שיחה:88-230 סמסטר א' תשעא

חזרה לדף הקורס

גלול לתחתית העמוד

הוספת שאלה חדשה

הוסף שאלה חדשה (רשום כותרת לשאלה, רשום את תוכן השאלה ולחץ על שמירה למטה מימין לסיום).

-עזרה על עיצוב הטקסט וכתיב מתמטי תוכלו למצוא כאן

אם אתם רוצים לשאול שאלה עליכם ליצור חשבון משתמש באתר.

שאלות

שאלה

איפה התרגיל?

תשובה

אין לתיכוניסטים תרגיל השבוע באינפי 3. (שימו לב, למעלה יש קישור המקל להוסיף שאלות חדשות).

שאלה בנוגע לשניוניות

בקורס שימושי מחשב, המרצה אמר שכל שניונית מהצורה:

[math]\displaystyle{ \vec{v}^t A \vec{v} + \phi (\vec{v}) + C = 0 }[/math]

(כאשר [math]\displaystyle{ \phi }[/math] פונקציונל לינארי)

ניתן להמיר לצורה הקנונית שלה, ע"י הזזה באיזשהו וקטור: [math]\displaystyle{ \vec{v} \rightarrow \vec{v} + \vec{\alpha} }[/math]

כאשר הוקטור הזה תלוי איכשהו ב-[math]\displaystyle{ A^{-1} }[/math]. לאחר ההזזה, מתבטל החלק הלינארי, [math]\displaystyle{ \phi(\vec(v)) }[/math], וניתן רק למצוא ערכים עצמיים, [math]\displaystyle{ \lambda_1 , ... , \lambda_n }[/math] ולקבל שהצורה הקנונית של השניונית היא משהו כמו:

[math]\displaystyle{ \lambda_1 v_1^2 + ... + \lambda_n v_n^2 + C' = 0 }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ \vec{v} = (v_1 , v_2 , ... , v_n) }[/math]

והוא אמר (נראה לי) שאם המטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math]

לא הפיכה, אזי ניתן להראות שהשניונית אינה ריבועית (או משהו כזה).. השאלה שלי היא, האם באמת ניתן לפעול

בדרך כזו - היא הרבה יותר קצרה..?

תשובה

אני לא רואה איך הזזה בלבד תתקן את החלק הריבועי אם המטריצה A אינה אלכסונית. --ארז שיינר 11:12, 15 באוקטובר 2010 (IST)

המטרה של ההזזה אינה "לתקן" את החלק הריבועי, אלא את החלק הלינארי.

דהיינו, כל המטרה בהזזה [math]\displaystyle{ \vec{v} \rightarrow \vec{v} + \vec{\alpha} := \vec{v}' }[/math] הינה להיפתר

מהחלק הלינארי, לאמור [math]\displaystyle{ \phi(\vec{v}) }[/math].

לאחר שנפתרים מהחלק הלינארי, ונשארים עם דבר מהצורה:

[math]\displaystyle{ \vec{v}'^t A \vec{v}' + C' = 0 }[/math]

אז, ניתן די בקלות לומר שבמקום המטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math] ניתן לשים (או, במילים אחרות, "חילוף קורדינאנטות")

את המטריצה האלכסונית עם הערכים העצמיים: (ב-[math]\displaystyle{ \R ^3 }[/math], למשל)

[math]\displaystyle{ A' = diag(\lambda_1 , \lambda_2 , \lambda_3) }[/math]

בדרך זו (אם באמת ניתן לבצע את "הזזת הקסם" הזו) ניתן להסיק את הצורה הקנונית של השניונית די מהר..

אז - האם זה באמת עובד...?

אז אתם עושים את ההזזה לפני לכסון המטריצה. בכל מקרה לא יודעים את צורת השניונית לפני שמחשבים ע"ע כך שאני לא רואה איך זה יותר פשוט או מהיר. אבל אם זה עובד, זה סבבה מבחינתנו. --ארז שיינר 00:04, 17 באוקטובר 2010 (IST)

כתוב לי במחברת שצריך לבצע הזזה לפי:

[math]\displaystyle{ \vec{\alpha} = -\frac{1}{2} A^{-1} b }[/math]

כאשר, [math]\displaystyle{ \phi(v) = b^t v }[/math].

אם מציבים את זה באמת נפטרים מהחלק הלינארי, ומקבלים צורה כמו:

[math]\displaystyle{ v^t A v + C' = 0 }[/math]

כאשר, [math]\displaystyle{ C' = \alpha^t A \alpha + b^t \alpha + C }[/math].

עכשיו באמת ניתן למצוא ערכים עצמיים, ולהחליף את A במטריצה האלכסונים עם הע"ע שלה.

השאלה - מה קורה כאשר המטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math] לא הפיכה?