==שיטות הוכחה==[[מכינה למחלקת מתמטיקה/מערכי שיעור|חזרה למערכי התרגול]]
===הוכחה בשלילה===הוכחה בשלילה מבוססת על הטאוטולוגיה <math>(\sim p \rightarrow F)\rightarrow p</math>. בהוכחה בשלילה אנו מניחים את השלילה של מה שצריך להוכיח ומגיעים לסתירה. שימו לב שאנו לא שוללים את הנתון אלא את הצ"ל. דוגמא: '''תרגיל''' תהיינה A,B קבוצות המקיימות <math>A\backslash B=B\backslash A</math>. הוכח כי <math>A=B</math> '''הוכחה בשלילה''': :נתון: <math>A\backslash B=B\backslash A</math> :צ"ל: <math>A=B</math> '''נניח בשלילה''' כי <math>A\neq B</math>. לכן קיים <math>a\in A</math> כך ש <math>a\notin B</math> (או ההפך) לכן לפי ההגדרה <math>a\in A\backslash B</math> אבל <math>a\notin B\backslash A</math> (או ההפך) לכן <math>A\backslash B\neq B\backslash A</math> '''בסתירה'''. '''דוגמא'''. תהיינה A,B קבוצות כך ש <math>(A\backslash B)\cup B = (A\cup B)\backslash B</math> הוכח כי <math>A\cap B = \phi</math> ===הכלה דו כיוונית=== בשיטה זו אנו מוכיחים שיוויון בין קבוצות. על מנת להוכיח כי <math>A=B</math> מספיק להוכיח כי <math>A\subseteq B</math> וגם <math>B\subseteq A</math> '''דוגמא'''. תהיינה קבוצות A,B המקיימות <math>A\cup B = A \cap B</math>. הוכח כי <math>A=B</math> '''הוכחה באמצעות הכלה דו כיוונית''': מהנתון ניתן להסיק כי <math>A\cup B \subseteq A \cap B</math> לכן בפרט <math>A\cup B \subseteq A </math> וגם <math>A\cup B \subseteq B</math> לכן <math>A\subseteq B</math> וגם <math>B\subseteq A</math> וביחד לפי הכלה דו[[88-כיוונית <math>A=B<195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/math> ===הוכחת פסוק עם כמתים- לכל או קיים=== '''דוגמא''' הוכח כי לכל ממשי חיובי x קיים מספר טבעי n כך ש <math>\frac{1}{n} < x<מערך שיעור/math> '''הוכחת הכמת לכל''': '''יהי''' מספר טבעי חיובי '''כלשהו''' x. צריך למצוא מספר n כך ש <math>\frac{שיעור 1}{n} < x</math> לכן, מספיק למצוא מספר n כך ש <math>\frac{1}{x} < n</math> כיוון שאין סוף למספרים הטבעיים, ניתן לבחור מספר n כלשהו הגדול מ<math>\frac{1}{x}</math>. '''דוגמא''' תהי קבוצה B. הוכח כי קיימת קבוצה A שאינה ריקה כך ש <math>A\cap B = B</math> '''הוכחת הכמת קיים''': על מנת להוכיח קיום, מספיק למצוא דוגמא אחת. למשל, אם ניקח A=B נקבל את מה שרצינו. '''הערה''': הוכחת קיום זו נקראת '''קונסטרוקטיבית''' כיוון שלא רק שהראנו שקיימת קבוצה בהתאם לנדרש, אלא ממש מצאנו אותה. ישנן הוכחות המוכיחות קיום מבלי למצוא דוגמא מפורשת.|מבוא לתורת הקבוצות]] מקורס בדידה
