שינויים

תהי <math>f</math> מוגדרת בסביבת הנקודה <math>x_0</math> כך שלכל x בסביבה מתקיים: ::<math>\forall x\in(x_0-\epsilon,x_0+\epsilon):f(x)\leq f(x_0)</math> (נקודת מקסימום מקומי)בסביבה מתקיים:

::<math>\forall x\in(x_0-\epsilon,x_0+\epsilon):f(x)\geq f(x_0)</math> (נקודת מינימום מקומי)  אזי <math>x_0</math> הינה הנה '''נקודת קיצון מקומית''' של <math>f</math>.

 תהי <math>x_0</math> נקודת קיצון מקומית של פונקציה <math>f</math>. אזי אם <math>f</math> גזירה ב- <math>x_0</math> מתקיים: ::<math>f'(x_0)=0</math>

נניח כי f גזירה בנקודת '''מקסימום''' מקומי <math>x_0</math> (ההוכחה עבור מינימום דומה) . אזי לפי הגדרת הנגזרת הגבול הבא משפט, כיון שהגבול קיים:, הגבולות החד-צדדיים ושווים.

::<math>\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=L</math> לפי משפט, כיוון שהגבול קיים, הגבולות החד צדדיים ושווים. לפי הנתון, קיימת סביבה ימנית של <math>x_0</math> בה מתקיים <math>f(x)-f(x_0)\leq le 0</math>, וכיוון וכיון שזו סביבה ימנית מתקיים בה גם <math>x-x_0>0</math>.

:לכן ביחד, מתקיים כי:<math>L=\lim_{x\rightarrow to x_0^+-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\leq ge 0</math> באופן דומה, קיימת סביבה שמאלית של <math>x_0</math> בה מתקיים <math>f(x)-f(x_0)\leq 0</math>, וכיוון שזו סביבה שמאלית מתקיים בה גם <math>x-x_0<0</math>. לכן ביחד, מתקיים כי

::סה"כ <math>L=\lim_{x\rightarrow x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\geq 0</math> כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math>