'''הוכיחו/הפריכו:'''
::<math>\lim a_n^2-b_n^2= 0</math>
פתרון משופר ומעודכן: הטענה נכונה.
נשים לב ש
<math>(a_n)^2-(b_n)^2=(a_n+b_n)(a_n-b_n)</math>
עכשיו, ידוע כי <math>\displaystyle{\lim_{n\to \infty}} a_n-b_n=0</math>
לכן אם נוכיח כי <math>a_n+b_n</math> היא סדרה חסומה, נקבל כי אכן <math>\displaystyle{\lim_{n\to\infty}} a_n^2-b_n^2= 0</math>.
לכן נותר להוכיח כי <math>a_n+b_n</math> סדרה חסומה.
היות ש <math>\displaystyle{\lim_{n\to \infty}} (a_{n})^2+(b_{n})^2=L\in\mathbb{R}</math>
נקבל כי הסדרה <math>(a_{n})^2+(b_{n})^2</math> חסומה.
אבל <math>0\leq(a_{n})^2\leq(a_{n})^2+(b_{n})^2</math>
ולכן גם <math>(a_{n})^2</math> סדרה חסומה ולכן גם <math>a_n</math> חסומה.
באופן דומה מראים ש <math>b_n</math> חסומה ולכן גם סכומן חסום כנדרש.
===סעיף ב===
(רמז: יש בשאלה הזו '''קושי''')
פתרון: יש פתרון כאן
[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות/קושי|מערך תרגול על סדרות קושי]]
==שאלה 2 (40 נק)==
הוכיחו כי הסדרה מתכנסת ומצאו את גבולה
(בכתיבה)פתרון:
נרצה להוכיח כי הסדרה מונוטונית עולה וחסומה.
ראשית נוכיח נשים לב שהסדרה חיובית (מה שדי ברור). למען הדיוק נוכיחזאת באופן מסודר באינדוקציה. כלומר רוצים להוכיח ש כי תמיד <math>a_n=1+\geq frac{|a_n|}{2}>0</math>.(וגם <math>a_1=1>0</math>)
עבור <math>n=1</math> אכן <math>a_1>=1\geq 0</math>.לכן אפשר לכתוב את הסדרה
<math>a_{n+1}=1+\frac{a_n}{2}</math>
כעת נוכיח באינדוקציה שהיא מונוטונית עולה:
1) מונוטונית עולה: צריך להראות ש <math>a_{n+1}\geqa_ngeq a_n</math>
עבור: <math>n=1</math> זה אכן נכון כי
<math>a_2=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}>1=a_1</math>
נניח שהטענה הכונה עבור <math>n</math> כלומר: <math>a_{n+1}\geqa_ngeq a_n</math>
נוכיח עבור <math>n+1</math> כלומר נוכיח כי
זה נכון מפני ש
<math>a_{n+2}=1+\frac{a_{n+1}}{2}\geq 1+\frac{a_n}{2}=a_{n+1}</math> ובזאת הוכחנו שהיא מונוטונית עולה. נוכיח שהסדרה חסומה מלעיל ע"י 2, באינדוקציה: 2) חסימות מלעיל: צריך להראות ש <math>a_n\leq 2</math>. עבור <math>n=1</math> אכן <math>a_1=1<2</math>. נניח שעבור <math>n</math> מתקיים <math>a_n\leq 2</math>. אז גם עבור <math>n+1</math> מתקיים <math>a_{n+1}=1+\frac{a_n}{2}\leq 1+\frac{2}{2}=2</math> כנדרש. לכן זו סדרה מונוטונית עולה וחסומה מלעיל ולכן היא מתכנסת. נסמן את גבולה ב <math>L</math>. נמצא את הגבול באמצעות הטריק הרגיל. נפעיל <math>\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}</math> בשני אגפים של המשוואה <math>a_{n+1}=1+\frac{a_n}{2}</math> ונקבל <math>L=1+\frac{L}{2}</math> כלומר <math>L=2</math>. ובזה סיימנו את הפתרון.
===סעיף ב===
קבעו אם הטורים הבאים מתכנסים
1)
::<math>\sum_{n=1}^\infty (\sqrt{n^2+n+1}-n)</math>
פתרון: נשים לב ש
<math>\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}\sqrt{n^2+n+1}-n=\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}\frac{(\sqrt{n^2+n+1}-n)(\sqrt{n^2+n+1}+n)}{\sqrt{n^2+n+1}+n}=\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}\frac{n^2+n+1-n^2}{\sqrt{n^2+n+1}+n}</math>
<math>=\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}\frac{1+\frac{1}{n}}{\sqrt{1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}+1}=\frac{1}{2}</math>
כלומר הסדרה בתוך הטור לא מתכנסת ל 0 ולכן הטור מתבדר.
2)
::<math>\sum_{n=1}^\infty\frac{2^n+(-2)^n}{3^n}</math>
פתרון: נשים לב שזה בעצם סכום של שני הטורים
<math>\sum_{n=1}^\infty\frac{2^n}{3^n}+\sum_{n=1}^\infty\frac{(-2)^n}{3^n}=\sum_{n=1}^\infty(\frac{2}{3})^n+\sum_{n=1}^\infty(\frac{-2}{3})^n</math>
כל אחד מהטורים האלה הוא טור הנדסי שהמנה שלו בין <math>-1</math> ל <math>1</math> ולכן הוא טור מתכנס.
ולכן גם סכומם שהוא הטור שלנו, מתכנס.