שינויים

(בכתיבה)%פתרוןמשופר ומעודכן: הטענה נכונה.%נשים לב ש

%<math>(a_n)^2-(b_n)^2=(a_n+b_n)(a_n-b_n)</math>

%עכשיו, ידוע כי <math>\displaystyle{\lim_{n\to \infty}} a_n-b_n=0</math>

%לכן אם נוכיח כי <math>a_n+b_n</math> היא סדרה חסומה, נקבל כי אכן <math>\displaystyle{\lim_{n\to\infty}} a_n^2-b_n^2= 0</math>.

%לכן נותר להוכיח כי <math>a_n+b_n</math> סדרה חסומה.

%נניח בשלילה שהיא לא היות ש <math>\displaystyle{\lim_{n\to \infty}} (a_{n})^2+(b_{n})^2=L\in\mathbb{R}</math> נקבל כי הסדרה <math>(a_{n})^2+(b_{n})^2</math> חסומה. בלי הגבלת הכלליות נניח שהיא לא חסומה מלעיל  אבל <math>0\leq(אם היא לא a_{n})^2\leq(a_{n})^2+(b_{n})^2</math> ולכן גם <math>(a_{n})^2</math> סדרה חסומה מלרע ההוכחה ולכן גם <math>a_n</math> חסומה. באופן דומה)מראים ש <math>b_n</math> חסומה ולכן גם סכומן חסום כנדרש.