הבדלים בין גרסאות בדף "תשסד,סמסטר ב, מועד ב, שאלה 11"
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) |
|||
(גרסת ביניים אחת של משתמש אחר אחד אינה מוצגת) | |||
שורה 1: | שורה 1: | ||
השאלה: | השאלה: | ||
+ | |||
תהי <math>A \in M_n(C)</math> המטר' הבאה: <math>A=\begin{pmatrix} | תהי <math>A \in M_n(C)</math> המטר' הבאה: <math>A=\begin{pmatrix} | ||
0 & 0 & ... & 0 & 1\\ | 0 & 0 & ... & 0 & 1\\ | ||
שורה 7: | שורה 8: | ||
0 & 0 & ... & 1 & 0 | 0 & 0 & ... & 1 & 0 | ||
\end{pmatrix}</math> | \end{pmatrix}</math> | ||
− | מצא את צורת הז'ורדן שלה. | + | . מצא את צורת הז'ורדן שלה. |
מקור: [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2004_2_2_1.pdf] | מקור: [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2004_2_2_1.pdf] | ||
שורה 13: | שורה 14: | ||
'''פתרון:''' | '''פתרון:''' | ||
דבר ראשון נמצא ע"ע (ואז נראה שהתרגיל ממש קל) ע"י חישוב הפולינום האופייני | דבר ראשון נמצא ע"ע (ואז נראה שהתרגיל ממש קל) ע"י חישוב הפולינום האופייני | ||
+ | |||
+ | |||
<math>P_A(x) = | xI-A | = \begin{vmatrix} | <math>P_A(x) = | xI-A | = \begin{vmatrix} | ||
x & 0 & ... & 0 & -1\\ | x & 0 & ... & 0 & -1\\ | ||
שורה 21: | שורה 24: | ||
\end{vmatrix} | \end{vmatrix} | ||
</math> | </math> | ||
+ | |||
+ | |||
נפתח דטרמיננטה לפי העמודה הראשונה: | נפתח דטרמיננטה לפי העמודה הראשונה: | ||
+ | |||
+ | |||
<math>x\begin{vmatrix} | <math>x\begin{vmatrix} | ||
x & 0 & ... & 0 & 0\\ | x & 0 & ... & 0 & 0\\ |
גרסה אחרונה מ־16:04, 31 בינואר 2015
השאלה:
תהי המטר' הבאה: . מצא את צורת הז'ורדן שלה.
מקור: [1]
פתרון: דבר ראשון נמצא ע"ע (ואז נראה שהתרגיל ממש קל) ע"י חישוב הפולינום האופייני
נפתח דטרמיננטה לפי העמודה הראשונה:
כאשר שתי הדטרמיננטות הנ"ל הן של מטריצות מגודל ... הדטר' הראשונה היא של מטר' משולשית ושווה בדיוק לדטר' השנייה נעשה פיתוח לפי השורה הראשונה:
ולמזלנו קיבלנו מטר' משולשית שבאלכסונה 1-, ולכן (מכיוון שהגודל שלה הוא n-2) הדטר' שלה הוא: עכשיו נציב את כל מה שחישבנו בחישוב של הדטר' המקורית:
וקיבלנו שהפולינום האופייני של A הוא לפולינום זה אנחנו יודעים שיש n שורשים מרוכבים(ז"א n ע"ע של A), ומכיוון ש הריבוי האלגברי של כל אחד מהע"ע הללו [שורשי היחידה] הוא 1, ומכיוון שכל הגורמים הלינאריים של הפולינום האופייני מופיעים בפולינום המינימלי עם דרגה שקטנה מהדרגה בפולינום האופייני, הפולינום המינימלי של A זהה לפולינום האופייני שלה. כמו כן הריבוי הגיאומטרי של ע"ע, קטן מהריבוי האלגברי ולכן במקרה שלנו שווה ל 1.
בצורת ז'ורדן של מטר' הבלוק הגדול ביותר של ע"ע הוא החזקה של בפולינום המינימלי, ומספר הבלוקים שבאלכסונם שווה לריבוי הגיאמורי של .
שני הערכים הנ"ל במקרה שלנו שווים ל 1, ולכן צורת ז'ורדן של A היא מטר' בלוקים-אלכסונית עם בלוקים מגודל 1 (כל בלוק פעם אחת בלבד), ז"א שעל האלכסון שלה מופיעים כל הע"ע של A בדיוק פעם אחת. [ז"א ש A לכסינה]
אם נהיה יותר ספיציפים: יהיו שורשי היחידה מסדר n, אז צורת ז'ורדן של A היא: (כפי שלמדנו, סדר הבלוקים לא משנה)
הערה: החישוב שביצענו על מנת למצוא את הפולינום האופייני של A לא תקף עבור n=1,2 ולכן במקרים אלו צריך חישוב מיוחד שאכן נותן את הפולינומים בהתאמה, מה שמתאים להמשך הפתרון.