שינויים

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/10

נוספו 1,678 בתים, 08:29, 10 באוגוסט 2015
/* מציאת גרעין ותמונה בעזרת מטריצה מייצגת */
'''הגדרה.''' יהי V מ"ו ויהי U תת מרחב שלו. יהי B בסיס לV. אזי '''מרחב הקואורדינטות''' של U לפי B הינו <math>[U]_B:=\{[u]_B:u\in U\}</math>. כפי שלמדנו העתקת הקואורדינטות הינה איזומורפיזם ולכן בהנתן מרחב קואורדינטות קל למצוא את המרחב המקורי.
'''===תרגיל.''' === תהי A מטריצה ו-f פונקציה המוגדרת על ידי כפל במטריצה f(v)=Av. מצא את הגרעין ואת התמונה של f.
'''פתרון.''' קל לראות שהגרעין הינו <math>N(A)</math> והתמונה הינה <math>C(A)</math> (שכן Av הינו צירוף לינארי של עמודות A עם הסקלרים מv).
# '''העבר חזרה''' את מרחבי הקואורדינטות לצורה המקורית (ע"י כפל הסקלרים מהקואורדינטות באיברי הבסיס)
=== תרגיל ===
נגדיר ה"ל <math>T:\mathbb{R}^{2\times3}\to\mathbb{R}^{2}</math>
ע"י <math>T(A)=C_{1}(A)+C_{3}(A)</math>
(כאשר <math>C_{i}(A)</math> פירושו העמודה ה <math>i</math>-ית של <math>A</math>).
'''1. נגדיר <math>S=\left\{ e_{1,1},e_{1,2},e_{1,3},e_{2,1},e_{2,2},e_{2.3}\right\}</math> להיות הבסיס הסטנדרטי של <math>\mathbb{R}^{2\times3}</math>ו<math>B=\left\{ \left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right)\right\}</math> בסיס ל <math>\mathbb{R}^{2}</math>. מצא את המטריצה המייצגת <math>[T]_{B}^{S}</math> 2. מצא בסיס לגרעין של T ====פתרון====1. סמן <math>v_{1}=\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right),v_{2}=\left(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right)</math> מתקיים<math>Te_{1,1} = T(\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{array}\right))=\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)=1\cdot v_{1}+0\cdot v_{2} Te_{1,2} = \left(\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right)=0v_{1}+0v_{2} Te_{1,3} = \left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)=1\cdot v_{1}+0\cdot v_{2} Te_{2,1} = \left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)=-1\cdot v_{1}+1\cdot v_{2} Te_{2,2} = \left(\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right)=0v_{1}+0v_{2} Te_{2,3} = \left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)=-1\cdot v_{1}+1\cdot v_{2}</math> ולכן <math>[T]_{B}^{S}=\left(\begin{array}{cccccc}1 & 0 & 1 & -1 & 0 & -1\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1\end{array}\right)</math>  ===תרגיל. (6.14)'''===
א. מצא בצורה מפורשת העתקה לינארית <math>T:\mathbb{R}^4\rightarrow \mathbb{R}^4</math> כך שמתקיים <math>Im(T)=span\{(2,4,5,7),(1,2,1,1)\}</math>
'''====פתרון.'''====
א. פה אין דרישות רבות לתרגיל, רק דורשים תמונה מסוימת. אם כן, נשלח כל וקטור במרחב לצירוף לינארי של הוקטורים הנתונים, ונדאג לעבור על כל הצירופים האפשריים. <math>T(x,y,z,w)=x(2,4,5,7)+y(1,2,1,1)</math>. קל לראות שהתמונה היא בדיוק כפי שנדרש ע"י הכלה דו כיוונית.
'''===תרגיל. (6.16)''' === תהי <math>T:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3</math> העתקה לינארית המוגדרת על ידי <math>T(x,y,z)=(x+y,y+z,2x-2z)</math>
א. מצא בסיס לגרעין ולתמונה של T
ב. מצא בסיס סדור E ל<math>\mathbb{R}^3</math> כך ש <math>[T]^E_E=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & * & * \\ 0 & * & * \end{pmatrix}</math>
'''====פתרון.'''====
א. נמצא מטריצה מייצגת לפי הבסיס הסטנדרטי. נראה מה התמונה של איברי הבסיס:
'''===תרגיל.'''===
יהיו <math>V=\mathbb{Z}_2^3</math> ו<math>W=P(\{1,2,3\})</math> מ"ו מעל השדה <math>\mathbb{Z}_2</math>. (זכרו כי החיבור הוקטורי בקבוצת החזקה הינו הפרש סימטרי). תהי העתקה לינארית המוגדרת לפי משפט ההגדרה על ידי
מצא את הגרעין ואת התמונה של ההעתקה.
'''====פתרון.'''====
שוב אנו נתקלים במרחב יחסית חדש ואנו צריכים למצוא לו בסיס סנדרטי. הבסיס הסטנדרטי למרחב קבוצת החזקה הוא באופן טבעי הנקודונים, שכן כל תת קבוצה הינה הפרש סימטרי של הנקודונים של האיברים שבה. אם כן הבסיס הסטנדרטי הינו <math>S_P=\{\{1\},\{2\},\{3\}\}</math>. נגדיר בסיס
לסיכום <math>ImT=span\Big\{\{2,3\},\{1,3\}\Big\}=\Big\{\{\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2\}\Big\}</math> וזו התמונה של ההעתקה.
 
==תרגילים ממבחנים בנושא העתקות לינאריות==
2,232
עריכות