גרסה אחרונה מ־10:49, 29 ביוני 2015

חזרה למערכי השיעור

ערך מוחלט ואי שיוויונים

הערך המוחלט של מספר ממשי הוא האורך שלו, כלומר המרחק שלו מראשית הציר. לדוגמא:

[math]\displaystyle{ |7|=|-7|=7 }[/math]

ההגדרה המדוייקת של הערך המוחלט היא:

[math]\displaystyle{ |x|=\begin{cases}x & x\geq 0 \\ -x & x\lt 0\end{cases} }[/math]

תכונות של הערך המוחלט

לכל x מתקיים [math]\displaystyle{ |x|\geq 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ |x|=0 }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ x=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ |x\cdot y| = |x|\cdot |y| }[/math]

[math]\displaystyle{ (|x|)^2=x^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ x\leq |x| }[/math]

אי שיוויון המשולש: [math]\displaystyle{ |x+y|\leq |x|+|y| }[/math]

[math]\displaystyle{ ||x|-|y||\leq |x-y| }[/math]

[math]\displaystyle{ |x-y| }[/math] הוא המרחק בין x לבין y

נניח [math]\displaystyle{ L\geq 0 }[/math] אזי
- [math]\displaystyle{ |x|\leq L }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ -L\leq x\leq L }[/math]
- [math]\displaystyle{ |x|\geq L }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ x\geq L }[/math] או [math]\displaystyle{ x\leq -L }[/math]

תכונות של אי שיוויונים

[math]\displaystyle{ x\leq y }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ -x\geq -y }[/math]

נניח [math]\displaystyle{ 0\leq x,y }[/math] אזי [math]\displaystyle{ x\leq y }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ x^2\leq y^2 }[/math]

נניח [math]\displaystyle{ 0\lt x,y }[/math] אזי [math]\displaystyle{ x\leq y }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ \frac{1}{x} \geq \frac{1}{y} }[/math]

תרגילים

תרגיל: הוכח את אי שיוויון המשולש

תרגיל: הוכח כי [math]\displaystyle{ ||x|-|y||\leq |x-y| }[/math]

תרגיל: יהיו [math]\displaystyle{ x,y,z\in\mathbb{R} }[/math] מספרים ממשיים. יהי [math]\displaystyle{ 0\lt \epsilon\in\mathbb{R} }[/math] מספר ממשי חיובי. עוד נניח כי מתקיים:

[math]\displaystyle{ |x-y|\leq \frac{\epsilon}{2}, |y-z|\leq \frac{\epsilon}{2} }[/math]

הוכח כי [math]\displaystyle{ |x-z|\leq \epsilon }[/math]

תרגיל: מצא עבור אילו ערכי x מתקיים אי השיוויון הבא:

[math]\displaystyle{ |2x-1|\gt |x-1| }[/math]

תרגיל: מצא עבור אילו ערכי x מתקיים אי השיוויון הבא:

[math]\displaystyle{ (x-a)(x-b)\gt 0 }[/math]

(חלק למקרים כאשר a=b וכאשר a שונה מ-b)

תרגיל: נגדיר פונקציה f כך שאם n זוגי אזי [math]\displaystyle{ f(n)=2n }[/math] ואם n אינו זוגי אזי [math]\displaystyle{ f(n)=\frac{n}{2} }[/math]

האם יש פתרון למשוואה [math]\displaystyle{ f(n)=7 }[/math]?

תרגיל: מצא עבור אילו ערכי x מתקיים אי השיוויון הבא:

[math]\displaystyle{ |x^2-5x+4|\gt |x^2-5x| }[/math]

אי שיוויונים מעריכיים

נניח [math]\displaystyle{ a\gt 1 }[/math], אזי

[math]\displaystyle{ a^x\leq a^y }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ x\leq y }[/math]

תרגיל: נניח כי [math]\displaystyle{ a\lt 1 }[/math] הוכח כי:

[math]\displaystyle{ a^x\leq a^y }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ x\geq y }[/math]

תרגיל: מצא לאילו ערכים של [math]\displaystyle{ a,x }[/math] מתקיים אי השיוויון הבא:

[math]\displaystyle{ a^x\lt 1 }[/math]

תרגיל: מצא לאילו ערכי x מתקיים אי השיוויון הבא:

[math]\displaystyle{ |x-1|^{x^2+2x} \lt \frac{1}{|x-1|} }[/math]

תרגיל: הראה כי

אם [math]\displaystyle{ a\gt 1 }[/math] אזי

[math]\displaystyle{ \log_a(x)\leq\log_a(y) }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ 0\lt x\leq y }[/math]

ואם [math]\displaystyle{ a\lt 1 }[/math] אזי

[math]\displaystyle{ \log_a(x)\leq\log_a(y) }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ 0\lt y\leq x }[/math]

תרגיל: מצא עבור אילו ערכי x מתקיים אי השיוויון הבא:

[math]\displaystyle{ \log_3(x)\gt log_9(x+1) }[/math]

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
-=ערך מוחלט=
+[[מכינה למחלקת מתמטיקה/מערכי שיעור|חזרה למערכי השיעור]]
+=ערך מוחלט ואי שיוויונים=
 הערך המוחלט של מספר ממשי הוא האורך שלו, כלומר המרחק שלו מראשית הציר. לדוגמא:
@@ שורה 22: / שורה 24: @@
 *<math>|x\cdot y| = |x|\cdot |y|</math>
+*<math>(|x|)^2=x^2</math>
@@ שורה 42: / שורה 46: @@
 *נניח <math>L\geq 0</math> אזי
 **<math>|x|\leq L</math> אם ורק אם <math>-L\leq x\leq L</math>
+**<math>|x|\geq L</math> אם ורק אם <math>x\geq L</math> '''או''' <math>x\leq -L</math>
+==תכונות של אי שיוויונים==
+*<math>x\leq y</math> אם ורק אם <math>-x\geq -y</math>
+*נניח <math>0\leq x,y</math> אזי <math>x\leq y</math> אם ורק אם <math>x^2\leq y^2</math>
+*נניח <math>0< x,y</math> אזי <math>x\leq y</math> אם ורק אם <math>\frac{1}{x} \geq \frac{1}{y}</math>
+==תרגילים==
+'''תרגיל''': הוכח את אי שיוויון המשולש
+'''תרגיל''': הוכח כי <math>||x|-|y||\leq |x-y|</math>
+'''תרגיל''': יהיו <math>x,y,z\in\mathbb{R}</math> מספרים ממשיים. יהי <math>0<\epsilon\in\mathbb{R} </math> מספר ממשי חיובי. עוד נניח כי מתקיים:
+::<math>|x-y|\leq \frac{\epsilon}{2}, |y-z|\leq \frac{\epsilon}{2}</math>
+הוכח כי <math>|x-z|\leq \epsilon</math>
+'''תרגיל''': מצא עבור אילו ערכי x מתקיים אי השיוויון הבא:
+::<math>|2x-1|>|x-1|</math>
-**<math>|x|\geq L</math> אם ורק אם <math>x\geq L</math> '''או''' <math>x\leq -L</math>
+'''תרגיל''': מצא עבור אילו ערכי x מתקיים אי השיוויון הבא:
+::<math>(x-a)(x-b)>0</math>
+(חלק למקרים כאשר a=b וכאשר a שונה מ-b)
+'''תרגיל''': נגדיר פונקציה f כך שאם n זוגי אזי <math>f(n)=2n</math> ואם n אינו זוגי אזי <math>f(n)=\frac{n}{2}</math>
+האם יש פתרון למשוואה <math>f(n)=7</math>?
+'''תרגיל''': מצא עבור אילו ערכי x מתקיים אי השיוויון הבא:
+::<math>|x^2-5x+4|>|x^2-5x|</math>
+=אי שיוויונים מעריכיים=
+נניח <math>a>1</math>, אזי
+::<math>a^x\leq a^y</math> אם ורק אם <math>x\leq y</math>
+'''תרגיל''': נניח כי <math>a<1</math> הוכח כי:
+::<math>a^x\leq a^y</math> אם ורק אם <math>x\geq y</math>
+'''תרגיל''': מצא לאילו ערכים של <math>a,x</math> מתקיים אי השיוויון הבא:
+::<math>a^x<1</math>
+'''תרגיל''': מצא לאילו ערכי x מתקיים אי השיוויון הבא:
+::<math>|x-1|^{x^2+2x} < \frac{1}{|x-1|}</math>
+'''תרגיל''': הראה כי
+אם <math>a>1</math> אזי
+::<math>\log_a(x)\leq\log_a(y)</math> אם ורק אם <math>0<x\leq y</math>
+ואם <math>a<1</math> אזי
+::<math>\log_a(x)\leq\log_a(y)</math> אם ורק אם <math>0<y\leq x</math>
+'''תרגיל''': מצא עבור אילו ערכי x מתקיים אי השיוויון הבא:
+::<math>\log_3(x)>log_9(x+1)</math>