88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעה/בוחן 1 - פתרון: הבדלים בין גרסאות בדף
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) (←סעיף ב) |
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) (←סעיף ב) |
||
| שורה 33: | שורה 33: | ||
תהי <math>a_{n_k}</math> תת סדרה של <math>a_n</math> כך ש | תהי <math>a_{n_k}</math> תת סדרה של <math>a_n</math> כך ש | ||
<math>\displaystyle{\lim_{a_{n_k}}}=\overline{\lim}a_n</math> | <math>\displaystyle{\lim_{n\to\infty}{a_{n_k}}}=\overline{\lim}a_n</math> | ||
(הרי יש תת סדרה שמתכנסת לגבול העליון) | |||
היות ש <math>\displaystyle{\lim_{n\to\infty}} a_n-b_n=0</math>, | |||
אז כמובן ש | |||
<math>\displaystyle{\lim_{n\to\infty}} a_{n_k}-b_{n_k}=0</math> | |||
(כי תת סדרה של סדרה מתכנסת, מתכנסת לאותו מספר). | |||
ולכן | |||
<math>\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}b_{n_k}=\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}(b_{n_k}-a_{n_k})+\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}a_{n_k}=0+\overline{\lim}a_n</math> | |||
כלומר <math>\overline{\lim}a_n</math> הוא גם גבול חלקי של <math>b_n</math> ולכן | |||
<math>\overline{\lim}a_n\leq \overline{\lim}b_n</math> | |||
(כי <math>\overline{\lim}b_n</math> הוא הגבול החלקי הגדול ביותר) | |||
בדרך דומה מוכיחים | |||
<math>\overline{\lim}a_n\geq \overline{\lim}b_n</math> | |||
ולכן | |||
<math>\overline{\lim}a_n = \overline{\lim}b_n</math> | |||
כנדרש | |||
==שאלה 3 (30 נק)== | ==שאלה 3 (30 נק)== | ||
גרסה מ־08:23, 24 בדצמבר 2014
שאלה 1 (30 נק)
סעיף א
תהיינה שתי סדרות [math]\displaystyle{ a_n,b_n }[/math] כך ש:
- 1. [math]\displaystyle{ \lim a_n-b_n=0 }[/math]
- 2. [math]\displaystyle{ \lim a_n^2+b_n^2= L\in\mathbb{R} }[/math]
הוכיחו/הפריכו:
- [math]\displaystyle{ \lim a_n^2-b_n^2= 0 }[/math]
סעיף ב
תהי סדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] וקבוע [math]\displaystyle{ 0\lt q\lt 1 }[/math] כך ש
- [math]\displaystyle{ \forall n\geq 2: |a_{n+1}-a_n|\leq q\cdot|a_n-a_{n-1}| }[/math]
הוכיחו כי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] מתכנסת.
(רמז: יש בשאלה הזו קושי)
שאלה 2 (40 נק)
סעיף א
לכל שתי קבוצות לא ריקות וחסומות מלעיל.
- 1. הוכיחו/הפריכו: [math]\displaystyle{ sup(A\cap B)=min\{sup(A),sup(B)\} }[/math]
- 2. הוכיחו/הפריכו: [math]\displaystyle{ sup(A\cup B)=max\{sup(A),sup(B)\} }[/math]
סעיף ב
נניח [math]\displaystyle{ \lim a_n-b_n=0 }[/math].
- הוכיחו/הפריכו: [math]\displaystyle{ \overline{\lim}a_n=\overline{\lim}b_n }[/math]
פתרון: הטענה נכונה.
תהי [math]\displaystyle{ a_{n_k} }[/math] תת סדרה של [math]\displaystyle{ a_n }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ \displaystyle{\lim_{n\to\infty}{a_{n_k}}}=\overline{\lim}a_n }[/math]
(הרי יש תת סדרה שמתכנסת לגבול העליון)
היות ש [math]\displaystyle{ \displaystyle{\lim_{n\to\infty}} a_n-b_n=0 }[/math],
אז כמובן ש [math]\displaystyle{ \displaystyle{\lim_{n\to\infty}} a_{n_k}-b_{n_k}=0 }[/math]
(כי תת סדרה של סדרה מתכנסת, מתכנסת לאותו מספר).
ולכן [math]\displaystyle{ \displaystyle{\lim_{n\to\infty}}b_{n_k}=\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}(b_{n_k}-a_{n_k})+\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}a_{n_k}=0+\overline{\lim}a_n }[/math]
כלומר [math]\displaystyle{ \overline{\lim}a_n }[/math] הוא גם גבול חלקי של [math]\displaystyle{ b_n }[/math] ולכן
[math]\displaystyle{ \overline{\lim}a_n\leq \overline{\lim}b_n }[/math] (כי [math]\displaystyle{ \overline{\lim}b_n }[/math] הוא הגבול החלקי הגדול ביותר)
בדרך דומה מוכיחים
[math]\displaystyle{ \overline{\lim}a_n\geq \overline{\lim}b_n }[/math]
ולכן
[math]\displaystyle{ \overline{\lim}a_n = \overline{\lim}b_n }[/math]
כנדרש
שאלה 3 (30 נק)
סעיף א
תהי סדרה המוגדרת ע"י כלל הנסיגה
- [math]\displaystyle{ a_1=1 }[/math]
- [math]\displaystyle{ a_{n+1}=1 + \frac{|a_n|}{2} }[/math]
הוכיחו כי הסדרה מתכנסת ומצאו את גבולה
סעיף ב
קבעו אם הטורים הבאים מתכנסים
- [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty (\sqrt{n^2+n+1}-n) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac{2^n+(-2)^n}{3^n} }[/math]