=אינפי ' 1 לתיכוניסטים=כאן יהיה המקום שלנו להיעזר אחד בשני בקורס חשבון אינפיניטסימלי 1. אתם מוזמנים לשאול שאלות ולדון בבעיות הנוגעות לקורס אינפי' 1 - סטודנטים הלומדים בשתי הקבוצות מוזמנים להגיב כאן.
כאן יהיה המקום שלנו להיעזר אחד בשני בקורס חשבון אינפיניטסימלי 1. אתם מוזמנים לשאול שאלות ולדון בבעיות הנוגעות לקורס =ארכיון=[[אינפי 1 לתיכוניסטים תש"ע - סטודנטים הלומדים בשתי הקבוצות מוזמנים להגיב כאן.ארכיון 1|ארכיון 1]]
שאלה בקשר לשיעורי בית:האם צריך להוכיח שמינוס שורש שתיים הוא אי רציונאלי וששתיים בחזקת חצי הוא שורש שתיים.בשאלה 3, כאשר נותנים דוגמה נגדית, צריך להוכיח מהו החסם העליון?תודה* תשובה : לא, ידוע ששורש שתיים הוא אי רציונלי, ולכן גם הנגדי לו אי רציונלי. בנוסף, גם ידוע ששתיים בחצקת חצי הוא שורש שתיים (אחרת מהו שורש?!). בשאלה 3 - אני נתתי דוגמא נגדית שיהיה קל למצוא את החסם העליון. אם מדובר בחלק מההוכחה אז כן (לדעתי)[[אינפי 1 לתיכוניסטים תש"ע -ארכיון 2|ארכיון 2]]
==תרגיל 4, שאלה 1=תרגילי אתגר באינפי'=* אם אני יכול למצוא ביטוי מפורש מצא סדרה כך שקבוצת הגבולות החלקיים שלה היא כל הממשיים*מצא פונקציה רציפה בקטע <math>(ולא רקורסי) של איברי הסדרה0, האם מותר לי להשתמש 1]</math> שאינה חסומה בו?מלעיל ואינה חסומה בו מלרע*האם הטענה הבאה נכונהמצא פונקציה מונוטונית שאינה רציפה באף סביבה של 0*מצא פונקציה שאם תגזור אותה תקבל <math>\tan</math>*הוכח/הפרך: אם ביטוי א' קטן או שווה לביטוי ב', אזי הגבול של ביטוי א' קטן או שווה לגבול של ביטוי ב'?תודה רבה!!!הסדרה <math>\sin(n)</math> אינו קיים
===תרגיל 3, שאלה10אתגר מאתגר במיוחד===בתור תלמיד בקבוצה של ראובן, אני לא למדתי גבולות של פונקציות טריגונומטריותתרגילי האתגר הנ"ל מאתגרים וטריקיים אך ניתן לפתור אותם בעזרה הידע שלכם מקורס אינפי' בלבד. בכל זאת, אני לא חושב ש- <math>n^2-81cosאת האתגר הבא צריך לפתור בעזרת ידע מקורסים אחרים שלמדתם בנוסף: (n!)</math> יכול לשאוף למינוס אינסוף. אם כבר, הכי נמוך שהוא מגיע קרדיט ללואי שפתרה את זה 68.77379321867966-(הרצתי תוכנית ב-Java עד לערך המקסימלי של int, שהוא שתיים בחזקת 31 פחות אחד אם אני לא טועה, וזה הכי נמוך שקיבלתי). אז מדוע השאלה מבקשת שאוכיך עבור פלוס ומינוס אניסוף.
===תשובה===אני מקווה שעד היום הבנתם שהגבול הוא אינסוף כי סינוס חסום..*האם קיימת פונקציה מונוטונית שאינה רציפה באף נקודה בקטע <math>[0,1]</math> ? אם כן מצא אותה, אם לא הוכח שלא.
==סדרה חסומה?==אני לא מוצא את ההגדרה המפורשת של קבוצה חסומה. האם קובצה חסומה חסומה מלעיל ומלרע(שוב, או רק אחד מהם?זה תרגיל מאד קשה, אל תרגישו רע אם אתם לא מצליחים לפתור אותו)
===תשובהפתרונות לאתגרים===לרוב הכוונה לחסומה גם מלעיל וגם מלרע (זו ההגדרה של חסומה)'''[[פתרונות לאתגר אינפי 1 תיכוניסטים תש"ע|פתרונות]]'''
=שאלות=תרגיל ==מהבוחן==מישהו זוכר איך מראים שגבול הסדרה <math>\sqrt[n]{\sqrt[n]{n}-1 }</math> הוא 1? כאשר (<math>\sqrt[n]{x}</math> זהו השורש ה- שאלות=<math>n</math>-י של <math>x</math> . ובלינארית (מתוך מבחן של רון עדין), איך מראים שלמטריצות מתחלפות <math>A,B</math> (ז"א ש- <math>AB=BA</math>) קיים ו"ע משותף...?
*בשאלה 5 שצ"ל <math>A_n>=G_n=שאלה==יש לי שאלה על גבול שאני מנסה למצוא אבל משום מה יש שלב אחד שלכאורה נראה לי נכון אבל הוא לא. נתונה הפונקציה::</math> הצבתי לפי ההדרכה <math>b_i=\frac{a_ip\sin(x)-\sin(px)}{Gx(\cos(x)-\cos(px))}</math>, והגעתי למצב בו עליי להוכיח את אי השוויון הבא:כאשר <math>a_1+a_2+...+a_n>=Gx</math>איך אני מוכיח את הטענה? הנ"שואף ל? האם מותר לי להעלות בחזקת n, מכיוון ששני האגפים בודאות חיוביים?-0
כאשר <math>p==תרגיל 2 - הודעה לתלמידי ד"ר ראובן כהן==תאריך הגשת התרגיל נדחה לשבוע הבא, יום ראשון ה-15\pi</11math> .
קצת מאוחר להודע פירקתי את זה עכשיוהשבר לשני שברים בצורה הבאה: כל מחובר של המונה לבדו עם המכנה (חיבור שברים עם אותו מכנה הוא שבר עם אותו מכנה כמו של השניים המקוריים כאשר מחברים את המונים שלהם, אם עדיין לא?הבנת את כוונתי)
ואז בצד אחד היה לי <math>\frac{\sin(x)}{x}</math> וזה שואף ל-1. בצד שני היה לי <math>\frac{\sin(px)}{x}</math> אז פשוט כפלתי וחילקתי ב- <math>p</math> ואז בגלל ש- <math>x</math> שואף ל-0, גם <math>px</math> שואף ל-0 מה שאומר שגם <math>\frac{\sin(px)}{px}</math> שואף ל-1.
ואז כביכול היה יוצא 0 כי שני השברים מצמצמים אחד את השני.
הבעיה היא במה שאמרתי על <math>\sin(px)</math> ו- <math>px</math> כי בדקתי במחשבון ושם זה נתן תוצאה אחרת.
לכן רציתי לדעת איך לפתור את זה באמת.
תודה
==שאלה בקשר לתרגיל בית מס' 2, שאלה 2==
בא', צריך להוכיח כל טענה לגבי חיבור, חיסור, כפל וחילוק של מס' רציונליים?או שמספיק להגיד אם זה מתקיים או לא?
===תשובה===
עדיף שתפריך<math>\תוכיחfrac{\sin(px)}{px}\xrightarrow[x\to0]{}1</math> . קל לראות את זה לפי היינה. אם <math>x_n</math> סדרה ששואפת ל-0 אזי גם <math>\frac{x_n}{p}</math> סדרה ששואפת ל-0, פשוט תציב בפונקציה ותקבל שבזכות ש- <math>\frac{\sin(x)}{x}</math> שואף ל-1, שגם הפונקציה הזו על הסדרה הנ"ל שואפת ל-1. (לא מאד ארוך ומסובךניסחתי מדויק, אני אשאיר לך לתקן את הפערים).
==בתרגיל מספר 2==
שאלה 1 לא נכונה, זה לא מוכיח את זה!
*היא נכונה, שים לב שאחד המקרים מוכל בשני. כלומר אם אני אגיד לך:
<math>X>3</math>. הוכח: <math>X>2</math> לא תהיה לך בעיה לעשות את זה, נכון?
==לגבי מקסימום (מינימום) וחסם עליון (תחתון)==מצטער אבל לא ממש הבנתי איך התשובה שלך קשורה לשאלה שלי.
אני יכול להגיד בוודאות שמשהו הוא חסם עליון במחשבון יוצא שהפונ' שואפת ל-1.047 (תחתוןוממש המספר הזה, לא 1) אם הוכחתי שהוא מקסימום (מינימום)?
אני אכתוב לך את מה שעשיתי ואני מקווה שתצליח להסביר לי מה היה לא נכון::<math>\lim\limits_{x\to0}\left[\frac{\pi\sin(כל זאת בהנחה שיש באמת מקסימום או מינימום לקבוצה..x)-\sin(\pi x)}{x(\cos(x)-\cos(\pi x))}\right]</math>
=== תשובה ===זה שווה ל::<math>\lim_{x\to0}\left[\frac{\pi\sin(x)}{x(\cos(x)-\cos(\pi x))}-\frac{\sin(\pi x)}{x(\cos(x)-\cos(\pi x))}\right]</math>
כן. נניח M מקסימום של קבוצה A. נניח M אינו חסם עליון אזי קיים <math>M_2</math> חסם מלעיל כך ש<math>M_2<M</math>, ולכן ששווה ל::<math>\forall a lim_{x\in A : M_2 to0}\left[\frac{\pi}{\cos(x)-\cos(\geq api x)}-\frac{\pi\sin(\pi x)}{\pi x(\cos(x)-\cos(\pi x))}\right]</math>. אבל M מקסימום לכן ששווה ל::<math>M \in Alim_{x\to0}\left[\frac{\pi}{\cos(x)-\cos(\pi x)}-\frac{\pi}{(\cos(x)-\cos(\pi x))}\right]=0</math> וזה אמור להיות 0 זהותית (כלומר ממש 0, לא שואף ל-0.. אבל זו סתירה לכך ש <math>M_2</math> חסם מלעיל כיוון ש<math>M_2<M</math>.)
==כמה שאלות כלליות.==
מספיק להראות שקבוצה מסוימת חסומה מלעל ע"י מציאת הsup שלה?
ובשאלה 3 (בתרגיל בית מס' 2), בקשר לסעיפים ב' וג', אני צריכה להתעלם מהמקרה של הקבוצה הריקה? כי אם החיתוך שלהם הוא ריק, אז אין להם מקסימום וחסם עליון לפי מה שנאמר לנו בכיתה.. (הן אמנם חסומות בצורה ריקה אבל אין להם מקסימום/חסם עליון.)
ועוד שאלה קטנה: כדי להראות שקבוצה אינה חסומה, מילעל נניח, מספיק להראות שלכל m>0, קיים N (או שמא קיימים Nים החל ממקום מסוים? מה הניסוח הנכון?) כך שאיבר בסדרה כפונקציה של N גדול מאותו m?
אשמח לתשובה, כי אלו דברים בסיסיים שמופיעים בתרגיל פעמים רבות..
===תשובה===
sup הינו החסם העליוןדבר ראשון, כלומר חסם המלעל הכי קטןאסור בתכלית האיסור, להחליף באמצע התרגיל את חלק מהגבולות למספר אליו הם שואפים. אם הוא קייםאחרת <math>1^\infty</math> תמיד שווה 1 למרות שאנחנו יודעים שהוא יכול להיות e. ושוב, הייתי פותר את זה באמצעות כלל לופיטל, אז קיים חסם מלעיל (הוא עצמו) ובפרט הקבוצה חסומהולא בטוח איך אפשר אחרת.
לגבי השאלה הקטנהאוקי, אז נניח שהייתי מכניס את מבלבלת בין שני מושגיםה- קבוצה וסדרה. לקבוצה אין מיקום או סדר כמו לסדרה. על מנת להראות שקבוצה לא חסומה, יש להראות שלכל מספר ממשי M קיים איבר בקבוצה שגדול מM. על מנת להראות שסדרה לא חסומה, יש להראות שלכל איבר M קיים איבר בסדרה שגדול מM. אם רוצים להראות שסדרה שואפת לאינסוף (או מתכנסת במובן הרחב) יש להראות שלכל M, קיים מקום בסדרה, נקרא לו <math>n_0\lim</math>, שהחל ממנו והלאה '''כל''' איברי הסדרה גדולים מMגם לשבר השני..
: תודה רבה. מה לגבי השאלה השנייה שלי? לגבי הקבוצה הריקה?:: אין לי מושג, אני עדיין לא יודע מה התרגיל שלכם.מבין למה זה לא היה עובד
== מספר שאלות שקשורות לתרגיל 2==(ותודה שאתה ממשיך לענות לי למרות החפירה..)
1.יש הרבה תרגילים שהתשובה ל":מה חסמי המלעיל" שלהם נראית ברורההכוונה מכניס <math>\lim</math> לשבר השני? אסור לך להחליף במספר, אבל אתה נשאר עם אינסוף פחות אינסוף ולא מצליח לחשב. לא כ"כ ברור לי האם צריך לנמק יהיה לך זהותית 0. אסור לך למחוק את זה <math>\frac{\sin(איך אפשר לנמק ביותר מלהראות שכולם אכן גדולים מכל איברי הקבוצה?x).}{x}</math>
2.מתי שיש חסם עליון – רק עכשיואז זה מה שאני לא מבין, אחרי שסיימתי חלק נכבד מהתרגילים, הבנתי שכדי להוכיח שמספר כלשהו הוא חסם עליון צריך להשתמש באפסילון, וכ'ו, אבל הוכחתי זאת בצורה שונה – הראיתי שאכן זהו חסם המלעיל הקטן ביותר. האם ההוכחה שלי בסדר?למה אסור למחוק את <math>\frac{\sin(x)}{x}</math> הרי זה אמור להיות 1 כש- <math>x\to0</math>
3.בתרגילים עם הגבולות – כשנתון הגבול – האם הרעיון העיקרי הוא לבטא את ה-nים המסויימים שמהם והלאה לכל איבר שנחסר ממנו את הגבול נקבל שהם קטנים מאפסילון :כמו שאמרתי, לפי ההגיון הזה, גם <math>\left(1+\frac{1}{n מבוטא כתלות בכל אפסילון חיובי שנבחר}\right), ואח"כ להראות שאכן קיימים nים כאלה? (וצריך רק למפות אותם, כלומר אם התשובה הסופית שלי היא משהו בסגנון ^n=1<2Ɛ^2/math> כי <math>1+\frac{1}{n}\to1</math> . במקרה זה, יש לך <math>1\cdot\infty-2Ɛ\infty</math> אסור להשתמש באריתמטיקה של גבולות במקרה זה. דוגמא נגדית פשוטה יותר: <math>\frac{n+17 אז בעצם הוכחתי שהגבול שהנחתי שקיים אכן קיים?1}{n}\cdot n-\frac{n-1}{n}\cdot n</math> בשיטה שלך זה 0 זהותית. במציאות, זה שווה בדיוק 2.
4הבנתי.עד כמה "מעמיקה" צריכה להיות ההוכחה בכל התרגילים? אני לא יודע איך אפשר להיות בטוח שכתבתי מספיקתודה רבה! (וסליחה על החפירה הארוכה, מצד שני התרגילים לא מאתגרים במיוחד ככה שלא נתקלתי עוד בהוכחות כמו אלה שעשינו בהרצאה או בתרגול.שוב)
==שאלה קטנה==רציתי לבדוק אם הוכחתי שמספר כלשהו שלא נמצא בקבוצ A הוא חסם עליון של הקבוצה, מכך נובע ישירות שאין מקסימום, נכון?אני צודק: דורשים למצוא נקודות אי-רציפות וסיווגן בפונקציות הבאות:
===תשובה===כן. אם החסם העליון היה בקבוצה הוא היה מקסימום, ואם מקסימום קיים הוא החסם העליון1) <math>\frac{\cos(x)}{|\cos(x)|}</math>
2) <math>\frac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{2+\sin\left(\tfrac{2}{x}\right)}</math>
==תרגיל 2, שאלה 2==בסעיף א', האם ניתן לקחת שני מספרים אי רציונליים נגדיים ולהגיד שהחיבור שלהם הוא בשתיהן יצא לי 0אי-רציפות סליקה. זה נכון?
מצטרפת לשאלה===תשובה=== בראשון 0 '''אינה''' נקודת אי-רציפות בכלל... יש כמובן נקודות אי-רציפות אחרות, אפשר גם למשל לקחת את המספרים: שורש 2, ו2 פחות שורש 2 ולהגיד שהחיבור שלהם רציונליוהן תמיד ממין ראשון.שים לב שהפונקציה הזו היא פשוט 1, 1- או לא מוגדרת.?
===תשובה===
אין סיבה שלא
בשני זה נכון, וזו אכן נקודת אי-הרציפות היחידה. כן, בראשון התבלבלתי..תודה רבה! ==הודעה לתלמידים של ראובןשאלה==הדף הראשון של תרגיל 3 לשבוע הבאאפשר בבקשה עזרה בתרגיל? צריך לבדוק האם <math>y=\cos\big(\log(x)\big)</math> רבמ"ש בקטע הפתוח <math>(0, הדף השני לעוד שבועיים-\infty)</math> . אני לא ממש רואה את זה... (אין גבול בשאיפה ל- <math>0^+</math> , אז ניסיתי להראות ע"י שתי סדרות שואפות ל-0 שאין רבמ"ש, לא ממש הולך לי...)
==שאלה בהגדרת הסדרה==
נתונה לי סדרה כלשהי {an}, ויש לי טענה שאני רוצה להפריך. אני יכול להגדיר an=0 לכל n טבעי? כי למדנו בכיתה ט' שסדרה קבועה אינה מוגדרת כסדרה, אבל אני לא יודע אם זה תקף גם באוניברסיטה או רק בתיכון....
===תשובה===
הסדרה הקבועה היא אכן סדרהמה לא הולך? <math>x_n=e^{\pi-2\pi n}\ ,\ y_n=e^{-2\pi n}</math> . שתי הסדרות שואפות ל-0, ולכן המרחק ביניהן שואף ל-0. אבל הפונקציה עליהן שווה 1 או 1-.
==תרגיל 4 שאלה 6 סעיף ב'==
קיימת אפשרות לפיה L=אינסוף, או שהתכוונו L=/=0 וממשי?
==תרגיל 3(זה לא כותב השאלה) אפשר פשוט לומר שהגבול באפס לא קיים, שאלה 2==האם הסדרות יכולות להיות חסומות מצד אחד בלבד? או שלא חסומות הכוונה ללא חסומות משני הצדדיםלכן הפונקציה לא רבמ"ש ב- <math>(0,1)</math> וכמובן שהיא לא רבמ"ש ב- <math>(0,\infty)</math> , כלומר אין להן לא חסם מלעיל ולא חסם מלרע?:(זה לא ארז) אני חושב שאסור, כי אז לפי מה שאתה אומר בגלל שלא קיים לsin x גבול באינסוף אז היא לא רבמ"ש...
::בכל מקרה, הדרך היחידה להוכיח שהגבול אינה קיים היא באמצעות הסדרות, כך שלא חסכת עבודה. באופן כללי, אפשר להוכיח שאם הגבול אינו קיים בצד הסופי, אזי הפונקציה לא רציפה שם במ"ש. זה נכון כי יש 2 אופציות: או שיש 2 סדרות ששואפות לצד הסופי (נגיד a) והפונקציה שואפת עליהן לגבולות שונים (וזה אוטומטית יוצר סתירה לרציפות במ"ש), או שיש סדרה ששואפת לאינסוף ואז הפונקציה אינה חסומה על קטע חסום, ולכן אינה רציפה במ"ש. אבל כמו שאמרתי, כך או כך זה דורש את בניית הסדרות.
:לאדע, לא עולה לי כל כך מהר הדוגמאות להפרכה. תודה בכל מקרה! יש לי עוד שאלה ממש קטנה, אני מנסה להוכיח שכשX שואף ל0, אז ln sin x / ln x שואף ל1. :האם מותר לי להגיע לזה באמצעות המשפט של sin x / x == תשובה ==1 ? כי אז אני מכפיל בX, מפעיל LN על שני האגפים, מחלק בLN X ומקבל את הדרוש... תודה לעונה!
אסור. אין משפט שsinx/x=1 יש משפט שאומר שזה שואף לאחד... אבל לכפול בx זה כמו לכפול באפס וזה בוודאי אסור (אריתמטיקה של גבולות לא עוזרת פה). אפשר לפתור באמצעות כלל לופיטל, כמו שאמרתי אני לא יודע אם זה בחומר או לא.
זה לא חסומות אומר שאין להם חסם עליון וגם חסם תחתון. יכול להיות שהם "חסומות" רק מצד אחדבחומר, תודה בכל מקרה.!
==מישהו יכול להסביר מה עושים בשאלה 3 בשתי הסעיפים?שאלה==יש משהו שנורא מבלבל אותי.נניח שיש לי את הפונקציה: <math>f(x)=e^{lnx}</math>
==שאלה 12 סעיף ג'==מישהו יכול לעזור?מצד אחד הנגזרת שלה היא 1, כי היא שווה ל-X
==שאלה כללית==האם אמור להיות מפורסם עוד תרגיל השבוע (27מצד שני, אם אני מתעלם מהעובדה שהדבר הזה הוא X ואני גוזר רגיל אני מקבל שהגזרת היא 1 חלקי X.11)מה עושים???
==שאלה==אם בקבוצה יש אינסוף איברים ששואפים לאינסוףדרך אגב, האם ניתן להגיד שהקבוצה לא חסומה מלעיל בלי להוכיח? ארז כתבתי לך בחזרה משהו בשאלה של ה- <math>\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin(\pi x)}{\pi x}</math>ואיך ניתן להוכיח זאת?אז בבקשה תענה לי.
===תשובה===
יש טעות בתוך השאלה עצמה. מה הכוונה אינסוף איברים ששואפים לאינסוף? הרי איבר אחד לא יכול לשאוף לאינסוף, רק סדרה. אם הכוונה שיש בקבוצה סדרה של איברים שהיא שואפת לאינסוף (כלומר מתכנסת במובן הרחב) אזי הקבוצה לא חסומה מלעיל. ההוכחה ממש מתבקשת מההגדרות. רשום אותן ותבין.לומדים לגזור!<math>[e^{lnx}]'''טקסט מודגש'''=e^{lnx} \cdot \frac{1}{x}=\frac{x}{x}=1</math>
חח אופס, סליחה. ==שאלה- רבמ"ש==אם קבוצה עולה היא מתכנסת, הsup שלה הוא בהכרח הגבול שלה נכון, חפרנו על הנושא למרות שתהיה מקסימום שאלה אחת על זה במבחן, ובכל זאת:נניח שאני רוצה להוכיח ש- f(x)=xsinx רבמ"ש..האם מותר לי לקחת x,y שמקיימים <math>|x-y|<d</math> ולומר :<math>|xsinx-ysiny| \le |2x-2y| < 2d</math>(מהסיבה שפונק' הסינוס חסומה ע"י 1 ו-1-) ?
===תשובה===
נכוןבוודאי שלא. נניח למשל <math>m</math> הוא החסם העליון של קבוצת איברי הסדרה <math>Ax=2000\{a_1pi,a_2,...y=2000\}<pi + \pi/math>2, אזי לכל <math>d = \epsilon > 0<pi/math> קיים איבר <math>a_{n_0}2</math> ב<math>A</math> כך אז יוצא ש <math>a_{n_0}>m|xsinx-ysiny|= 2000\epsilonpi + \pi/2</math> (זו תכונה של חסם עליון).
מכיוון ש<math>m</math> חסם עליון אז בוודאי הוא חסם מלעיל ולכן <math>a_{n_0}\leq m<m+\epsilon</math> ולכן <math>m-\epsilon<a_{n_0}<m+\epsilon</math>, ולכן <math>|a_{n_0}-m|<\epsilon</math>.
אבל מכיוון שהסדרה עולה, לכל הטריק הוא בגדול לקחת <math>n>n_0</math> מתקיים <math>a_n>a_{n_0}</math> ולכן <math>a_n>a_{n_0}>m-\epsilon</math> וכמובן <math>a_n\leq m<mx_1=x,x_2=x+\epsilon</math> ולכן <math>|a_n-m|<\epsilonh</math> וזו בדיוק הגדרת גבולולפתח לפי נוסחאות טריגונומטריות.
==שאלה - טורים==
ישבתי על זה הרבה ולא הצלחתי X:
:נתון שיש טור המוגדר ע"י סכום הסדרה an ובדומה סכום המוגדר ע"י סכום הסדרה bn
:ידוע שסיגמא AN זה A וסיגמא BN זה B
:מגדירים סדרה חדשה, CN שבמקומות האי זוגיים היא מקבלת את b1,b3,b5.... ובמקומות הזוגיים היא מקבלת את a1,a2,a3,...
:האם סיגמא CN מתכנס?
רק טעות בשאלה, קבוצה ===תשובה===לא מתכנסתשל ארז:מקווה שזה נכון:סכום האי זוגיים של הסדרה b מתכנס לפי קריטריון ההשוואה, סדרה מתכנסת. כלומר המשפט הנכון הסכום של a כמובן מתכנס לפני הנתוןולכן סכום טורים מתכנסים הואמתכנס. : סדרה מונוטונית עולה מתכנסת לחסם העליון של קבוצת האיברים שלהמבחן ההשוואה נכון לטורים חיוביים בלבד. והתשובה היא בוודאי לא, אם לא נתון שהטורים חיוביים. לוקחים את הטור הקלאסי להתכנסות בתנאי <math>b_n=(-1)^n/n</math> ולוקחים כל טור מתכנס אחר להיות a_n...
==שאלה==
בתרגיל 5, שאלה 3: "השתמשו במבחן ההשוואה ומבחן ד'למאבר על מנת לבדוק אם הטורים הבאים מתכנסים". אני יכולה להשתמש בחלק מהסעיפים בדרכים אחרות לבדיקה אם טורים מתכנסים? למשל, להוכיח שהגבול מהמבחן של הסדרה הוא בהכרח לא 0?חג שמח!* המתרגל רועי בן-ארי אמר שמותר להשתמש בכל מבחני ההשוואות שאנחנו מכירים, אם הם עוזרים לנו לפתור את התרגיל.ראובן שנה שעברה שלא הצלחתי:
==עזרה==מישהו יכול לתת כיוון איך להראות שהטור: סיגמה של sin(1/n) מתבדר/מתכנס..?* רמז: תראה באינדוקציה תהי an סדרה מתכנסת כך ש: <math>sin(\frac{1}s={an: n})<\frac{1}{n^2- belong - to - N}</math>כאשר N זה המספרים הטבעיים. ואומרים ש-s היא קבוצה סופית.::הטענה הזו לא נכונהצריך להוכיח שהחל מ-N מסויים, תבדוק במחשבון ותראה (תציבלכל n, למשלm שגדולים ממנו, nan=1000):::בדקתי בתוכנת מתמטיקה מתקדמת, הטור בכלל מתבדר (היא אמרה לי מפורשות וגם לפי המבחן האינטגרלי - שמוציא אינטגרל מאד מסובך - אבל שואף לאינסוף).::::אז איך אפשר להוכיח שהטור מתבדר? כל מבחן נותן בדיוק את 'תוצאת הביניים' (למשל 1 במבחן השורש של קושי, וכ'ו..am.)
זה נראה לי נכון אבל אני לא יודע איך לכתוב את זה בצורה מתמטית.
===תשובה===
==שאלה - יום ראשון הקרוב==האם ביום ראשון הקרובS הינה קבוצת כל האיברים בסדרה, 27והיא סופית.12, יתקיימו הרצאה ותרגיל? כלומר איבר בסדרה יכול להיות אחד מתוך מספר סופי של איברים (צום י' בטבתאיבר מתוך S).
כעת, נגדיר את קבוצת ההפרשים <math>D=\{|s_1-s_2| : s_1,s_2 \in S, s_1\neq s_2\}</math> מכיוון שS סופית גם D סופית ולכן יש לה מינימום. נגדיר <math>\epsilon =בעיה==Min(D)/2>0</math>. כעת, לפי תנאי קושי, קיים <math>n_0</math> כך שלכל <math>n,m>n_0</math> מתקיים <math>|a_m-a_n| < \epsilon</math> *השיעורים באינפי אבל אם <math>a_n \neq a_m </math> אזי <math>|a_m-a_n| \in D</math> אבל <math>|a_n-a_m|<\epsilon < Min(תרגיל 5d) הם למחר</math> וזו סתירה. :סבבה תודה! ===מבחן של ראובן===איפה יש את המבחן שלו משנה שעברה? (לקבוצה באתר של רועי) כי אם כןגיל איפה זה, אז יש כמה בעיות - חוץ מזה שהבוחן בלינארית ביום שלישי, השיעורים שהוא נתן כוללים גם טורים לא חיוביים שבכלל לא למדנו - מה אנחנו אמורים לעשותאפשר קישור? http://math.ipnet.co.il תודה
==שאלה==
בשאלה 3באחת משאלות האתגר שנתתם (זאת עם הגבולות החלקיים שכוללים את כל הממשיים), האם צריך להראות שהטורים חיוביים לפני שמשתמשים במבחן ההשוואה וד'אלמברמותר לי פשוט להגיד ש-an היא הספירה של Q?:יש טעות בתרגיל - יש שמה טורים שלא אנחנו יודעים שאפשר לספור את Q אבל האם זה מספיק להסתמך על זה שקיימת ספירה כזאת ואז לרשום שנק' ההצטברות של Q הן כל איבריהם חיוביים!R ולכן אלו הם הג"חים?
==שאלה של הבנה=תשובה===בתרגיל 5 בשאלה 3 איך אני פותר השאלה היא האם משם אתה יכול להוכיח שכל מספר ממשי הוא גבול חלקי של הסדרה הנ"ל. אין משפט על הקשר שבין נקודת הצטברות של קבוצה, לבין הגבולות החלקיים של סדרה המכילה את הסעיפים שם- צריך להראות איברי הקבוצה. האם הסדר לפי תבנה את שתי השיטות או שמספיק לבחור אחת מהןהסדרה משנה?
==תרגיל 6 באינפי==רועי העלה לאתר תרגיל 6 אתמול בערב (ביום חמישי):אוקיי. האם הוא התכוון שנעשה אותו ליום ראשון הקרוב . יש לי סדרה אחרת שנראה לי שהיא תעבוד. את כל שאר תרגילי האתגר הצלחתי לפתור (מחרתייםחוץ מזה שדורש שימוש בקורס אחר שאין לי מושג מה לעשות שם חוץ מזה שאני בטוח כמעט לגמרי שזו הפרכה..)?
בכל מקרה, יש שם 8 שאלות: שתי שאלות על טורים עם סימנים מתחלפים:תשלח לי למייל בקצרה, ורק שאלה אחת על הנושא שתרגלנו בכל התרגיל האחרון שלנו - גבולות של פונקציותאני אגיד לך אם צדקת. יש שם 5 שאלות עוסקות בנושא שבכלל לא הגענו אליו - רציפות של פונקציותאגב, וכוללות גם הוכחות שקשורות לנושא.מתי המבחן שלכם?
==הערה==:::המבחן שלנו מחר :S הפורום הזה יבש ::::הא, בהצלחה.. לא מקבלים תשובה על כלום ובנוסף לכך לא מקבלים חזרה שיעורי בית יכול להיות שאני אהיה מחר באוניברסיטה.. אבל זה ממש כבר לא בסדר יעזור לאף אחד :) ==שאלה==הוכח שאם f גזירה ב-(a,b), ונגזרתה חסומה בקטע, אזי f רבמ"ש שם.. שלא נדבר על אי התאמה בין הרצאות לתירגולים ולשיעורי הבית .. \=(WTF?!)
===תשובה===
* הפורום הזה הוא שלכםנניח בשלילה שהיא אינה רציפה במ"ש, ובאמת חבל שאתם לא עונים אחד לשני יותר.* שניתלכן קיים אפסילון, אתם לא שואלים שאלות על אינפי כמעטכך שלכל דלתא קיים זוג x, אלא בלבד שאלות טכניות על מתי צריך להגיש וכולהy כך שהמרחק בינהם קטן מדלתא, אבל המרחק בין f(x) לf(y) גדול מאפסילון. אם יש נושא מתמטי לא ברור ותשאלוולכן <math>\frac{f(x)-f(y)}{x-y} > \frac{\epsilon}{\delta}</math>. ניקח <math>\delta_n = \frac{1}{n}</math> וניקח את הזוגות המתאימים <math>x_n, אני אענה עליו y_n</math>. אלה סדרות חסומות ולכן ניתן לקחת תת סדרה של <math>x_n</math> שמתכנסת, ואז תת-תת סדרה של y_n שמתכנסת וביחד נקבל שתי סדרות מתכנסות <math>x_{n_k},y_{n_k}</math> ומכיוון שהמרחק ביניהן הולך וקטן הן מתכנסות לאותו הגבול, נקרא לו L. אבל אז <math>\frac{f(תסתכל על סוג השאלות שנשאלוx_{n_k})-f(y_{n_k})}{|x_{n_k}-y_{n_k}|} > \frac{\epsilon}{\delta_{n_k}}</math> כלומר שואף לאינסוף, ואילו שאלות קיבלו מענהאבל זה חסום על ידי קבוע כפול הנגזרת (לפי תרגיל אחר שנתנו לכם)וזו סתירה.
:: אתה יכול בבקשה להסביר למה הכוונה ב"זוגות המתאימים Xn Yn" - הכוונה היא לאותן סדרות שעזרו לך להוכיח או להפריך משהו בהרבה תרגילים אחרים בעמוד זה?
:: ועוד משהו, למה הכוונה חסום ע"י קבוע כפול הנגזרת?
"... כך שלכל דלתא קיים זוג x,y..." הזוג הזה.
חסום ע"י הכוונה "קטן מ.."
==שאלה==
מישהו יכול לעזור לי בשאלה 6?נניח שאנחנו מקבלים פונקצייה כמו: <math>cos\frac{1}{ln(להוכיח או להפריך שאין פונקציה רציפה בקטע סגור שמקבלת כל ערך בדיוק פעמייםx^2)}</math> . האם מצפים מאתנו להתייחס אליה כמוגדרת גם ב-x<0 (כפי שהיא כתובה), או ללכת צעד אחד קדימה ולהפוך את זה ל: <math>cos\frac{1}{2lnx}</math> ?
:רמז שאלה נוספת - תנסה לקחת דוגמא הכי פשוט שאמורה לעשות את כדי להוכיח שלא קיים גבול בנק' x=1, במקרה זה , האם מותר לי להשתמש בנימוק המילולי הבא (?): הפונקצייה מבצעת אינסוף מחזורים בכל סביבה של x^2 ותנסה להבין אם היא מקיימת או =1, לכן הגבול לא ולהכליל את הבעייה קיים.אם היא לא מקיימת, איך אחרת אפשר לנמק את אי-קיום הגבול בנק', בלי פשוט לומר שהפונק' שבתוך ה-cos שואפת לאינסוף?
==תרגיל 7==
==שאלה 2=תשובה===השאלה מנוסחת כך:כמובן שהיא מוגדרת באפס. לא עושים שום צעדים קדימה או אחורה. זה כמו שx/x אינה מוגדרת באפס.fלא, תקרא את הדוגמאות האחרות (xכמעט זהות)בנושא. בונים 2 סדרות ששואפות ל1 אבל הפונקציה עליהן הולכת לפלוס אחד או מינוס אחד ולכן אין גבול לפי היינה. ={<math>\sqrt{x}</math>},{t} := tשאלה==האם זהו משפט נכון? M = SUP A אם"ם לכל e>0 קיים a ששייך לA כך ש M-[t] e<-wtfa
מה הולך כאן? וחוץ מזה, בהנחה ש-t קבוע קבלנו שלכל x נקבל את אותו t. בכל מקרה, ממתי אפשר להציג שתי קבוצות שמופרדות בפסיקים, ולומר שהן שוות לביטוי כלשהו?
===תשובה===
לא שאני בטוח בזה, אבל מסקנה שהגעתי אליה עם כמה תלמידים היא שכוונת השאלה היא:
<math>f(x)=g(\sqrt(x))</math>לא מדוייק
<mathM=supA אם"ם '''M חסם עליון''' וגם e>g(x):= x0 קיים a ששייך לA כך ש M-[x]e</math>a
יענו הסוגריים המסולסלים הם פונקציהM חסם עליון אומר M גדול מכל האיברים בקבוצה, והתנאי עם האפסילון נותן את המינימליות של M. אם הוא לא היה מתקיים, אז M-e היה חסם עליון קטן יותר.
==שאלה 4==מישהו יודע מה זה הסימון של 3 קוויםהאם הפו' 1 חלקי n רציפה בקטע [0,1) ? ורבמ"ש?
===תשובה===
אם אתה מתכוון לסימן הזה: <math>f\equiv 0</math> הכוונה היא לשקילותרציפה שם, ברור, או שיוויון פונקציות. כאן זה אומר שf הינה הפונקציה הקבועה אפס. מטרת הסימון היא להפריד בין משוואה f=0 שלה יכולים להיות שורשיםפונקציה רציפה חלקי רציפה, לבין להגיד שf הינה הפונקציה הקבועה אפסכאשר הפונקצה במכנה שונה מאפס.
היא אינה רציפה שם במ"ש כי היא אינה חסומה שם. ופונקציה שרציפה במ"ש על קטע <s>סגור</s> חסומה בו.
:אבל זה לא קטע סגור, הוא חצי פתוח O:
::שגיאה שלי, הכוונה הייתה לקטע '''חסום''' ולא סגור. פונקציה רציפה במ"ש על קטע '''חסום''' חסומה בו.
:::זאת אומרת שהפעם היחידה שאנחנו צריכים ממש להפריך את הרבמ"ש שלא ע"י משפט, זה כשהיא רציפה והגבול באינסוף או מינוס אינסוף אינו קיים?
::::לא. לפני שנייה הייתה דוגמא של coslogx
==תרגיל==<math>\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}} 2xtg(xתודה רבה :)-\frac{\pi}{cos(x)}</math>
'''==הוכחת משפט ערך הביניים==במייזלר יש הוכחה שמשתמשת בטענת עזר שקשורה בחיתוך עם ציר ה-x של הפונקצייה. למה לא לפשט את זה להוכחה כזו (האם היא תקינה?):תהי f רציפה ב-[a,b], אזי אם <math>f(a)<y<f(b)</math> נבנה סדרת קטעים <math>I_n=[תרגיל באינפי דוגמא 28a_n,b_n]</math> כך ש- <math>f(a_n) \le y \le f(b_n)</math> , כאשר <math>I_1=[a,b], I_n=[a_n,b_n]</math>, ו-<math>c_n</math> מוגדרת: <math>c_n=0.5(a_n+b_n)</math>, כך שאם <math>f(c_n)\le y</math> נגדיר <math>I_{n+1.10|פתרון}=[c_n,b_n]</math>, ואחרת <math>I_{n+1}=[a_n,c_n]</math> . לפי קנטור קיימת נק'''יחידה <math>x_0</math> באמצע כך ש- <math>lim(a_n)=lim(b_n)=x_0</math> , ובגלל הרציפות של f נקבל ש- <math>f(a_n)</math> ו- <math>f(b_n)</math> שואפים להיות y. ===תשובה===זו הוכחה נכונה, אמנם חסרת כמה פרטים, אבל נכונה.
==שאלה==
ארז - מה זו מתקפת האינפי הזו פתאום? נכון שאינפי זה רצחבאחת השאלות למעלה אמרת:"אפשר להוכיח שאם הגבול אינו קיים בצד הסופי, אבל האם אזי הפונקציה לא יכלת לחכות עד שנתגבר על לינארית :) ?רציפה שם במ"ש."
:בגלל זה את האתגר מחקתי עד המבחן בלינארית. את זה כתבתי לסטודנט שלי באינפיאבל כפי שמישהו מעלייך אמר, אז sin רציפה במידה שווה בכל R ואין לה גבול באין-סוף
==שאלה==איך אני מראה שלמשוואה tg x = x יש :באיזה מובן אינסוף פתרונות ממשייםהינו "צד סופי"??
=שאלה=מישהו שם לב לתרגיל החדש שרועי בן ארי שם באתר ::אופס, הלחץ מהמבחן עושה את שלו? למתי צריך להגיש אותו?..
:קודם שיחזירו את הששת תרגילים הקודמים אחרי זה שיעלו עוד תרגילים .. הקורס : אם כבר הגענו לנושא הזה ::: א) אין אריתמטיקה בין פונקציות רבמ"ש נכון?, לדוגמא כפל פונ' שהן רבמ"ש (נגיד בקטע [a,b]) לא רציני ..יהיה בהכרח רבמ"ש נכון?:: ב) איך מוכיחים ש-sin רבמ"ש ע"פ הגדרה (בלשון דלתא ואפסילון)? (מה הטריק השם, איזה איקסים לוקחים?)
::זה קצת מפחיד, נראה שחלק (די גדול) מהתרגילים שהגשנו נאבד בדרך, ורועי לא עונה באימייל.
:::נכון, וזה כולל גם את הבחנים. הבחנים עדיין לא הוחזרו לנו ורועי לא עונה במייל, זה באמת לא רציני. מלבד זאת, יש אפשרות להגיש את הש.ב (תרגילים 7+8)ביום של השיעור חזרה במקום מחרתיים? קודם כל כי חלק גדול מאיתנו רוצה ללמוד את החומר לפי הסדר שהוא לומד, ופונקציות הן לקראת הסוף, ובנוסף לא כולנו יוכלו להגיע באופן עצמאי לבר אילן ביום שלישי.
=נו מי פותר את האתגרים==תשובה===בטח מישהו מכם יכול לפתור משהוא. יש חצי אריתמטיקה. כפל אין (x כפול x) אבל חיבור יש כמובן. בנוסף יש הרכבה, הרכבה של רציפות במ"ש הינה רציפה במ"ש
:יפה מאד ב. תרגיל כללי הוא להוכיח שכל פונקציה שרציפה על כל הממשיים ומחזורית הינה רציפה במ"ש. סינוס זה נכון :)מקרה פרטי של המשפט הגדול הזה.:אבל עדיף לשלוח לי תשובות למייל, וככה לתת לאנשים אחרים גם הזדמנותבצורה דומה <math>e^{(sinx)^2}</math> הינה רציפה במ"ש למשל. מתישהו אני אכתוב את התשובות.
:: ב-ב' זה בגלל ש-sin רציפה בקטע סגור, ואז היא רבמ"ש בו, ובעצם בגלל שהיא מחזורית אז זה מעיין איחוד אין סופי של אותו הקטע נכון?
סתם שאלה, עדיין לא התחלתי להסתכל עליהם בצורה רצינית, אבל אתה בטוח שבראשונה הכוונה היא למספרים הממשייםובדוגמא שנתת - איך מוכיחים שהפונ' הזאת מחזורית? כי ממבט ראשון לא נראה לי הגיוני לתהיה סדרה (ש :::לכל פונקציה מחזורית זה נכון. צ"יש" לה א0 איברים תתין לך קבוצה ל להוכיח את זה במדויק, אבל מה שציינת זו אכן הדרך.::: פשוט מציבים <math>x+2\pi k</math> ורואים מיידים שזה שווה לערך של x לכל x ::::אוקי, תודה :)==שאלה==שני דברים:א איברים.. אבל ) צריך להוכיח במבחן שפונקציה רציפה ומחזורית היא רבמ"ש בכל פעם שמסתמכים על זה? אפשר לתת כאן הוכחה ליתר ביטחון?ב) ארז, אתה יכול להיות שזו סתם שטות שלי להעלות פתרונות לשאלות אתגר? מחר (אני מניח שיש לי בטח איזו בעיה באינטואינציה או משהו, אבל זה עדיין מוזר ליחמישי) המבחן ומעניין אותי לדעת איך לפתור את השאלה שקשורה לקורסים אחרים...)
===תשובה===
זה בדיוק היופי של השאלהאני לא יודע על מה מותר או אסור לכם להסתמך. אבל ההוכחה הולכת ככה: אתה מחלק את כל הממשיים לקטעים באורך המחזוריות, אם תחשוב קצת בכיוון הזה אולי גם תגיע לתשובהעל כל קטע סגור וחסום הפונקציה רציפה במ"ש. בכל אופןעכשיו, אני לא טועה ויש סדרה כך שהגבולות החלקיים שלה הם כל שתי נקודות מספיק קרובות יכולות להיות במצב אחד מבין שניים: או ששתיהן באותו קטע, או שהן בקטעים חופפים. לכן נחלק גם את הממשייםלקטעים באורך פעמיים המחזוריות, וגם שם הפונקציה רציפה במ"ש. ולכן ניקח את הדלתא המינימלי בין זה של פעמים הקטע וזה של הקטע, וכל שתי נקודות שקרובות עד כדי הדלתא הזה, יהיה קרובות עד כדי האפסילון.
קצת הסבר אינטואיטיבי: הרי מה זה גבול חלקי? גבול של תת סדרה. כמה תתי סדרה ניתן לקחת מתוך סדרה? זה דומה לקבוצת החזקה. וידוע שהעוצמה של קבוצת החזקה גדולה מזו של הקבוצה עצמהאני אשתדל להעלות פתרונות, ולכן זה בכלל ייתכן.לא בטוח שאני אספיק מלאים, אבל לפחות אני אתן את העיקר
==שאלה==
אני ארז איך מוכיחים ש <math>\frac{x}{e^x+1}</math> רבמ"ש?:היא לא מצליח לחשב רבמ"ש, אמנם כשהיא שואפת לאינסוף יש לה גבול והוא 0, אבל כשתשאיף אותה למינוס אינסוף היא תשאף למינוס אינסוף.::המשפט בבדיקת אינסוף ומינוס אינסוף הוא לא אם"ם, אלא רק כיוון אחד. היא אפילו כן רבמ"ש, כי היא רבמ"ש בצד החיובי של ציר הx, ובצד השלילי הוא מתנהג כמו x שהוא לינארי ולכן רבמ"ש. (לא הוכחה פורמלית):::אפשר בבקשה הוכחה פורמלית::::צודק ברעיון של הבדיקה של האינסוף, אבל לא הבנתי למה אתה אומר שבצד השלילי הוא מתנהג כמו x לינארי - הוא הרי שואף למינוס אינסוף בצורה קיצונית, יותר מהר מכל פונקצייה אחרת (אם לא הייתי יודע שזה מוגדר הייתי בטוח שזו אסימפטוטה).:::::לא, כי במינוס אינסוף המכנה שואף ל1 והמונה הוא x. כלומר ככל שהוא מתקרב למינוס אינסוף, הוא מתקרב (שואף) לx.:::::בנוסף, ההוכחה הפורמלית רק אפשרית ישירות מההגדרה עם אפסילון ודלטא.:::::: רגע, אז אפשר לחלק את הגבול זה לשני קטעים אפס עד איןסוף ומינוס אינסוף עד אפס ולהגיד שבראשון היא רציפה במ"ש בגלל גבולות בקצוות, ובשני היא מתנהגת כמו הגרף של X, ואז רק נותר להראות מה קורה אם לוקחים X1 מקטע אחד ו-X2 מהקטע השני?:::::::בעקרון כן, אבל זה לא כל כך פורמלי. הכל מסתמך על זה שאם פונקציה רבמ"ש בשתי קטעים אז היא רבמ"ש באיחוד שלהם. זה נראה נכון הגיונית, אבל אני לא בטוח שמותר להשתמש בזה במבחן.::::::::אבל בגלל זה אמרתי שרק צריך לבדוק מה קורה אם X1 מהקע הראשון וX2 מהקטע השני -זאת הבדיקה של האיחוד. אבל האם יש "מבחן השוואה" לרציפות במ"ש? כי אם לא אז איך אני יכול להגיד שמתחת ל-0 הפונ' מתנהגת כמו X? הרי היא מתנהגת בין X/2 ל-X (אמנם שתיהן רציפות, אבל בגלל זה שאלתי על מבחן ההשוואה)...
<math>\lim_{x\rightarrow 3}\frac{|5-2x|-|x-2|}{|x-5|-|3x-7|}</math>::::::::: (מישהו אחר) ארז קראתי את מה שנכתב פה, אתה יכול להגיד בקצרה מהי הדרך לומר שזה אכן רבמ"ש (או להפריך את זה..)?:::::::::: אני לא ארז, אבל שוב: אפשר להוכיח ישירות לפי הגדרה עם אפסילון ודלטא.
תשובה:בסביבה מספיק קרובה ל3 אתה יכול להפטר מכל הערכים המוחלטים באופן הבא:::::::::: אני שוב לא בטוח איך הכוונה לפתור את השאלה, כי יש דרכים בעזרת נגזרות (כמו ששאלו באתר, אם הנגזרת חסומה הפונקציה רציפה במ"ש) אבל לא למדנו את המשפטים האלה, לכן אני לא יודע מאיפה השאלה ובאיזה שיטה צריך לפתור...
<math>\lim_{x\rightarrow 3}\frac{2x-5-x+2}{5-x-3x+7}=\frac{x-3}{12-4x}= -\frac{1}{4}</math>תודה! ==ארז, אמרנו את זה כבר בלינארית, אבל אתה ממש בן אדם מדהים! לא הייתי מצפה מהמתרגל הכי טוב שיעזור לקבוצה בקורס שהוא לא מלמד, ובטח ובטח לא בכל כך מסירות! תודה רבה על כל העזרה והתמיכה (והאתגרים :P) והלימוד המצויין! בבקשה תתרגל אותנו אינפי 2! אין לי (ולכולנו) מילים להודות לך!
למה -1/4? הרי איך להגיד את זה שיינר, אם היית וקטור, לא היה אפשר לנרמל אותך כי אתה פשוט לא נורמלי!אם היית פונקציה, היית שואף לאינסוף בשורה האחרונהבכל סביבה של כל נקודהאם היית קטע, היית כל הישר.. זה לא אמור לשאוף ל-0?
למה אפס? מה אינסוף בשורה האחרונה? צימצמנו בx-3 במונה ובמכנהאם היית מצחיק אחי אולי ההיתי צוחק*ואם לא היה לך כזה קטן אולי לא היית צריך לרדת על אחרים בשביל לצאת גבר, אחי ;)בוא בוא תסביר את עצמך כי וואלה לא הבנתי ..*עזוב, עזוב, אי הבנה, זה הכל
==שאלה - נגזרות==:: ארז כל הכבוד! אבסורד שאתה המתרגל שהכי עזר לנו בקורס הזהכדי להפריך קיום של נגזרת בנקודה כאשר ידוע שהפונק' רציפה באותה נקודה - נותר רק להראות שהנגזרת הימנית בנק' שונה מהנגזרת השמאלית בנק'.יש לי את הפונק' : <math>f(x)=xcos\frac{1}{x}</math>כאשר (לא ידעתי איך לכתוב את זה) בנק' x=0 נגדיר f(x)=0 (כלומר הפונק' רציפה כי הגבול של הפונק' בנק' 0 הוא 0, ועכשיו : אני גם הגדרנו את ערך הפונק' בנקודה זו)מעדיף שתתרגל אותנו באינפי 2אני רוצה להראות שהנק' אינה גזירה בנק' x=0, אבל אחרי חישובים אני מקבל שהנגזרת הימנית שווה לגבול מימין של הביטוי: <math>cos\frac{1}{dx}</math>, כאשר dx שואף ל-0, וכן הנגזרת משמאל שווה לגבול משמאל : בסופו של ביטוי זה. אחרי הצבה במחשבון דבר הוא כן מתרגל (של מסקבוצה א' קטנים, קבלתי ששניהם שווים (בערך ל) : 0.95215- כשהמחשבון ברדיאנים), כלומר הנגזרת מימין שווה לנגזרת משמאל. איפה הטעות שלי?
===תשובה=הכרזה ==במחשבון. מה הטענה שלך, שיש גבול ל<math>cos(\frac{1}{x})</math> כאשר איקס הולך לאפס? הרי ברור שזה לא נכון (מאף צד...)יש ציונים!!!
קח את הסדרה <math>\frac{1}{0 + 2\pi k}</math> והסדרה <math>\frac{1}{\pi+ 2\pi k}</math>.
אלה סדרות ששואפות לאפס ואם תשים את הסדרות האלה בתוך הקוסינוס תקבל 1 או מינוס אחד בהתאמה (ולכן אין גבול). אם אתה רוצה לראות את זה במחשבון תציב איברים מהסדרות במחשבון...
:אוי== שאלה ברציפות במידה שווה ==שלום, איך לא חשבתי על זה ככה - לפונק' מחזורית שתשאיף אותה לאינסוף (נהפוך ל-cos(x) כאשר x שואף לאינסוף, למשל) לא יהיה גבול. אז בעצם, מספיק להראות שהנגזרת לא קיימת, בלי קשר ל'נגזרת מימין' וה'נגזרת משמאל', לא? כי בין כה וכה, אם הנגזרת הייתה קיימת, היא הייתה סופית ומוגדרתרציתי הוכחה בבקשה לתרגיל ברציפות במידה שווה.
=שאלה=האם פונ' חחאיקס כפול סינוס איקס, רציפה במ"ע ועל היא מונוטונית?ש בקטע בין מינוס אינסוף לאינסוף..
תודה רבה!! ===תשובה===קח 2 סדרות<math>x_n = 2\pi n</math> ו <math>y_n = \frac{1}{n} + 2\pi n</math>. ברור שההפרש בינהן שואף לאפס, אבל <math>f(y_n) - f(x_n) = (\frac{1}{n} + 2\pi n)sin(\frac{1}{n})</math> אבל הביטוי הזה שואף ל<math>2\pi</math> ולכן בוודאי גדול מקבוע שגדול מאפס (למשל אחד) החל משלב מסויים... ::תודה רבה ארז! אתה תותח! ==שאלהבקשר למשפט על רציפות במידה שווה ==איפה אפשר למצוא מבחנים באינפי? קראתי כאן וגם בהרצאה משפט שמדבר על:פונקציה שרציפה בקטע (a,b)(כאשר a ,b או שניהם הם אינסוף או מינוס אינסוף), אז אם הגבולות בהם קיימים וסופיים, הפונקציה רציפה במידה שווה.אם יש לי קטע פתוח בין 0 לאינסוף, ופונקציה של (סינוס של איקס) חלקי איקס בריבוע, ראיתי שהוא בודק את הגבולות באינסוף וב0 מימין, אבל בדוגמא אחרת, של סינוס של אחד חלקי איקס, בין אחד לאינסוף, הוא בדק רק את הגבול כשאיקס שואף לאינסוף.למה הוא לא בדק את הגבול כשאיקס שואף לאחד מימין? כי הפונקציה מוגדרת באחד ולכן לא צריך לבדוק את זה? (ולעומת זאת בדוגמא הראשונה, כשאיקס שווה לאפס אז זה תחום ההגדרה ולכן צריך כן לבדוק?).ושאלה אחרונה בקשר למשפט שאמרתי, בהרצאה הוא לא ציין שa או b חייבים להיות אינסוף, האם זה נכון גם כשהם מספרים ממשיים?תודה רבה!!
==שאלה - גזירה==
נניח שיש לי פונקצייה שהנגזרת שלה בנק' x כלשהו היא 0, האם אני יכול להסיק שהיא גזירה גם פעמיים, ואף יותר, ושגם כל הנגזרות האחרות שלה באותה נקודה שוות ל-0?
===תשובה===
בשום פנים ואופן לא. דוגמאות:* x^2, הנגזרת הראשונה 2x והנגזרת השנייה 2* פונקצית דיריכלייה <math>sin(0 על רציונאליים, 1/x^2 על אי רציונאליים)</math> רציפה באחד ולכן ברור שהגבול שם קיים ואין צורך בבדיקה נוספת. נגזרת ראשונה באפס הינה אפס, ואין לה נגזרת נוספות כי הנגזרת הראשונה כאשר היא לא רציפה(מסיבה של תחום הגדרה או כל סיבה אחרת, היא מוגדרת רק בנקודה אחתאז יש לבדוק מה הגבול.
:אז איך אני יכול להוכיח שפונקצייה כלשהי גזירה אינסוף פעמים בנקודה מסוימת?כן, כי אם f רציפה בקטע הפתוח (a,b) ויש לה גבולות חד צדדים בקצות הקטע, אזי '''לפי הגדרה''' f רציפה בקטע הסגור [a,b]. ואז '''לפי משפט''' f רציפה בו במ"ש.
* הבנתי לגמרי עכשיו, תודה ענקית!! ::לא יודע, באיזה הקשר? e באיקס גזירה אינסוף פעמים כי הנגזרת שלה היא עצמה למשל. כל שאלה והתשובה שלה.]
:::יש לי את הפונקצייה <math>f(x)=e^{-\frac{1}{x^2}}</math> כאשר x שונה מ-0, וכן f(0)=0. הפונק' רציפה גם באפס. כדי להוכיח שהיא גזירה באפס, משתמשים בנוסחא לחישוב הנגזרת, ומקבלים:<math>f'(0)שאלה בנושא רציפות במידה שווה =lim\frac{f(dx)}{dx} = lim \frac{1}{dxe^\frac{1}{(dx)^2}}</math>, וכן dx שואף ל-0.אפשר לראות שהנגזרת רציתי לדעת בבקשה איך מוכיחים שהפונקציה קוסינוס של שורש של ערך מוחלט של X רציפה במידה שווה ל-בR. אולי להפריד ל2 מקרים כשX>0, מפני שהביטוי הנ"ל שואף לאפס, מהסיבה ש:וכשX<math>lim\frac{1}{xe^\frac{1}{x^2}}</math> קטן או שווה ל-<math>lim\frac{1}{x^2e^\frac{1}{x^2}}</math> כאשר x שואף ל-0, והגבול האחרון שווה ממש לגבול: <math>lim\frac{t}{e^t}</math> כאשר <math>t=\frac{1}{x^2}</math>, ו-t שואף לפלוס אינסוף. אפשר לראות שהגבול האחרון שווה ל-0 מפני ש-<math>e^t</math> גדל "מהר יותר" מ-t לכל t>0.תודה רבה!!!!
בכל מקרה===תשובה===כן להפריד למקרים, היה עליי ואז זו הרכבה של רציפות במ"ש. את שורש איקס אפשר להוכיח שהפונקצייה גזירה ב-0 אינסוף פעמיםלפי ההגדרה באמצעת כפל בצמוד. הראיתי ש-<math>f'(0) * הבנתי, תודה שוב ושיהיה לך לילה טוב.. =0</math> (האם זה היה נחוץ בכלל?)= משפט הערך הממוצע ==שלום, רציתי לדעת בבקשה אם נלמד משפט הערך הממוצע בכיתה.. איך אני יכול להמשיך מכאן? תודה רבה ארז!!!:]
===תשובה===
שים לב שידעתי שזה e עוד לפני ששמעתי את השאלה. צריך להשתמש בהתחשב בעובדה שe גזירה אינסוף פעמים. תחשב את '''כל''' הנגזרת (לא רק באפס). מה הפונקציה שקיבלת? תוכיח באינדוקציה..שאינפי 2 כבר התחיל ובמסגרתו למדנו המשפט הזה, השאלה הזו קצת מפתיעה.
:בכל פעם שאני גוזר מתווסף לי עוד איבר לחבר, כאשר בכל האיברים יש מספר במונה ובמכנה x בחזקת מספר מסוים. לכל האיברים יש גורם משותף <math>e^{\frac{-1}{x^2}}</math>, אבל עדיין אין לי את המשפט הערך הממוצע הינו משפט לגרנז'זכותולמדנו אותו בתחילת סימסטר ב' להוציא גורם משותף ולומר שהוא שווה ל-f(x) ששווה לאפס בנקולא כחלק מסמיסטר א' x=0. עצם העובדה שהגבול שלו כאשר x שואף לאפס היא 0 הוא דבר אחר, לא?..)
* לא הסברתי טוב, אני יודע שהוא נלמד, השאלה אם הוא יכול להיות במבחן מועד ב' באינפי 1 אבל הבנתי שלא.. תודה על התשובה..
:אני חושב שהרעיון הוא שe שואף הרבה יותר מהר לאפס מאשר פולינום מכל חזקה שלא תהיה. ולכן הגבול תמיד יהיה אפס (לא כי הוא בהתחלה אפס, כמו שהראתי יש דוגמאות נגדיות לזה)
::הממ אבל רגע - אם לכל X ששואף לאפס == תרגיל ברציפות במידה שווה ==שלום ארז, יש ערך לי תרגיל שלא הצלחתי לפתור ואני ישמח אם תעזור לילבדוק רציפות במידה שווה של (ששואף להיות ערך מסוים - למשל במקרה הזה x*cos(1/x^2 בקטע שבין (אינסוף, 0) לנגזרת ה-n.לעניות דעתי צריך להפריך.ועוד שאלה קטנה בקשר להפרכה: צריך לקחת שתי סדרות כך שאחד התנאים הוא שהחיסור ביניהן כשמשאיפים לאינסוף ישאף ל-ית שלו, מי אמר שגם 0. אם הוא שווה ל-x=0 יש את אותו ערך בנגזרת הולא שואף ל-n-ית שלו? ז"א, אנחנו יודעים ש-f רציפה כפי שהגדרנו אותה, אבל מי אמר שגם f'0, או f'', וכ'ו רציפות גם הןהאם התנאי הזה התקיים?(כמובן שצריך לבדוק מה קורה כשמציבים את הסדרות בפונקציה אך אני מדבר רק על התנאי הראשון).אודה לך על תשובתך!
:::גזירות אתה מתכוון. כמו שאמרתי באינדוקציה. הרי הנגזרת בכל נקודה שונה מאפס קלה לחישוב. ואת הגבול של f(h)/h קל לחשב. מה עוד נשאר?
::::אבל אני לא יודע לבטא נגזרת n-ית לפי הנוסחא עם הדלתא-x , הכוונה לנוסחת חישוב ערך הנגזרת בנקודה: <math>f'(x)=lim\frac{f(x+dx)-f(x)}{dx}</math>, כאשר dx שואף לאפס.
:::::למה לחשב עם הנוסחא? תחשב פשוט את הנגזרת. <math>[e^{-\frac{1}{x^2}}]' = e^{-\frac{1}{x^2}}[-\frac{2}{x^3}]</math>==תשובה===אם החיסור בינהן שווה אפס אז זה אותה סדרה, ואז בוודאי שהתנאי על כך שההפרש בין הפונקציות מופעלות על הסדרות צריך להיות גדול מקבוע, לא יתקיים.
::::::ודווקא נראה לי שצריך להוכיח, כי אנחנו רוצים להסתכל גם על המקרה של x=0, לא? וזוהי הנגזרת הראשונה - מה אם צריך לחשב חסומה. אני אנסה לפתור את הנגזרת ה-n-ית?זה מחר.= תודה מקרב לב
:::::: א-י-נ-ד-ו-ק-צ-י-ה==2 הגדרות ו2 שאלות ברבמ"ש==היי ארז מה נשמע? יש לי בבקשה כמה שאלות. המקרה של אפס הוא הגבול של f(h)/h. אם אתה יודע את הנגזרת בכל מקום פרט לאפס, אתה יכול לחשב את הגבול שלה חלקי h בנקודה h ולכן את הנגזרת של הנגזרת באפס.
1) בהגדרת היינה בורל במבחן, מספיק לרשום:::::::אני מצטער, אבל אני לא מצליח להבין - הרעיון הוא להוכיח באינדוקמיה ש-f גזירה n פעמים ב-0 לכל n טבעי. ז"א שאחרי שבדקתי על הנגזרת הראשונהS קומפקטית אם ורק אם היא חסומה וסגורה", והשנייה, אני צריך זה מספיק או שצריך להסביר גם לבטא את הנגזרת ה-nית באיזשהי צורה, לאמה זה קומפקטית..?
כן, תבטא 2) אם יש שאלה לנסח את הנגזרת הn-ית בכל נקודה שאינה אפס. את זה אתה יכול לעשות באינדוקציהמשפט בולצ'אנו ויירשטראס, איזה מהם? אחרי שיש לך ביטוי לנגזרת המ-ית בסביבה של אפס (לא כולל אפס)עבור סדרות, אתה יודע שהנגזרת הn+1 היא הגבול של הנגזרת בn-ית בh חלקי h כאשר h שואף לאפס. אבל בגלל שהנגזרת הn-ית תמיד מהצורה של e כפול וחלקי פולינום, היא חייבת לשאוף לאפס והאז הנגזרת הn+1 יוצאת אפס.קבוצות או פונקציות? או מה שאני בוחר?
==שאלה==3) רבמ"ש: איקס כפול קוסינוס של איקס בין מינוס אינסוף לאינסוף.. (בטח להפריך)
אני לא בטוח במשהו4) רבמ"ש: במבחן ד'אלמבר איקס כפול לוג של איקס בין אפס לאינסוף (לפי דעתי צריך להפריך כי מבחינת אינטואיציה, לוג איקס שואף ממינוס אינסוף ואם נכפיל באיקס אז זה עוד יותר מינוס אינסוף..) אלה השאלות האחרונות שאני אשאל.. מקווה שיהיה לך זמן.. תודה רבה רבה רבה, כתוב במייזלר שהטור מתבדר אם החלוקה גדולה או שווה ל 1נצליח זה רק בזכותך תאמין לי. אני זוכר שהמתרגל פעם קיבל שהחלוקה שווה ל 1 אבל אמר שזה לא אומר כלום. ואם להגיד את האמת אז מה נכון?חבל שלא הבנתי את זה בתחילת סמסטר א', העיקר שעכשיו אני מבין.. תודה שוב :]
===תשובה===
אני אסביר. אם <math>\forall n : \frac{a_{n+1}}{a_n}\geq 1</math> זה אומר שהסדרה מונוטונית עולה. מכיוון שהיא חיובית, זה אומר שהיא בהכרח לא שואפת לאפס ולכן הטור מתבדר2 אלה שאלות למרצה.
3. זה בדיוק כמו xsinx שעניתי עליו
4. זה להפריך, אפשר עם שתי הסדרות <math>n + \frac{1}{n}</math> ו <math>n</math>. צריך לשחק קצת עם הlog ובעיקר לשים לב שזו הפונקציה <math>xlogx = log(x^x)</math> וההפרש בין שני לוגים הוא לוג של החלוקה.
* * תודה רבה!! אני אנסה את מה שאמרת.. שיהיה בהצלחה לכל מי שניגש.. וארז, תודה על הכל!!
==שאלה==
במועד ב' באינפי 1, ניתן להשתמש בכלל לופיטל?
לעומת זאתלא בטוח באיזה קורס, אבל אם <math>\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a_{n+לא למדתם את זה באינפי 1}}{a_n}=1</math> לא ניתן לדעת אם הטור מתכנס, משמע יש דוגמאות לשני הכיוונים. הטור ההרמוני <math>\sum \frac{1}{n}</math> מקיים את התכונה הזו ומתבדר, ואילו הטור <math>\sum \frac{1}{n^2}</math> מקיים את התכונה הזו ומתכנס (<math>\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n^2}{(n+1)^2}=1</math>)להשתמש בזה במבחן