הבדלים בין גרסאות בדף "88-611 אנליזה 1 למורים סמסטר א תשעו/מערכי תרגול/שיעור 1"
שורה 21: | שורה 21: | ||
פתרון: ראשית נשים לב לכך ש:<math>\frac{4^{x}+1}{2^{x}}=\frac{4^{-x}+1}{2^{-x}}=2^{x}+\frac{1}{2^{x}} </math> | פתרון: ראשית נשים לב לכך ש:<math>\frac{4^{x}+1}{2^{x}}=\frac{4^{-x}+1}{2^{-x}}=2^{x}+\frac{1}{2^{x}} </math> | ||
− | ולכן נסמן <math>t=2^{x}+\frac{1}{2^{x}} </math> נציב את t במשוואה ונקבל <math>2t^{2}-7t+5=0 </math> עם הפתרונות <math>t=1,\frac{1}{2} </math>, לכן עלינו לפתור שתי משוואות: | + | ולכן נסמן <math>t=2^{x}+\frac{1}{2^{x}} </math> נציב את t במשוואה ונקבל <math>2t^{2}-7t+5=0 </math> עם הפתרונות |
+ | <math>t=1,\frac{1}{2} </math>, לכן עלינו לפתור שתי משוואות: | ||
1) <math>2^{x}+\frac{1}{2^{x}}=1 </math> נעשה מכנה משותף ונקבל <math>\left(2^{x}\right)^{2}-2^{x}+1=0 </math> נסמן ב-<math>s=2^{x} </math> ונקבל משוואה <math>s^{2}-s+1=0 </math> קל לראות שלמשוואה הזאת אין פתרון. | 1) <math>2^{x}+\frac{1}{2^{x}}=1 </math> נעשה מכנה משותף ונקבל <math>\left(2^{x}\right)^{2}-2^{x}+1=0 </math> נסמן ב-<math>s=2^{x} </math> ונקבל משוואה <math>s^{2}-s+1=0 </math> קל לראות שלמשוואה הזאת אין פתרון. | ||
שורה 84: | שורה 85: | ||
6) אי שוויון המשולש: <math>\mid x+y\mid\leq\mid x\mid+\mid y\mid </math> | 6) אי שוויון המשולש: <math>\mid x+y\mid\leq\mid x\mid+\mid y\mid </math> | ||
+ | |||
+ | ===תכונות של אי שוויונים=== |
גרסה מ־17:55, 20 באוקטובר 2015
תוכן עניינים
חזקות ושורשים
1) אם a הוא מספר כלשהוא ו-n מספר טבעי, אזי a בחזקת n מוגדר באופן הבא: , מספר a נקרא בסיס החזקה, מספר n נקרא מעריך החזקה.
2) ניקח מספר ממשי חיובי x וניקח חזקה כאשר n הוא מספר טבעי.נגדיר את x בחזקת להיות השורש ה-n-י של x:
3) באופן כללי נגדיר חזקה רציונאלית באופן הבא:
חוקי חזקות
- לכל x מתקיים
- לכל x מתקיים ובפרט
- לכל x שונה מאפס מתקיים
הגדרה: פונקציה מעריכית היא פונקציה מהצורה כאשר בסיס a הוא מספר קבוע.
תרגיל: מצא את הפתרונות של המשוואה
פתרון: ראשית נשים לב לכך ש: ולכן נסמן נציב את t במשוואה ונקבל עם הפתרונות , לכן עלינו לפתור שתי משוואות:
1) נעשה מכנה משותף ונקבל נסמן ב- ונקבל משוואה קל לראות שלמשוואה הזאת אין פתרון.
2) שוב נעשה מכנה משותף ונקבל לאחר שנציב , פתרונות למשוואה הזאת הם ולכן פתרון כללי הוא
הגדרת הלוגריתם
לוגריתם של מספר x לפי בסיס a הוא b אם b הוא מעריך החזקה שבסיסה a וערכה x, כלומר .
תכונות
אם אזי:
1)
2)
3) b מספר כלשהוא.
4)
הגדרה: פונקציה לוגריתמית היא פונקציה מהצורה כאשר a הוא מספר קבוע חיובי ושונה מ-1 ותחום ההגדרה שלה הוא .
חוקי לוגריתמים
1)
2)
3)
4)
5) וגם
הערה: מקרה פרטי החשוב ביותר בו נתענין בקורס הוא כאשר
תרגיל: פתרו את פתרון: נשתמש בחוקי הלוגריתמים ואז נקבל ואז לפי ההגדרה של הלוגריתם מקבלים u> ולכן תושב סופי היא היא x שווה אפס.
ערך מוחלט ואי שוויון
הגדרה: ערך מוחלט של מספר הוא המרחק שלו מנקודה אפס ומסמנים אותו בצורה הבאה:
מרחק בין שתי נקודות מוגדר להיות
תכונות של ערך מוחלט
1) לכל x מתקיים
2) אם ורק אם
3)
4)
5)
6) אי שוויון המשולש: