הבדלים בין גרסאות בדף "88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/4"
מתוך Math-Wiki
(←מרחבים וקטורים) |
(←מרחבים וקטורים) |
||
שורה 1: | שורה 1: | ||
=מרחבים וקטורים= | =מרחבים וקטורים= | ||
− | דוגמא שכדאי שתהיה ברקע ּ<math>V=\mathbb{R}^{3}:=\{(x,y,z)\,|\, x,y,z,\in\mathbb{R}\}</math> | + | דוגמא שכדאי שתהיה ברקע ּ<math>V=\mathbb{R}^{3}:=\{(x,y,z)\,|\, x,y,z,\in\mathbb{R}\}</math> |
− | <math>(x_{1},y_{1},z_{1})+(x_{2},y_{2},z_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2})</math> | + | |
+ | עם '''חיבור''' | ||
+ | <math>(x_{1},y_{1},z_{1})+(x_{2},y_{2},z_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2})</math> | ||
+ | |||
+ | ו'''כפל בסקלאר''' <math>\alpha\in\mathbb{R} , \alpha(x,y,z)=(\alpha z,\alpha y,\alpha z)</math> הוא מרחב וקטורי. | ||
ההגדרה הפורמאלית מכלילה את הדוגמא. | ההגדרה הפורמאלית מכלילה את הדוגמא. | ||
שורה 15: | שורה 19: | ||
#'''אקסיומות של החיבור ב <math>V</math>:''' | #'''אקסיומות של החיבור ב <math>V</math>:''' | ||
− | |||
לכל <math>v,w,u\in V</math> מתקיים | לכל <math>v,w,u\in V</math> מתקיים | ||
− | |||
## מוגדרות: <math>v+w\in V</math> . | ## מוגדרות: <math>v+w\in V</math> . | ||
##קיבוץ: <math>v+(u+w)=(v+u)+w</math> . | ##קיבוץ: <math>v+(u+w)=(v+u)+w</math> . | ||
שורה 23: | שורה 25: | ||
##איבר נטרלי: <math>\exists0\in V:\,\forall v\in V:0+v=v</math> . | ##איבר נטרלי: <math>\exists0\in V:\,\forall v\in V:0+v=v</math> . | ||
##איבר נגדי: <math>\forall v\in V\,\exists(-v)\in V:\, v+(-v)=0</math> . | ##איבר נגדי: <math>\forall v\in V\,\exists(-v)\in V:\, v+(-v)=0</math> . | ||
− | |||
#'''אקסיומות של כפל וחיבור של שדה''' -בהגדרת שדה | #'''אקסיומות של כפל וחיבור של שדה''' -בהגדרת שדה | ||
− | |||
#'''אקסיומות כפל בסקלאר''' | #'''אקסיומות כפל בסקלאר''' | ||
− | |||
לכל <math>v,u\in V,\alpha,\beta\in\mathbb{F}</math> מתקיים | לכל <math>v,u\in V,\alpha,\beta\in\mathbb{F}</math> מתקיים | ||
− | |||
##מוגדרות <math>\alpha v\in V</math> | ##מוגדרות <math>\alpha v\in V</math> | ||
##קיבוץ: <math>\alpha(\beta v)=(\alpha\beta)v</math> | ##קיבוץ: <math>\alpha(\beta v)=(\alpha\beta)v</math> |
גרסה מ־12:08, 9 ביולי 2015
מרחבים וקטורים
דוגמא שכדאי שתהיה ברקע ּ
עם חיבור
וכפל בסקלאר הוא מרחב וקטורי.
ההגדרה הפורמאלית מכלילה את הדוגמא.
הגדרה: מרחב וקטורי הוא רביעיה , כאשר
- היא קבוצה המוגדרת בה פעולה בינארית של חיבור (+). כלומר
- הוא שדה. זכרו שבשדה גם מוגדרות פעולות חיבור וכפל, לא להתבלבל עם החיבור של וכפל בסקלאר.
- כפל בסקלאר () היא פעולה המקשרת בין איברי V לאיברי .
פורמאלית .
אקסיומות מרחב וקטורי:
- אקסיומות של החיבור ב :
לכל מתקיים
- מוגדרות: .
- קיבוץ: .
- חילוף: .
- איבר נטרלי: .
- איבר נגדי: .
- אקסיומות של כפל וחיבור של שדה -בהגדרת שדה
- אקסיומות כפל בסקלאר
לכל מתקיים
- מוגדרות
- קיבוץ:
- כפל ביחידה (של השדה):
- פילוג:
טרמינולוגיה: אומרים ש מרחב וקטורי מעל .
איברי נקראים וקטורים. איברי נקראים סקלארים.
תכונות בסיסיות:
.1
.2