הבדלים בין גרסאות בדף "88-611 אנליזה 1 למורים סמסטר א תשעו/מערכי תרגול/שיעור 1"
(יצירת דף עם התוכן "1111111111111111111111111111111111111155555555555555555555") |
|||
שורה 1: | שורה 1: | ||
− | + | ===חזקות ושורשים=== | |
+ | 1) אם a הוא מספר כלשהוא ו-n מספר טבעי, אזי a בחזקת n מוגדר באופן הבא: <math>a^{n}=a\cdot a\cdots a </math>, מספר a נקרא בסיס | ||
+ | החזקה, מספר n נקרא מעריך החזקה. | ||
+ | |||
+ | 2) ניקח מספר ממשי חיובי x וניקח חזקה <math>\frac{1}{n} </math> כאשר n הוא מספר טבעי.נגדיר את x בחזקת <math>\frac{1}{n} </math> | ||
+ | להיות השורש ה-n-י של x: <math>y=x^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{x} </math> | ||
+ | |||
+ | 3) באופן כללי נגדיר חזקה רציונאלית באופן הבא: <math>x^{\frac{p}{q}}=\left(\sqrt[q]{x}\right)^{p} </math> | ||
+ | |||
+ | ===חוקי חזקות=== | ||
+ | * לכל x מתקיים <math>1^{x}=1 </math> | ||
+ | * לכל x מתקיים <math>x^{0}=1 </math> ובפרט <math>0^{0}=1 </math> | ||
+ | * לכל x שונה מאפס מתקיים <math>0^{x}=0 </math> | ||
+ | * <math>x^{q}x^{b}=x^{a+b} </math> | ||
+ | * <math>x^{-a}=\frac{1}{x^{a}} </math> | ||
+ | * <math>\frac{x^{a}}{x^{b}}=a^{a-b} </math> | ||
+ | |||
+ | הגדרה: פונקציה מעריכית היא פונקציה מהצורה <math>y=a^{x} </math> כאשר בסיס a הוא מספר קבוע. | ||
+ | |||
+ | תרגיל: מצא את הפתרונות של המשוואה <math>2\left(\frac{4^{x}+1}{2^{x}}\right)^{2}-7\left(\frac{4^{-x}+1}{2^{-x}}\right)+5=0 </math> | ||
+ | |||
+ | פתרון: ראשית נשים לב לכך ש:<math>\frac{4^{x}+1}{2^{x}}=\frac{4^{-x}+1}{2^{-x}}=2^{x}+\frac{1}{2^{x}} </math> | ||
+ | ולכן נסמן <math>t=2^{x}+\frac{1}{2^{x}} </math> נציב את t במשוואה ונקבל <math>2t^{2}-7t+5=0 </math> עם הפתרונות <math>t=1,\frac{1}{2} </math>, לכן עלינו לפתור שתי משוואות: | ||
+ | 1) <math>2^{x}+\frac{1}{2^{x}}=1 </math> נעשה מכנה משותף ונקבל <math>\left(2^{x}\right)^{2}-2^{x}+1=0 </math> נסמן ב-<math>s=2^{x} </math> ונקבל משוואה <math>s^{2}-s+1=0 </math> קל לראות שלמשוואה הזאת אין פתרון. | ||
+ | 2) <math>2^{x}+\frac{1}{2^{x}}=\frac{5}{2} </math> שוב נעשה מכנה משותף ונקבל <math>2s^{2}-5s+2=0 </math> לאחר שנציב <math>s=2^{x} </math>, פתרונות למשוואה הזאת הם <math>s=2^{x} </math> ולכן פתרון כללי הוא <math>x_{1}=1 x_{2}=-1 </math> | ||
+ | |||
+ | ===הגדרת הלוגריתם=== | ||
+ | לוגריתם של מספר x לפי בסיס a הוא b אם b הוא מעריך החזקה שבסיסה a וערכה x, כלומר <math>a^{x}=x\Leftrightarrow log_{a}x=b </math>. | ||
+ | |||
+ | ===תכונות=== | ||
+ | אם <math>log_{a}x=b </math> אזי: | ||
+ | 1) <math>1\neq a>0 </math> | ||
+ | 2) <math>x>0 </math> | ||
+ | 3) b מספר כלשהוא. | ||
+ | 4) <math>a^{log_{a}x}=b </math> | ||
+ | |||
+ | הגדרה: פונקציה לוגריתמית היא פונקציה מהצורה <math>y=log_{a}x </math> כאשר a הוא מספר קבוע חיובי ושונה מ-1 ותחום ההגדרה שלה הוא <math>x>0</math>. |
גרסה מ־17:29, 20 באוקטובר 2015
תוכן עניינים
חזקות ושורשים
1) אם a הוא מספר כלשהוא ו-n מספר טבעי, אזי a בחזקת n מוגדר באופן הבא: , מספר a נקרא בסיס החזקה, מספר n נקרא מעריך החזקה.
2) ניקח מספר ממשי חיובי x וניקח חזקה כאשר n הוא מספר טבעי.נגדיר את x בחזקת להיות השורש ה-n-י של x:
3) באופן כללי נגדיר חזקה רציונאלית באופן הבא:
חוקי חזקות
- לכל x מתקיים
- לכל x מתקיים ובפרט
- לכל x שונה מאפס מתקיים
הגדרה: פונקציה מעריכית היא פונקציה מהצורה כאשר בסיס a הוא מספר קבוע.
תרגיל: מצא את הפתרונות של המשוואה
פתרון: ראשית נשים לב לכך ש: ולכן נסמן נציב את t במשוואה ונקבל עם הפתרונות , לכן עלינו לפתור שתי משוואות: 1) נעשה מכנה משותף ונקבל נסמן ב- ונקבל משוואה קל לראות שלמשוואה הזאת אין פתרון. 2) שוב נעשה מכנה משותף ונקבל לאחר שנציב , פתרונות למשוואה הזאת הם ולכן פתרון כללי הוא
הגדרת הלוגריתם
לוגריתם של מספר x לפי בסיס a הוא b אם b הוא מעריך החזקה שבסיסה a וערכה x, כלומר .
תכונות
אם אזי: 1) 2) 3) b מספר כלשהוא. 4)
הגדרה: פונקציה לוגריתמית היא פונקציה מהצורה כאשר a הוא מספר קבוע חיובי ושונה מ-1 ותחום ההגדרה שלה הוא .