89-214 סמסטר א' תשעא/תקצירים

כאמור בדף הקורס, התוכנית מכסה ארבעה נושאים.

1. מבוא לתורת המספרים האלמנטרית (שעור אחד)
2. חבורות (שמונה שעורים)
3. חוגים (שלושה שעורים)
4. שדות (שעור אחד)

בהמשך יוצגו כאן תקצירי ההרצאות.

• חזרה ל89-214 סמסטר א' תשעא

הרצאה ראשונה

מבוא לתורת המספרים

הנחת המוצא היא שאתם מכירים את התכונות היסודיות של המספרים השלמים (תכונות של החיבור והכפל, של הקבועים 0 ו-1, ושל יחס הסדר). תרגיל: איך אפשר להגדיר את הקבועים ואת יחס הסדר, אם נתונים רק החיבור והכפל?

הגדרנו את יחס החלוקה (שהוא יחס סדר חלש על אוסף הזוגות [math]\displaystyle{ \ \pm n }[/math]), ואת המחלק המשותף המקסימלי (המחלק המשותף שהוא הגדול ביותר מכל המחלקים המשותפים, לפי היחס הרגיל), ואז הוכחנו שרשרת של טענות:

1. אפשר לבצע חילוק עם שארית ("אוקלידיות");

2. המחלק המשותף המקסימלי של a ו- b הוא צירוף שלם שלהם.

3. אם [math]\displaystyle{ \ a|bc }[/math] ו- a זר ל-b, אז [math]\displaystyle{ \ a|c }[/math].

הגדרנו מספר אי-פריק (לא ניתן לפרק באופן לא-טריוויאלי) ומספר ראשוני (אם הוא מחלק מכפלה אז הוא מחלק את אחד הגורמים), והבחנו שכל ראשוני הוא אי-פריק (זה קל). כעת אפשר להוכיח

4. כל שלם אי-פריק הוא ראשוני (כלומר, במספרים השלמים, "ראשוני" ו"אי-פריק" הם בעצם אותו מושג), ואז

5. המשפט היסודי של האריתמטיקה: לכל מספר שלם יש פירוק יחיד לגורמים אי-פריקים.

השרשרת הזו תופיע באופן כללי בהרבה בפרק השלישי של הקורס, כאשר נעסוק בתחומי שלמות (שהם סוג מיוחד של חוגים קומוטטיביים (שהם סוג מיוחד של חוגים)).

תרגיל. בכתה הגדרנו מחלק משותף מקסימלי לגבי יחס הסדר הרגיל, ואמרנו שלו היינו מגדירים לפי יחס החלוקה היינו מקבלים אותו הדבר. הוכיחו טענה זו. כלומר, הראו שכל מחלק משותף של a ו-b מחלק את המחלק המשותף המקסימלי.

הרצאה שניה

לסיום הפרק הראשון הגדרנו את יחס השקילות [math]\displaystyle{ \ a \equiv b \pmod{n} }[/math] (אם ורק אם [math]\displaystyle{ \ n|(a-b) }[/math]). מחלקות השקילות שלו הן [math]\displaystyle{ \ \mathbb{Z}_n = \{[0],[1],\dots,[n-1]\} }[/math]. מתברר שפעולות החיבור והכפל לפי רכיבים מגדירות פעולות בין המחלקות. משפט השאריות הסיני קובע שאם n,m זרים, אז הפונקציה [math]\displaystyle{ \ \mathbb{Z}_{nm} \rightarrow \mathbb{Z}_n \times \mathbb{Z}_m }[/math] המוגדרת על-ידי [math]\displaystyle{ \ [x]_{nm} \mapsto ([x]_n,[x]_m) }[/math] (תרגיל: הוכח שהיא מוגדרת היטב; מה יש לבדוק?) היא חד-חד-ערכית ועל.

מערכת מתמטית כוללת קבוצה, פעולות, יחסים וקבועים (או חלק מהם). המשך הקורס יעסוק בכמה מערכות מתמטיות חשובות: חבורות, חוגים ושדות. לפני שנעסוק בחבורות באופן ישיר, נפגוש שני מבנים אלגבריים פשוטים יותר: חבורות למחצה ומונוידים.

חבורה למחצה היא קבוצה עם פעולה בינארית אסוציאטיבית. דוגמא כללית: אוסף כל הפונקציות מקבוצה X לעצמה. (במובן מסויים, כל חבורה למחצה היא אוסף של פונקציות מקבוצה מתאימה לעצמה [בעתיד נוכיח תוצאה דומה על חבורות]). שימו לב שכדי שקבוצה חלקית של אוסף כל הפונקציות מ-X ל-X תהיה חבורה למחצה, די בכך שהיא תהיה סגורה להרכבה (משום שהאסוציאטיביות היא אוטומטית).

איבר של חבורה למחצה המקיים את התנאי [math]\displaystyle{ \ ex=xe=x }[/math] לכל x הוא "איבר יחידה". לא תמיד יש כזה, אבל אם הוא קיים - הוא יחיד. חבורה למחצה שבה יש איבר יחידה, נקראת מונויד (או "יחידון").