הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעה/בוחן 1 - פתרון"
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) (←שאלה 3 (30 נק)) |
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) (←סעיף א) |
||
שורה 117: | שורה 117: | ||
כעת נוכיח באינדוקציה שהיא מונוטונית עולה: | כעת נוכיח באינדוקציה שהיא מונוטונית עולה: | ||
− | 1) מונוטונית עולה: צריך להראות ש <math>a_{n+1}\ | + | 1) מונוטונית עולה: צריך להראות ש <math>a_{n+1}\geq a_n</math> |
עבור: <math>n=1</math> זה אכן נכון כי | עבור: <math>n=1</math> זה אכן נכון כי | ||
שורה 123: | שורה 123: | ||
<math>a_2=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}>1=a_1</math> | <math>a_2=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}>1=a_1</math> | ||
− | נניח שהטענה הכונה עבור <math>n</math> כלומר: <math>a_{n+1}\ | + | נניח שהטענה הכונה עבור <math>n</math> כלומר: <math>a_{n+1}\geq a_n</math> |
נוכיח עבור <math>n+1</math> כלומר נוכיח כי | נוכיח עבור <math>n+1</math> כלומר נוכיח כי |
גרסה מ־09:26, 24 בדצמבר 2014
תוכן עניינים
שאלה 1 (30 נק)
סעיף א
תהיינה שתי סדרות כך ש:
- 1.
- 2.
הוכיחו/הפריכו:
סעיף ב
תהי סדרה וקבוע כך ש
הוכיחו כי מתכנסת.
(רמז: יש בשאלה הזו קושי)
שאלה 2 (40 נק)
סעיף א
לכל שתי קבוצות לא ריקות וחסומות מלעיל.
- 1. הוכיחו/הפריכו:
- 2. הוכיחו/הפריכו:
פתרון:
1) לא נכון. ניקח ו
אז
אבל
2) נכון.
בלי הגבלת כלליות נניח ש ולכן
נסמן .
נוכיח ש מקיים את שתי התכונות של
תכונה א) חסם מלעיל: יהי . אם אז בוודאי
ואם אז
ולכן אכן חסם מלעיל של
תכונה ב) חסם מלעיל הכי קטן: נניח ש (צריך להראות ש אינו חסם מעליל של )
היות ש אז קיים כך ש (לפי תכונה של חסם עליון של )
אבל בוודאי כלומר קיים איבר כך ש ולכן אינו חסם מלעיל של כנדרש.
אכן הוכחנו כי חסם עליון של . ובזה סיימנו.
סעיף ב
נניח .
- הוכיחו/הפריכו:
פתרון: הטענה נכונה.
תהי תת סדרה של כך ש
(הרי יש תת סדרה שמתכנסת לגבול העליון)
היות ש ,
אז כמובן ש
(כי תת סדרה של סדרה מתכנסת, מתכנסת לאותו מספר).
ולכן
כלומר הוא גם גבול חלקי של ולכן
(כי הוא הגבול החלקי הגדול ביותר)
בדרך דומה מוכיחים
ולכן
כנדרש
שאלה 3 (30 נק)
סעיף א
תהי סדרה המוגדרת ע"י כלל הנסיגה
הוכיחו כי הסדרה מתכנסת ומצאו את גבולה
פתרון:
נרצה להוכיח כי הסדרה מונוטונית עולה וחסומה.
ראשית נשים לב שהסדרה חיובית כי תמיד . (וגם )
לכן אפשר לכתוב את הסדרה
כעת נוכיח באינדוקציה שהיא מונוטונית עולה:
1) מונוטונית עולה: צריך להראות ש
עבור: זה אכן נכון כי
נניח שהטענה הכונה עבור כלומר:
נוכיח עבור כלומר נוכיח כי
זה נכון מפני ש
ובזאת הוכחנו שהיא מונוטונית עולה.
נוכיח שהסדרה חסומה מלעיל ע"י 2, באינדוקציה:
2) חסימות מלעיל: צריך להראות ש .
עבור אכן .
נניח שעבור מתקיים .
אז גם עבור מתקיים
כנדרש.
לכן זו סדרה מונוטונית עולה וחסומה מלעיל ולכן היא מתכנסת. נסמן את גבולה ב .
נמצא את הגבול באמצעות הטריק הרגיל.
נפעיל בשני אגפים של המשוואה
ונקבל
כלומר
.
ובזה סיימנו את הפתרון.
סעיף ב
קבעו אם הטורים הבאים מתכנסים