אסימפטוטה משופעת: הבדלים בין גרסאות בדף
(יצירת דף עם התוכן "פונקציה בעלת אסימפטוטה משופעת הינה פונקציה ששואפת להיות קו ישר באינסוף. פונקציה בעלת גבול...") |
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) מאין תקציר עריכה |
||
| שורה 3: | שורה 3: | ||
==הגדרה== | ==הגדרה== | ||
אומרים כי לפונקציה ממשית f קיימת אסימפטוטה משופעת באינסוף אם קיימים קבועים a,b כך ש: | אומרים כי לפונקציה ממשית f קיימת אסימפטוטה משופעת באינסוף אם קיימים קבועים a,b כך ש: | ||
::<math>\lim_{x\to\infty}[f(x)-ax-b]=0</math> | |||
במקרה זה האסימפטוטה המשופעת באינסוף | במקרה זה האסימפטוטה המשופעת באינסוף הנה <math>y=ax+b</math> . | ||
באופן דומה, לפונקציה <math>f</math> קיימת אסימפטוטה משופעת במינוס אינסוף אם קיימים קבועים a,b כך ש: | |||
באופן דומה, לפונקציה f קיימת אסימפטוטה משופעת במינוס אינסוף אם קיימים קבועים a,b כך ש: | :<math>\lim_{x\to-\infty}[f(x)-ax-b]=0</math> | ||
==מציאת אסימפטוטה משופעת== | ==מציאת אסימפטוטה משופעת== | ||
נניח וקיימת אסימפוטטה משופעת, אזי | נניח וקיימת אסימפוטטה משופעת, אזי | ||
:<math>\lim_{x\to\infty}[f(x)-ax-b]=0</math> | |||
לכן | לכן | ||
:<math>\lim_{x\to\infty}\bigg[\frac{f(x)-ax-b}{x}\bigg]=0</math> | |||
ולכן | ולכן | ||
:<math>\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=a</math> | |||
כלומר: | כלומר: | ||
*'''שלב ראשון:''' שיפוע האסימפטוטה המשופעת הנו <math>a=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}</math>. אם הגבול אינו קיים אין אסימפטוטה משופעת. | |||
*'''שלב שני:''' חיתוך האסימפטוטה עם ציר <math>y</math> הנו <math>b=\lim_{x\to\infty}[f(x)-ax]</math>. אם הגבול אינו קיים אין אסימפטוטה משופעת. | |||
עבור <math>-\infty</math> התהליך דומה. | |||
גרסה מ־23:47, 26 בינואר 2016
פונקציה בעלת אסימפטוטה משופעת הינה פונקציה ששואפת להיות קו ישר באינסוף. פונקציה בעלת גבול סופי באינסוף שואפת לקו ישר מאוזן, אך ישנן פונקציה השואפות לקו ישר משופע.
הגדרה
אומרים כי לפונקציה ממשית f קיימת אסימפטוטה משופעת באינסוף אם קיימים קבועים a,b כך ש:
- [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}[f(x)-ax-b]=0 }[/math]
במקרה זה האסימפטוטה המשופעת באינסוף הנה [math]\displaystyle{ y=ax+b }[/math] .
באופן דומה, לפונקציה [math]\displaystyle{ f }[/math] קיימת אסימפטוטה משופעת במינוס אינסוף אם קיימים קבועים a,b כך ש:
- [math]\displaystyle{ \lim_{x\to-\infty}[f(x)-ax-b]=0 }[/math]
מציאת אסימפטוטה משופעת
נניח וקיימת אסימפוטטה משופעת, אזי
- [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}[f(x)-ax-b]=0 }[/math]
לכן
- [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}\bigg[\frac{f(x)-ax-b}{x}\bigg]=0 }[/math]
ולכן
- [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=a }[/math]
כלומר:
- שלב ראשון: שיפוע האסימפטוטה המשופעת הנו [math]\displaystyle{ a=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x} }[/math]. אם הגבול אינו קיים אין אסימפטוטה משופעת.
- שלב שני: חיתוך האסימפטוטה עם ציר [math]\displaystyle{ y }[/math] הנו [math]\displaystyle{ b=\lim_{x\to\infty}[f(x)-ax] }[/math]. אם הגבול אינו קיים אין אסימפטוטה משופעת.
עבור [math]\displaystyle{ -\infty }[/math] התהליך דומה.