הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות/מונוטוניות"
(←סדרות מונוטוניות) |
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) מ |
||
שורה 7: | שורה 7: | ||
'''דוגמאות.''' | '''דוגמאות.''' | ||
− | *<math>1,2,3,6,7,8,20,20,20,20.1,30, | + | *<math>1,2,3,6,7,8,20,20,20,20.1,30,\dots</math> |
− | *<math>0,0.9,0.99,0.999, | + | *<math>0,0.9,0.99,0.999,\dots</math> |
− | *<math>1,\ | + | *<math>1,\frac12,\frac13,\dots</math> |
שורה 21: | שורה 21: | ||
</font> | </font> | ||
− | הוכח שהסדרה הבאה מתכנסת <math>a_n=\ | + | הוכח שהסדרה הבאה מתכנסת <math>a_n=\frac1{n}+\frac1{n+1}+\cdots+\frac1{3n}</math> |
'''פתרון.''' | '''פתרון.''' | ||
− | נוכיח כי הסדרה מונוטונית וחסומה, ואז מתכנסת לפי המשפט. נוכיח כי לכל n מתקיים <math>a_{n+1}-a_n\ | + | נוכיח כי הסדרה מונוטונית וחסומה, ואז מתכנסת לפי המשפט. נוכיח כי לכל <math>n</math> מתקיים <math>a_{n+1}-a_n\le 0</math> ולכן הסדרה מונוטונית יורדת. |
− | + | :<math>a_{n+1}=\frac1{n+1}+\frac1{n+2}+\cdots+\frac1{3n+3}</math> | |
+ | :<math>a_{n+1}-a_n=\frac1{3n+1}+\frac1{3n+2}+\frac1{3n+3}-\frac1{n}\le \frac1{3n}+\frac1{3n}+\frac1{3n}-\frac1{n}=0</math> | ||
− | + | לכן הסדרה מונוטונית יורדת, יש לחסום אותה מלמטה על-מנת שתתכנס. אבל קל לראות שכל איברי הסדרה חיוביים ולכן חסומים מלמטה על-ידי <math>0</math> , ולכן הסדרה מתכנסת. | |
− | + | ||
− | + | ||
− | לכן הסדרה מונוטונית יורדת, יש לחסום אותה מלמטה על מנת שתתכנס. אבל קל לראות שכל איברי הסדרה חיוביים ולכן חסומים מלמטה על ידי | + | |
שורה 40: | שורה 38: | ||
</font> | </font> | ||
− | יהיו <math>\alpha,\beta>0</math> ונגדיר <math>a_1=\alpha,b_1=\beta</math>. כעת, נגדיר סדרות באמצעות ''' | + | יהיו <math>\alpha,\beta>0</math> ונגדיר <math>a_1=\alpha,b_1=\beta</math>. כעת, נגדיר סדרות באמצעות '''נוסחת הנסיגה''' (כלומר כל איבר בסדרה יוגדר באמצעות קודמיו): |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | :<math>a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}</math> | |
+ | :<math>b_{n+1}=\sqrt{a_n\cdot b_n}</math> | ||
הוכיח כי שתי הסדרות מתכנסות. | הוכיח כי שתי הסדרות מתכנסות. | ||
+ | '''פתרון.''' אנו נוכיח כי שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות. ראשית, נוכיח כי איברי הסדרה <math>a_n</math> גדולים בהתאמה מאיברי הסדרה <math>b_n</math> (פרט אולי לאיבר הראשון שיכול להבחר באופן חופשי). נשים לב כי לפי הגדרת הסדרות והאיברים הראשונים, כל איברי הסדרות הנם '''אי-שליליים'''. | ||
− | + | :<math>a_{n+1}-b_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}-\sqrt{a_nb_n}=\frac{_n-2\sqrt{a_n\cdot b_n}+b_n)}{2}=\frac{(\sqrt{a_n}-\sqrt{b_n})^2}{2}\ge 0</math> | |
− | + | ||
− | + | ||
אם כך, מתקיים כי | אם כך, מתקיים כי | ||
− | + | :<math>a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}\le\frac{a_n+a_n}{2}=a_n</math> | |
ולכן <math>a_n</math> מונוטונית יורדת. כמו כן | ולכן <math>a_n</math> מונוטונית יורדת. כמו כן | ||
− | + | :<math>b_{n+1}=\sqrt{a_n\cdot b_n}\ge\sqrt{b_n\cdot b_n}=b_n</math> | |
ולכן <math>b_n</math> מונוטונית עולה. | ולכן <math>b_n</math> מונוטונית עולה. | ||
− | |||
נותר להראות כי הסדרות חסומות. נשים לב כי מתקיים: | נותר להראות כי הסדרות חסומות. נשים לב כי מתקיים: | ||
− | + | :<math>b_2\le b_n\le a_n\le a_2</math> | |
ולכן שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות. | ולכן שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות. | ||
− | |||
שורה 80: | שורה 72: | ||
</font> | </font> | ||
− | יהי <math>0<c<1</math>. נגדיר סדרה על ידי תנאי ההתחלה | + | יהי <math>0<c<1</math> . נגדיר סדרה על-ידי תנאי ההתחלה |
− | + | ||
:<math>a_1=c</math> | :<math>a_1=c</math> | ||
− | + | ונוסחת הנסיגה | |
− | + | ||
:<math>a_{n+1}=\frac{c}{2}+\frac{a_n^2}{2}</math> | :<math>a_{n+1}=\frac{c}{2}+\frac{a_n^2}{2}</math> | ||
− | |||
הוכח כי הסדרה מתכנסת ומצא את גבולה. | הוכח כי הסדרה מתכנסת ומצא את גבולה. | ||
− | |||
'''פתרון.''' | '''פתרון.''' | ||
− | נבדוק מהו ההפרש בין שני איברים עוקבים על מנת לבדוק מונוטוניות: | + | נבדוק מהו ההפרש בין שני איברים עוקבים על-מנת לבדוק מונוטוניות: |
− | :<math>a_{n+1}-a_n=\frac{c}{2}+\frac{a_n^2}{2} - (\frac{c}{2}+\frac{a_{n-1}^2}{2})=\frac{a_n^2-a_{n-1}^2}{2}</math> | + | :<math>a_{n+1}-a_n=\frac{c}{2}+\frac{a_n^2}{2}-(\frac{c}{2}+\frac{a_{n-1}^2}{2})=\frac{a_n^2-a_{n-1}^2}{2}</math> |
נראה כי הפרש בין זוגות שומר על סימן הזוג הקודם. לכן, נוכיח כי הסדרה מונוטונית באמצעות אינדוקציה: | נראה כי הפרש בין זוגות שומר על סימן הזוג הקודם. לכן, נוכיח כי הסדרה מונוטונית באמצעות אינדוקציה: | ||
− | + | עבור <math>n=1</math> : | |
− | עבור n=1: | + | |
:<math>a_2-a_1=\frac{c}{2}+\frac{c^2}{2}-c=\frac{c^2}{2}-\frac{c}{2}<0</math> | :<math>a_2-a_1=\frac{c}{2}+\frac{c^2}{2}-c=\frac{c^2}{2}-\frac{c}{2}<0</math> | ||
− | (זה נכון | + | (זה נכון כיון ש- <math>c^2<c\cdot 1 = c</math> לפי הנתון <math>c<1</math> .) |
− | נניח, אם כן, כי <math>a_n-a_{n-1}<0</math> ונוכיח כי <math>a_{n+1}-a_n<0</math>. | + | נניח, אם כן, כי <math>a_n-a_{n-1}<0</math> ונוכיח כי <math>a_{n+1}-a_n<0</math> . כיון שכל איברי הסדרה חיוביים (כל איבר בסדרה מוגדר על-ידי סכום של קבוע חיובי וריבוע), מותר להעלות את אגפי אי-השוויון בריבוע ולקבל <math>a_n^2<a_{n-1}^2</math> . |
לפי החישוב לעיל מתקיים: | לפי החישוב לעיל מתקיים: | ||
− | + | :<math>a_{n+1}-a_n=\frac{a_n^2-a_{n-1}^2}{2}<0</math> | |
כפי שרצינו. | כפי שרצינו. | ||
+ | על כן הסדרה מונוטונית יורדת, וחסומה על-ידי <math>0</math> (הרי איבריה חיוביים) ולפי המשפט מתכנסת. נותר לנו לחשב את גבולה. | ||
− | |||
+ | טענה חשובה אך קלה לבדיקה: <math>\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}</math> . זה נכון כיון שגבול סדרה נקבע על-פי המקום אליו האיברים שואפים באינסוף, ולא על-פי מתי היא מתחילה. | ||
− | + | '''שימו לב''' לשיטה הבאה, היא תשמש אותנו פעמים רבות בתרגילים עם נוסחאות נסיגה. כיון שהוכחנו שהסדרה מתכנסת (ורק מסיבה זו) ניתן לומר שקיים גבול ממשי <math>L</math> כך ש- <math>\lim a_n = L</math> . נביט בנוסחת הנסיגה | |
− | + | :<math>a_{n+1}=\frac{c}{2}+\frac{a_n^2}{2}</math> | |
− | + | נפעיל גבול על שני הצדדים (כיון שזו סדרה מתכנסת, כאמור) | |
− | + | :<math>\lim a_{n+1}=\lim\frac{c}{2}+\frac{a_n^2}{2}</math> | |
− | + | ||
− | + | ||
לפי הטענה לעיל וחשבון גבולות ניתן לומר: | לפי הטענה לעיל וחשבון גבולות ניתן לומר: | ||
− | + | :<math>L=\frac{c}{2}+\frac{L^2}{2}</math> | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | :<math>L^2-2L+c=0</math> | |
− | + | :<math>L=1\pm\sqrt{1-c}</math> | |
+ | כעת יש לנו שתי אפשרויות לגבול, נפסול אחת מהן והנותרת בהכרח תהא גבול הסדרה. כיון ש- <math>a_1=c<1<1+\sqrt{1-c}</math> ושהסדרה מונוטונית יורדת, לא יתכן כי היא שואפת לגבול זה (קל להראות את קיום שלילת הגבול). | ||
− | לכן סה"כ, גבול הסדרה | + | לכן סה"כ, גבול הסדרה הנו <math>L=1-\sqrt{1-c}</math> |
גרסה מ־19:00, 3 בפברואר 2016
סדרות מונוטוניות
הגדרה. סדרה נקראת מונוטונית עולה (יורדת) אם כל איבר בה גדול שווה לקודמו (קטן שווה לקודמו)
דוגמאות.
משפט. סדרה מונוטונית וגם חסומה מתכנסת. סדרה מונוטונית שאינה חסומה, מתכנסת במובן הרחב.
תרגיל.
הוכח שהסדרה הבאה מתכנסת
פתרון.
נוכיח כי הסדרה מונוטונית וחסומה, ואז מתכנסת לפי המשפט. נוכיח כי לכל מתקיים ולכן הסדרה מונוטונית יורדת.
לכן הסדרה מונוטונית יורדת, יש לחסום אותה מלמטה על-מנת שתתכנס. אבל קל לראות שכל איברי הסדרה חיוביים ולכן חסומים מלמטה על-ידי , ולכן הסדרה מתכנסת.
תרגיל.
יהיו ונגדיר . כעת, נגדיר סדרות באמצעות נוסחת הנסיגה (כלומר כל איבר בסדרה יוגדר באמצעות קודמיו):
הוכיח כי שתי הסדרות מתכנסות.
פתרון. אנו נוכיח כי שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות. ראשית, נוכיח כי איברי הסדרה גדולים בהתאמה מאיברי הסדרה (פרט אולי לאיבר הראשון שיכול להבחר באופן חופשי). נשים לב כי לפי הגדרת הסדרות והאיברים הראשונים, כל איברי הסדרות הנם אי-שליליים.
אם כך, מתקיים כי
ולכן מונוטונית יורדת. כמו כן
ולכן מונוטונית עולה.
נותר להראות כי הסדרות חסומות. נשים לב כי מתקיים:
ולכן שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות.
תרגיל.
יהי . נגדיר סדרה על-ידי תנאי ההתחלה
ונוסחת הנסיגה
הוכח כי הסדרה מתכנסת ומצא את גבולה.
פתרון.
נבדוק מהו ההפרש בין שני איברים עוקבים על-מנת לבדוק מונוטוניות:
נראה כי הפרש בין זוגות שומר על סימן הזוג הקודם. לכן, נוכיח כי הסדרה מונוטונית באמצעות אינדוקציה:
עבור :
(זה נכון כיון ש- לפי הנתון .)
נניח, אם כן, כי ונוכיח כי . כיון שכל איברי הסדרה חיוביים (כל איבר בסדרה מוגדר על-ידי סכום של קבוע חיובי וריבוע), מותר להעלות את אגפי אי-השוויון בריבוע ולקבל .
לפי החישוב לעיל מתקיים:
כפי שרצינו.
על כן הסדרה מונוטונית יורדת, וחסומה על-ידי (הרי איבריה חיוביים) ולפי המשפט מתכנסת. נותר לנו לחשב את גבולה.
טענה חשובה אך קלה לבדיקה: . זה נכון כיון שגבול סדרה נקבע על-פי המקום אליו האיברים שואפים באינסוף, ולא על-פי מתי היא מתחילה.
שימו לב לשיטה הבאה, היא תשמש אותנו פעמים רבות בתרגילים עם נוסחאות נסיגה. כיון שהוכחנו שהסדרה מתכנסת (ורק מסיבה זו) ניתן לומר שקיים גבול ממשי כך ש- . נביט בנוסחת הנסיגה
נפעיל גבול על שני הצדדים (כיון שזו סדרה מתכנסת, כאמור)
לפי הטענה לעיל וחשבון גבולות ניתן לומר:
כעת יש לנו שתי אפשרויות לגבול, נפסול אחת מהן והנותרת בהכרח תהא גבול הסדרה. כיון ש- ושהסדרה מונוטונית יורדת, לא יתכן כי היא שואפת לגבול זה (קל להראות את קיום שלילת הגבול).
לכן סה"כ, גבול הסדרה הנו