88-230 אינפי 3 סמסטר א תשעד פונקציות מפריכות

נכתב ע"י אופק גילון, לקוח מההרצאות של מרק אגרנובסקי תשע"ד

פונקציה בה הגבולות המחוזררים קיימים, שווים, אך גבול לא קיים

[math]\displaystyle{ f(x,y)=\frac{x^2y^2}{x^2y^2+(x-y)^2} }[/math]

נראה כי [math]\displaystyle{ f(x,0)=f(0,y)=0\neq1=f(x,x) }[/math] ולכן הגבולות המחוזררים הם 0 אך אין גבול

פונקציה רציפה לכל משתנה בנפרד אבל לא רציפה

[math]\displaystyle{ f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy}{x^2+y^2} \ \text{if} x^2+y^2\neq0 \\ 0 \ \text{else} \end {cases} }[/math] לא קיים גבול ב-0 ולכן הפונקציה לא רציפה שם.

אך [math]\displaystyle{ f(0,y)=0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ f(x,0)=0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \lim_{x\to 0} f(x,0) = \lim_{y\to 0} f(0,y) = f(0,0) = 0 }[/math]

פונקציה בה כל הנגזרות החלקיות קיימות אבל לא דיפרנציאבילית

[math]\displaystyle{ f(x,y)=\begin{cases} \frac{xy}{x^2+y^2}\ \text{if}\ (x,y)\neq(0,0) \\ 0\ \text{if}\ x=y=0 \end{cases} }[/math]

הפונקציה אפילו לא רציפה ב-0! (ניקח מסלולים y=kx ונקבל גבולות שונים)

אך הנגזרות החלקיות קיימות:

[math]\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x} (0,0) = \lim_{t\to 0} \frac{f(0+t,0)-f(0,0)}{t}=\lim_{t\to 0} 0 = 0 }[/math]

ובאופן דומה לנגזרת החלקית לפי y

פונקציה דיפרנציאבילית אבל הנגזרות החלקיות לא רציפות

[math]\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} (x^2+y^2)\sin(\frac{1}{x^2+y^2}) \ \text{if} \ x^2+y^2\neq 0 \\ 0\ \text{else}\end{cases} }[/math]

נשים לב ש- f דיפ' ב-0 והדיפרנציאל הוא [math]\displaystyle{ df_{(0,0)}\equiv 0 }[/math] אך [math]\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x} ,\frac{\partial f}{\partial y} }[/math] לא חסומות סביב (0,0):

[math]\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x} (x,0) = -\frac{2}{x}\cdot \cos(\frac1{x^2}) }[/math] - לא חסומה, ובאופן דומה הנגזרת החלקית לפי y

פונקציה שהנגזרות החלקיות לא מתחלפות

[math]\displaystyle{ f(x,y)=\begin{cases}xy\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} \ \text{if}\ x^2+y^2\neq 0 \\ 0 \ \text{else} \end{cases} }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial f}{\partial y}) (0,0) = \lim_{x\to 0} \frac{\frac{\partial f}{\partial y} (x,0)-\frac{\partial f}{\partial y} (0,0)}{x} }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial y} (0,0)=0 , \ \ \frac{\partial f}{\partial y} (x,0)=\lim_{y\to 0} \frac{f(x,y)-f(x,0)}{y}=x }[/math]

אז

[math]\displaystyle{ \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial f}{\partial y}) (0,0) = \lim_{x\to 0} \frac{x-0}{x}=1 }[/math]

אבל [math]\displaystyle{ f(x,y)=-f(y,x) }[/math] אז [math]\displaystyle{ \frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial f}{\partial x}) (0,0) = \lim_{y\to 0} \frac{-y-0}{y}=-1 }[/math]

כלומר

[math]\displaystyle{ \frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial f}{\partial x}) (0,0) \neq \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial f}{\partial y}) (0,0) }[/math]