הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:אריתמטיקה של גבולות של פונקציות"
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) (יצירת דף עם התוכן "יהיו $ f,g $ פונקציות. \begin{theorem} אם $ \lim_{x\to a} f(x)=0 , \exists M \exists \delta \forall x:0<|x-a|<\delta\Rightarrow |g(x)|<M $ אז $...") |
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) |
||
(גרסת ביניים אחת של משתמש אחר אחד אינה מוצגת) | |||
שורה 1: | שורה 1: | ||
− | + | תהיינה $ f,g $ פונקציות. | |
− | \begin{ | + | \begin{thm} אם |
+ | $$ \lim_{x\to a} f(x)=0 ,\ \exists M \exists \delta \forall x:0<|x-a|<\delta\Rightarrow |g(x)|<M $$ | ||
+ | אז $ \lim_{x\to a} f(x) g(x) = 0 $ (מכפלה של פונקציה חסומה בסביבת נקודה בפונקציה ששואפת ל-0 בנק' זו היא פונקציה ששואפת ל-0) | ||
− | \end{ | + | \end{thm} |
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
− | נשתמש בעקרון היינה: נניח $x_n\to a $ ונראה כי $f(x_n)\to 0 $ וקיימת סביבה של $a$ בה $g(x_n) $ חסומה ולכן $f(x_n) g(x_n) \to 0 $ | + | נשתמש בעקרון היינה: נניח $x_n\to a $ ונראה כי $f(x_n)\to 0 $ וקיימת סביבה של $a$ בה $g(x_n) $ חסומה ולכן $f(x_n) g(x_n) \to 0 $ |
\end{proof} | \end{proof} | ||
− | + | \begin{thm} נניח ש- $ f(x) \to l_1 , g(x) \to l_2 $ (כאשר $l_1,l_2 \in \mathbb{R} $ ) אזי: | |
1. $\lim_{x\to a} (f(x)+g(x)) = l_1+l_2 $ | 1. $\lim_{x\to a} (f(x)+g(x)) = l_1+l_2 $ | ||
שורה 21: | שורה 23: | ||
4. אם $ l_1>0 $ אז $\lim_{x\to a} \frac{1}{f(x)} = \frac{1}{l_1} $ | 4. אם $ l_1>0 $ אז $\lim_{x\to a} \frac{1}{f(x)} = \frac{1}{l_1} $ | ||
− | \end{ | + | \end{thm} |
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
− | שוב נשתמש בעקרון היינה, נגדיר $x_n \to a , x_n \neq a $ | + | שוב נשתמש בעקרון היינה, נגדיר $x_n \to a , x_n \neq a $ ונשתמש באריתמטיקת גבולות של סדרות: |
+ | $$ \lim_{x\to a} f(x)+g(x) = \lim_{n\to \infty} f(x_n)+g(x_n) =\lim_{n\to \infty} f(x_n)+\lim_{n\to \infty}g(x_n)=l_1+l_2 $$ | ||
+ | השאר מוכחים באופן דומה. | ||
\end{proof} | \end{proof} |
גרסה אחרונה מ־07:08, 31 באוגוסט 2015
תהיינה $ f,g $ פונקציות.
\begin{thm} אם
$$ \lim_{x\to a} f(x)=0 ,\ \exists M \exists \delta \forall x:0<|x-a|<\delta\Rightarrow |g(x)|<M $$
אז $ \lim_{x\to a} f(x) g(x) = 0 $ (מכפלה של פונקציה חסומה בסביבת נקודה בפונקציה ששואפת ל-0 בנק' זו היא פונקציה ששואפת ל-0)
\end{thm}
\begin{proof} נשתמש בעקרון היינה: נניח $x_n\to a $ ונראה כי $f(x_n)\to 0 $ וקיימת סביבה של $a$ בה $g(x_n) $ חסומה ולכן $f(x_n) g(x_n) \to 0 $ \end{proof}
\begin{thm} נניח ש- $ f(x) \to l_1 , g(x) \to l_2 $ (כאשר $l_1,l_2 \in \mathbb{R} $ ) אזי:
1. $\lim_{x\to a} (f(x)+g(x)) = l_1+l_2 $
2. $ \lim_{x\to a} (f(x) g(x)) = l_1 l_2 $
3. אם $c$ קבוע אז $c\cdot f(x) \to cl_1 $
4. אם $ l_1>0 $ אז $\lim_{x\to a} \frac{1}{f(x)} = \frac{1}{l_1} $
\end{thm}
\begin{proof} שוב נשתמש בעקרון היינה, נגדיר $x_n \to a , x_n \neq a $ ונשתמש באריתמטיקת גבולות של סדרות: $$ \lim_{x\to a} f(x)+g(x) = \lim_{n\to \infty} f(x_n)+g(x_n) =\lim_{n\to \infty} f(x_n)+\lim_{n\to \infty}g(x_n)=l_1+l_2 $$ השאר מוכחים באופן דומה. \end{proof}