88-611 אנליזה 1 למורים סמסטר א תשעו/מערכי תרגול/שיעור 2

סדרות

הגדרה

סדרה של מספרים ממשיים היא פונקציה [math]\displaystyle{ f:\mathbb{N\rightarrow\mathbb{R}} }[/math] שלכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb{N} }[/math] מתאימה מספר ממשי [math]\displaystyle{ a_{n}=f\left(n\right) }[/math] שנקרא האיבר ה-n-י של הסדרה.

סדרה היא רשימה אינסופית מסודרת של מספרים ממשיים: [math]\displaystyle{ a_{1},a_{2},... }[/math] שנסמנה [math]\displaystyle{ a_{1},a_{2},... }[/math], והמספר ה-n נקרא האינדקס של האיבר [math]\displaystyle{ a_{n} }[/math].

[math]\displaystyle{ a_{n} }[/math] נקרא האיבר הכללי של הסדרה ואם הוא נתון על ידי נוסחה אלגברית אזי הביטוי [math]\displaystyle{ a_{n} }[/math] נקרא הנוסחה האלגברית של הסדרה.

דוגמאות

1) הסדרה [math]\displaystyle{ 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3}.... }[/math] נקראת הסדרה ההרמונית. נוסחת האיבר הכללי שלה היא שלה [math]\displaystyle{ a_{n}=\frac{1}{n} }[/math].

2) אם [math]\displaystyle{ s\in\mathbb{R} }[/math] הסדרה [math]\displaystyle{ s,s^{2},s^{3},.... }[/math] נקראת הסדרה ההנדסית עם בסיס s ואיברה הכללי הוא [math]\displaystyle{ a_{n}=s^{n} }[/math].

3) הסדרה s,s,s,s... נקראת הסדרה הקבועה ונסמנה הסדרה הקבועה שערכה s ונסמנה [math]\displaystyle{ a_{n}=s }[/math].

הגדרה (סביבת ה-אפסילון של הנקודה)

יהי [math]\displaystyle{ x_{0}\in\mathbb{R} }[/math] ויהי [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math], סביבת ה-אפסילון של [math]\displaystyle{ x_{0} }[/math] שמסומנת ב- [math]\displaystyle{ B_{\varepsilon}\left(x_{0}\right) }[/math] ומוגדרת ע"י [math]\displaystyle{ B_{\varepsilon}\left(x_{0}\right)=\left\{ x\in\mathbb{R}:\mid x-x_{0}\mid\lt \varepsilon\right\} }[/math]. כדאי לחשוב על [math]\displaystyle{ B_{\varepsilon}\left(x_{0}\right) }[/math] כקבוצת הנקודות שמרחקם מ-[math]\displaystyle{ x_{0} }[/math] קטן מ-[math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math]. [math]\displaystyle{ x\in B_{\varepsilon}\left(x_{0}\right) }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ x\in\left(x_{0}-\varepsilon,x_{0}+\varepsilon\right) }[/math].

הגדרה (גבול של סדרה)

תהי [math]\displaystyle{ \left\{ a_{n}\right\} _{n=1}^{\infty} }[/math] סדרה נתונה. נאמר שמספר L הוא גבול של סדרה [math]\displaystyle{ \left\{ a_{n}\right\} _{n=1}^{\infty} }[/math] אם לכל [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] קטן ככל שיהיה קיים מספר טבעי [math]\displaystyle{ n_{0} }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n\geq n_{0} }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \mid a_{n}-L\mid\lt \varepsilon }[/math].

במילים: לכל [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] יש לכל היותר מספר סופי של איברי הסדרה שאינם נמצאים בתוך הסביבה [math]\displaystyle{ B_{\varepsilon}\left(L\right)=\left(L-\varepsilon,L+\varepsilon\right) }[/math]. (במילים אחרות החל ממקום [math]\displaystyle{ n_{0} }[/math] כל איברי הסדרה יהיו בתוך הסביבה [math]\displaystyle{ B_{\varepsilon}\left(L\right)=\left(L-\varepsilon,L+\varepsilon\right) }[/math] של L).

אם L הוא גבול של סדרה [math]\displaystyle{ \left\{ a_{n}\right\} _{n=1}^{\infty} }[/math] אז נרשום [math]\displaystyle{ lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=L }[/math] או [math]\displaystyle{ a_{n}\rightarrow L }[/math].

אם לסדרה יש גבול נאמר שהסדרה מתכנסת (או שואפת לגבול זה), אם אין לסדרה גבול נאמר שהיא מתבדרת.

דוגמאות

1) הסדרה [math]\displaystyle{ a_{n}=\frac{1}{n} }[/math] מתכנסת לגבול L=0, או בקיצור [math]\displaystyle{ lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}=0 }[/math].

הוכחה: נוכיח ש-0 הוא באמת הגבול של הסדרה לפי ההגדרה של הגבול

יהי [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math], רוצים להוכיח שקיים מקום בסדרה שנסמנו ב-[math]\displaystyle{ n_{0} }[/math] כל שהחל מהמקום הזה כלומר עבור כל [math]\displaystyle{ n\geq n_{0} }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \mid\frac{1}{n}-0\mid\lt \varepsilon }[/math].

מתקיים [math]\displaystyle{ \mid\frac{1}{n}-0\mid=\frac{1}{n}\lt \varepsilon\Leftrightarrow n\gt \frac{1}{\varepsilon} }[/math] ולכן אם נבחר [math]\displaystyle{ n_{0}\gt \frac{1}{\varepsilon} }[/math] נקבל [math]\displaystyle{ \mid\frac{1}{n}-0\mid=\frac{1}{n}\leq\frac{1}{n_{0}}\lt \varepsilon }[/math].

2) אם [math]\displaystyle{ a_{n}=s }[/math] הסדרה הקבועה ולכן הגבול שלה הוא [math]\displaystyle{ lim_{n\rightarrow\infty}\left(s\right)=s }[/math].

3) לכל [math]\displaystyle{ \alpha\geq0 }[/math] [math]\displaystyle{ lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^{\alpha}}=0 }[/math].

תרגיל:

מצא את גבול הסדרה [math]\displaystyle{ lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n-1}{n} }[/math] והוכח לפי ההגדרה שזה באמת הגבול.

פתרון:

[math]\displaystyle{ \frac{n-1}{n}=1+\frac{1}{n}  }[/math] ולכן נסיק שהגבול הוא 1. 

יהיה [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math], רוצים להוכיח שקיים [math]\displaystyle{ n_{0} }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n\geq n_{0} }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \mid\frac{n-1}{n}-1\mid\lt \varepsilon }[/math].

[math]\displaystyle{ \mid\frac{n-1}{n}-1\mid\lt \varepsilon }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ n\gt \frac{1}{\varepsilon} }[/math] ולכן כמו מקודם מבחר [math]\displaystyle{ n_{0}\gt \frac{1}{\varepsilon} }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n\geq n_{0} }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \mid\frac{n-1}{n}-1\mid=\mid-\frac{1}{n}\mid=\frac{1}{n}\leq\frac{1}{n_{0}}\lt \varepsilon }[/math].

תנאי הכרחי ומספי לאי קיום הגבול

המספר L איננו הגבול של הסדרה של [math]\displaystyle{ \left\{ a_{n}\right\} _{n=1}^{\infty} }[/math] אם קיים [math]\displaystyle{ \varepsilon_{0}\gt 0 }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n_{0} }[/math] קיים [math]\displaystyle{ n\geq n_{0} }[/math] כך שמתקיים [math]\displaystyle{ \mid L-a_{n}\mid\geq\varepsilon_{0} }[/math].

במילים:הסדרה [math]\displaystyle{ \left\{ a_{n}\right\} _{n=1}^{\infty} }[/math] אינה מתכנסת לגבול L אם ורק אם קיים [math]\displaystyle{ \varepsilon_{0}\gt 0 }[/math] מסויים כך שאינסוף מאיברי הסדרה נמצאים מחוץ לסביבה [math]\displaystyle{ B_{\varepsilon}\left(L\right) }[/math].

תרגיל:

הוכח כי 2 אינו הגבול של [math]\displaystyle{ a_{n}=\frac{3n+1}{n} }[/math].

פתרון:

עלינו למצוא [math]\displaystyle{ \varepsilon_{0}\gt 0 }[/math] מסויים כל שלכל [math]\displaystyle{ n_{0} }[/math] טבעי קיים [math]\displaystyle{ n\geq n_{0} }[/math] כך שיתקיים [math]\displaystyle{ \mid2-\frac{3n-1}{n}\mid\geq\varepsilon_{0} }[/math].

[math]\displaystyle{ \mid2-\frac{3n-1}{n}\mid=\mid\frac{-n-1}{n}\mid=\frac{n+1}{n}\gt 1 }[/math] קיבלנו שמרחק בין 2 לבין כל אחד מאיברי הסדרה הוא יותר גדול מ-1 ולכן אם נבחר [math]\displaystyle{ \varepsilon_{0}=\frac{1}{2} }[/math] לא נוכל למצוא אף [math]\displaystyle{ n_{0} }[/math] שעבורו כמעט כל איברי הסדרה יהיו בסביבה [math]\displaystyle{ \left(2-\frac{1}{2},2+\frac{1}{2}\right) }[/math].

הגדרה

סדרה [math]\displaystyle{ \left\{ a_{n}\right\} _{n=1}^{\infty} }[/math] היא סדרה מתבדרת אם כל מספר ממשי a אינו הגבול של [math]\displaystyle{ \left\{ a_{n}\right\} _{n=1}^{\infty} }[/math].

דוגמאות לסדרות מתבדרות

1) [math]\displaystyle{ a_{n}=n }[/math]

2) [math]\displaystyle{ b_{n}=\left(-1\right)^{n} }[/math]

הערות

1) שתי סדרות הן שוות אם ורק אם [math]\displaystyle{ a_{n}=b_{n} }[/math] לכל n טבעי, למשל סדרה 101010... שונה מהסדרה 010101...

2) אם סדרה מתכנסת לגבול אזי הוא יחיד, כלומר אם N הוא גבול של סדרה וגם L הוא גבול של אותה סדרה אזי N=L.

הגדרות

1) נאמר כי סדרה [math]\displaystyle{ \left\{ a_{n}\right\} _{n=1}^{\infty} }[/math] מתכנסת לאיסוף או שואפת לאיסוף אם לכל מספר ממשי M כמעט כל איברי הסדרה גדולים מ-M, ז"א לכל M קיים [math]\displaystyle{ n_{0} }[/math] טבעי כך שלכל [math]\displaystyle{ n\geq n_{0} }[/math] [math]\displaystyle{ a_{n}\gt M }[/math] ונרשום [math]\displaystyle{ lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\infty }[/math].

2) נאמר שסדרה [math]\displaystyle{ \left\{ a_{n}\right\} _{n=1}^{\infty} }[/math] מתכנסת למינוס אינסוף אם לכל L קיים [math]\displaystyle{ n_{0} }[/math] טבעי כל שלכל [math]\displaystyle{ n\geq n_{0} }[/math] [math]\displaystyle{ a_{n}\lt L }[/math] ונרשום [math]\displaystyle{ lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=-\infty }[/math]

לדוגמה

[math]\displaystyle{ a_{n}=n\Leftrightarrow lim_{n\rightarrow\infty}n=\infty }[/math]

טכניקות בסיסיות לחישוב כבולות

תרגיל:

חשב כבול של [math]\displaystyle{ c_{n}=\frac{n^{2}+n-1}{n^{2}+1} }[/math]

פתרון:

גם המונה וגם המכנה שואפים לאינסוף לכן לא נוכל מידית להסיק מה הוא הגבול ולכן נשתמש בטריק הבא: נבחר את החזקה הכי גבוהה של n בביטוי במקרה שלה היא [math]\displaystyle{ n^{2} }[/math] ונוציא אותה מחות לסוגריים גם במונה וגם במכנה ונקבל:

[math]\displaystyle{ \frac{n^{2}\left(1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n^{2}}\right)}{n^{2}\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)}=\frac{1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n^{2}}}{1+\frac{1}{n}}\rightarrow1 }[/math].

טענה (כלל המנה)

אם [math]\displaystyle{ a_{n}\rightarrow\pm\infty }[/math] אז [math]\displaystyle{ \frac{1}{a_{n}}\rightarrow0 }[/math]

ואם [math]\displaystyle{ a_{n}\rightarrow0 }[/math] אז [math]\displaystyle{ \frac{1}{\mid a_{n}\mid}\rightarrow\infty }[/math]

תרגיל

מצא את הגבול של [math]\displaystyle{ a_{n}=\frac{n^{2}}{2n+1} }[/math]

פתרון

נשתמש באותו טריק כמו בתרגיל הקודם [math]\displaystyle{ \frac{n^{2}}{2n+1}=\frac{n^{2}\cdot1}{n^{2}(\frac{2}{n}+\frac{1}{n^{2}})}=\frac{1}{\frac{2}{n}+\frac{1}{n^{2}}} }[/math]

נתבונן בסדרה [math]\displaystyle{ \frac{2}{n}+\frac{1}{n^{2}} }[/math] ברור שהגבול שלה הוא אפס ולכן לפי הלמה הקודמת [math]\displaystyle{ \frac{1}{\mid\frac{2}{n}+\frac{1}{n^{2}}\mid}\rightarrow\infty }[/math] אבל כל אחד מאיברי הסדרה הוא חיובי ולכן ניתן להוריד את ערך המוחלט ונקבל [math]\displaystyle{ \frac{1}{\frac{2}{n}+\frac{1}{n^{2}}}\rightarrow\infty }[/math].