גרסה מ־16:22, 4 בדצמבר 2009

אינפי 1 לתיכוניסטים

כאן יהיה המקום שלנו להיעזר אחד בשני בקורס חשבון אינפיניטסימלי 1. אתם מוזמנים לשאול שאלות ולדון בבעיות הנוגעות לקורס אינפי 1 - סטודנטים הלומדים בשתי הקבוצות מוזמנים להגיב כאן.

שאלה בקשר לשיעורי בית: האם צריך להוכיח שמינוס שורש שתיים הוא אי רציונאלי וששתיים בחזקת חצי הוא שורש שתיים. בשאלה 3, כאשר נותנים דוגמה נגדית, צריך להוכיח מהו החסם העליון? תודה

תשובה : לא, ידוע ששורש שתיים הוא אי רציונלי, ולכן גם הנגדי לו אי רציונלי. בנוסף, גם ידוע ששתיים בחצקת חצי הוא שורש שתיים (אחרת מהו שורש?!). בשאלה 3 - אני נתתי דוגמא נגדית שיהיה קל למצוא את החסם העליון. אם מדובר בחלק מההוכחה אז כן (לדעתי)

-

תרגיל 4, שאלה 1

אם אני יכול למצוא ביטוי מפורש (ולא רקורסי) של איברי הסדרה, האם מותר לי להשתמש בו?
האם הטענה הבאה נכונה: אם ביטוי א' קטן או שווה לביטוי ב', אזי הגבול של ביטוי א' קטן או שווה לגבול של ביטוי ב'?

תודה רבה!!!

תרגיל 3, שאלה10

בתור תלמיד בקבוצה של ראובן, אני לא למדתי גבולות של פונקציות טריגונומטריות. בכל זאת, אני לא חושב ש- [math]\displaystyle{ n^2-81cos(n!) }[/math] יכול לשאוף למינוס אינסוף. אם כבר, הכי נמוך שהוא מגיע זה 68.77379321867966-(הרצתי תוכנית ב-Java עד לערך המקסימלי של int, שהוא שתיים בחזקת 31 פחות אחד אם אני לא טועה, וזה הכי נמוך שקיבלתי). אז מדוע השאלה מבקשת שאוכיך עבור פלוס ומינוס אניסוף.

סדרה חסומה?

אני לא מוצא את ההגדרה המפורשת של קבוצה חסומה. האם קובצה חסומה חסומה מלעיל ומלרע, או רק אחד מהם?

תשובה

לרוב הכוונה לחסומה גם מלעיל וגם מלרע (זו ההגדרה של חסומה)

תרגיל 1 - שאלות

בשאלה 5 שצ"ל [math]\displaystyle{ A_n\gt =G_n }[/math] הצבתי לפי ההדרכה [math]\displaystyle{ b_i=\frac{a_i}{G} }[/math], והגעתי למצב בו עליי להוכיח את אי השוויון הבא:

[math]\displaystyle{ a_1+a_2+...+a_n\gt =G }[/math] איך אני מוכיח את הטענה? הנ"ל? האם מותר לי להעלות בחזקת n, מכיוון ששני האגפים בודאות חיוביים?

תרגיל 2 - הודעה לתלמידי ד"ר ראובן כהן

תאריך הגשת התרגיל נדחה לשבוע הבא, יום ראשון ה-15/11.

קצת מאוחר להודע את זה עכשיו, לא?

שאלה בקשר לתרגיל בית מס' 2, שאלה 2

בא', צריך להוכיח כל טענה לגבי חיבור, חיסור, כפל וחילוק של מס' רציונליים?או שמספיק להגיד אם זה מתקיים או לא?

תשובה

עדיף שתפריך\תוכיח. זה לא מאד ארוך ומסובך

בתרגיל מספר 2

שאלה 1 לא נכונה, זה לא מוכיח את זה!

היא נכונה, שים לב שאחד המקרים מוכל בשני. כלומר אם אני אגיד לך:

[math]\displaystyle{ X\gt 3 }[/math]. הוכח: [math]\displaystyle{ X\gt 2 }[/math] לא תהיה לך בעיה לעשות את זה, נכון?

לגבי מקסימום (מינימום) וחסם עליון (תחתון)

אני יכול להגיד בוודאות שמשהו הוא חסם עליון (תחתון) אם הוכחתי שהוא מקסימום (מינימום)?

(כל זאת בהנחה שיש באמת מקסימום או מינימום לקבוצה..)

תשובה

כן. נניח M מקסימום של קבוצה A. נניח M אינו חסם עליון אזי קיים [math]\displaystyle{ M_2 }[/math] חסם מלעיל כך ש[math]\displaystyle{ M_2\lt M }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \forall a \in A : M_2 \geq a }[/math]. אבל M מקסימום לכן [math]\displaystyle{ M \in A }[/math]. אבל זו סתירה לכך ש [math]\displaystyle{ M_2 }[/math] חסם מלעיל כיוון ש[math]\displaystyle{ M_2\lt M }[/math].

כמה שאלות כלליות.

מספיק להראות שקבוצה מסוימת חסומה מלעל ע"י מציאת הsup שלה? ובשאלה 3 (בתרגיל בית מס' 2), בקשר לסעיפים ב' וג', אני צריכה להתעלם מהמקרה של הקבוצה הריקה? כי אם החיתוך שלהם הוא ריק, אז אין להם מקסימום וחסם עליון לפי מה שנאמר לנו בכיתה.. (הן אמנם חסומות בצורה ריקה אבל אין להם מקסימום/חסם עליון.) ועוד שאלה קטנה: כדי להראות שקבוצה אינה חסומה, מילעל נניח, מספיק להראות שלכל m>0, קיים N (או שמא קיימים Nים החל ממקום מסוים? מה הניסוח הנכון?) כך שאיבר בסדרה כפונקציה של N גדול מאותו m? אשמח לתשובה, כי אלו דברים בסיסיים שמופיעים בתרגיל פעמים רבות..

תשובה

sup הינו החסם העליון, כלומר חסם המלעל הכי קטן. אם הוא קיים, אז קיים חסם מלעיל (הוא עצמו) ובפרט הקבוצה חסומה.

לגבי השאלה הקטנה, את מבלבלת בין שני מושגים- קבוצה וסדרה. לקבוצה אין מיקום או סדר כמו לסדרה. על מנת להראות שקבוצה לא חסומה, יש להראות שלכל מספר ממשי M קיים איבר בקבוצה שגדול מM. על מנת להראות שסדרה לא חסומה, יש להראות שלכל איבר M קיים איבר בסדרה שגדול מM. אם רוצים להראות שסדרה שואפת לאינסוף (או מתכנסת במובן הרחב) יש להראות שלכל M, קיים מקום בסדרה, נקרא לו [math]\displaystyle{ n_0 }[/math], שהחל ממנו והלאה כל איברי הסדרה גדולים מM.

תודה רבה. מה לגבי השאלה השנייה שלי? לגבי הקבוצה הריקה?

אין לי מושג, אני לא יודע מה התרגיל שלכם.

מספר שאלות שקשורות לתרגיל 2

1.יש הרבה תרגילים שהתשובה ל"מה חסמי המלעיל" שלהם נראית ברורה, אבל לא כ"כ ברור לי האם צריך לנמק את זה (איך אפשר לנמק ביותר מלהראות שכולם אכן גדולים מכל איברי הקבוצה?).

2.מתי שיש חסם עליון – רק עכשיו, אחרי שסיימתי חלק נכבד מהתרגילים, הבנתי שכדי להוכיח שמספר כלשהו הוא חסם עליון צריך להשתמש באפסילון, וכ'ו, אבל הוכחתי זאת בצורה שונה – הראיתי שאכן זהו חסם המלעיל הקטן ביותר. האם ההוכחה שלי בסדר?

3.בתרגילים עם הגבולות – כשנתון הגבול – האם הרעיון העיקרי הוא לבטא את ה-nים המסויימים שמהם והלאה לכל איבר שנחסר ממנו את הגבול נקבל שהם קטנים מאפסילון (n מבוטא כתלות בכל אפסילון חיובי שנבחר), ואח"כ להראות שאכן קיימים nים כאלה? (וצריך רק למפות אותם, כלומר אם התשובה הסופית שלי היא משהו בסגנון n<2Ɛ^2-2Ɛ+17 אז בעצם הוכחתי שהגבול שהנחתי שקיים אכן קיים?

4.עד כמה "מעמיקה" צריכה להיות ההוכחה בכל התרגילים? אני לא יודע איך אפשר להיות בטוח שכתבתי מספיק, מצד שני התרגילים לא מאתגרים במיוחד ככה שלא נתקלתי עוד בהוכחות כמו אלה שעשינו בהרצאה או בתרגול.

שאלה קטנה

אם הוכחתי שמספר כלשהו שלא נמצא בקבוצ A הוא חסם עליון של הקבוצה, מכך נובע ישירות שאין מקסימום, נכון?

תשובה

כן. אם החסם העליון היה בקבוצה הוא היה מקסימום, ואם מקסימום קיים הוא החסם העליון

תרגיל 2, שאלה 2

בסעיף א', האם ניתן לקחת שני מספרים אי רציונליים נגדיים ולהגיד שהחיבור שלהם הוא 0?

מצטרפת לשאלה, אפשר גם למשל לקחת את המספרים: שורש 2, ו2 פחות שורש 2 ולהגיד שהחיבור שלהם רציונלי..?

תשובה

אין סיבה שלא

הודעה לתלמידים של ראובן

הדף הראשון של תרגיל 3 לשבוע הבא, הדף השני לעוד שבועיים.

שאלה בהגדרת הסדרה

נתונה לי סדרה כלשהי {an}, ויש לי טענה שאני רוצה להפריך. אני יכול להגדיר an=0 לכל n טבעי? כי למדנו בכיתה ט' שסדרה קבועה אינה מוגדרת כסדרה, אבל אני לא יודע אם זה תקף גם באוניברסיטה או רק בתיכון....

תשובה

הסדרה הקבועה היא אכן סדרה

תרגיל 4 שאלה 6 סעיף ב'

קיימת אפשרות לפיה L=אינסוף, או שהתכוונו L=/=0 וממשי?

תרגיל 3, שאלה 2

האם הסדרות יכולות להיות חסומות מצד אחד בלבד? או שלא חסומות הכוונה ללא חסומות משני הצדדים, כלומר אין להן לא חסם מלעיל ולא חסם מלרע?

תשובה

לא חסומות אומר שאין להם חסם עליון וגם חסם תחתון. יכול להיות שהם "חסומות" רק מצד אחד.

מישהו יכול להסביר מה עושים בשאלה 3 בשתי הסעיפים?

שאלה 12 סעיף ג'

מישהו יכול לעזור?

שאלה כללית

האם אמור להיות מפורסם עוד תרגיל השבוע (27.11)?

שאלה

אם בקבוצה יש אינסוף איברים ששואפים לאינסוף, האם ניתן להגיד שהקבוצה לא חסומה מלעיל בלי להוכיח? ואיך ניתן להוכיח זאת?

תשובה

יש טעות בתוך השאלה עצמה. מה הכוונה אינסוף איברים ששואפים לאינסוף? הרי איבר אחד לא יכול לשאוף לאינסוף, רק סדרה. אם הכוונה שיש בקבוצה סדרה של איברים שהיא שואפת לאינסוף (כלומר מתכנסת במובן הרחב) אזי הקבוצה לא חסומה מלעיל. ההוכחה ממש מתבקשת מההגדרות. רשום אותן ותבין. טקסט מודגש

שאלה

אם קבוצה עולה היא מתכנסת, הsup שלה הוא בהכרח הגבול שלה נכון..?

תשובה

נכון. נניח [math]\displaystyle{ m }[/math] הוא החסם העליון של קבוצת איברי הסדרה [math]\displaystyle{ A=\{a_1,a_2,...\} }[/math], אזי לכל [math]\displaystyle{ \epsilon \gt 0 }[/math] קיים איבר [math]\displaystyle{ a_{n_0} }[/math] ב[math]\displaystyle{ A }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a_{n_0}\gt m-\epsilon }[/math] (זו תכונה של חסם עליון).

מכיוון ש[math]\displaystyle{ m }[/math] חסם עליון אז בוודאי הוא חסם מלעיל ולכן [math]\displaystyle{ a_{n_0}\leq m\lt m+\epsilon }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ m-\epsilon\lt a_{n_0}\lt m+\epsilon }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ |a_{n_0}-m|\lt \epsilon }[/math].

אבל מכיוון שהסדרה עולה, לכל [math]\displaystyle{ n\gt n_0 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a_n\gt a_{n_0} }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ a_n\gt a_{n_0}\gt m-\epsilon }[/math] וכמובן [math]\displaystyle{ a_n\leq m\lt m+\epsilon }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ |a_n-m|\lt \epsilon }[/math] וזו בדיוק הגדרת גבול.

@@ שורה 133: / שורה 133: @@
 ==שאלה==
 אם קבוצה עולה היא מתכנסת, הsup שלה הוא בהכרח הגבול שלה נכון..?
+===תשובה===
+נכון. נניח <math>m</math> הוא החסם העליון של קבוצת איברי הסדרה <math>A=\{a_1,a_2,...\}</math>, אזי לכל <math>\epsilon > 0</math> קיים איבר <math>a_{n_0}</math> ב<math>A</math> כך ש <math>a_{n_0}>m-\epsilon</math> (זו תכונה של חסם עליון).
+מכיוון ש<math>m</math> חסם עליון אז בוודאי הוא חסם מלעיל ולכן <math>a_{n_0}\leq m<m+\epsilon</math> ולכן <math>m-\epsilon<a_{n_0}<m+\epsilon</math>, ולכן <math>|a_{n_0}-m|<\epsilon</math>.
+אבל מכיוון שהסדרה עולה, לכל <math>n>n_0</math> מתקיים <math>a_n>a_{n_0}</math> ולכן <math>a_n>a_{n_0}>m-\epsilon</math> וכמובן <math>a_n\leq m<m+\epsilon</math> ולכן <math>|a_n-m|<\epsilon</math> וזו בדיוק הגדרת גבול.