88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעה/בוחן 1 - פתרון: הבדלים בין גרסאות בדף
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) |
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) |
||
שורה 131: | שורה 131: | ||
זה נכון מפני ש | זה נכון מפני ש | ||
<math>a_{n+2}=\frac</math> | <math>a_{n+2}=1+\frac{a_{n+1}}{2}\geq 1+\frac{a_n}{2}=a_{n+1}</math> | ||
ובזאת הוכחנו שהיא מונוטונית עולה. | |||
נוכיח שהסדרה חסומה מלעיל ע"י 2, באינדוקציה: | |||
2) חסימות מלעיל: צריך להראות ש <math>a_n\leq 2</math>. | |||
עבור <math>n=1</math> אכן <math>a_1=1<2</math>. | |||
נניח שעבור <math>n</math> מתקיים <math>a_n\leq 2</math>. | |||
אז גם עבור <math>n+1</math> מתקיים | |||
<math>a_{n+1}=1+\frac{a_n}{2}\leq 1+\frac{2}{2}=2</math> | |||
כנדרש. | |||
לכן זו סדרה מונוטונית עולה וחסומה מלעיל ולכן היא מתכנסת. נסמן את גבולה ב <math>L</math>. | |||
נמצא את הגבול באמצעות הטריק הרגיל. | |||
נפעיל <math>\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}</math> בשני אגפים של המשוואה | |||
<math>a_{n+1}=1+\frac{a_n}{2}</math> | |||
ונקבל | |||
<math>L=1+\frac{L}{2}</math> | |||
כלומר | |||
<math>L=2</math>. | |||
ובזה סיימנו את הפתרון. | |||
===סעיף ב=== | ===סעיף ב=== |
גרסה מ־09:26, 24 בדצמבר 2014
שאלה 1 (30 נק)
סעיף א
תהיינה שתי סדרות [math]\displaystyle{ a_n,b_n }[/math] כך ש:
- 1. [math]\displaystyle{ \lim a_n-b_n=0 }[/math]
- 2. [math]\displaystyle{ \lim a_n^2+b_n^2= L\in\mathbb{R} }[/math]
הוכיחו/הפריכו:
- [math]\displaystyle{ \lim a_n^2-b_n^2= 0 }[/math]
סעיף ב
תהי סדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] וקבוע [math]\displaystyle{ 0\lt q\lt 1 }[/math] כך ש
- [math]\displaystyle{ \forall n\geq 2: |a_{n+1}-a_n|\leq q\cdot|a_n-a_{n-1}| }[/math]
הוכיחו כי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] מתכנסת.
(רמז: יש בשאלה הזו קושי)
שאלה 2 (40 נק)
סעיף א
לכל שתי קבוצות לא ריקות וחסומות מלעיל.
- 1. הוכיחו/הפריכו: [math]\displaystyle{ sup(A\cap B)=min\{sup(A),sup(B)\} }[/math]
- 2. הוכיחו/הפריכו: [math]\displaystyle{ sup(A\cup B)=max\{sup(A),sup(B)\} }[/math]
פתרון:
1) לא נכון. ניקח [math]\displaystyle{ A=\{1,2\} }[/math] ו [math]\displaystyle{ B=\{1,3\} }[/math]
אז [math]\displaystyle{ \sup(A\cap B) = 1 }[/math]
אבל [math]\displaystyle{ \min\{\sup(A),\sup(B)\}=2 }[/math]
2) נכון.
בלי הגבלת כלליות נניח ש [math]\displaystyle{ \sup(B)\leq\sup(A) }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \max\{\sup(A),\sup(B)\}=\sup(A) }[/math]
נסמן [math]\displaystyle{ \sup(A)=s }[/math].
נוכיח ש [math]\displaystyle{ s }[/math] מקיים את שתי התכונות של[math]\displaystyle{ \sup(A\cup B) }[/math]
תכונה א) חסם מלעיל: יהי [math]\displaystyle{ x\in A\cup B }[/math]. אם [math]\displaystyle{ x\in A }[/math] אז בוודאי
[math]\displaystyle{ x\leq \sup(A) = s }[/math]
ואם [math]\displaystyle{ x\in B }[/math] אז
[math]\displaystyle{ x\leq \sup(B) \leq \sup(A)=s }[/math]
ולכן [math]\displaystyle{ s }[/math] אכן חסם מלעיל של [math]\displaystyle{ A\cup B }[/math]
תכונה ב) חסם מלעיל הכי קטן: נניח ש [math]\displaystyle{ m\lt s }[/math] (צריך להראות ש [math]\displaystyle{ m }[/math] אינו חסם מעליל של [math]\displaystyle{ A\cup B }[/math])
היות ש [math]\displaystyle{ m\lt s=\sup(A) }[/math] אז קיים [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ m\lt a }[/math] (לפי תכונה של חסם עליון של [math]\displaystyle{ A }[/math])
אבל בוודאי [math]\displaystyle{ a\in A\cup B }[/math] כלומר קיים איבר [math]\displaystyle{ a\in A\cup B }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ m\lt a }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ m }[/math] אינו חסם מלעיל של [math]\displaystyle{ A\cup B }[/math] כנדרש.
אכן הוכחנו כי [math]\displaystyle{ s }[/math] חסם עליון של [math]\displaystyle{ A\cup B }[/math]. ובזה סיימנו.
סעיף ב
נניח [math]\displaystyle{ \lim a_n-b_n=0 }[/math].
- הוכיחו/הפריכו: [math]\displaystyle{ \overline{\lim}a_n=\overline{\lim}b_n }[/math]
פתרון: הטענה נכונה.
תהי [math]\displaystyle{ a_{n_k} }[/math] תת סדרה של [math]\displaystyle{ a_n }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ \displaystyle{\lim_{n\to\infty}{a_{n_k}}}=\overline{\lim}a_n }[/math]
(הרי יש תת סדרה שמתכנסת לגבול העליון)
היות ש [math]\displaystyle{ \displaystyle{\lim_{n\to\infty}} a_n-b_n=0 }[/math],
אז כמובן ש [math]\displaystyle{ \displaystyle{\lim_{n\to\infty}} a_{n_k}-b_{n_k}=0 }[/math]
(כי תת סדרה של סדרה מתכנסת, מתכנסת לאותו מספר).
ולכן [math]\displaystyle{ \displaystyle{\lim_{n\to\infty}}b_{n_k}=\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}(b_{n_k}-a_{n_k})+\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}a_{n_k}=0+\overline{\lim}a_n }[/math]
כלומר [math]\displaystyle{ \overline{\lim}a_n }[/math] הוא גם גבול חלקי של [math]\displaystyle{ b_n }[/math] ולכן
[math]\displaystyle{ \overline{\lim}a_n\leq \overline{\lim}b_n }[/math] (כי [math]\displaystyle{ \overline{\lim}b_n }[/math] הוא הגבול החלקי הגדול ביותר)
בדרך דומה מוכיחים
[math]\displaystyle{ \overline{\lim}a_n\geq \overline{\lim}b_n }[/math]
ולכן
[math]\displaystyle{ \overline{\lim}a_n = \overline{\lim}b_n }[/math]
כנדרש
שאלה 3 (30 נק)
סעיף א
תהי סדרה המוגדרת ע"י כלל הנסיגה
- [math]\displaystyle{ a_1=1 }[/math]
- [math]\displaystyle{ a_{n+1}=1 + \frac{|a_n|}{2} }[/math]
הוכיחו כי הסדרה מתכנסת ומצאו את גבולה
פתרון:
נרצה להוכיח כי הסדרה מונוטונית עולה וחסומה.
ראשית נשים לב שהסדרה חיובית כי תמיד [math]\displaystyle{ a_n=1+\frac{|a_n|}{2}\gt 0 }[/math]. (וגם [math]\displaystyle{ a_1=1\gt 0 }[/math])
לכן אפשר לכתוב את הסדרה
[math]\displaystyle{ a_{n+1}=1+\frac{a_n}{2} }[/math]
כעת נוכיח באינדוקציה שהיא מונוטונית עולה:
1) מונוטונית עולה: צריך להראות ש [math]\displaystyle{ a_{n+1}\geqa_n }[/math]
עבור: [math]\displaystyle{ n=1 }[/math] זה אכן נכון כי
[math]\displaystyle{ a_2=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\gt 1=a_1 }[/math]
נניח שהטענה הכונה עבור [math]\displaystyle{ n }[/math] כלומר: [math]\displaystyle{ a_{n+1}\geqa_n }[/math]
נוכיח עבור [math]\displaystyle{ n+1 }[/math] כלומר נוכיח כי
[math]\displaystyle{ a_{n+2}\geq a_{n+1} }[/math]
זה נכון מפני ש
[math]\displaystyle{ a_{n+2}=1+\frac{a_{n+1}}{2}\geq 1+\frac{a_n}{2}=a_{n+1} }[/math]
ובזאת הוכחנו שהיא מונוטונית עולה.
נוכיח שהסדרה חסומה מלעיל ע"י 2, באינדוקציה:
2) חסימות מלעיל: צריך להראות ש [math]\displaystyle{ a_n\leq 2 }[/math].
עבור [math]\displaystyle{ n=1 }[/math] אכן [math]\displaystyle{ a_1=1\lt 2 }[/math].
נניח שעבור [math]\displaystyle{ n }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a_n\leq 2 }[/math].
אז גם עבור [math]\displaystyle{ n+1 }[/math] מתקיים
[math]\displaystyle{ a_{n+1}=1+\frac{a_n}{2}\leq 1+\frac{2}{2}=2 }[/math]
כנדרש.
לכן זו סדרה מונוטונית עולה וחסומה מלעיל ולכן היא מתכנסת. נסמן את גבולה ב [math]\displaystyle{ L }[/math].
נמצא את הגבול באמצעות הטריק הרגיל.
נפעיל [math]\displaystyle{ \displaystyle{\lim_{n\to\infty}} }[/math] בשני אגפים של המשוואה
[math]\displaystyle{ a_{n+1}=1+\frac{a_n}{2} }[/math]
ונקבל
[math]\displaystyle{ L=1+\frac{L}{2} }[/math]
כלומר
[math]\displaystyle{ L=2 }[/math].
ובזה סיימנו את הפתרון.
סעיף ב
קבעו אם הטורים הבאים מתכנסים
- [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty (\sqrt{n^2+n+1}-n) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac{2^n+(-2)^n}{3^n} }[/math]