הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעה/בוחן 1 - פתרון"
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) (←סעיף א) |
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) (←סעיף ב) |
||
שורה 170: | שורה 170: | ||
קבעו אם הטורים הבאים מתכנסים | קבעו אם הטורים הבאים מתכנסים | ||
+ | 1) | ||
::<math>\sum_{n=1}^\infty (\sqrt{n^2+n+1}-n)</math> | ::<math>\sum_{n=1}^\infty (\sqrt{n^2+n+1}-n)</math> | ||
+ | פתרון: נשים לב ש | ||
+ | |||
+ | <math>\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}\sqrt{n^2+n+1}-n=\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}\frac{(\sqrt{n^2+n+1}-n)(\sqrt{n^2+n+1}+n)}{\sqrt{n^2+n+1}+n}=\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}\frac{n^2+n+1-n^2}{\sqrt{n^2+n+1}+n}</math> | ||
+ | |||
+ | <math>=\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}\frac{1+\frac{1}{n}}{\sqrt{1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}+1}=\frac{1}{2}</math> | ||
+ | |||
+ | כלומר הסדרה בתוך הטור לא מתכנסת ל 0 ולכן הטור מתבדר. | ||
+ | |||
+ | 2) | ||
::<math>\sum_{n=1}^\infty\frac{2^n+(-2)^n}{3^n}</math> | ::<math>\sum_{n=1}^\infty\frac{2^n+(-2)^n}{3^n}</math> | ||
+ | |||
+ | פתרון: נשים לב שזה בעצם סכום של שני הטורים | ||
+ | |||
+ | <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{2^n}{3^n}+\sum_{n=1}^\infty\frac{(-2)^n}{3^n}=\sum_{n=1}^\infty(\frac{2}{3})^n+\sum_{n=1}^\infty(\frac{(-2)}{3})^n</math> | ||
+ | |||
+ | כל אחד מהטורים האלה הוא טור הנדסי שהמנה שלו בין <math>-1</math> ל <math>1</math> ולכן הוא טור מתכנס. | ||
+ | |||
+ | ולכן גם סכומם שהוא הטור שלנו, מתכנס. |
גרסה מ־09:34, 24 בדצמבר 2014
תוכן עניינים
שאלה 1 (30 נק)
סעיף א
תהיינה שתי סדרות כך ש:
- 1.
- 2.
הוכיחו/הפריכו:
סעיף ב
תהי סדרה וקבוע כך ש
הוכיחו כי מתכנסת.
(רמז: יש בשאלה הזו קושי)
שאלה 2 (40 נק)
סעיף א
לכל שתי קבוצות לא ריקות וחסומות מלעיל.
- 1. הוכיחו/הפריכו:
- 2. הוכיחו/הפריכו:
פתרון:
1) לא נכון. ניקח ו
אז
אבל
2) נכון.
בלי הגבלת כלליות נניח ש ולכן
נסמן .
נוכיח ש מקיים את שתי התכונות של
תכונה א) חסם מלעיל: יהי . אם אז בוודאי
ואם אז
ולכן אכן חסם מלעיל של
תכונה ב) חסם מלעיל הכי קטן: נניח ש (צריך להראות ש אינו חסם מעליל של )
היות ש אז קיים כך ש (לפי תכונה של חסם עליון של )
אבל בוודאי כלומר קיים איבר כך ש ולכן אינו חסם מלעיל של כנדרש.
אכן הוכחנו כי חסם עליון של . ובזה סיימנו.
סעיף ב
נניח .
- הוכיחו/הפריכו:
פתרון: הטענה נכונה.
תהי תת סדרה של כך ש
(הרי יש תת סדרה שמתכנסת לגבול העליון)
היות ש ,
אז כמובן ש
(כי תת סדרה של סדרה מתכנסת, מתכנסת לאותו מספר).
ולכן
כלומר הוא גם גבול חלקי של ולכן
(כי הוא הגבול החלקי הגדול ביותר)
בדרך דומה מוכיחים
ולכן
כנדרש
שאלה 3 (30 נק)
סעיף א
תהי סדרה המוגדרת ע"י כלל הנסיגה
הוכיחו כי הסדרה מתכנסת ומצאו את גבולה
פתרון:
נרצה להוכיח כי הסדרה מונוטונית עולה וחסומה.
ראשית נשים לב שהסדרה חיובית כי תמיד . (וגם )
לכן אפשר לכתוב את הסדרה
כעת נוכיח באינדוקציה שהיא מונוטונית עולה:
1) מונוטונית עולה: צריך להראות ש
עבור: זה אכן נכון כי
נניח שהטענה הכונה עבור כלומר:
נוכיח עבור כלומר נוכיח כי
זה נכון מפני ש
ובזאת הוכחנו שהיא מונוטונית עולה.
נוכיח שהסדרה חסומה מלעיל ע"י 2, באינדוקציה:
2) חסימות מלעיל: צריך להראות ש .
עבור אכן .
נניח שעבור מתקיים .
אז גם עבור מתקיים
כנדרש.
לכן זו סדרה מונוטונית עולה וחסומה מלעיל ולכן היא מתכנסת. נסמן את גבולה ב .
נמצא את הגבול באמצעות הטריק הרגיל.
נפעיל בשני אגפים של המשוואה
ונקבל
כלומר
.
ובזה סיימנו את הפתרון.
סעיף ב
קבעו אם הטורים הבאים מתכנסים
1)
פתרון: נשים לב ש
כלומר הסדרה בתוך הטור לא מתכנסת ל 0 ולכן הטור מתבדר.
2)
פתרון: נשים לב שזה בעצם סכום של שני הטורים
כל אחד מהטורים האלה הוא טור הנדסי שהמנה שלו בין ל ולכן הוא טור מתכנס.
ולכן גם סכומם שהוא הטור שלנו, מתכנס.