הבדלים בין גרסאות בדף "88-611 אנליזה 1 למורים סמסטר א תשעו/מערכי תרגול/שיעור 1"
(←תכונות של ערך מוחלט) |
(←תכונות של אי שוויונים) |
||
שורה 95: | שורה 95: | ||
* נניח ש-x,y אי שליליים אזי <math>x\leq y\Leftrightarrow\frac{1}{x}\geq\frac{1}{y} </math> | * נניח ש-x,y אי שליליים אזי <math>x\leq y\Leftrightarrow\frac{1}{x}\geq\frac{1}{y} </math> | ||
+ | |||
+ | תרגיל: מצא עבור אילו ערכי x מתקיים אי השוויון הבא: <math>\mid2x-1\mid>\mid x-1\mid </math> | ||
+ | |||
+ | פתרון: מקרה ראשון: <math>2x-1\geq0\Rightarrow x\geq\frac{1}{2} </math> וגם <math>x-1\geq0\Rightarrow x\geq1 </math> | ||
+ | |||
+ | במקרה הזה נוריד את ערך מוחלט ונקבל <math>2x-1>x-1\Rightarrow x>0 </math>, חיתוך בין שלושת התחומים הוא <math>x\geq1 </math> וזה פתרון במקרה 1. | ||
+ | |||
+ | מקרה 2: <math>2x-1\geq0\Rightarrow x\geq\frac{1}{2} </math> וגם <math>x-1<0\Rightarrow x<1 </math> ולכן לאחר שנוריד את ערך מוחלט נוסיף מינוס לפני <math>x-1</math> ונקבל <math>2x-1>-(x-1)\Rightarrow x>\frac{2}{3} </math> ולכן חיתוך בין שלושת התחומים הוא <math>\frac{2}{3}<x<1 </math> | ||
+ | |||
+ | מקרה 3: 2x-1<0\Rightarrow x<\frac{1}{2} וגם <math>x-1<0\Rightarrow x<1</math> ולכן לאחר שנוריד את ערך מוחט נוסיף מינוס לפני כל אחד משלושת הביטויים ונקבל: <math>-(2x-1)>-(x-1)\Rightarrow x<0 </math> | ||
+ | |||
+ | ולכן פתרון לאי שוויום יהיה איחוד של שלושת המקרים: <math>x\geq1 </math> או <math>\frac{2}{3}<x<1 </math> או <math>x<0</math> |
גרסה מ־18:20, 20 באוקטובר 2015
תוכן עניינים
חזקות ושורשים
1) אם a הוא מספר כלשהוא ו-n מספר טבעי, אזי a בחזקת n מוגדר באופן הבא: , מספר a נקרא בסיס
החזקה, מספר n נקרא מעריך החזקה.
2) ניקח מספר ממשי חיובי x וניקח חזקה כאשר n הוא מספר טבעי.נגדיר את x בחזקת
להיות השורש ה-n-י של x:
3) באופן כללי נגדיר חזקה רציונאלית באופן הבא:
חוקי חזקות
- לכל x מתקיים
- לכל x מתקיים
ובפרט
- לכל x שונה מאפס מתקיים
-
-
-
הגדרה: פונקציה מעריכית היא פונקציה מהצורה כאשר בסיס a הוא מספר קבוע.
תרגיל: מצא את הפתרונות של המשוואה
פתרון: ראשית נשים לב לכך ש:
ולכן נסמן
נציב את t במשוואה ונקבל
עם הפתרונות
, לכן עלינו לפתור שתי משוואות:
1) נעשה מכנה משותף ונקבל
נסמן ב-
ונקבל משוואה
קל לראות שלמשוואה הזאת אין פתרון.
2) שוב נעשה מכנה משותף ונקבל
לאחר שנציב
, פתרונות למשוואה הזאת הם
ולכן פתרון כללי הוא
הגדרת הלוגריתם
לוגריתם של מספר x לפי בסיס a הוא b אם b הוא מעריך החזקה שבסיסה a וערכה x, כלומר .
תכונות
אם אזי:
1)
2)
3) b מספר כלשהוא.
4)
הגדרה: פונקציה לוגריתמית היא פונקציה מהצורה כאשר a הוא מספר קבוע חיובי ושונה מ-1 ותחום ההגדרה שלה הוא
.
חוקי לוגריתמים
1)
2)
3)
4)
5) וגם
הערה: מקרה פרטי החשוב ביותר בו נתענין בקורס הוא כאשר
תרגיל: פתרו את
פתרון: נשתמש בחוקי הלוגריתמים
ואז נקבל
ואז לפי ההגדרה של הלוגריתם מקבלים
u> ולכן תושב סופי היא היא x שווה אפס.
ערך מוחלט ואי שוויון
הגדרה: ערך מוחלט של מספר הוא המרחק שלו מנקודה אפס ומסמנים אותו בצורה הבאה:
מרחק בין שתי נקודות מוגדר להיות
תכונות של ערך מוחלט
1) לכל x מתקיים
2) אם ורק אם
3)
4)
5)
6) אי שוויון המשולש:
7) נניח ש-L מספר אי שלילי אזי
תכונות של אי שוויונים
- נניח ש-x,y אי שליליים אזי
- נניח ש-x,y אי שליליים אזי
תרגיל: מצא עבור אילו ערכי x מתקיים אי השוויון הבא:
פתרון: מקרה ראשון: וגם
במקרה הזה נוריד את ערך מוחלט ונקבל , חיתוך בין שלושת התחומים הוא
וזה פתרון במקרה 1.
מקרה 2: וגם
ולכן לאחר שנוריד את ערך מוחלט נוסיף מינוס לפני
ונקבל
ולכן חיתוך בין שלושת התחומים הוא
מקרה 3: 2x-1<0\Rightarrow x<\frac{1}{2} וגם ולכן לאחר שנוריד את ערך מוחט נוסיף מינוס לפני כל אחד משלושת הביטויים ונקבל:
ולכן פתרון לאי שוויום יהיה איחוד של שלושת המקרים: או
או