מד"ר תש"ע - שאלות ותשובות

[math]\displaystyle{ \frac{d}{dx} y=y }[/math]

הוראות

כאן המקום לשאול שאלות. כל שעליכם לעשות הוא ללחוץ על [עריכה] (משמאל לכותרת "שאלות"), להוסיף בתחילת הדף את השורה הבאה:

== כותרת לשאלה ==

לכתוב מתחתיה את שאלתכם, וללחוץ על שמירה למטה מימין

הודעה חשובה !!! - יש להגיש את התרגילים הנוספים (13 , ו 14 כרשות למי שמגיש ) עד ,וכולל , 16.9.2010 ! למשל לתא הבודקת הילה הלוי בכר , או לתומר ביום רביעי או לניר ביום חמישי - בתרגולי החזרה . אנא הודיעו למי שאתם יודעים שלא יגיע לתרגולים אלו . תודה:)

הודעה חשובה!!! - תרגיל 4 הינו תרגיל רשות ! אין צורך להגישו אך פתרונו יפורסם ואת תשובותיו תצטרכו לדעת ! ( החומר שהוא מכסה הוא בסיסי וחשוב מאוד ) .

ארכיון

ארכיון 1 - יהיה בעתיד

שאלות

לא מצאתי את התא של הבודקת אז הגשתי את התרגיל לתיבה של הגשת תרגילים באיחור,זה בסדר?

פתרון המבחן

האם תוכלו להעלות בבקשה תשובות למבחן?

פרוביניוס

השיטות למציאת פתרון שנרשמו בהרצאה ובתרגול הן שונות ברוב המקרים, מה עושים? ראובן רשם לנו בהרצאה שבמקרה של שורש כפול הנוסחה לפתרון השני היא x^r*ln(x)*sum(bn*x^n, n=0..inf). בויקיפדיה כתוב משהו אחר (http://en.wikipedia.org/wiki/Frobenius_method בתחתית העמוד), ובתרגול ניתנה שיטה בכלל אחרת שקשורה לגזירת הפתרון הראשון לפי r והצבת r לאחר מכן. כמו כן, במקרה של r1-r2 לא מספר טבעי נכתב בהרצאה שהפתרון השני מהצורה x^(r2)*sum*(bn*x^n, n=0..inf) בעוד שבתרגול נכתב שהפתרון השני מהצורה |x|^(r2)[1+sum(bn*x^n, n=0..inf)]. אנא הגיבו כמה שיותר מהר על מנת שנוכל לגשת למבחן ביודענו באיזו שיטה עלינו לפתור. תודה.

הגשת תרגיל 3

נשאל כאן כבר, אך עדיין לא פורסמה תשובה. ב13.9 יש לכולנו מבחן באנליזת פורייה. לכן, האם ניתן להגיש את תרגיל 3 מספר ימים אחרי? תומר - אפשר .רק קחו בחשבון שככל שלבודקת יהיה מעט יותר זמן , אז לא תקבלו את תרגיליכם הבדוקים אלא תצטרכו להסתפק בפתרונות שנפרסם - לא רוצה שתגידו לנו ש"נפגע " לכם מבחן בגלל שהייתם צריכים להגיש תרגיל במד"ר ...

תרגיל 3 שאלה 1

כשאומרים לנו למצוא 4 קירובים ראשונים, האם הכוונה היא y0,y1,y2,y3 או עד y4 (כולל y4)? תומר - עד y3 ...

יכול להיות שאני טועה, אבל אני חושב שאין התכנסות במ"ש על כל הישר הממשי, אלא רק על תת קבוצות קומפקטיות שלו. (מה שנקרא התכנסות אוניפורמית מקומית) ניתן לראות זאת בעזרת קריטריון החסם העליון (החסם העליון של המרחק בין הקירוב מסדר n לפונקציית הגבול יוצא ֵ∞ לכל n, ולכן גבול סדרת החסמים העליונים הוא ∞ ולא אפס)

שאלה נוספת- בשאלה 1 סעיף ד', הכוונה בחישוב השגיאה היא מציאת חסם להפרש y(1/2)-yn(1/2)? תומר - מקבל את התיקון על ההתכנסות במידה שווה - מספיק להתייחס לקטעים ... ולגבי השאלה הנוספת - הכוונה אכן להפרש שציינת .

תרגיל 4

עד מתי ולאיזה מספר תא יש להגיש את התרגיל האחרון? תומר - תרגיל 4 הינו תרגיל רשות אבל את הפתרונות לו תצטרכו לדעת ! הם יפורסמו . תרגיל 3 להגשה עד 13.9 , לתא של הבודקת - הילה לוי בכר

ב-13.9 יש מבחן באנליזת פורייה.. האם ניתן במקום זאת להגיש את התרגיל עד ה-19 (שבו המבחן במד"ר), וכך התרגיל יהווה חלק מההכנה למבחן? תומר - אנו נרצה לפרסם פיתרונות באיזה שלב , ולא הגיוני שתגישו לאחר שיפורסמו פתרונות. אעדכן אתכם בעניין...

תוכל לתת תשובה בקרוב? אנחנו צריכים לדעת אם להתכונן לפורייה או קודם לעשות את התרגיל..

בנוגע לתרגיל 4, מה זאת אומרת שהוא תרגיל רשות? אם מגישים אותו אז לוקחים את שלושת התרגילים הטובים מתוך כל ה-4 בשביל ציון התרגול? ועד מתי אפשר להגיש את תרגיל 4?

התרגילים

האם חובה להגיש את כול התרגילים או שיש אפשרות רק ל2 מהשלושה מכיוון שיש לי (ולרבים אחרים, אני מניח) בעיה עם התרגיל כי היה לנו היום מועד ב' (בתכנות מונחה עצמים שזהו קורס קשה מאוד) שרבים נגשו אליו תומר - הגישו תרגילים גם באיחור . יהיה בנוסף תרגיל שלישי , ואולי אולי רביעי - יש חומר שעליכם לתרגל

שאלה 6

בשאלה 6 כשמציבים את הביטוי y2=v*y1 במשוואה ומשתמשים בעובדה ש-y1 פתרון מקבלים מד"ר עבור v שאחד מפתרונותיו הוא v קבוע ואז y1 ו-y2=cy1 כן תלויים לינארית... האם צריך לדרוש ש-v אינו קבוע? ובנוסף אני מניח שצריך לדרוש ש-y1 פתרון שאינו טריוויאלי?

התמרות אינטגרליות

האם מותר להעזר בהתמרות אינטגרליות כדי לפתור מד"ר בתרגיל? תומר - " השתדלו" להשתמש בכלים שלמדנו בקורס שלנו ... תומר - תשובתי הקודמת הייתה בשלב שטרם למדתם התמרות - ולכן - אתם יכולים להשתמש בכל שיטה שנלמדה בקורס , וגם בשיטות שנלמדו בהרצאה אך מפאת חוסר זמן לא כוסו בתירגול .

שאלה 2 בתרגיל 2

הפונקציה R של X לא אמורה להיות כפול Y? כי אם מפתחים את הביטוי במשוואה (2) לא מקבלים ביטוי שאינו נכפל בY או בנגזרת של Y. תומר - אכן , חסר הכפל בפונקציה y במשוואה שלנו ! .

תאריך הגשה

למתי תרגיל 2? תומר - יוצא לנו קצת לחוץ הסמסטר מבחינת תרגילים - הגישו בסוף השבוע הזה או תחילת השבוע הבא. תרגיל נוסף אמור להיות גם כן...

שאלה ראשונה בתרגיל 2

t הוא פרמטר נכון? כלומר, y פונקציה של x ולא של t?

תומר - t הוא המשתנה הבלתי תלוי (במקום x שהתרגלנו אליו ) . שימו לב שיכולתם לראות את השימוש ב-t למשל מהסעיף האחרון על משוואת אוילר שאת צורתה אתם מכירים ...

שאלה 5

קודם כל, Phi = 0 זהותית, פתרון של המד"ר שלו ולכל הנגזרות שלו יש שורש משותף.. דבר שני, העובדה שאין פתרון אחר כזה היא מיידית ממשפט הקיום והיחידות, בלי קשר לרמז, לא?

תומר- הסתכלו בבקשה על התרגיל שוב - יש עדכון קובץ !

זה עונה על החלק הראשון של השאלה.. אבל, עדיין, למה צריכים את הרמז? הפתרון עם הרמז הוא יותר ארוך. אפשר פשוט להשתמש בקיום ויחידות, לא?

תומר - אפשר להשתמש בכל טיעון נכון מתמטית שלמדתם בקורס או שאתם יכולים להוכיח על סמך אלו שלמדתם (...) . אני לא רוצה לענות בתשובה האם ניתן להשתמש ב"קיום ויחידות" כדי לתת לכם לחשוב האם ניתן להשתמש בשיקול זה .

שאלה 1

האם מותר שחוץ מהישרים הנדרשים, גם עקומות אחרות יפתרו את המד"ר שנמצא? (כמו שבתרגול חיפשנו מד"ר עבור מעגלים, אך גם הישרים y=±1 פתרו אותה)

לא תומר, אבל (כנראה ש)כן. אין לך ברירה. המעטפת של קבוצת הפתרונות (עקומה שבכל נקודה משיקה לאחד הפתרונות), אם יש כזו, תמיד תהיה גם פתרון.

תומר - יש משפטים הנוגעים ל"מעטפת" של עקומות המהווה פיתרון גם היא , שלא למדנו אותם . בעצם ניסוח השאלה יכול היה להיות - מצא מד"ר שאותה מקיימות העקומות הנ"ל .

תאריך הגשה

מתי צריכים להגיש את התרגיל הראשון? תומר - הגישו עד סוף השבוע הזה - רביעי / חמישי .

גזירה לפי y

כאשר אנו מעוניינים לגזור ביטוי של x,y לפי y, האם עלי להתייחס לy כפונקציה של x או כמשתנה בלתי תלוי? (לדוגמה, ראה תרגיל 5) תודה.

תומר - כל ביטוי שמכיל x ו - y ייגזר לפי חוקי הגזירה לפי y , אך אם אתה מניח שהמשתנה הבלתי תלוי הוא y תצטרך לגזור גם את x לפי y .

הגשת התרגילים

האם אפשר להגיש את התרגילים מודפסים?

 תומר   מדוע לא ? :) תראה לי בודק שלא יעדיף תרגיל מודפס ?

כתיב דיפרנציאלי לעומת הכתיב הרגיל

בשאלה 2א, למשל, נתונה המדר y'cot(x)+y=2 ובכתיב דיפרנציאלי: y-2)dx+cot(x)dy=0) עולה השאלה מה בנוגע לפתרונות מהצורה x=Pi/2+Pi*k פתרונות אלו מקיימים dx=0 וכן cot(x)=0 ולכן מתקיימת המשוואה בכתיב הדיפרנציאלי, אך עבורם הנגזרת y' אינה מוגדרת. שאלתי את המרצה בקשר לזה והתשובה שלו לא לגמרי הייתה ברורה. האם פתרונות x קבועים כאלה נחשבים פתרון למד"ר או לא?

תודה.

תומר - כאן זו בעיית התחלה y(0)=-1 אז ניתן להניח שמבקשים פיתרון y כפונקציה של x ולא הפוך . אחרת , אם היית מתבקש למצוא פיתרון x כפונקציה של y אז אכן היית מקבל את הפיתרון שציינת כאחד הפיתרונות . אם מסתכלים על ההצגה הדיפרנציאלית , אז הכווונה שניתן להציג פיתרון של dy/dx או dx/dy כלומר שהצד השני במשוואה הוא כזה שאם יש בו מכנה - הוא לא יתאפס , ואז יש ביטוי ליגיטימי לנגזרת .