 2 אם הגשתי אותו? :S :זו שאלה פילוסופית? ==הודעה==
את תרגיל 4 לא עושים עם משפטים, אלא עם חישוב אפסילוני (בדיוק כמו ברמז שרשום בשאלה).יש ציונים!!זה מזכיר את הלך החשיבה שהיה צריך בשאלה 2 בתרגיל הקודם + עובדה קטנה על גבול == מבחן == היה פקטור במבחן? ואם כן של סדרות מאינפי 1 (בנוסף לרמז).כמה?
:אפשר לקבל כיוון כללי? מצטרף לשאלה... מאוד חשוב לנו לדעת האם להגיש ערעור או שלא.... והאם לגשת למועד ב או לאבקיצור ממש קשה להבין את האופי של הסידרה הזאתחשוב לנו לעת האם היה פקטור... אפשר הסבר שייתן איזושהי אינטואיציה לגבי השוויון הזה?
::כמו שאמרתיתשאלו את המרצים, אותו הלך מחשבה של שאלה 2 בתרגיל הקודםאנחנו (המתרגלים) לא יודעים. שם בחרת נקודה אי שלילית ולקחת סביבת דלתא שלה.... מה תעשה פה?