הבדלים בין גרסאות בדף "88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/4"
(←דוגמאות ודוגמאות נגדיות) |
(←דוגמאות ודוגמאות נגדיות) |
||
שורה 98: | שורה 98: | ||
<math>-1(1,1)=(-1,-1)\not\notin W</math> | <math>-1(1,1)=(-1,-1)\not\notin W</math> | ||
− | ב. <math>W=\{(x,y)\,|\, x,y\geq0\:\text{or}x,y\leq0\}</math> | + | ב. <math>W=\{(x,y)\,|\, x,y\geq0\:\text{ or }x,y\leq0\}</math> |
(הרביע החיובי והשלילי) אינו תת מרחב כי <math>\underset{\in W}{(2,4)}+\underset{\in W}{(-3,-3)}=(-1,1)\notin W</math> | (הרביע החיובי והשלילי) אינו תת מרחב כי <math>\underset{\in W}{(2,4)}+\underset{\in W}{(-3,-3)}=(-1,1)\notin W</math> | ||
שורה 111: | שורה 111: | ||
# ברור ש <math>W</math> לא ריקה כי <math>0\in W</math> | # ברור ש <math>W</math> לא ריקה כי <math>0\in W</math> | ||
# לכל <math>v_1,v_2\in W,\,\alpha\in\mathbb{F}</math> רוצים להראות כי <math>\alpha v_1 +v_2 \in W</math>. לפי הגדרה צריך להראות כי <math>A(\alpha v_1 +v_2)=0</math>. ואכן, <math>A(\alpha v_1 +v_2)=\alpha Av_1+Av_2=\alpha 0+0 =0+0=0</math>. | # לכל <math>v_1,v_2\in W,\,\alpha\in\mathbb{F}</math> רוצים להראות כי <math>\alpha v_1 +v_2 \in W</math>. לפי הגדרה צריך להראות כי <math>A(\alpha v_1 +v_2)=0</math>. ואכן, <math>A(\alpha v_1 +v_2)=\alpha Av_1+Av_2=\alpha 0+0 =0+0=0</math>. | ||
+ | |||
3. מרחב המטריצות <math>V=\mathbb{F}^{n\times n}</math> מעל <math>\mathbb{F}</math> | 3. מרחב המטריצות <math>V=\mathbb{F}^{n\times n}</math> מעל <math>\mathbb{F}</math> | ||
שורה 123: | שורה 124: | ||
נוכיח : | נוכיח : | ||
# ברור כי <math>W</math> אינה ריקה כי מטריצת האפס שייך ל <math>W</math> | # ברור כי <math>W</math> אינה ריקה כי מטריצת האפס שייך ל <math>W</math> | ||
− | ( | + | # לכל <math>A_1,A_2\in W,\,\alpha\in\mathbb{F}</math> רוצים להראות ש <math>\alpha A_1 +A_2 \in W</math> כלומר להראות שהמטריצה <math>\alpha A_1 +A_2</math> כולה אפסים פרט (אולי) למקום <math>1,1</math> וזה אכן כך בגלל שזאת הצורה של <math>A_1,A_2</math> |
+ | |||
+ | ב. המטריצות הסימטריות <math>W=\{A\in V\,|\, A^{t}=A\}</math> | ||
+ | והמטריצות האנטי-סימטריות <math>W=\{A\in V\,|\, A^{t}=-A\}</math> שתיהן תתי מרחב. | ||
+ | |||
+ | הוכחה (עבור הסימטריות) | ||
+ | # ברור כי <math>W</math> אינה ריקה כי מטריצת האפס שייך ל <math>W</math> | ||
+ | # לכל <math>A_1,A_2\in W,\,\alpha\in\mathbb{F}</math> רוצים להראות ש <math>\alpha A_1 +A_2 \in W</math> כלומר להראות שהמטריצה <math>\alpha A_1 +A_2</math> סימטרית. נתון כי <math>A_1^t=A_1,A_2^t=A_2</math>. כעת מחוקי שיחלוף | ||
+ | נקבל כי <math>(\alpha A_1 +A_2)^t=\alpha A_1^t +A_2^t=\alpha A_1 +A_2</math>. | ||
− | + | ג.המטריצות הסימטריות איחוד עם המטריצות האנטי סימטריות | |
− | 0 & 1\\ | + | <math>W=\{A\in V\,|\, A^{t}=A \text{ or } A^{t}=-A\}</math> '''אינו''' תת מרחב כי |
− | + | המטריצות | |
− | \ | + | <math> |
− | + | A_1 = \begin{array}{ccccc} | |
− | + | 0 & 1 & & 0\cdots & 0\\ | |
− | \end{array} | + | 1 & 0 & & 0 & 0\\ |
− | 0 & | + | \vdots & & \ddots & 0 & 0\\ |
− | -1 & 0 | + | 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 |
− | \ | + | \end{array} |
− | 1 & | + | A_2= |
− | + | \begin{array}{ccccc} | |
− | \ | + | 0 & -1 & & 0\cdots & 0\\ |
− | + | 1 & 0 & & 0 & 0\\ | |
− | 0 & | + | \vdots & & \ddots & 0 & 0\\ |
− | \end{array} | + | 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 |
+ | \end{array} | ||
+ | </math> | ||
+ | שייכות ל <math>W</math> אבל החיבור שלהם לא. | ||
.3 V=\mathbb{R}_{2}[x] מרחב הפלינומים מדרגה 2 מעל \mathbb{R} . | .3 V=\mathbb{R}_{2}[x] מרחב הפלינומים מדרגה 2 מעל \mathbb{R} . |
גרסה מ־12:52, 9 ביולי 2015
מרחבים וקטורים
דוגמא שכדאי שתהיה ברקע ּ
עם חיבור
וכפל בסקלאר הוא מרחב וקטורי.
ההגדרה הפורמאלית מכלילה את הדוגמא.
הגדרה: מרחב וקטורי הוא רביעיה , כאשר
- היא קבוצה המוגדרת בה פעולה בינארית של חיבור (+). כלומר
- הוא שדה. זכרו שבשדה גם מוגדרות פעולות חיבור וכפל, לא להתבלבל עם החיבור של וכפל בסקלאר.
- כפל בסקלאר () היא פעולה המקשרת בין איברי V לאיברי . פורמאלית
אקסיומות מרחב וקטורי:
- אקסיומות של החיבור ב : לכל מתקיים
- מוגדרות: .
- קיבוץ: .
- חילוף: .
- איבר נטרלי: .
- איבר נגדי: .
- אקסיומות של כפל וחיבור של שדה: בהגדרת שדה
- אקסיומות כפל בסקלאר: לכל מתקיים
- מוגדרות
- קיבוץ:
- כפל ביחידה (של השדה):
- פילוג:
טרמינולוגיה: אומרים ש מרחב וקטורי מעל .
איברי נקראים וקטורים. איברי נקראים סקלארים.
תכונות בסיסיות:
.1
.2
דוגמאות
1. מעל
עם חיבור
וכפל בסקלאר
2. מרחב המטריצות מעל שדה עם חיבור וכפל בסקלאר של מטריצות שהגדרנו כבר.
3. מרחב הפולינומים מעל שדה מדרגה קטנה שווה ל n. פורמאלית מעל שדה
עם פעולת חיבור פולינומים וכפל בסקלאר טבעיים.
4. מרחב הפולינומים עם חיבור וכפל בסקלאר מוכרים.
5. הוא מרחב וקטורי מעל עם חיבור וכפל "רגילים".
6. הוא מרחב וקטורי מעל .
הערה: הוא אינו מרחב וקטורי מעל (עם חיבור וכפל בסקלאר סטנדרטים) כי והכפל בניהם צריך להיות שייך ל אבל
תתי מרחבים
הגדרה יהיה מרחב וקטורי מעל . תת קבוצה יקרא תת מרחב אם הוא מרחב וקטורי בפני עצמו ביחס לפעולות V. סימון
הערה: כדי לבדוק אם W\subseteq V הוא תת מרחב מספיק לבדוק
- לכל מתקיים
- מוגדרות: .
- איבר נטרלי: 0 של נמצא ב-
- אקסיומות כפל בסקלאר: לכל מתקיים
- מוגדרות
את שאר האקסיומות יורש מ כתת קבוצה.
הערה: ניתן לרכז את הבדיקות הנ"ל מספיק לבדוק
- שלכל מתקיים .
אבחנה: תמיד תתי מרחבים ונקראים תתי המרחבים הטריוואלים.
דוגמאות ודוגמאות נגדיות
1. המישור האוקלידי מעל
א. (הרביע החיובי) אינו תת מרחב כי
ב. עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): W=\{(x,y)\,|\, x,y\geq0\:\text{ or }x,y\leq0\}
(הרביע החיובי והשלילי) אינו תת מרחב כי
ג. קו ישר העובר בראשית הוא כן תת מרחב. נוכיח את זה בסעיף הבא:
2. תהא מטריצה ונסתכל על אוסף הפתרונות למערכת ההומוגנית . פורמאלית .
טענה תת מרחב
הוכחה: נשתמש בקריטריון המקוצר
- ברור ש לא ריקה כי
- לכל רוצים להראות כי . לפי הגדרה צריך להראות כי . ואכן, .
3. מרחב המטריצות מעל
א. המטריצות מסוג
הן תת מרחב.
נוכיח :
- ברור כי אינה ריקה כי מטריצת האפס שייך ל
- לכל רוצים להראות ש כלומר להראות שהמטריצה כולה אפסים פרט (אולי) למקום וזה אכן כך בגלל שזאת הצורה של
ב. המטריצות הסימטריות והמטריצות האנטי-סימטריות שתיהן תתי מרחב.
הוכחה (עבור הסימטריות)
- ברור כי אינה ריקה כי מטריצת האפס שייך ל
- לכל רוצים להראות ש כלומר להראות שהמטריצה סימטרית. נתון כי . כעת מחוקי שיחלוף
נקבל כי .
ג.המטריצות הסימטריות איחוד עם המטריצות האנטי סימטריות אינו תת מרחב כי המטריצות שייכות ל אבל החיבור שלהם לא.
.3 V=\mathbb{R}_{2}[x] מרחב הפלינומים מדרגה 2 מעל \mathbb{R} .
(a) W=\mathbb{R}_{1}[x]=\{a+bx|\, a,b\in\mathbb{R}\} הינו תת מרחב כי באופן כללי \mathbb{R}_{n}[x] הוא מרחב וקטורי.
(b) W=\{a+bx|\,0\not=b\in\mathbb{R}\} הפולינומים מדרגה 1 בדיוק אינו תת מרחב. כי פולינום האפס שהוא האיבר הנטרלי ב V לא נמצא ב W 0\notin W .
.4 V=\mathbb{R} הוא מרחב וקטורי מעל \mathbb{F}=\mathbb{Q} .
(a) W=\mathbb{Q} הוא תת מרחב כי לכל v,w\in W,\,\alpha\in\mathbb{F} מתקיים \alpha v+w\in W .
.5 V=\mathbb{R} הוא מרחב וקטורי מעל \mathbb{F}=\mathbb{R} .
(a) W=\mathbb{Q} הוא אינו תת מרחב כי 1\in W,\,\sqrt{2}\in\mathbb{F} אבל 1\cdot\sqrt{2}=\sqrt{2}\notin W