הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעה/בוחן 1 - פתרון"
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) (←שאלה 2 (40 נק)) |
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) (←סעיף א) |
||
שורה 37: | שורה 37: | ||
בלי הגבלת כלליות נניח ש <math>\sup(B)\leq\sup(A)</math> ולכן <math>\max\{\sup(A),\sup(B)\}=\sup(A)</math> | בלי הגבלת כלליות נניח ש <math>\sup(B)\leq\sup(A)</math> ולכן <math>\max\{\sup(A),\sup(B)\}=\sup(A)</math> | ||
− | נסמן <math>\sup(A)= | + | נסמן <math>\sup(A)=s</math>. |
− | נוכיח ש <math> | + | נוכיח ש <math>s</math> מקיים את שתי התכונות של<math>\sup(A\cup B)</math> |
− | א) חסם מלעיל: יהי <math>x\in A\cup B</math>. אם <math>x\in A</math> אז בוודאי | + | תכונה א) חסם מלעיל: יהי <math>x\in A\cup B</math>. אם <math>x\in A</math> אז בוודאי |
− | <math>x\leq \sup(A) = | + | <math>x\leq \sup(A) = s</math> |
ואם <math>x\in B</math> אז | ואם <math>x\in B</math> אז | ||
− | <math>x\leq \sup(B) \leq \sup(A)= | + | <math>x\leq \sup(B) \leq \sup(A)=s</math> |
− | ולכן <math> | + | ולכן <math>s</math> אכן חסם מלעיל של <math>A\cup B</math> |
+ | |||
+ | תכונה ב) חסם מלעיל הכי קטן: נניח ש <math>m<s</math> (צריך להראות ש <math>m</math> אינו חסם מעליל של <math>A\cup B</math>) | ||
+ | |||
+ | היות ש <math>m<s=\sup(A)</math> אז קיים <math>a\in A</math> כך ש <math>m<a</math> (לפי תכונה של חסם עליון של <math>A</math>) | ||
+ | |||
+ | אבל בוודאי <math>a\in A\cup B</math> כלומר קיים איבר <math>a\in A\cup B</math> כך ש <math>m<a</math> ולכן <math>m</math> אינו חסם מלעיל של <math>A\cup B</math> כנדרש. | ||
+ | |||
+ | אכן הוכחנו כי <math>s</math> חסם עליון של <math>A\cup B</math>. ובזה סיימנו. | ||
===סעיף ב=== | ===סעיף ב=== |
גרסה מ־08:53, 24 בדצמבר 2014
תוכן עניינים
שאלה 1 (30 נק)
סעיף א
תהיינה שתי סדרות כך ש:
- 1.
- 2.
הוכיחו/הפריכו:
סעיף ב
תהי סדרה וקבוע כך ש
הוכיחו כי מתכנסת.
(רמז: יש בשאלה הזו קושי)
שאלה 2 (40 נק)
סעיף א
לכל שתי קבוצות לא ריקות וחסומות מלעיל.
- 1. הוכיחו/הפריכו:
- 2. הוכיחו/הפריכו:
פתרון:
1) לא נכון. ניקח ו
אז
אבל
2) נכון.
בלי הגבלת כלליות נניח ש ולכן
נסמן .
נוכיח ש מקיים את שתי התכונות של
תכונה א) חסם מלעיל: יהי . אם אז בוודאי
ואם אז
ולכן אכן חסם מלעיל של
תכונה ב) חסם מלעיל הכי קטן: נניח ש (צריך להראות ש אינו חסם מעליל של )
היות ש אז קיים כך ש (לפי תכונה של חסם עליון של )
אבל בוודאי כלומר קיים איבר כך ש ולכן אינו חסם מלעיל של כנדרש.
אכן הוכחנו כי חסם עליון של . ובזה סיימנו.
סעיף ב
נניח .
- הוכיחו/הפריכו:
פתרון: הטענה נכונה.
תהי תת סדרה של כך ש
(הרי יש תת סדרה שמתכנסת לגבול העליון)
היות ש ,
אז כמובן ש
(כי תת סדרה של סדרה מתכנסת, מתכנסת לאותו מספר).
ולכן
כלומר הוא גם גבול חלקי של ולכן
(כי הוא הגבול החלקי הגדול ביותר)
בדרך דומה מוכיחים
ולכן
כנדרש
שאלה 3 (30 נק)
סעיף א
תהי סדרה המוגדרת ע"י כלל הנסיגה
הוכיחו כי הסדרה מתכנסת ומצאו את גבולה
סעיף ב
קבעו אם הטורים הבאים מתכנסים