הבדלים בין גרסאות בדף "88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/4"
מתוך Math-Wiki
(יצירת דף עם התוכן "=מרחבים וקטורים= דוגמא שכדאי שתהיה ברקע ּ<math>V=\mathbb{R}^{3}:=\{(x,y,z)\,|\, x,y,z,\in\mathbb{R}\}</math> עם '''חיבו...") |
(←מרחבים וקטורים) |
||
שורה 2: | שורה 2: | ||
דוגמא שכדאי שתהיה ברקע ּ<math>V=\mathbb{R}^{3}:=\{(x,y,z)\,|\, x,y,z,\in\mathbb{R}\}</math> עם '''חיבור''' | דוגמא שכדאי שתהיה ברקע ּ<math>V=\mathbb{R}^{3}:=\{(x,y,z)\,|\, x,y,z,\in\mathbb{R}\}</math> עם '''חיבור''' | ||
− | + | <math>(x_{1},y_{1},z_{1})+(x_{2},y_{2},z_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2})</math> ו'''כפל בסקלאר''' <math>\alpha\in\mathbb{R} , \alpha(x,y,z)=(\alpha z,\alpha y,\alpha z)</math> הוא מרחב וקטורי. | |
ההגדרה הפורמאלית מכלילה את הדוגמא. | ההגדרה הפורמאלית מכלילה את הדוגמא. | ||
שורה 14: | שורה 14: | ||
אקסיומות מרחב וקטורי: | אקסיומות מרחב וקטורי: | ||
− | '''אקסיומות של החיבור ב <math>V</math>:''' | + | #'''אקסיומות של החיבור ב <math>V</math>:''' |
לכל <math>v,w,u\in V</math> מתקיים | לכל <math>v,w,u\in V</math> מתקיים | ||
− | # מוגדרות: <math>v+w\in V</math> . | + | ## מוגדרות: <math>v+w\in V</math> . |
− | #קיבוץ: <math>v+(u+w)=(v+u)+w</math> . | + | ##קיבוץ: <math>v+(u+w)=(v+u)+w</math> . |
− | #חילוף: <math>v+u=u+v</math> . | + | ##חילוף: <math>v+u=u+v</math> . |
− | #איבר נטרלי: <math>\exists0\in V:\,\forall v\in V:0+v=v</math> . | + | ##איבר נטרלי: <math>\exists0\in V:\,\forall v\in V:0+v=v</math> . |
− | #איבר נגדי: <math>\forall v\in V\,\exists(-v)\in V:\, v+(-v)=0</math> . | + | ##איבר נגדי: <math>\forall v\in V\,\exists(-v)\in V:\, v+(-v)=0</math> . |
− | '''אקסיומות של כפל וחיבור של שדה''' -בהגדרת שדה | + | #'''אקסיומות של כפל וחיבור של שדה''' -בהגדרת שדה |
− | '''אקסיומות כפל בסקלאר''' | + | #'''אקסיומות כפל בסקלאר''' |
לכל <math>v,u\in V,\alpha,\beta\in\mathbb{F}</math> מתקיים | לכל <math>v,u\in V,\alpha,\beta\in\mathbb{F}</math> מתקיים | ||
− | #מוגדרות <math>\alpha v\in V</math> | + | ##מוגדרות <math>\alpha v\in V</math> |
− | #קיבוץ: <math>\alpha(\beta v)=(\alpha\beta)v</math> | + | ##קיבוץ: <math>\alpha(\beta v)=(\alpha\beta)v</math> |
− | #כפל ביחידה (של השדה): <math>1_{\mathbb{F}}\cdot v=v</math> | + | ##כפל ביחידה (של השדה): <math>1_{\mathbb{F}}\cdot v=v</math> |
− | # פילוג: | + | ## פילוג: |
− | ##<math>\alpha(v+u)=\alpha v+\alpha u</math> | + | ###<math>\alpha(v+u)=\alpha v+\alpha u</math> |
− | ## <math>(\alpha+\beta)v=\alpha v+\beta v</math> | + | ### <math>(\alpha+\beta)v=\alpha v+\beta v</math> |
טרמינולוגיה: אומרים ש <math>V</math> מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}</math>. | טרמינולוגיה: אומרים ש <math>V</math> מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}</math>. |
גרסה מ־12:07, 9 ביולי 2015
מרחבים וקטורים
דוגמא שכדאי שתהיה ברקע ּ עם חיבור וכפל בסקלאר הוא מרחב וקטורי.
ההגדרה הפורמאלית מכלילה את הדוגמא.
הגדרה: מרחב וקטורי הוא רביעיה , כאשר
- היא קבוצה המוגדרת בה פעולה בינארית של חיבור (+). כלומר
- הוא שדה. זכרו שבשדה גם מוגדרות פעולות חיבור וכפל, לא להתבלבל עם החיבור של וכפל בסקלאר.
- כפל בסקלאר () היא פעולה המקשרת בין איברי V לאיברי .
פורמאלית .
אקסיומות מרחב וקטורי:
- אקסיומות של החיבור ב :
לכל מתקיים
- מוגדרות: .
- קיבוץ: .
- חילוף: .
- איבר נטרלי: .
- איבר נגדי: .
- אקסיומות של כפל וחיבור של שדה -בהגדרת שדה
- אקסיומות כפל בסקלאר
לכל מתקיים
- מוגדרות
- קיבוץ:
- כפל ביחידה (של השדה):
- פילוג:
טרמינולוגיה: אומרים ש מרחב וקטורי מעל .
איברי נקראים וקטורים. איברי נקראים סקלארים.
תכונות בסיסיות:
.1
.2