שינויים
/* תרגיל 2 */
====תרגיל 2 ====
במרחב הוקטורי <math>V=\mathbb{R}^{2\times2}</math> מעל <math>\mathbb{R}</math> נגדיר <math>S=\{v_{1}=\left(\begin{array}{cc}1 & 1\\0 & 1\end{array}\right),v_{2}=\left(\begin{array}{cc}2 & 0\\1 & 3\end{array}\right),v_{3}=\left(\begin{array}{cc}1 & -1\\1 & 0\end{array}\right)\}</math> מהו <math>span(S)</math> ?
=====פתרון =====
שאלה שקולה: עבור אילו <math>a,b,c,d\in\mathbb{F}</math> קיימים סקלארים <math>\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}</math> כך ש
<math>\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\alpha_{3}v_{3}=\left(\begin{array}{cc}
a & b\\
c & d
\end{array}\right)</math>
אם נייצג כל מטריצה באמצעות וקטור. למשל
<math>\left(\begin{array}{cc}
2 & 0\\
1 & 3
\end{array}\right)\leftrightarrow\left(\begin{array}{c}
2\\
0\\
1\\
3
\end{array}\right)</math>
נוכל להחליף את המשוואה לעיל במשואאה
<math>\alpha_{1}\left(\begin{array}{c}
1\\
1\\
0\\
1
\end{array}\right)+\alpha_{2}\left(\begin{array}{c}
2\\
0\\
1\\
3
\end{array}\right)+\alpha_{3}\left(\begin{array}{c}
1\\
-1\\
1\\
0
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
a\\
b\\
c\\
d
\end{array}\right)</math>
(שימו לב שאלו בדיוק אותם ארבעת המשוואות).
כעת נוכל פשוט לשאול האם למערכת
<math>\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & 1 & a\\
1 & 0 & -1 & b\\
0 & 1 & 1 & c\\
1 & 3 & 0 & d
\end{array}\right)</math>
יש פתרון
נדרג ונבדוק:
<math>\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & 1 & a\\
1 & 0 & -1 & b\\
0 & 1 & 1 & c\\
1 & 3 & 0 & d
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & -1 & b\\
0 & 1 & 1 & c\\
1 & 3 & 0 & d\\
1 & 2 & 1 & a
\end{array}\right)\to\\\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & -1 & b\\
0 & 1 & 1 & c\\
0 & 3 & 1 & d-b\\
0 & 2 & 2 & a-b
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & -1 & b\\
0 & 1 & 1 & c\\
0 & 0 & -2 & d-b-3c\\
0 & 0 & 0 & a-b-2c
\end{array}\right)</math>
רואים שיש פתרון אמ"מ <math>a-b-2c=0</math>
לכן התשובה הסופית היא
<math>
span(S)=\{\left(\begin{array}{cc}
a & b\\
c & d
\end{array}\right)\,|\,a-b-2c=0\}=
{\left(\begin{array}{cc}
b+2c & b\\
c & d
\end{array}\right)\,|\,b,c,d\in \mathbb{R}\} =
\{\
b\left(\begin{array}{cc}
1 & 1\\
0 & 0
\end{array}\right)+c\left(\begin{array}{cc}
2 & 0\\
1 & 0
\end{array}\right)+d\left(\begin{array}{cc}
0 & 0\\
0 & 1
\end{array}\right)
\,|\,b,c,d\in \mathbb{R}\} =
span\{\left(\begin{array}{cc}
1 & 1\\
0 & 0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}
2 & 0\\
1 & 0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}
0 & 0\\
0 & 1
\end{array}\right)\}
</math>
==תלות לינארית==
