הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעה/בוחן 1 - פתרון"
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) (←שאלה 3 (30 נק)) |
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) (←שאלה 3 (30 נק)) |
||
שורה 131: | שורה 131: | ||
זה נכון מפני ש | זה נכון מפני ש | ||
− | <math>a_{n+2}=\frac</math> | + | <math>a_{n+2}=1+\frac{a_{n+1}}{2}\geq 1+\frac{a_n}{2}=a_{n+1}</math> |
+ | |||
+ | ובזאת הוכחנו שהיא מונוטונית עולה. | ||
+ | |||
+ | נוכיח שהסדרה חסומה מלעיל ע"י 2, באינדוקציה: | ||
+ | |||
+ | 2) חסימות מלעיל: צריך להראות ש <math>a_n\leq 2</math>. | ||
+ | |||
+ | עבור <math>n=1</math> אכן <math>a_1=1<2</math>. | ||
+ | |||
+ | נניח שעבור <math>n</math> מתקיים <math>a_n\leq 2</math>. | ||
+ | |||
+ | אז גם עבור <math>n+1</math> מתקיים | ||
+ | |||
+ | <math>a_{n+1}=1+\frac{a_n}{2}\leq 1+\frac{2}{2}=2</math> | ||
+ | |||
+ | כנדרש. | ||
+ | |||
+ | לכן זו סדרה מונוטונית עולה וחסומה מלעיל ולכן היא מתכנסת. נסמן את גבולה ב <math>L</math>. | ||
+ | |||
+ | נמצא את הגבול באמצעות הטריק הרגיל. | ||
+ | |||
+ | נפעיל <math>\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}</math> בשני אגפים של המשוואה | ||
+ | |||
+ | <math>a_{n+1}=1+\frac{a_n}{2}</math> | ||
+ | |||
+ | ונקבל | ||
+ | |||
+ | <math>L=1+\frac{L}{2}</math> | ||
+ | |||
+ | כלומר | ||
+ | |||
+ | <math>L=2</math>. | ||
+ | |||
+ | ובזה סיימנו את הפתרון. | ||
===סעיף ב=== | ===סעיף ב=== |
גרסה מ־09:26, 24 בדצמבר 2014
תוכן עניינים
שאלה 1 (30 נק)
סעיף א
תהיינה שתי סדרות כך ש:
- 1.
- 2.
הוכיחו/הפריכו:
סעיף ב
תהי סדרה וקבוע כך ש
הוכיחו כי מתכנסת.
(רמז: יש בשאלה הזו קושי)
שאלה 2 (40 נק)
סעיף א
לכל שתי קבוצות לא ריקות וחסומות מלעיל.
- 1. הוכיחו/הפריכו:
- 2. הוכיחו/הפריכו:
פתרון:
1) לא נכון. ניקח ו
אז
אבל
2) נכון.
בלי הגבלת כלליות נניח ש ולכן
נסמן .
נוכיח ש מקיים את שתי התכונות של
תכונה א) חסם מלעיל: יהי . אם אז בוודאי
ואם אז
ולכן אכן חסם מלעיל של
תכונה ב) חסם מלעיל הכי קטן: נניח ש (צריך להראות ש אינו חסם מעליל של )
היות ש אז קיים כך ש (לפי תכונה של חסם עליון של )
אבל בוודאי כלומר קיים איבר כך ש ולכן אינו חסם מלעיל של כנדרש.
אכן הוכחנו כי חסם עליון של . ובזה סיימנו.
סעיף ב
נניח .
- הוכיחו/הפריכו:
פתרון: הטענה נכונה.
תהי תת סדרה של כך ש
(הרי יש תת סדרה שמתכנסת לגבול העליון)
היות ש ,
אז כמובן ש
(כי תת סדרה של סדרה מתכנסת, מתכנסת לאותו מספר).
ולכן
כלומר הוא גם גבול חלקי של ולכן
(כי הוא הגבול החלקי הגדול ביותר)
בדרך דומה מוכיחים
ולכן
כנדרש
שאלה 3 (30 נק)
סעיף א
תהי סדרה המוגדרת ע"י כלל הנסיגה
הוכיחו כי הסדרה מתכנסת ומצאו את גבולה
פתרון:
נרצה להוכיח כי הסדרה מונוטונית עולה וחסומה.
ראשית נשים לב שהסדרה חיובית כי תמיד . (וגם )
לכן אפשר לכתוב את הסדרה
כעת נוכיח באינדוקציה שהיא מונוטונית עולה:
1) מונוטונית עולה: צריך להראות ש עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \geqa לא מוכרת): a_{n+1}\geqa_n
עבור: זה אכן נכון כי
נניח שהטענה הכונה עבור כלומר: עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \geqa לא מוכרת): a_{n+1}\geqa_n
נוכיח עבור כלומר נוכיח כי
זה נכון מפני ש
ובזאת הוכחנו שהיא מונוטונית עולה.
נוכיח שהסדרה חסומה מלעיל ע"י 2, באינדוקציה:
2) חסימות מלעיל: צריך להראות ש .
עבור אכן .
נניח שעבור מתקיים .
אז גם עבור מתקיים
כנדרש.
לכן זו סדרה מונוטונית עולה וחסומה מלעיל ולכן היא מתכנסת. נסמן את גבולה ב .
נמצא את הגבול באמצעות הטריק הרגיל.
נפעיל בשני אגפים של המשוואה
ונקבל
כלומר
.
ובזה סיימנו את הפתרון.
סעיף ב
קבעו אם הטורים הבאים מתכנסים