=אינפי ' 1 לתיכוניסטים= כאן יהיה המקום שלנו להיעזר אחד בשני בקורס חשבון אינפיניטסימלי 1. אתם מוזמנים לשאול שאלות ולדון בבעיות הנוגעות לקורס אינפי ' 1 - סטודנטים הלומדים בשתי הקבוצות מוזמנים להגיב כאן.
=ארכיון=
[[אינפי 1 לתיכוניסטים תש"ע - ארכיון 1|ארכיון 1]]
=תרגילים + פתרונות=[[אינפי 1 לתיכוניסטים תש"ע - ארכיון 2|ארכיון 2]]
=תרגילי אתגר באינפי'''[[מדיה:09Infi1_Sol1.pdf| תרגיל =*מצא סדרה כך שקבוצת הגבולות החלקיים שלה היא כל הממשיים*מצא פונקציה רציפה בקטע <math>(0,1]]'''</math> שאינה חסומה בו מלעיל ואינה חסומה בו מלרע*מצא פונקציה מונוטונית שאינה רציפה באף סביבה של 0*מצא פונקציה שאם תגזור אותה תקבל <math>\tan</math>*הוכח/הפרך: הגבול של הסדרה <math>\sin(n)</math> אינו קיים
===תרגיל אתגר מאתגר במיוחד===תרגילי האתגר הנ"ל מאתגרים וטריקיים אך ניתן לפתור אותם בעזרה הידע שלכם מקורס אינפי'''[[מדיהבלבד. את האתגר הבא צריך לפתור בעזרת ידע מקורסים אחרים שלמדתם בנוסף:09Infi1_Sol2.pdf| תרגיל 2]]'''(קרדיט ללואי שפתרה את זה)
'''*האם קיימת פונקציה מונוטונית שאינה רציפה באף נקודה בקטע <math>[[מדיה:09Infi1_Sol30,1]</math> ? אם כן מצא אותה, אם לא הוכח שלא.pdf| תרגיל 3]]'''
'''[[מדיה:09Infi1_Sol4.pdf| (שוב, זה תרגיל 4]]'''מאד קשה, אל תרגישו רע אם אתם לא מצליחים לפתור אותו)
===פתרונות לאתגרים==='''[[מדיה:09Infi1_Sol5.pdfפתרונות לאתגר אינפי 1 תיכוניסטים תש"ע| תרגיל 5פתרונות]]'''
'''=שאלות===מהבוחן==מישהו זוכר איך מראים שגבול הסדרה <math>\sqrt[n]{\sqrt[מדיה:09Infi1_Sol6.pdf| תרגיל 6n]{n}-1}</math> הוא 1? כאשר (<math>\sqrt[n]'''{x}</math> זהו השורש ה- <math>n</math>-י של <math>x</math> . ובלינארית (מתוך מבחן של רון עדין), איך מראים שלמטריצות מתחלפות <math>A,B</math> (ז"א ש- <math>AB=BA</math>) קיים ו"ע משותף...?
'''[[מדיה:09Infi1_Sol7==שאלה==יש לי שאלה על גבול שאני מנסה למצוא אבל משום מה יש שלב אחד שלכאורה נראה לי נכון אבל הוא לא.pdf| תרגיל 7]]'''נתונה הפונקציה::<math>\frac{p\sin(x)-\sin(px)}{x(\cos(x)-\cos(px))}</math>כאשר <math>x</math> שואף ל-0
'''[[מדיה:09Infi1_Sol8כאשר <math>p=\pi</math> .pdf| תרגיל 8]]'''
'''[[מדיהפירקתי את השבר לשני שברים בצורה הבאה:09Infi1_Sol9.pdf| תרגיל 9]]'''כל מחובר של המונה לבדו עם המכנה (חיבור שברים עם אותו מכנה הוא שבר עם אותו מכנה כמו של השניים המקוריים כאשר מחברים את המונים שלהם, אם עדיין לא הבנת את כוונתי)
=שאלות=ואז בצד אחד היה לי <math>\frac{\sin(x)}{x}</math> וזה שואף ל-1. בצד שני היה לי <math>\frac{\sin(px)}{x}</math> אז פשוט כפלתי וחילקתי ב- <math>p</math> ואז בגלל ש- <math>x</math> שואף ל-0, גם <math>px</math> שואף ל-0 מה שאומר שגם <math>\frac{\sin(px)}{px}</math> שואף ל-1.
ואז כביכול היה יוצא 0 כי שני השברים מצמצמים אחד את השני.
==שאלה==הבעיה היא במה שאמרתי על <math>\sin(px)</math> ו- <math>px</math> כי בדקתי במחשבון ושם זה נתן תוצאה אחרת.
אני לא בטוח במשהו: במבחן ד'אלמבר , כתוב במייזלר שהטור מתבדר אם החלוקה גדולה או שווה ל 1לכן רציתי לדעת איך לפתור את זה באמת. אני זוכר שהמתרגל פעם קיבל שהחלוקה שווה ל 1 אבל אמר שזה לא אומר כלום. אז מה נכון? תודה
===תשובה===
אני אסביר. אם <math>\forall n : \frac{a_{n+1}\sin(px)}{a_npx}\geq xrightarrow[x\to0]{}1</math> . קל לראות את זה אומר שהסדרה מונוטונית עולהלפי היינה. מכיוון שהיא חיוביתאם <math>x_n</math> סדרה ששואפת ל-0 אזי גם <math>\frac{x_n}{p}</math> סדרה ששואפת ל-0, זה אומר שהיא בהכרח לא פשוט תציב בפונקציה ותקבל שבזכות ש- <math>\frac{\sin(x)}{x}</math> שואף ל-1, שגם הפונקציה הזו על הסדרה הנ"ל שואפת לאפס ולכן הטור מתבדרל-1. (לא ניסחתי מדויק, אני אשאיר לך לתקן את הפערים).
לעומת זאתמצטער אבל לא ממש הבנתי איך התשובה שלך קשורה לשאלה שלי. במחשבון יוצא שהפונ' שואפת ל-1.047 (וממש המספר הזה, אם לא 1) אני אכתוב לך את מה שעשיתי ואני מקווה שתצליח להסביר לי מה היה לא נכון::<math>\lim_{nlim\rightarrow limits_{x\inftyto0}\left[\frac{a_{n+1}\pi\sin(x)-\sin(\pi x)}{a_nx(\cos(x)-\cos(\pi x))}=1\right]</math> לא ניתן לדעת אם הטור מתכנס, משמע יש דוגמאות לשני הכיוונים. הטור ההרמוני זה שווה ל::<math>\sum lim_{x\to0}\left[\frac{1\pi\sin(x)}{nx(\cos(x)-\cos(\pi x))}-\frac{\sin(\pi x)}{x(\cos(x)-\cos(\pi x))}\right]</math> מקיים את התכונה הזו ומתבדר, ואילו הטור ששווה ל::<math>\sum lim_{x\to0}\left[\frac{1\pi}{n^2\cos(x)-\cos(\pi x)}-\frac{\pi\sin(\pi x)}{\pi x(\cos(x)-\cos(\pi x))}\right]</math> מקיים את התכונה הזו ומתכנס ( ששווה ל::<math>\lim_{nx\rightarrow to0}\inftyleft[\frac{\pi}{\cos(x)-\cos(\pi x)}-\frac{n^2\pi}{(n+1\cos(x)-\cos(\pi x))^2}\right]=10</math> וזה אמור להיות 0 זהותית (כלומר ממש 0, לא שואף ל-0...)
==שאלה==
איך אני מראה שלמשוואה tg x = x יש אינסוף פתרונות ממשיים?
===תשובה===
דבר ראשון, אסור בתכלית האיסור, להחליף באמצע התרגיל את חלק מהגבולות למספר אליו הם שואפים. אחרת <math>\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2} +\pi k}tgx - x= \lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2} +\pi k}\frac{sinx}{cosx} - x = \pm 1^\infty</math>תמיד שווה 1 למרות שאנחנו יודעים שהוא יכול להיות e. ושוב, הייתי פותר את זה באמצעות כלל לופיטל, ולא בטוח איך אפשר אחרת.
ולכן לפי משפט ערך הביניים כל ערך ממשי מתקבל בין השאיפה לאינסוף ומינוס אינסוףאוקי, וזה קורה אינסוף פעמים אז נניח שהייתי מכניס את ה- <math>\lim</math> גם לשבר השני.. אני עדיין לא מבין למה זה לא היה עובד (לכל k)ותודה שאתה ממשיך לענות לי למרות החפירה. בפרט.) :מה הכוונה מכניס <math>\lim</math> לשבר השני? אסור לך להחליף במספר, 0 מתקבל אתה נשאר עם אינסוף פעמיםפחות אינסוף ולא מצליח לחשב. לא יהיה לך זהותית 0. אסור לך למחוק את <math>\frac{\sin(x)}{x}</math> אז זה מה שאני לא מבין, ולכן למה אסור למחוק את <math>tgx=\frac{\sin(x)}{x}</math> הרי זה אמור להיות 1 כש- <math>x\to0</math> :כמו שאמרתי, לפי ההגיון הזה, גם <math>\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=1</math> כי <math>1+\frac{1}{n}\to1</math> אינסוף פעמים.במקרה זה, יש לך <math>1\cdot\infty-\infty</math> אסור להשתמש באריתמטיקה של גבולות במקרה זה. דוגמא נגדית פשוטה יותר: <math>\frac{n+1}{n}\cdot n-\frac{n-1}{n}\cdot n</math> בשיטה שלך זה 0 זהותית. במציאות, זה שווה בדיוק 2. הבנתי. תודה רבה! (וסליחה על החפירה הארוכה, שוב)
==שאלה==
האם פונ' חח"ע ועל היא מונוטונית?רציתי לבדוק אם אני צודק: דורשים למצוא נקודות אי-רציפות וסיווגן בפונקציות הבאות:
===תשובה===רציפה או לא? קח את 1) <math>\frac{\cos(x על הרציונליים, ו2x על האי רציונליים, חח"ע ועל ואינה מונוטונית. )}{|\cos(x)|}</math>
אם היא רציפה, היא חייבת להיות מונוטונית לפי משפט ערך הביניים 2) <math>\frac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{2+\sin\left(תרגיל\tfrac{2}{x}\right) ואפילו }</math> בשתיהן יצא לי 0 אי-רציפות סליקה. זה נכון? ===תשובה=== בראשון 0 '''אינה''' נקודת אי-רציפות בכלל... יש כמובן נקודות אי-רציפות אחרות, והן תמיד ממין ראשון. שים לב שהפונקציה הזו היא פשוט 1, 1- או לא צריך את העלמוגדרת. בשני זה נכון, וזו אכן נקודת אי-הרציפות היחידה. כן, בראשון התבלבלתי..תודה רבה!
==שאלה==
נניח שיש לי פונקצייה שמוגדרת בתחום אפשר בבקשה עזרה בתרגיל? צריך לבדוק האם <math>y=\cos\big(\log(x)\big)</math>aרבמ"ש בקטע הפתוח <math>(0, ובדיוק בנק' x=a יש אי-רציפות בצורה של 'אסימפטוטה' \infty)</math> . אני לא ממש רואה את זה... (אין גבול בשאיפה ל- האם זו אי רציפות מסוג ראשון<math>0^+</math> , או שני?אז ניסיתי להראות ע"י שתי סדרות שואפות ל-0 שאין רבמ"ש, לא ממש הולך לי...)
===תשובה===
מה זה צורה של אסימפטוטהלא הולך? <math>x_n=e^{\pi-2\pi n}\ ,\ y_n=e^{-2\pi n}</math> . שתי הסדרות שואפות ל-0, ולכן המרחק ביניהן שואף ל-0. אבל הפונקציה עליהן שווה 1 או 1-. ההגדרה מאד מאד פשוטה:
אי רציפות סליקה: קיים גבול סופי בנקודה
אי רציפות ממין ראשון(זה לא כותב השאלה) אפשר פשוט לומר שהגבול באפס לא קיים, לכן הפונקציה לא רבמ"ש ב- <math>(0,1)</math> וכמובן שהיא לא רבמ"ש ב- <math>(0,\infty)</math> , לא?: קיימים גבולות חד צדדיים סופיים בנקודה(זה לא ארז) אני חושב שאסור, כי אז לפי מה שאתה אומר בגלל שלא קיים לsin x גבול באינסוף אז היא לא רבמ"ש...
אי רציפות ממין שני: כל מצב אחר:בכל מקרה, הדרך היחידה להוכיח שהגבול אינה קיים היא באמצעות הסדרות, כך שלא חסכת עבודה. באופן כללי, אפשר להוכיח שאם הגבול אינו קיים בצד הסופי, אזי הפונקציה לא רציפה שם במ"ש. זה נכון כי יש 2 אופציות: או שיש 2 סדרות ששואפות לצד הסופי (נגיד a) והפונקציה שואפת עליהן לגבולות שונים (וזה אוטומטית יוצר סתירה לרציפות במ"ש), או שיש סדרה ששואפת לאינסוף ואז הפונקציה אינה חסומה על קטע חסום, ולכן אינה רציפה במ"ש. אבל כמו שאמרתי, כך או כך זה דורש את בניית הסדרות.
:לאדע, לא עולה לי כל כך מהר הדוגמאות להפרכה. תודה בכל מקרה! יש לי עוד שאלה ממש קטנה, אני מנסה להוכיח שכשX שואף ל0, אז ln sin x / ln x שואף ל1.
:האם מותר לי להגיע לזה באמצעות המשפט של sin x / x =1 ? כי אז אני מכפיל בX, מפעיל LN על שני האגפים, מחלק בLN X ומקבל את הדרוש... תודה לעונה!
אסור. אין משפט שsinx/x=1 יש משפט שאומר שזה שואף לאחד... אבל לכפול בx זה כמו לכפול באפס וזה בוודאי אסור (אריתמטיקה של גבולות לא עוזרת פה). אפשר לפתור באמצעות כלל לופיטל, כמו שאמרתי אני לא יודע אם זה בחומר או לא.
הדבר היחיד שאני לא בטוח לגביו, באמת בהקשר השאלה שלך, הוא מה קורה כאשר מדברים על פונקציה בתחום הגדרה מסוים. כלומר, מה היא האי רציפות של פונקציה <math>\frac{x}{\sqrt{x}}</math> בנקודה אפס. מצד אחד לפי ההגדרה שרשמתי למעלה זה מין שני כי לא קיים הגבול החד צדדי משמאל. מצד שניבחומר, אם נחליף את הנקודה ב0 נקבל פונקציה רציפה ב(אינסוף,0], אז זה נשמע כמו סליקה. אז אני באמת לא בטוח מה ההגדרה במקרה כזהתודה בכל מקרה.!
==שאלה==
איך אפשר להוכיח שאם יש משהו שנורא מבלבל אותי.נניח שיש לי סדרה את הפונקציה: <math>a_nf(x)=e^{lnx}</math> המתכנסת מצד אחד הנגזרת שלה היא 1, כי היא שווה ל-0X מצד שני, אזי : אם אני מתעלם מהעובדה שהדבר הזה הוא X ואני גוזר רגיל אני מקבל שהגזרת היא 1 חלקי X.מה עושים??? דרך אגב, ארז כתבתי לך בחזרה משהו בשאלה של ה- <math>\fraclim_{x\sum_{n=1rightarrow 0}^\frac{sin(\inftypi x)}{a_n}}{n\pi x} = 0</math> (כלומר הוכחה לפי הגדרת הגבול) ?אז בבקשה תענה לי.
===תשובה===
יש טעות בשאלה. הרי הטור בוודאי לא חייב להתכנסלומדים לגזור!<math>[e^{lnx}]' =e^{lnx} \cdot \frac{1}{x}=\frac{x}{x}=1</math> חח אופס, ולכן אין הגדרה כלל לחלוקה הנסליחה. ==שאלה - רבמ"לש==נכון, ובפרט אין גבולחפרנו על הנושא למרות שתהיה מקסימום שאלה אחת על זה במבחן, ובכל זאת:נניח שאני רוצה להוכיח ש- f(x)=xsinx רבמ"ש.האם מותר לי לקחת x,y שמקיימים <math>|x-y|<d</math> ולומר :<math>|xsinx-ysiny| \le |2x-2y| < 2d</math>(מהסיבה שפונק' הסינוס חסומה ע"י 1 ו-1-) ?
===תשובה===
לא הבנתי איך זה קשור שהטור לא מתכנסבוודאי שלא...בכל מקרה מה שרשמת זה ההממוצע החשבוני של למשל <math>x=2000\ a_n </math>pi,והוכחנו בהרצאה שהממוצע החשבוני של <math>y=2000\ a_n <pi + \pi/math> מתכנס לאותו גבול כמו <math>\left\{a_n\right\}_{n2, d =1}^{\infty}pi/2</math> לכן אם הגבול של אז יוצא ש<math>|xsinx-ysiny|= 2000\leftpi + \{a_n\right\}_{n=1}^{\infty}pi/2</math> הוא 0 זה גם הגבול של הממוצע החשבוני :)
מוכיחים את המשפט של השוויון בין הגבולות (בצורה כללית) בעזרת משפט שטולץ.http:הטריק הוא בגדול לקחת <math>x_1=x,x_2=x+h<//he.wikipedia.org/wiki/%D7%9E%D7%A9%D7%A4%D7%98_%D7%A9%D7%98%D7%95%D7%9C%D7%A5#.D7.A0.D7.99.D7.A1.D7.95.D7.97_.D7.94.D7.9E.D7.A9.D7.A4.D7math> ולפתח לפי נוסחאות טריגונומטריות.98
הטעות היא שלפי מה שכתבת, זה נראה כאילו דיברת ==שאלה - טורים==ישבתי על זה הרבה ולא הצלחתי X::נתון שיש טור המוגדר ע"י סכום של הטור האינסופי עד אינסוף (כאיבר אחד) נחלק ל-n (שהוא מה שרץ) ואז כמו שנאמר, הסדרה an ובדומה סכום המוגדר ע"י סכום הסדרה bn:ידוע שסיגמא AN זה לא ממש מוגדר. וכמו שאמרו, ההוכחה בעזרת שטולץ היא די פשוטהA וסיגמא BN זה B:אפשר גם להוכיח בעזרת סנדוויץ'? לומר שהביטוי גדול שווה מסדרת המינימומים וקטן שווה מסדרת המקסימומים, שהם תתי מגדירים סדרה של an ולכן הגבול שלהם הוא 0חדשה, ולכן גם הביטוי שואף ל0CN שבמקומות האי זוגיים היא מקבלת את b1,b3,b5.... ובמקומות הזוגיים היא מקבלת את a1,a2,a3,...:האם סיגמא CN מתכנס?
==שאלה=תשובה===בתחילת הקורס נאמר שיש חובת הגשה של 80 אחוז. לא הגשתי את התרגילים 7של ארז:מקווה שזה נכון:סכום האי זוגיים של הסדרה b מתכנס לפי קריטריון ההשוואה,8 מפני שלא יכלתי להגיע לאוניברסיטה בזמן חופשת הסמסטרהסכום של a כמובן מתכנס לפני הנתוןולכן סכום טורים מתכנסים הוא מתכנס. האם אי הגשת שני תרגילים אלה יורד לי ציון? :אפשר להגיש אותם גם ביום ראשוןמבחן ההשוואה נכון לטורים חיוביים בלבד. והתשובה היא בוודאי לא, אם לא נתון שהטורים חיוביים. לוקחים את הטור הקלאסי להתכנסות בתנאי <math>b_n=(-1)^n/n</math> ולוקחים כל טור מתכנס אחר להיות a_n...
==שאלה==
תהי סדרה an. אם הגבול שאלה מהמבחן של an^2 קיים ושווה למס' ממשי כלשהו, מה זה אומר לי לגבי הגבול של an? הוא לא חייב להיות קיים, נכון? אבל במידה וכןראובן שנה שעברה שלא הצלחתי: הוא יכול להיות פלוס מינוס השורש של הגבול הנ"ל, ואלו האפשרויות היחידות, נכון?
תהי an סדרה מתכנסת כך ש: <math>s={an: n - belong - to - N}</math> כאשר N זה המספרים הטבעיים. ואומרים ש-s היא קבוצה סופית.
צריך להוכיח שהחל מ-N מסויים, לכל n,m שגדולים ממנו, an=am.
זה נראה לי נכון אבל אני לא יודע איך לכתוב את זה בצורה מתמטית.
===תשובה===
בדיוק. תמיד התת סדרה המורכבת מהשליליים של an תתכנס למינוס השורש, ותת הסדרה של החיוביים תתכנס לשורש. אם המספר הינו אפס, אז גם an תתכנס בהכרח לאפס.
:מגניב. אבל שוב, זה לא דורש שיהיה קיים גבול לan נכון?
::אם יש סדרות חלקיות שמתכנסות לגבולות שונים ברור שאין גבול. וכמו שאמרתיS הינה קבוצת כל האיברים בסדרה, אם הגבול המקורי הוא אפס אז כן חייב והיא סופית. כלומר איבר בסדרה יכול להיות הגבול אפס גם אחד מתוך מספר סופי של anאיברים (איבר מתוך S).
כעת, נגדיר את קבוצת ההפרשים <math>D=\{|s_1-s_2| : s_1,s_2 \in S, s_1\neq s_2\}</math> מכיוון שS סופית גם D סופית ולכן יש לה מינימום. נגדיר <math>\epsilon = שאלה ==Min(D)/2>0</math>. כעת, לפי תנאי קושי, קיים <math>n_0</math> כך שלכל <math>n,m>n_0</math> מתקיים <math>|a_m-a_n| < \epsilon</math> מה המשמעות האינטואיטיביתאבל אם <math>a_n \neq a_m </math> אזי <math>|a_m-a_n| \in D</גאומטרית של רציפות במידה שווה?math> אבל
===תשובה===מה היא רציפות? פונקציה הינה רציפה אם הגבול שלה בנקודה הוא הערך שלה בנקודה, כלומר שבכל נקודה היא שואפת לערך שלה בנקודה<math>|a_n-a_m|<\epsilon < Min(d)</math> וזו סתירה.
מידה שווה יכולה לדבר על גבולות באופן כללי. המילה "מידה" מתכוונת למהירות ההתכנסות. כלומר כמה מהר הפונקציה מגיעה לגבול שלה בנקודה. ואיך ניתן למדוד מהירות התכנסות? על ידי כמה קטן הדלתא שנדרש על מנת שהפונקציה תהיה במרחק אפסילון מסויים מהגבול.:סבבה תודה!
כעת, המילה "שווה" אומרת שה"מידה" כלומר מהירות ההתכנסות שווה בכל נקודה בקטע בו יש רציפות במידה שווה. כלומר, לכל אפסילון, קיים דלתא, כך שאם ניקח מסדרון באורך דלתא איפשהו על ציר x, הפונקציה לא תצא בתוכו ממסדרון באורך אפסילון בציר y. ובמילים, הפונקציה מתכנסת פחות או יותר באותה מהירות לגבול שלה בכל נקודה בקטע.
==שאלה=מבחן של ראובן===האם איפה יש דרך למדוד למה מתכנס הטור <math>(-1)^n*1/n</math>את המבחן שלו משנה שעברה?
ועוד שאלה לא קשורה: זה ארז שעוזר לנו כאן בכל השאלות או המתרגלים האחרים באינפי?באתר של גיל
יש לי דה ז'ה וו שמישהו עונה לי ואומר לי כן אבל לא אומר לי איךאיפה זה, אז בבקשה תגידו גם איך :)אפשר קישור?
http:כן//math. (זה שארז עונהipnet. ואני באמת לא יודע איך הוא עושה את זה D: ). במחשבון אני מקבל שהוא שווה ל-(-0co.69),il
::כן אבל התכוונתי לתשובה ממש עם נוסחאות ומשפטים..תודה
==שאלה - קיום גבול חד-צדדי==איך אפשר להפריך קיומו של גבול חד צדדי? למשל, בפונקצייה sinבאחת משאלות האתגר שנתתם (1/xזאת עם הגבולות החלקיים שכוללים את כל הממשיים) : האם , מותר לי לומר שהגבול החד צדדי פשוט להגיד ש-an היא הספירה של 0 מימין שווה ממש לגבול Q?אנחנו יודעים שאפשר לספור את Q אבל האם זה מספיק להסתמך על זה שקיימת ספירה כזאת ואז לרשום שנק' ההצטברות של sin(x) כאשר x שואף לאינסוף, אם קייםQ הן כל R ולכן אלו הם הג"חים?
===תשובה===
עושים השאלה היא האם משם אתה יכול להוכיח שכל מספר ממשי הוא גבול חלקי של הסדרה הנ"ל. אין משפט על הקשר שבין נקודת הצטברות של קבוצה, לבין הגבולות החלקיים של סדרה המכילה את זה באלגנטיות באמצעות סדרות והגדרת הגבול לפי היינהאיברי הקבוצה.האם הסדר לפי תבנה את הסדרה משנה?
לוקחים שתי סדרות <math>0\leq x_n,y_n \rightarrow 0</math>:אוקיי. אם היה גבול חד צדדי מימין, לפי היינה <math>f. יש לי סדרה אחרת שנראה לי שהיא תעבוד. את כל שאר תרגילי האתגר הצלחתי לפתור (x_n),f(y_n) \rightarrow L</math> כאשר L הינו הגבולחוץ מזה שדורש שימוש בקורס אחר שאין לי מושג מה לעשות שם חוץ מזה שאני בטוח כמעט לגמרי שזו הפרכה. אבל אנחנו נבנה סדרות כך שאחרי הפעלת הפונקציה עליהן נגיע לגבולות '''שונים''' בסתירה להגדרה הגבול לפי היינה.)
הסדרות במקרה זה הינן ::תשלח לי למייל בקצרה, אני אגיד לך אם צדקת. אגב, מתי המבחן שלכם?
<math>x_n = \frac{1}{\frac{\pi}{2}+2 \pi n}</math>:::המבחן שלנו מחר :S
<math>y_n = \frac{1}{-\frac{\pi}{2}+2 \pi n}</math>::::הא, בהצלחה.. יכול להיות שאני אהיה מחר באוניברסיטה.. אבל זה כבר לא יעזור לאף אחד :)
וכמובן ש <math>\forall n: f(x_n)=1,f(y_n)=-1</math> עבור <math>f=sin(\frac{1}{x})</math> ==שאלה - רציפות במידה שווה==היום בתרגול עם ראובן הוזכר משפט על רציפות במידה שווה שמעולם לא שמעתי עליו, לא מצאתי אותו בהרצאות או בספר : אם הוכח שאם f רציפה, וקיים עבורה גבול סופי כשגזירה ב-x שואף לפלוס\מינוס אינסוף (שניהם קיימיםa,b), ונגזרתה חסומה בקטע, אזי f רציפה במידה שווה.מאיפה הגיע המשפט הזה? ולמה הוא נכון?:תיקון - מצאתי אותו, והוא מנוסח כך : f רבמ"ש בקטע שם.(a,b) <==> הפונק' f רציפה בקטע זה, וקיימים גבולות חד צדיים ל-a ו-b. השאלה שלי היא : הוא גם עובד עבור a או b שהם אינסופיים, נכוןWTF? ודבר שני, אם קיים גבול שהוא אינסוף לפונק' כאשר היא שואפת ל-b, למשל (לאחד מהם!) - האם זה בהכרח סותר את רבמ"שיות הפונקצייה?
===תשובה===
נניח בשלילה שהיא אינה רציפה במ"ש, לכן קיים אפסילון, כך שלכל דלתא קיים זוג x,y כך שהמרחק בינהם קטן מדלתא, אבל המרחק בין f(x) לf(y) גדול מאפסילון. ולכן <math>\frac{f(x)-f(y)}{x-y} > \frac{\epsilon}{\delta}</math>. ניקח <math>\delta_n = \frac{1}{n}</math> וניקח את הזוגות המתאימים <math>x_n,y_n</math>. אלה סדרות חסומות ולכן ניתן לקחת תת סדרה של <math>x_n</math> שמתכנסת, ואז תת-תת סדרה של y_n שמתכנסת וביחד נקבל שתי סדרות מתכנסות <math>x_{n_k},y_{n_k}</math> ומכיוון שהמרחק ביניהן הולך וקטן הן מתכנסות לאותו הגבול, נקרא לו L. אבל אז
<math>\frac{f(x_{n_k})-f(y_{n_k})}{|x_{n_k}-y_{n_k}|} > \frac{\epsilon}{\delta_{n_k}}</math> כלומר שואף לאינסוף, אבל זה חסום על ידי קבוע כפול הנגזרת (לפי תרגיל אחר שנתנו לכם) וזו סתירה.
1. אם פונקציה רציפה :: אתה יכול בבקשה להסביר למה הכוונה ב(a,b) ואחד מהם "זוגות המתאימים Xn Yn" - הכוונה היא לאותן סדרות שעזרו לך להוכיח או שניהם הוא אינסוף אבל יש לה גבולות בקצות הקטע היא רציפה במ"ש. בצד הסופי, נניח a, להפריך משהו בהרבה תרגילים אחרים בעמוד זה אומר שניתן להשלים אותה לפונקציה רציפה בקטע (a,b]. בצד האינסופי, אם לפונקציה יש גבול זה אומר שהחל ממקום מסוים M המרחק שלה מהגבול קטן מאפסילון, ובפרט המרחק בין כל שני <math>f(x_1),f(x_2)</math> קטן מפעמים אפסילון, ללא תלות כלל במרחק בין <math>x_1,x_2</math>. לכן מפרידים את הפונקציה ל<math>[a,M]</math> שזה קטע סגור וחסום לכן הפונקציה רציפה בו במ"ש ולכן יש דלתא לאפסילון ו<math>[M,\infty)</math> שם ראינו שהמרחק קטן מפעמים אפסילון בלי שום קשר לדלתא?:: ועוד משהו, ולכן הפונקציה רציפה באיחוד הקטעים במלמה הכוונה חסום ע"ש. אם שני הצדדים אינסופיים מחלקים את הפונקציה לשלוש וההוכחה דומה.י קבוע כפול הנגזרת?
2. אם בצד הסופי הגבול הינו אינסוף הפונקציה אינה רציפה במ"ש, מכיוון שלפי משפט אם f אינה חסומה בקטע חסום אזי היא אינה רציפה שם במ"ש. אם הגבול הוא אינסוף באינסוף אי אפשר לדעת כי <math>.. כך שלכל דלתא קיים זוג x</math> הינה כזו, והיא רציפה במ"ש, ואילו <math>x^2</math> אינה רציפה במy..."שהזוג הזה.
:תודה רבה, הבהרת לי את העניין בצורה מלאה - עכשיו הצלחתי לטפל בכחסום ע"י הכוונה "קטן מ.."כ הרבה תרגילים שלא הצלחתי קודם, ואיכשהו באותם תרגילים שיוצא ששואף לאינסוף באינסוף - ההוכחה צריכה להיות בצורה פורמלית והיא מסתדרת בקלות!
==שאלה==
נניח שאנחנו מקבלים פונקצייה כמו:
<math>cos\frac{1}{ln(x^2)}</math> . האם מצפים מאתנו להתייחס אליה כמוגדרת גם ב-x<0 (כפי שהיא כתובה), או ללכת צעד אחד קדימה ולהפוך את זה ל: <math>cos\frac{1}{2lnx}</math> ?
::בשמחה. שים לב רק לנקודה חשובה שאלה נוספת - כדי להוכיח שלא קיים גבול בנק' x=1, במקרה זה, האם מותר לי להשתמש בנימוק המילולי הבא (זלצמן מטעה בה בכוונה תמיד?) אם הפונקציה אינה רציפה בקטע היא בוודאי אינה רציפה בו במ"ש גם אם הגבולות קיימים בקצוות. למשל <math>sin(: הפונקצייה מבצעת אינסוף מחזורים בכל סביבה של x=1/x)</math> יש לה גבולות בפלוס מינוס אינסוף אבל בוודאי היא אינה רציפה במ"ש כי יש לה אי רציפות ב0, לכן הגבול לא קיים. (היא גם אם לא רציפה במ"ש בקטע (0,אינסוף)איך אחרת אפשר לנמק את אי-קיום הגבול בנק', בלי פשוט לומר שהפונק' שבתוך ה-cos שואפת לאינסוף?
==שאלות גבוליות על מקרי-קיצון=תשובה===*נניח שיש לי פונקצייה, כמו logx. ידוע כמובן שהיא מוגדרת רק עבור באפס. לא עושים שום צעדים קדימה או אחורה. זה כמו שx/x>0אינה מוגדרת באפס. לא, אז האם אי-הרציפות ב-x=0 נחשבת לרציפות מסוג שני? תקרא את הדוגמאות האחרות (מפני שהגבול השמאלי לא קייםכמעט זהות)בנושא. בונים 2 סדרות ששואפות ל1 אבל הפונקציה עליהן הולכת לפלוס אחד או מינוס אחד ולכן אין גבול לפי היינה. *אם יש לי פונקצייה כמו f(x)=\frac{1}{|x|} (כלומר, יש לה 'אסימפטוטה' ב-x=0 ששואפת לפלוס-אינסוף משני הצדדים), שאלה==האם מדובר באי-רציפות מסוג שניזהו משפט נכון? (הגבול השמאלי והימני לא סופיים, ולכן כביכול לא קיימים?) או שאולי באי-רציפות סליקה (מה שממש לא נראה לי - למרות ששני הגבולות שווים)*M = SUP A אם בשאלה השנייה שלי התשובה הנכונה היא הראשונה, אז האם אפשר להסיק שבכל מקרה בו אומרים "אם ם לכל e>0 קיים הגבול", בלי לומר מילה על 'גבול במובן הרחב', בכל הקשור לפונקציות\גבולות\רציפות\רבמ"a ששייך לA כך ש, מתכוונים לגבול סופי?M-e<a
===תשובה===
יש תשובה בדיוק על השאלות האלה בדף הזה.
*לא יודע*הגבולות חייבים להיות קיימים וסופיים.*תלוי בהקשר ובניסוח ובכוונת המשוררמדוייק
M== הלצה ==חשבתי שכולנו גם זקוקים לקצת צחוק בכל הלחץ מההתכוננות לאינפי. סרטון מאוד מצחיק ומומלץ :)[http://www.youtube.com/watch#playnext=1&playnext_from=TL&videos=OWkvcRg0vkI&v=uqwC41RDPyg לחץ כאן]:מצחיק מאוד, אהבתי את הביצוע D: !supA אם"ם '''M חסם עליון''' וגם e>0 קיים a ששייך לA כך ש M-e<a
==גבול M חסם עליון אומר M גדול מכל האיברים בקבוצה, והתנאי עם האפסילון נותן את המינימליות של פונקצייה==כדי להוכיח גבול של פונקצייה בנקודה, M. אם הוא לא מספיק להראות ש''קיימת'' סדרה <math>a_n</math> ששואפת לאותה נק' וקיים גבול לסדרה המוגדרת ע"י <math>f(a_n)</math>היה מתקיים, נכון? בעיקרון המשפט אומר ש''לכל'' סדרה התנאי צריך להתקייםאז M-e היה חסם עליון קטן יותר. מה שכן, זה עוזר להפריך, ובדיוק בשביל זה יש לי את השאלה הבאה:
*תהי <math>f(x)=(cos(2x))^{\frac{=שאלה==האם הפו' 1}{x^2}}</math> . האם קיים גבול ב-x שואף ל-חלקי n רציפה בקטע [0, ומהו1) ?*דורבמ"א, אם אני רוצה להפריך קיום של גבול, האם אני יכול לעשות זאת לא באמצעות סדרותש? *נניח שיש לי פונקצייה כמו <math>xsin\frac{1}{x}</math>, שאמנם מבצעת אינסוף מחזורים בסביבת אפס, אבל כולם שואפים ל-0 - ניתן לומר שהגבול הוא 0, נכון? (באופן כללי חייב להיות גבול, כי רציפות בנק' גוררת קיום של גבול בה)
===תשובה===
רציפה שם, ברור, זה פונקציה רציפה חלקי רציפה, כאשר הפונקצה במכנה שונה מאפס.
ניתן גם להוכיח באמצעות סדרותהיא אינה רציפה שם במ"ש כי היא אינה חסומה שם. ופונקציה שרציפה במ"ש על קטע <s>סגור</s> חסומה בו.:אבל זה לא קטע סגור, ואני אוכיח מידהוא חצי פתוח O:::שגיאה שלי, הכוונה הייתה לקטע '''חסום''' ולא סגור. פונקציה רציפה במ"ש על קטע '''חסום''' חסומה בו.:::זאת אומרת שהפעם היחידה שאנחנו צריכים ממש להפריך את הרבמ"ש שלא ע"י משפט, זה כשהיא רציפה והגבול באינסוף או מינוס אינסוף אינו קיים?::::לא. לפני שנייה הייתה דוגמא של coslogx
* מאיפה השאלה? אחד התלמידים שלי פתר משהו דומה בשיטות פשוטות, אבל אני רואה את השאלה וישר חושב לפתור אותה באמצעות כלל לופיטל (אני לא חושב שלמדתםתודה רבה :). לכן השאלה היא אם זה בכלל בחומר שלכם או לא.
*כן==הוכחת משפט ערך הביניים==במייזלר יש הוכחה שמשתמשת בטענת עזר שקשורה בחיתוך עם ציר ה-x של הפונקצייה. למה לא לפשט את זה להוכחה כזו (האם היא תקינה?):תהי f רציפה ב-[a, אפשר לפריך לפי קושיb], פשוט זה נראה לי יותר מסובךאזי אם <math>f(a)<y<f(b)</math> נבנה סדרת קטעים <math>I_n=[a_n,b_n]</math> כך ש- <math>f(a_n) \le y \le f(b_n)</math> , כאשר <math>I_1=[a,b], I_n=[a_n,b_n]</math>, ו-<math>c_n</math> מוגדרת: <math>c_n=0. למצוא סדרות ששואפות למספרים שונים5(a_n+b_n)</math>, כך שאם <math>f(c_n)\le y</math> נגדיר <math>I_{n+1}=[c_n,b_n]</math>, ואחרת <math>I_{n+1}=[a_n,c_n]</math> . לפי קנטור קיימת נק' יחידה <math>x_0</math> באמצע כך ש- <math>lim(a_n)=lim(b_n)=x_0</math> , או סדרה שואפת לאינסוף הרבה יותר קלובגלל הרציפות של f נקבל ש- <math>f(a_n)</math> ו- <math>f(b_n)</math> שואפים להיות y.
* אבל '''אין''' רציפות באפס===תשובה===זו הוכחה נכונה, אמנם חסרת כמה פרטים, אז בוודאי זה לא גורר קיום גבול! אבל, נכונה. ==שאלה==ארז באחת השאלות למעלה אמרת:"אפשר להוכיח שאם הגבול אכן אינו קיים. קח סדרה ששואפת לאפס <math>x_n \rightarrow 0</math>. בצד הסופי, אזי <math>x_n \cdot sin\frac{1}{x_n}</math> הינה סדרה המורכבת מסדרה השואפת לאפס כפול חסומה! ולפי משפט מסדרות זה אומר שהגבול הינו אפס ללא תלות בסדרה (רק בעזרת העובדה שהיא שואפת לאפס) וזו הוכחה לפי היינה שהגבול הינו אפסהפונקציה לא רציפה שם במ"ש."
==תתאבל כפי שמישהו מעלייך אמר, אז sin רציפה במידה שווה בכל R ואין לה גבול באין-סדרה של תת סדרה==*תהי <math>a_n</math> סדרה. הוכח שהיא שואפת לאפס <==> לכל תת סדרה <math>a_{n_k}</math> קיימת תת סדרה <math>a_{n_{k_j}}</math> כך שהטור <math>\sum{a_{n_{k_j}}}</math> מתכנס בהחלט.סוף
*הוכח או הפרך : הסדרה <math>x_n</math> מתכנסת ל-<math>x_0</math> <==> לכל תת סדרה <math>x_{n_k}</math> יש תת סדרה <math>x_{n_{k_j}}</math> שמתכנסת ל-<math>x_0</math>.באיזה מובן אינסוף הינו "צד סופי"??
::אופס, הלחץ מהמבחן עושה את שלו..
אני אפילו :: אם כבר הגענו לנושא הזה::: א) אין אריתמטיקה בין פונקציות רבמ"ש נכון?, לדוגמא כפל פונ' שהן רבמ"ש (נגיד בקטע [a,b]) לא יודע יהיה בהכרח רבמ"ש נכון?:: ב) איך לגשת לתרגילים מהסוג הזה מוכיחים ש- באילו כלים אני צריך להשתמש כאןsin רבמ"ש ע"פ הגדרה (בלשון דלתא ואפסילון)? (מה הטריק השם, איזה איקסים לוקחים?)
===תשובה===
נתחיל מהראשוןא. הכיוון הפשוט יותר הינו שאם לכל תת סדרה יש תת סדרה שעבורה הטור מתכנס, לכן לכל תת סדרה יש תת סדרה ששואפת לאפס חצי אריתמטיקה. כפל אין (טור מתכנס -> סדרה שואפת לאפסx כפול x). אבל מזה נובע שכל הגבולות החלקיים הם אפס, אחרת חיבור יש גבול חלקי שונה מאפס, כמובן. בנוסף יש תת סדרה ששואפת אליוהרכבה, וכל תת סדרה שלה גם תשאף אליו בסתירה לכך שאחת מהן שואפת לאפס. ומכיוון שכל הגבולות החלקיים הינם אפס, גבול הסדרה הינו בהכרח אפס (limsup=liminf).הרכבה של רציפות במ"ש הינה רציפה במ"ש
ב. תרגיל כללי הוא להוכיח שכל פונקציה שרציפה על כל הממשיים ומחזורית הינה רציפה במ"ש. סינוס זה מקרה פרטי של המשפט הגדול הזה. בצורה דומה <math>e^{(sinx)^2}</math> הינה רציפה במ"ש למשל..
:: ב-ב' זה בגלל ש-sin רציפה בקטע סגור, ואז היא רבמ"ש בו, ובעצם בגלל שהיא מחזורית אז זה מעיין איחוד אין סופי של אותו הקטע נכון?
בכיוון השני, מספיק להוכיח את המשפט הבא: אם סדרה שואפת לאפס, יש לה תת סדרה שהטור שלה מתכנס (קל לראות לוגית שהמשפט הזה מספיק). ומה הטריק פהובדוגמא שנתת - איך מוכיחים שהפונ' הזאת מחזורית? לדלל את הסדרה המקורית... נניח הסדרה המקורית הינה <math>\frac{1}{n}</math> ברור ש<math>\frac{1}{n^2}</math> הינה תת סדרה שלה.האלגוריתם המדויק הוא כזה. ניקח את הסדרה <math>\epsilon_n</math> כך ש <math>0<\epsilon_n < \frac{1}{n^2}</math>. כעת, לכל <math>\epsilon_n</math> קיים <math>n_{\epsilon_n}</math> כך שהחל ממנו והלאה הסדרה קטנה מ<math>\epsilon_n</math>. ניקח את האיברים המתאימים לאפסילונים לפי הסדר (לכל אפסילון נבחר את האיבר הראשון שקטן ממנו) וקל לראות לפי מבחן ההשוואה שהטור של תת הסדרה הנ"ל יתכנס.
מתוך הדברים שאמרתי, קל :::לכל פונקציה מחזורית זה נכון. צ"ל להוכיח את התרגיל השניזה במדויק, אבל מה שציינת זו אכן הדרך.::: פשוט מציבים <math>x+2\pi k</math> ורואים מיידים שזה שווה לערך של x לכל x
::::אוקי, תודה :)
==שאלה==
אני נתקל בבעיה הזו הרבה פעמיםשני דברים: איך אומים שהסדרה לוג איקס חלקי איקס א) צריך להוכיח במבחן שפונקציה רציפה ומחזורית היא מונוטונית יורדתרבמ"ש בכל פעם שמסתמכים על זה? ואיך אומרים שלוג איקס חלקי איקס שואפת לאפסאפשר לתת כאן הוכחה ליתר ביטחון?ב) ארז, אתה יכול להעלות פתרונות לשאלות אתגר? תודה..:עבור סדרות מחר (n טבעיחמישי) זה טרוויאלי - אפשר להראות המבחן ומעניין אותי לדעת איך לפתור את זה באינדוקציההשאלה שקשורה לקורסים אחרים.. באופן כללי, בגלל ש-e^x שואפת לכל גבול מהר יותר מכל פולינום, אז ln(x) שהוא הפעולה ההפוכה שואף לכל גבול לאט יותר מכל פולינום.
מה אני אומר במבחן? שלוג איקס חלקי איקס מונוטונית ושואפת לאפס כי...? אני יודע שזה נכון אבל כל הקורס הזה בנוי על פורמליות- אני יכול להגיד להם שהיא שואפת מהר יותר מכל פולינום? יקבלו את זה? אתה יכול לרשום בבקשה הוכחה פורמלית? תודה.:-)
::כמו שכותב התשובה אמר, באינדוקציה===תשובה===אני לא יודע על מה מותר או אסור לכם להסתמך. אבל ההוכחה הולכת ככה: אתה מעלה הכל בחזקת e (ידוע שe מונוטוניתמחלק את כל הממשיים לקטעים באורך המחזוריות, ולכן אם מעלים בחזקת e המונוטוניות נשמרת). נותר להוכיח על כל קטע סגור וחסום הפונקציה רציפה במ"ש<math>e^{\frac{logn}{n} }= \frac{n}{e^n} \rightarrow 0</math>. מוכיחים באינדוקציה ש<math>\frac{n}{e^n} < \frac{1}{n}</math> כלומר <math>\frac{n^2}{e^n}<1</math> וזו לא אינדוקציה מסובכת מידי... ואז נובעת השאיפה לאפס לפי מבחן הסנדביץעכשיו, כל שתי נקודות מספיק קרובות יכולות להיות במצב אחד מבין שניים: או כפי שהורוביץ מכנה אותו "כריך פריךששתיהן באותו קטע, או שהן בקטעים חופפים. לכן נחלק גם את הממשיים לקטעים באורך פעמיים המחזוריות, וגם שם הפונקציה רציפה במ"ש. ולכן ניקח את הדלתא המינימלי בין זה של פעמים הקטע וזה של הקטע, וכל שתי נקודות שקרובות עד כדי הדלתא הזה, יהיה קרובות עד כדי האפסילון.
מצטער אני אשתדל להעלות פתרונות, לא בטוח שאני משגע- הבנתי למה אן חלקי אי בחזקת אן שואף לאפס. אספיק מלאים, אבל איך זה אומר לי שלוג איקס חלקי איקס מונוטונית יורדת ושואפת לאפס לאיקס טבעי בפרט ולאיקס חיובי בכלל. תודה...לפחות אני אתן את העיקר
:זה לא אומר את זה. זה רק אומר שזה שואף לאפס. לגבי מספר טבעי את המונוטוניות צריך להוכיח באינדוקציה מאד דומה, אני משאיר לך לחשוב על זה. לגבי איקס חיובי כללי זה לא עונה על זה.== שאלה ==
==שאלה - רציפות במידה שווה==נניח שיש לי פונקצייה כמו arctan(ארז איך מוכיחים ש <math>\frac{x) (ההופכית ל-tan) - האם היא מוגדרת כאשר }{e^x שואף לאינסוף+1}</math> רבמ"ש? למשל:היא לא רבמ"ש, בשאלהאמנם כשהיא שואפת לאינסוף יש לה גבול והוא 0, אבל כשתשאיף אותה למינוס אינסוף היא תשאף למינוס אינסוף.: האם arctan(e^:המשפט בבדיקת אינסוף ומינוס אינסוף הוא לא אם"ם, אלא רק כיוון אחד. היא אפילו כן רבמ"ש, כי היא רבמ"ש בצד החיובי של ציר הx, ובצד השלילי הוא מתנהג כמו x) שהוא לינארי ולכן רבמ"ש בתחום . (0לא הוכחה פורמלית):::אפשר בבקשה הוכחה פורמלית::::צודק ברעיון של הבדיקה של האינסוף, אבל לא הבנתי למה אתה אומר שבצד השלילי הוא מתנהג כמו x לינארי - הוא הרי שואף למינוס אינסוףבצורה קיצונית, יותר מהר מכל פונקצייה אחרת (אם לא הייתי יודע שזה מוגדר הייתי בטוח שזו אסימפטוטה), רציתי לומר שכן.:::::לא, כי יש לה גבולות סופיים במינוס אינסוף המכנה שואף ל1 והמונה הוא x. כלומר ככל שהוא מתקרב למינוס אינסוף, הוא מתקרב (רבע פאי בשואף) לx.:::::בנוסף, ההוכחה הפורמלית רק אפשרית ישירות מההגדרה עם אפסילון ודלטא.:::::: רגע, אז אפשר לחלק את זה לשני קטעים אפס עד איןסוף ומינוס אינסוף עד אפס ולהגיד שבראשון היא רציפה במ"ש בגלל גבולות בקצוות, ובשני היא מתנהגת כמו הגרף של X, ואז רק נותר להראות מה קורה אם לוקחים X1 מקטע אחד ו-0X2 מהקטע השני?:::::::בעקרון כן, חצי פאי באינסוף)אבל זה לא כל כך פורמלי. הכל מסתמך על זה שאם פונקציה רבמ"ש בשתי קטעים אז היא רבמ"ש באיחוד שלהם. זה נראה נכון הגיונית, אבל מצד שני tan אני לא בטוח שמותר להשתמש בזה במבחן.::::::::אבל בגלל זה אמרתי שרק צריך לבדוק מה קורה אם X1 מהקע הראשון וX2 מהקטע השני -זאת הבדיקה של חצי פאי האיחוד. אבל האם יש "מבחן השוואה" לרציפות במ"ש? כי אם לא מוגדראז איך אני יכול להגיד שמתחת ל-0 הפונ' מתנהגת כמו X? הרי היא מתנהגת בין X/2 ל-X (אמנם שתיהן רציפות, אבל בגלל זה שאלתי על מבחן ההשוואה)...
:::::::::(arctan(e^x היא מישהו אחר) ארז קראתי את מה שנכתב פה, אתה יכול להגיד בקצרה מהי הדרך לומר שזה אכן רציפה במרבמ"ש כי היא רציפה על כל R ויש לה גבולות סופיים בקצוות(או להפריך את זה. למי אכפת מה קורה לtan.)? שכן arctan הינה פונקציה רציפה על כל R לתוך הקבוצה <math>(-\pi/2,\pi/2)</math>. השאלה עצמה מוטעית "האם היא מוגדרת כאשר איקס שואף לאינסוף" ההגדרה לשאיפת גבול לאינסוף הינה אחת לפי קושי (או היינה:::::::::: אני לא ארז, אבל הן שקולות). קל מאד לראות שכאשר איקס גדול, arctanx מתקרב לחצי פאי. בעזרת זה ניתן שוב: אפשר להוכיח שהגבול הינו חצי פאיישירות לפי הגדרה עם אפסילון ודלטא.
::(עוד שאלה, לא משואל השאלה הקודמת..)ונניח שיש לי שאלה לגבי רציפות במ"ש עם tan. היא לא תהיה רציפה במ"ש בכל תחום שכולל את פאי חלקי 2, נכון? כי בפרט היא לא רציפה שם (כי אין לה גבול), ולכן היא בוודאי לא רציפה במ"ש..? (תנאי הכרחי אבל לא מספיק של רציפות במ"ש הוא רציפות)
::: תלוי בשאלה הספציפית. זה נכון למשל לגבי <math>tg:::::::: אני שוב לא בטוח איך הכוונה לפתור את השאלה, כי יש דרכים בעזרת נגזרות (\frac{10}{1+x^2})</math> שאינה כמו ששאלו באתר, אם הנגזרת חסומה הפונקציה רציפה במ"ש ) אבל הפונקציה <math>tg(\frac{1}{1+x^2})</math> כן רציפה במ"שלא למדנו את המשפטים האלה, לכן אני לא יודע מאיפה השאלה ובאיזה שיטה צריך לפתור...
==שאלהתודה! ==לגבי רבמ"שארז, יש משפט שאומר שפונקציה רבמ"ש ב(aאמרנו את זה כבר בלינארית,bאבל אתה ממש בן אדם מדהים! לא הייתי מצפה מהמתרגל הכי טוב שיעזור לקבוצה בקורס שהוא לא מלמד, ובטח ובטח לא בכל כך מסירות! תודה רבה על כל העזרה והתמיכה (והאתגרים :P) והלימוד המצויין! בבקשה תתרגל אותנו אינפי 2! אין לי (ולכולנו) אם היא רציפה בו ויש לה גבולות בצדדים. הכוונה היא לגבולות חד צדדים נכון? כלומר צ"ל שיש גבול בa+ וb-?מילים להודות לך!
===תשובה===ראה שאלה 4.11 (זהה) ושאלות דומות בדף... לפי ההוכחה שם אפשר אכן להסיק שאם איך להגיד את זה צד סופי אז זה גבול חד צדדישיינר, אם היית וקטור, לא היה אפשר לנרמל אותך כי אתה פשוט לא נורמלי!אם היית פונקציה, היית שואף לאינסוף בכל סביבה של כל נקודהאם היית קטע, למשל הפונקציה שורש x שאין לה גבול שמאלי כלל באפסהיית כל הישר.
===שאלה===אם היית מצחיק אחי אולי ההיתי צוחקתהי an סדרה כך שקיים אפסילון>0 עבורו קיים n0 כל שאם m*ואם לא היה לך כזה קטן אולי לא היית צריך לרדת על אחרים בשביל לצאת גבר,n>n0 אזי <am-an> גדול שווה אפסילון. (הסימן הזה מייצג ערך מוחלטאחי ;).צ"ל כל תת סדרה של an מתבדרתבוא בוא תסביר את עצמך כי וואלה לא הבנתי ..זה לא בדיוק קריטריון קושי להתכנסות (בצורת השלילה)- כאילו- לפי הנתון ולפי קריטריון קושי an מתבדרת*עזוב, עזוב, אי הבנה, ולכן כל תת סדרה שלה שואפת לאותו גבול ולכן גם מתבדרת. אבל זה נראה לי קל מידי. איפה הקאצ'?הכל
===תשובה===שאין אף משפט שאומר שאם סדרה מתבדרת :: ארז כל תת סדרה שלה "שואפת לאותו גבול". הרי זה הכבוד! אבסורד שאתה המתרגל שהכי עזר לנו בקורס הזה:: אני גם מעדיף שתתרגל אותנו באינפי 2:: בסופו של דבר והיפוכו... אם היה נתון מתכנסת במובן הרחב זה היה סיפור אחר, אבל זה לא נתון.הוא כן מתרגל (של קבוצה א') :)
בוודאי סדרות שיש להן גבולות חלקיים שונים מתבדרות ואילו == הכרזה ==יש להן תתי סדרות מתכנסות ממש מההגדרה של גבול חלקי.ציונים!!!
דבר נוסף, השלילה של קושי אומרת קיים אפסילון, כך ש'''לכל''' n0 קיימים זוג m,n>n0 כך השמרחק בינהם גדול שווה אפסילון. הניסוח למעלה הוא שונה, ויש להתייחס לכך בהתאם.
==רציפות במ"ש==
*אני יודע ש- <math>xsin\frac{1}{x}</math> אינה רציפה במ"ש (כי היא אינה רציפה - היא לא מוגדרת ב-x=0), אבל אם למשל הייתי מגדיר את אותה פונקצייה עבור x שונה מאפס, וכאשר x=0 ערך הפונקצייה יהיה 0 - היא כן הייתה במ"ש, נכון? כי גבול הפונק' מימין ומשמאל ב-x שואף ל-0 הוא אפס, וכן הגבולות שלה באינסוף ובמינוס אינסוף קיימים וסופיים - f=1.
*איך מוכיחים / מפריכים רציפות == שאלה ברציפות במידה שווה של : <math>f(x)=x^\frac{1}{3}</math>=שלום, רציתי הוכחה בבקשה לתרגיל ברציפות במידה שווה.
===תשובה===נכוןהאם איקס כפול סינוס איקס, זו אי רציפות סליקה ולכן ניתן להפוך אותה לנקודת רציפות ע"י החלפת הערך בנקודה לגבול שלה בנקודה (במקרה זה אפס). ואז המחליפה הינה פונקציה רציפה על כל הממשיים, עם גבולות בפלוס מינוס אינסוף ולכן היא רציפה במ"שבקטע בין מינוס אינסוף לאינסוף..
:ארז, הפונקציה הנ"ל רציפה במ"ש בקטע הפתוח (0,אינסוף) נכון?.. כי קיים גבול מימין ב0.. (אם מדובר בקטע סגור כמובן שלא כי לא ניתן לדבר על רציפות כשהפונק' לא מוגדרת..)תודה רבה!!
זו פונקציה רציפה במ"ש. ניתן להוכיח את זה באמצעות הנוסחא ===תשובה===קח 2 סדרות<math>a^3-b^3 x_n = 2\pi n</math> ו <math>y_n = \frac{1}{n} + 2\pi n</math>. ברור שההפרש בינהן שואף לאפס, אבל <math>f(ay_n) -bf(x_n)= (a^2\frac{1}{n} +2ab+b^2\pi n)sin(\frac{1}{n})</math> תחשבו לבד איך.:תודה רבה :אבל הביטוי הזה שואף ל<math>2\pi</math> ולכן בוודאי גדול מקבוע שגדול מאפס (למשל אחד)!החל משלב מסויים...
::תודה רבה ארז! אתה תותח! ==שאלהבקשר למשפט על רציפות במידה שווה ==תהי f פונק' מונוטונית ב-קראתי כאן וגם בהרצאה משפט שמדבר על:פונקציה שרציפה בקטע (a,b), ו-<math>x_0</math> נק' אי רציפות של f בתחום זה. הוכח ש- <math>x_0</math> היא נק' אי רציפות מהסוג הראשון.הרעיון הוא שפתרתי את התרגיל (עבור מונוטוניות חלשהכאשר a , הנחתי בה"כ שהיא מונוטונית עולהb או שניהם הם אינסוף או מינוס אינסוף), וקבלתי שהיא נקודת אי רציפות סליקהאז אם הגבולות בהם קיימים וסופיים, כלומר שהגבול הימני הפונקציה רציפה במידה שווה לשמאלי. (הראיתי את זה לפי זה שלקחתי סדרה שואפת לאפס <math>x_n</math>אם יש לי קטע פתוח בין 0 לאינסוף, והראיתי שאם לכל <math>x_1>x_2</math> מתקיים <math>fופונקציה של (x_1סינוס של איקס)</math> גדול או שווה ל- <math>f(x_2(</math>חלקי איקס בריבוע, ראיתי שהוא בודק את הגבולות באינסוף וב0 מימין, אבל בדוגמא אחרת, ולכן לכל x גדול מאפס בתחום ההגדרה של הפונק' מתקיים: <math>f(x_0+x)</math> גדול או שווה ל- <math>f(x_0-x)</math>סינוס של אחד חלקי איקס, בין אחד לאינסוף, בפרט עבור סדרה מונוטונית יורדת וחיובית השואפת לאפס שנציב במקום xהוא בדק רק את הגבול כשאיקס שואף לאינסוף. קבלנו ש:<math>fלמה הוא לא בדק את הגבול כשאיקס שואף לאחד מימין? כי הפונקציה מוגדרת באחד ולכן לא צריך לבדוק את זה? (x_0-x_n)\le f(x_0-x_{n+1})\le f(x_0+x_{n+1})\le f(x_0+x_n)</math>ולעומת זאת בדוגמא הראשונה, כשאיקס שווה לאפס אז זה תחום ההגדרה ולכן לפי הלמה של קנטור קיימת נק' יחידה ביניהם ששניהם שואפים אליה (הכוונה ל- <math>f(x_0-x_nצריך כן לבדוק?).ושאלה אחרונה בקשר למשפט שאמרתי, f(x_0+x_n)</math>)בהרצאה הוא לא ציין שa או b חייבים להיות אינסוף, ולכן קיים גבול מימין וגבול משמאל לפי היינה שהוא c, וזו נק' אי רציפות סליקה.האם זה נכון גם כשהם מספרים ממשיים?תודה רבה!!
מה לא נכון בהוכחה שלי? דרך אגב, האם השתמשתי נכון בלמה של קנטור?
===תשובה===
מה שלא נכון, והוא נקודה קריטית כמובן בלמה <math>sin(1/x)</math> רציפה באחד ולכן ברור שהגבול שם קיים ואין צורך בבדיקה נוספת. כאשר היא לא רציפה (מסיבה של קנטור, מדובר על סדרה של קטעים סגורים מוכלים זה בזה ש'''אורכם שואף לאפס'''. תחום הגדרה או כל סיבה אחרת, לפי ההוכחה שלך, גם 3=4 כי 3 קטן שווה ל4, אזי לפי הלמה של קנטור הם שווים (תסתכל על ההוכחה שלך ותראה שזה אותו דבר...)אז יש לבדוק מה הגבול.
אי הרציפות כן, כי אם f רציפה בקטע הפתוח (a,b) ויש לה גבולות חד צדדים בקצות הקטע, אזי '''יכולהלפי הגדרה''' להיות סליקהf רציפה בקטע הסגור [a, למשל קח את הפונקציה x^2/x היא מונוטונית עם נקודת אי רציפות סליקהb]. אבל היא בהחלט יכולה להיות מהמין השני, לדוגמא <math>\frac{x}{|x|}</math>ואז '''לפי משפט''' f רציפה בו במ"ש.
* הבנתי לגמרי עכשיו, תודה ענקית!! :]
רמז להוכחה הנכונה: סדרה מונוטונית וחסומה, מה ניתן לומר עליה?== שאלה בנושא רציפות במידה שווה ==רציתי לדעת בבקשה איך מוכיחים שהפונקציה קוסינוס של שורש של ערך מוחלט של X רציפה במידה שווה בR. אולי להפריד ל2 מקרים כשX>0 וכשX<0.. תודה רבה!!!!
:אני מכיר את הגרסא הזו של הלמה של קנטור (הגרסא לקטעים סגורים)===תשובה===כן להפריד למקרים, אבל יש גם גרסא לסדרות, שעליה הסתמכתי: אם a_n, b_n סדרות מונוטוניות המקיימות:<math>a_n \le a_{n+1} \le b_{n+1} \le b_n</math> וכן הגבול ואז זו הרכבה של <math>a_n-b_n</math> שווה לאפס, אזי קיים מספר יחיד בין שתי הסדרות ששתיהן שואפות אליורציפות במ"ש. את שורש איקס אפשר להוכיח לפי ההגדרה באמצעת כפל בצמוד.
* הבנתי את רעיון ההוכחה של התרגיל, הרעיון הוא להראות שקיים גבול מימין, וקיים גבול משמאל, וברור שהגבול מימין גדול או שווה לגבול משמאל (לפי הרעיון שלסדרה מונוטונית וחסומה יש גבול)תודה שוב ושיהיה לך לילה טוב. עכשיו אני מבין שזו אי רציפות סליקה או אי רציפות ממין ראשון (תלוי אם הגבולות שווים או לא), אבל עכשיו רק מעניין אותי לדעת איפה הטעות שלי בהבנת הלמה של קנטור לסדרות. תודה!!!
:ציטוט שלך '''"וכן הגבול של <math>a_n-b_n</math> שווה לאפס"''' זה מה שאתה לא מוכיח ב"הוכחה" שלך למעלה== משפט הערך הממוצע ==שלום, רציתי לדעת בבקשה אם נלמד משפט הערך הממוצע בכיתה..? תודה רבה :]
==שאלה=תשובה=סדרה חיובית שהגבול שלה הוא 0 היא לאו דווקא מונוטונית, נכון?נכון. תסתכל על גרף שהוא כמו המכשיר שבודק דופק בבית חולים, רק תעשה שהקווים ישאפו לאפס...:קח סדרה כזו: <math>a_n=\frac{1}{n}</math> עבור n שלא מתחלק ב-3, ו- <math>a_n=\frac{בהתחשב בעובדה שאינפי 2}{n}</math> עבור n שכן מתחלק ב-3כבר התחיל ובמסגרתו למדנו המשפט הזה, השאלה הזו קצת מפתיעה.
==שאלה==יש לי שאלה על גבול שאני מנסה למצוא אבל משום מה יש שלב אחד שלכאורה נראה לי נכון אבל הוא לאמשפט הערך הממוצע הינו משפט לגרנז' ולמדנו אותו בתחילת סימסטר ב' (ולא כחלק מסמיסטר א'...נתונה הפונקציה:<math>(p*sin(x)-sin(p*x))/x(cos(x)-cos(p*x))</math>
כאשר X שואף ל-0* לא הסברתי טוב, אני יודע שהוא נלמד, השאלה אם הוא יכול להיות במבחן מועד ב' באינפי 1 אבל הבנתי שלא.. תודה על התשובה..
כאשר p הוא פאי, פשוט לא ידעתי איך לכתוב את זה.
פירקתי את השבר לשני שברים בצורה הבאה: כל מחובר == תרגיל ברציפות במידה שווה ==שלום ארז, יש לי תרגיל שלא הצלחתי לפתור ואני ישמח אם תעזור לילבדוק רציפות במידה שווה של המונה לבדו עם המכנה (חיבור שברים עם אותו מכנה הוא שבר עם אותו מכנה כמו של השניים המקוריים כאשר מחברים את המונים שלהםx*cos(1/x^2 בקטע שבין (אינסוף, 0).לעניות דעתי צריך להפריך.ועוד שאלה קטנה בקשר להפרכה: צריך לקחת שתי סדרות כך שאחד התנאים הוא שהחיסור ביניהן כשמשאיפים לאינסוף ישאף ל-0. אם עדיין לא הבנת הוא שווה ל-0 ולא שואף ל-0, האם התנאי הזה התקיים? (כמובן שצריך לבדוק מה קורה כשמציבים את כוונתיהסדרות בפונקציה אך אני מדבר רק על התנאי הראשון).אודה לך על תשובתך!
ואז בצד אחד היה לי sinx חלקי X וזה שווה 1.
בצד שני היה לי sinpx חלקי X אז פשוט כפלתי וחילקתי ב-P ואז בגלל ש-X שואף ל-0, גם PX שואף לאפס מה שאומר שגם sinPX חלקי PX שואף ל-1.
===תשובה===אם החיסור בינהן שווה אפס אז זה אותה סדרה, ואז כביכול היה יוצא 0 כי שני השברים מצמצמים אחד את השניבוודאי שהתנאי על כך שההפרש בין הפונקציות מופעלות על הסדרות צריך להיות גדול מקבוע, לא יתקיים.
הבעיה היא במה שאמרתי על sinpx ו-PX ודווקא נראה לי שצריך להוכיח, כי בדקתי במחשבון ושם הנגזרת חסומה. אני אנסה לפתור את זה נתן תוצאה אחרתמחר.= תודה מקרב לב
לכן רציתי לדעת איך לפתור את זה באמת==2 הגדרות ו2 שאלות ברבמ"ש==היי ארז מה נשמע? יש לי בבקשה כמה שאלות..
תודה1) בהגדרת היינה בורל במבחן, מספיק לרשום: "S קומפקטית אם ורק אם היא חסומה וסגורה", זה מספיק או שצריך להסביר גם מה זה קומפקטית..?
==שאלה==רציתי לבדוק 2) אם אני צודק:דורשים למצוא נקודות אי רציפות וסיווגן בפונקציות הבאות:יש שאלה לנסח את משפט בולצ'אנו ויירשטראס, איזה מהם? עבור סדרות, קבוצות או פונקציות? או מה שאני בוחר?
13) <math>cosרבמ"ש: איקס כפול קוסינוס של איקס בין מינוס אינסוף לאינסוף.. (xבטח להפריך)/|cos(x)|</math>
24) <math>e^רבמ"ש: איקס כפול לוג של איקס בין אפס לאינסוף (-1/x^2לפי דעתי צריך להפריך כי מבחינת אינטואיציה, לוג איקס שואף ממינוס אינסוף ואם נכפיל באיקס אז זה עוד יותר מינוס אינסוף..) / 2+sin(2/x)</math>
בשתיהן יצא אלה השאלות האחרונות שאני אשאל.. מקווה שיהיה לך זמן.. תודה רבה רבה רבה, אם נצליח זה רק בזכותך תאמין לי שאפס היא אי רציפות סליקה.. ואם להגיד את האמת אז חבל שלא הבנתי את זה נכון?בתחילת סמסטר א', העיקר שעכשיו אני מבין.. תודה שוב :]
===תשובה=== בראשון אפס '''אינה''' נקודת אי רציפות בכלל... יש כמובן נקודות אי רציפות אחרות1, והן תמיד ממין ראשון. שים לב שהפונקציה הזו היא פשוט אחד, מינוס אחד או לא מוגדרת2 אלה שאלות למרצה.
3. זה בדיוק כמו xsinx שעניתי עליו
4. זה להפריך, אפשר עם שתי הסדרות <math>n + \frac{1}{n}</math> ו <math>n</math>. צריך לשחק קצת עם הlog ובעיקר לשים לב שזו הפונקציה <math>xlogx = log(x^x)</math> וההפרש בין שני לוגים הוא לוג של החלוקה.
* * תודה רבה!! אני אנסה את מה שאמרת.. שיהיה בהצלחה לכל מי שניגש.. וארז, תודה על הכל!!
==שאלה==
במועד ב' באינפי 1, ניתן להשתמש בכלל לופיטל?
בשני זה נכוןלא בטוח באיזה קורס, וזו אכן נקודת אי הרציפות היחידה.אבל אם לא למדתם את זה באינפי 1 לא ניתן להשתמש בזה במבחן
