=אינפי ' 1 לתיכוניסטים=כאן יהיה המקום שלנו להיעזר אחד בשני בקורס חשבון אינפיניטסימלי 1. אתם מוזמנים לשאול שאלות ולדון בבעיות הנוגעות לקורס אינפי' 1 - סטודנטים הלומדים בשתי הקבוצות מוזמנים להגיב כאן.
כאן יהיה המקום שלנו להיעזר אחד בשני בקורס חשבון אינפיניטסימלי 1. אתם מוזמנים לשאול שאלות ולדון בבעיות הנוגעות לקורס אינפי 1 - סטודנטים הלומדים בשתי הקבוצות מוזמנים להגיב כאן. ==ארכיון==
[[אינפי 1 לתיכוניסטים תש"ע - ארכיון 1|ארכיון 1]]
=שאלות=[[אינפי 1 לתיכוניסטים תש"ע - ארכיון 2|ארכיון 2]]
=תרגילי אתגר באינפי'=
*מצא סדרה כך שקבוצת הגבולות החלקיים שלה היא כל הממשיים
*מצא פונקציה רציפה בקטע <math>(0,1]</math> שאינה חסומה בו מלעיל ואינה חסומה בו מלרע
*מצא פונקציה מונוטונית שאינה רציפה באף סביבה של 0
*מצא פונקציה שאם תגזור אותה תקבל <math>\tan</math>
*הוכח/הפרך: הגבול של הסדרה <math>\sin(n)</math> אינו קיים
===תרגילאתגר מאתגר במיוחד===<math>\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}} 2xtg(x)-\frac{\pi}{cosתרגילי האתגר הנ"ל מאתגרים וטריקיים אך ניתן לפתור אותם בעזרה הידע שלכם מקורס אינפי' בלבד. את האתגר הבא צריך לפתור בעזרת ידע מקורסים אחרים שלמדתם בנוסף: (xקרדיט ללואי שפתרה את זה)}</math>
*האם קיימת פונקציה מונוטונית שאינה רציפה באף נקודה בקטע <math>[0,1]</math> ? אם כן מצא אותה, אם לא הוכח שלא. (שוב, זה תרגיל מאד קשה, אל תרגישו רע אם אתם לא מצליחים לפתור אותו) ===פתרונות לאתגרים==='''[[תרגיל באינפי דוגמא 28.פתרונות לאתגר אינפי 1.10תיכוניסטים תש"ע|פתרוןפתרונות]]''' =שאלות===מהבוחן==מישהו זוכר איך מראים שגבול הסדרה <math>\sqrt[n]{\sqrt[n]{n}-1}</math> הוא 1? כאשר (<math>\sqrt[n]{x}</math> זהו השורש ה- <math>n</math>-י של <math>x</math> . ובלינארית (מתוך מבחן של רון עדין), איך מראים שלמטריצות מתחלפות <math>A,B</math> (ז"א ש- <math>AB=BA</math>) קיים ו"ע משותף...?
==שאלה==
ארז - יש לי שאלה על גבול שאני מנסה למצוא אבל משום מה זו מתקפת האינפי הזו פתאום? יש שלב אחד שלכאורה נראה לי נכון שאינפי זה רצח, אבל האם הוא לא יכלת לחכות עד שנתגבר על לינארית . נתונה הפונקציה::<math>\frac{p\sin(x) ?-\sin(px)}{x(\cos(x)-\cos(px))}</math>כאשר <math>x</math> שואף ל-0
כאשר <math>p=\pi</math> . פירקתי את השבר לשני שברים בצורה הבאה:כל מחובר של המונה לבדו עם המכנה (חיבור שברים עם אותו מכנה הוא שבר עם אותו מכנה כמו של השניים המקוריים כאשר מחברים את המונים שלהם, אם עדיין לא הבנת את כוונתי) ואז בצד אחד היה לי <math>\frac{\sin(x)}{x}</math> וזה שואף ל-1. בצד שני היה לי <math>\frac{\sin(px)}{x}</math> אז פשוט כפלתי וחילקתי ב- <math>p</math> ואז בגלל ש- <math>x</math> שואף ל-0, גם <math>px</math> שואף ל-0 מה שאומר שגם <math>\frac{\sin(px)}{px}</math> שואף ל-1. ואז כביכול היה יוצא 0 כי שני השברים מצמצמים אחד את השני. הבעיה היא במה שאמרתי על <math>\sin(px)</math> ו- <math>px</math> כי בדקתי במחשבון ושם זה נתן תוצאה אחרת. לכן רציתי לדעת איך לפתור את האתגר מחקתי עד המבחן בלינאריתזה באמת. תודה ===תשובה===<math>\frac{\sin(px)}{px}\xrightarrow[x\to0]{}1</math> . קל לראות את זה כתבתי לסטודנט לפי היינה. אם <math>x_n</math> סדרה ששואפת ל-0 אזי גם <math>\frac{x_n}{p}</math> סדרה ששואפת ל-0, פשוט תציב בפונקציה ותקבל שבזכות ש- <math>\frac{\sin(x)}{x}</math> שואף ל-1, שגם הפונקציה הזו על הסדרה הנ"ל שואפת ל-1. (לא ניסחתי מדויק, אני אשאיר לך לתקן את הפערים). מצטער אבל לא ממש הבנתי איך התשובה שלך קשורה לשאלה שלי באינפי. במחשבון יוצא שהפונ' שואפת ל-1.047 (וממש המספר הזה, לא 1) אני אכתוב לך את מה שעשיתי ואני מקווה שתצליח להסביר לי מה היה לא נכון::<math>\lim\limits_{x\to0}\left[\frac{\pi\sin(x)-\sin(\pi x)}{x(\cos(x)-\cos(\pi x))}\right]</math> זה שווה ל::<math>\lim_{x\to0}\left[\frac{\pi\sin(x)}{x(\cos(x)-\cos(\pi x))}-\frac{\sin(\pi x)}{x(\cos(x)-\cos(\pi x))}\right]</math> ששווה ל::<math>\lim_{x\to0}\left[\frac{\pi}{\cos(x)-\cos(\pi x)}-\frac{\pi\sin(\pi x)}{\pi x(\cos(x)-\cos(\pi x))}\right]</math> ששווה ל::<math>\lim_{x\to0}\left[\frac{\pi}{\cos(x)-\cos(\pi x)}-\frac{\pi}{(\cos(x)-\cos(\pi x))}\right]=0</math> וזה אמור להיות 0 זהותית (כלומר ממש 0, לא שואף ל-0...) ===תשובה===דבר ראשון, אסור בתכלית האיסור, להחליף באמצע התרגיל את חלק מהגבולות למספר אליו הם שואפים. אחרת <math>1^\infty</math> תמיד שווה 1 למרות שאנחנו יודעים שהוא יכול להיות e. ושוב, הייתי פותר את זה באמצעות כלל לופיטל, ולא בטוח איך אפשר אחרת. אוקי, אז נניח שהייתי מכניס את ה- <math>\lim</math> גם לשבר השני.. אני עדיין לא מבין למה זה לא היה עובד (ותודה שאתה ממשיך לענות לי למרות החפירה..) :מה הכוונה מכניס <math>\lim</math> לשבר השני? אסור לך להחליף במספר, אתה נשאר עם אינסוף פחות אינסוף ולא מצליח לחשב. לא יהיה לך זהותית 0. אסור לך למחוק את <math>\frac{\sin(x)}{x}</math> אז זה מה שאני לא מבין, למה אסור למחוק את <math>\frac{\sin(x)}{x}</math> הרי זה אמור להיות 1 כש- <math>x\to0</math> :כמו שאמרתי, לפי ההגיון הזה, גם <math>\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=1</math> כי <math>1+\frac{1}{n}\to1</math> . במקרה זה, יש לך <math>1\cdot\infty-\infty</math> אסור להשתמש באריתמטיקה של גבולות במקרה זה. דוגמא נגדית פשוטה יותר: <math>\frac{n+1}{n}\cdot n-\frac{n-1}{n}\cdot n</math> בשיטה שלך זה 0 זהותית. במציאות, זה שווה בדיוק 2. הבנתי. תודה רבה! (וסליחה על החפירה הארוכה, שוב)
==שאלה==
מישהו שם לב לתרגיל החדש שרועי בן ארי שם באתר שלו? למתי צריך להגיש אותו?רציתי לבדוק אם אני צודק: דורשים למצוא נקודות אי-רציפות וסיווגן בפונקציות הבאות:
:קודם שיחזירו את הששת תרגילים הקודמים אחרי זה שיעלו עוד תרגילים .. הקורס הזה לא רציני ..1) <math>\frac{\cos(x)}{|\cos(x)|}</math>
::זה קצת מפחיד, נראה שחלק (די גדול2) מהתרגילים שהגשנו נאבד בדרך, ורועי לא עונה באימייל.:::נכון, וזה כולל גם את הבחנים. הבחנים עדיין לא הוחזרו לנו ורועי לא עונה במייל, זה באמת לא רציני. מלבד זאת, יש אפשרות להגיש את הש.ב <math>\frac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{2+\sin\left(תרגילים 7+8\tfrac{2}{x}\right)ביום של השיעור חזרה במקום מחרתיים? קודם כל כי חלק גדול מאיתנו רוצה ללמוד את החומר לפי הסדר שהוא לומד, ופונקציות הן לקראת הסוף, ובנוסף לא כולנו יוכלו להגיע באופן עצמאי לבר אילן ביום שלישי.}</math>
==נו מי פותר את האתגרים==בטח מישהו מכם יכול לפתור משהובשתיהן יצא לי 0 אי-רציפות סליקה. זה נכון?
:יפה מאד זה נכון :).===תשובה=== :אבל עדיף לשלוח לי תשובות למיילבראשון 0 '''אינה''' נקודת אי-רציפות בכלל... יש כמובן נקודות אי-רציפות אחרות, וככה לתת לאנשים אחרים גם הזדמנותוהן תמיד ממין ראשון. מתישהו אני אכתוב את התשובותשים לב שהפונקציה הזו היא פשוט 1, 1- או לא מוגדרת.
סתם שאלהבשני זה נכון, עדיין לא התחלתי להסתכל עליהם בצורה רציניתוזו אכן נקודת אי-הרציפות היחידה. כן, אבל אתה בטוח שבראשונה הכוונה היא למספרים הממשייםבראשון התבלבלתי..תודה רבה! ==שאלה==אפשר בבקשה עזרה בתרגיל? כי ממבט ראשון לא נראה לי הגיוני לתהיה סדרה צריך לבדוק האם <math>y=\cos\big(ש"יש\log(x)\big)</math> רבמ" לה א0 איברים תתין לך קבוצה של א איבריםש בקטע הפתוח <math>(0,-\infty)</math> . אני לא ממש רואה את זה... אבל יכול להיות שזו סתם שטות שלי (אני מניח שיש לי בטח איזו בעיה באינטואינציה או משהואין גבול בשאיפה ל- <math>0^+</math> , אבל זה עדיין מוזר אז ניסיתי להראות ע"י שתי סדרות שואפות ל-0 שאין רבמ"ש, לא ממש הולך לי...)
===תשובה===
זה בדיוק היופי של השאלהמה לא הולך? <math>x_n=e^{\pi-2\pi n}\ , אם תחשוב קצת בכיוון הזה אולי גם תגיע לתשובה\ y_n=e^{-2\pi n}</math> . בכל אופןשתי הסדרות שואפות ל-0, אני לא טועה ויש סדרה כך שהגבולות החלקיים שלה הם כל הממשייםולכן המרחק ביניהן שואף ל-0. אבל הפונקציה עליהן שווה 1 או 1-.
קצת הסבר אינטואיטיבי: הרי מה זה גבול חלקי? גבול של תת סדרה. כמה תתי סדרה ניתן לקחת מתוך סדרה? זה דומה לקבוצת החזקה. וידוע שהעוצמה של קבוצת החזקה גדולה מזו של הקבוצה עצמה, ולכן זה בכלל ייתכן.
=שאלה=(זה לא כותב השאלה) אפשר פשוט לומר שהגבול באפס לא קיים, לכן הפונקציה לא רבמ"ש ב- <math>(0,1)</math> וכמובן שהיא לא רבמ"ש ב- <math>(0,\infty)</math> , לא?:(זה לא ארז) אני חושב שאסור, כי אז לפי מה שאתה אומר בגלל שלא קיים לsin x גבול באינסוף אז היא לא רבמ"ש...
אני לא מצליח לחשב את ::בכל מקרה, הדרך היחידה להוכיח שהגבול אינה קיים היא באמצעות הסדרות, כך שלא חסכת עבודה. באופן כללי, אפשר להוכיח שאם הגבול אינו קיים בצד הסופי, אזי הפונקציה לא רציפה שם במ"ש. זה נכון כי יש 2 אופציות:או שיש 2 סדרות ששואפות לצד הסופי (נגיד a) והפונקציה שואפת עליהן לגבולות שונים (וזה אוטומטית יוצר סתירה לרציפות במ"ש), או שיש סדרה ששואפת לאינסוף ואז הפונקציה אינה חסומה על קטע חסום, ולכן אינה רציפה במ"ש. אבל כמו שאמרתי, כך או כך זה דורש את בניית הסדרות.
<math>\lim_{:לאדע, לא עולה לי כל כך מהר הדוגמאות להפרכה. תודה בכל מקרה! יש לי עוד שאלה ממש קטנה, אני מנסה להוכיח שכשX שואף ל0, אז ln sin x\rightarrow 3}\frac{|5-2x|-|/ ln x-2|}{|שואף ל1. :האם מותר לי להגיע לזה באמצעות המשפט של sin x-5|-|3x-7|}</math>x =1 ? כי אז אני מכפיל בX, מפעיל LN על שני האגפים, מחלק בLN X ומקבל את הדרוש... תודה לעונה!
אסור. אין משפט שsinx/x=1 יש משפט שאומר שזה שואף לאחד... אבל לכפול בx זה כמו לכפול באפס וזה בוודאי אסור (אריתמטיקה של גבולות לא עוזרת פה). אפשר לפתור באמצעות כלל לופיטל, כמו שאמרתי אני לא יודע אם זה בחומר או לא.
תשובה:בסביבה מספיק קרובה ל3 אתה יכול להפטר מכל הערכים המוחלטים באופן הבא:זה לא בחומר, תודה בכל מקרה.!
==שאלה==יש משהו שנורא מבלבל אותי.נניח שיש לי את הפונקציה: <math>\lim_{f(x\rightarrow 3}\frac{2x-5-x+2}{5-x-3x+7})=\frac{x-3}{12-4x}= -\frac{1}e^{4lnx}</math>
למה מצד אחד הנגזרת שלה היא 1, כי היא שווה ל-X מצד שני, אם אני מתעלם מהעובדה שהדבר הזה הוא X ואני גוזר רגיל אני מקבל שהגזרת היא 1/4? הרי זה לא שואף לאינסוף בשורה האחרונהחלקי X.. זה לא אמור לשאוף למה עושים??? דרך אגב, ארז כתבתי לך בחזרה משהו בשאלה של ה-<math>\lim_{x\rightarrow 0?}\frac{sin(\pi x)}{\pi x}</math>אז בבקשה תענה לי. ===תשובה===לומדים לגזור!<math>[e^{lnx}]' =e^{lnx} \cdot \frac{1}{x}=\frac{x}{x}=1</math>
למה אפס? מה אינסוף בשורה האחרונה? צימצמנו בx-3 במונה ובמכנהחח אופס, סליחה.
==שאלה - נגזרותרבמ"ש==כדי להפריך קיום של נגזרת בנקודה כאשר ידוע שהפונק' רציפה באותה נקודה נכון, חפרנו על הנושא למרות שתהיה מקסימום שאלה אחת על זה במבחן, ובכל זאת:נניח שאני רוצה להוכיח ש- נותר רק להראות שהנגזרת הימנית בנק' שונה מהנגזרת השמאלית בנק'f(x)=xsinx רבמ"ש.יש האם מותר לי את הפונק' : לקחת x,y שמקיימים <math>f(|x)=xcos-y|<d</math> ולומר :<math>|xsinx-ysiny| \frac{1}{x}le |2x-2y| < 2d
</math>
כאשר (לא ידעתי איך לכתוב את זה) בנקמהסיבה שפונק' x=0 נגדיר f(x)=0 (כלומר הפונק' רציפה כי הגבול של הפונק' בנק' 0 הוא 0, ועכשיו גם הגדרנו את ערך הפונק' בנקודה זו)אני רוצה להראות שהנק' אינה גזירה בנק' x=0, אבל אחרי חישובים אני מקבל שהנגזרת הימנית שווה לגבול מימין של הביטוי: <math>cos\frac{הסינוס חסומה ע"י 1}{dx}</math>, כאשר dx שואף לו-0, וכן הנגזרת משמאל שווה לגבול משמאל של ביטוי זה. אחרי הצבה במחשבון של מס' קטנים, קבלתי ששניהם שווים (בערך ל: 0.952151- כשהמחשבון ברדיאנים), כלומר הנגזרת מימין שווה לנגזרת משמאל. איפה הטעות שלי?
===תשובה===
במחשבוןבוודאי שלא. מה הטענה שלךלמשל <math>x=2000\pi, שיש גבול לy=2000\pi + \pi/2, d = \pi/2</math>cos(אז יוצא ש<math>|xsinx-ysiny|= 2000\frac{1}{x})pi + \pi/2</math> כאשר איקס הולך לאפס? הרי ברור שזה לא נכון (מאף צד...)
קח את הסדרה <math>\frac{1}{0 + 2\pi k}</math> והסדרה <math>\frac{1}{\pi+ 2\pi k}</math>.
אלה סדרות ששואפות לאפס ואם תשים את הסדרות האלה בתוך הקוסינוס תקבל 1 או מינוס אחד בהתאמה (ולכן אין גבול). אם אתה רוצה לראות את זה במחשבון תציב איברים מהסדרות במחשבון..הטריק הוא בגדול לקחת <math>x_1=x,x_2=x+h</math> ולפתח לפי נוסחאות טריגונומטריות.
:אוי, איך לא חשבתי ==שאלה - טורים==ישבתי על זה ככה - לפונק' מחזורית שתשאיף אותה לאינסוף (נהפוך ל-cos(x) כאשר x שואף לאינסוףהרבה ולא הצלחתי X::נתון שיש טור המוגדר ע"י סכום הסדרה an ובדומה סכום המוגדר ע"י סכום הסדרה bn:ידוע שסיגמא AN זה A וסיגמא BN זה B:מגדירים סדרה חדשה, למשל) לא יהיה גבולCN שבמקומות האי זוגיים היא מקבלת את b1,b3,b5. אז בעצם... ובמקומות הזוגיים היא מקבלת את a1, מספיק להראות שהנגזרת לא קיימתa2, בלי קשר ל'נגזרת מימין' וה'נגזרת משמאל'a3, לא...:האם סיגמא CN מתכנס? כי בין כה וכה, אם הנגזרת הייתה קיימת ===תשובה===לא של ארז:מקווה שזה נכון:סכום האי זוגיים של הסדרה b מתכנס לפי קריטריון ההשוואה, הסכום של a כמובן מתכנס לפני הנתוןולכן סכום טורים מתכנסים הוא מתכנס. :מבחן ההשוואה נכון לטורים חיוביים בלבד. והתשובה היא הייתה סופית ומוגדרתבוודאי לא, אם לא נתון שהטורים חיוביים. לוקחים את הטור הקלאסי להתכנסות בתנאי <math>b_n=(-1)^n/n</math> ולוקחים כל טור מתכנס אחר להיות a_n...
==שאלה==
איפה אפשר למצוא מבחנים באינפי? שאלה מהמבחן של ראובן שנה שעברה שלא הצלחתי:)
תהי an סדרה מתכנסת כך ש: <math>s==שאלה {an: n - גזירה==נניח שיש לי פונקצייה שהנגזרת שלה בנק' x כלשהו belong - to - N}</math> כאשר N זה המספרים הטבעיים. ואומרים ש-s היא 0קבוצה סופית.צריך להוכיח שהחל מ-N מסויים, האם אני יכול להסיק שהיא גזירה גם פעמייםלכל n, ואף יותרm שגדולים ממנו, ושגם כל הנגזרות האחרות שלה באותה נקודה שוות ל-0?an=am.
זה נראה לי נכון אבל אני לא יודע איך לכתוב את זה בצורה מתמטית.
===תשובה===
בשום פנים ואופן לא. דוגמאות:
* x^2, הנגזרת הראשונה 2x והנגזרת השנייה 2
* פונקצית דיריכלייה (0 על רציונאליים, x^2 על אי רציונאליים). נגזרת ראשונה באפס הינה אפס, ואין לה נגזרת נוספות כי הנגזרת הראשונה לא רציפה, היא מוגדרת רק בנקודה אחת.
:אז איך אני S הינה קבוצת כל האיברים בסדרה, והיא סופית. כלומר איבר בסדרה יכול להוכיח שפונקצייה כלשהי גזירה אינסוף פעמים בנקודה מסוימת?להיות אחד מתוך מספר סופי של איברים (איבר מתוך S).
כעת, נגדיר את קבוצת ההפרשים <math>D=\{|s_1-s_2| ::לא יודעs_1, באיזה הקשר? e באיקס גזירה אינסוף פעמים כי הנגזרת שלה היא עצמה למשלs_2 \in S, s_1\neq s_2\}</math> מכיוון שS סופית גם D סופית ולכן יש לה מינימום. כל שאלה והתשובה שלהנגדיר <math>\epsilon = Min(D)/2>0</math>.כעת, לפי תנאי קושי, קיים <math>n_0</math> כך שלכל <math>n,m>n_0</math> מתקיים <math>|a_m-a_n| < \epsilon</math> אבל אם <math>a_n \neq a_m </math> אזי <math>|a_m-a_n| \in D</math> אבל
:::יש לי את הפונקצייה <math>f(x)=e^{|a_n-a_m|<\frac{1}{x^2}}epsilon </math> כאשר x שונה מ-0, וכן fMin(0d)=0. הפונק' רציפה גם באפס. כדי להוכיח שהיא גזירה באפס, משתמשים בנוסחא לחישוב הנגזרת, ומקבלים:<math>f'(0)=lim\frac{f(dx)}{dx} = lim \frac{1}{dxe^\frac{1}{(dx)^2}}</math>, וכן dx שואף ל-0.אפשר לראות שהנגזרת שווה ל-0, מפני שהביטוי הנ"ל שואף לאפס, מהסיבה ש:<math>lim\frac{1}{xe^\frac{1}{x^2}}</math> קטן או שווה ל-<math>lim\frac{1}{x^2e^\frac{1}{x^2}}</math> כאשר x שואף ל-0, והגבול האחרון שווה ממש לגבול: <math>lim\frac{t}{e^t}</math> כאשר <math>t=\frac{1}{x^2}</math>, ו-t שואף לפלוס אינסוף. אפשר לראות שהגבול האחרון שווה ל-0 מפני ש-<math>e^t</math> גדל "מהר יותר" מ-t לכל t>0וזו סתירה.
בכל מקרה, היה עליי להוכיח שהפונקצייה גזירה ב-0 אינסוף פעמים. הראיתי ש-<math>f'(0):סבבה תודה! =0<==מבחן של ראובן===איפה יש את המבחן שלו משנה שעברה? באתר של גיל איפה זה, אפשר קישור? http://math> .ipnet.co.il תודה ==שאלה==באחת משאלות האתגר שנתתם (זאת עם הגבולות החלקיים שכוללים את כל הממשיים), מותר לי פשוט להגיד ש-an היא הספירה של Q?אנחנו יודעים שאפשר לספור את Q אבל האם זה היה נחוץ בכללמספיק להסתמך על זה שקיימת ספירה כזאת ואז לרשום שנק' ההצטברות של Q הן כל R ולכן אלו הם הג"חים?). איך אני יכול להמשיך מכאן? תודה רבה ארז!!!
===תשובה===
שים לב שידעתי שזה e עוד לפני ששמעתי את השאלההיא האם משם אתה יכול להוכיח שכל מספר ממשי הוא גבול חלקי של הסדרה הנ"ל. צריך להשתמש בעובדה שe גזירה אינסוף פעמיםאין משפט על הקשר שבין נקודת הצטברות של קבוצה, לבין הגבולות החלקיים של סדרה המכילה את איברי הקבוצה. תחשב האם הסדר לפי תבנה את '''כל''' הנגזרת (לא רק באפס). מה הפונקציה שקיבלתהסדרה משנה? תוכיח באינדוקציה...
:בכל פעם שאני גוזר מתווסף לי עוד איבר לחבר, כאשר בכל האיברים יש מספר במונה ובמכנה x בחזקת מספר מסויםאוקיי.. לכל האיברים יש גורם משותף <math>e^{\frac{-1}{x^2}}</math>, אבל עדיין אין לי סדרה אחרת שנראה לי שהיא תעבוד. את ה'זכות' להוציא גורם משותף ולומר שהוא שווה ל-fכל שאר תרגילי האתגר הצלחתי לפתור (x) ששווה לאפס בנק' x=0. עצם העובדה שהגבול שלו כאשר x שואף לאפס היא 0 הוא דבר חוץ מזה שדורש שימוש בקורס אחר, לא?שאין לי מושג מה לעשות שם חוץ מזה שאני בטוח כמעט לגמרי שזו הפרכה..)
::תשלח לי למייל בקצרה, אני אגיד לך אם צדקת. אגב, מתי המבחן שלכם?
:אני חושב שהרעיון הוא שe שואף הרבה יותר מהר לאפס מאשר פולינום מכל חזקה שלא תהיה. ולכן הגבול תמיד יהיה אפס (לא כי הוא בהתחלה אפס, כמו שהראתי יש דוגמאות נגדיות לזה)::המבחן שלנו מחר :S
::הממ ::הא, בהצלחה.. יכול להיות שאני אהיה מחר באוניברסיטה.. אבל רגע - אם לכל X ששואף לאפס יש ערך (ששואף להיות ערך מסוים - למשל במקרה הזה 0זה כבר לא יעזור לאף אחד :) לנגזרת ה-n-ית שלו, מי אמר שגם ל-x=0 יש את אותו ערך בנגזרת ה-n-ית שלו? ז"א, אנחנו יודעים ש-f רציפה כפי שהגדרנו אותה, אבל מי אמר שגם f', או f'', וכ'ו רציפות גם הן?
:::גזירות אתה מתכוון. כמו שאמרתי באינדוקציה. הרי הנגזרת בכל נקודה שונה מאפס קלה לחישוב. ואת הגבול של ==שאלה==הוכח שאם fגזירה ב-(ha,b)/h קל לחשב, ונגזרתה חסומה בקטע, אזי f רבמ"ש שם. מה עוד נשאר?::::אבל אני לא יודע לבטא נגזרת n-ית לפי הנוסחא עם הדלתא-x , הכוונה לנוסחת חישוב ערך הנגזרת בנקודה: <math>f'(xWTF?!)=lim\frac{f(x+dx)-f(x)}{dx}</math>, כאשר dx שואף לאפס.
:::::למה לחשב עם הנוסחא? תחשב פשוט את הנגזרת===תשובה===נניח בשלילה שהיא אינה רציפה במ"ש, לכן קיים אפסילון, כך שלכל דלתא קיים זוג x,y כך שהמרחק בינהם קטן מדלתא, אבל המרחק בין f(x) לf(y) גדול מאפסילון. ולכן <math>[e^{-\frac{1f(x)-f(y)}{x^2-y}> \frac{\epsilon}]' {\delta}</math>. ניקח <math>\delta_n = e^\frac{1}{n}</math> וניקח את הזוגות המתאימים <math>x_n,y_n</math>. אלה סדרות חסומות ולכן ניתן לקחת תת סדרה של <math>x_n</math> שמתכנסת, ואז תת-תת סדרה של y_n שמתכנסת וביחד נקבל שתי סדרות מתכנסות <math>x_{n_k},y_{n_k}</math> ומכיוון שהמרחק ביניהן הולך וקטן הן מתכנסות לאותו הגבול, נקרא לו L. אבל אז <math>\frac{1f(x_{n_k})-f(y_{x^2n_k})}{|x_{n_k}[-y_{n_k}|} > \frac{2\epsilon}{x^3\delta_{n_k}}]</math>כלומר שואף לאינסוף, אבל זה חסום על ידי קבוע כפול הנגזרת (לפי תרגיל אחר שנתנו לכם) וזו סתירה.
::אתה יכול בבקשה להסביר למה הכוונה ב"זוגות המתאימים Xn Yn" - הכוונה היא לאותן סדרות שעזרו לך להוכיח או להפריך משהו בהרבה תרגילים אחרים בעמוד זה?::::כי אנחנו רוצים להסתכל גם על המקרה של x=0ועוד משהו, לא? וזוהי למה הכוונה חסום ע"י קבוע כפול הנגזרת הראשונה - מה אם צריך לחשב את הנגזרת ה-n-ית?
:::::: א-י-נ-ד-ו-ק-צ-י-ה. המקרה של אפס הוא הגבול של f(h)/h. אם אתה יודע את הנגזרת בכל מקום פרט לאפס, אתה יכול לחשב את הגבול שלה חלקי h בנקודה h ולכן את הנגזרת של הנגזרת באפס.
:::::::אני מצטער"... כך שלכל דלתא קיים זוג x, אבל אני לא מצליח להבין - הרעיון הוא להוכיח באינדוקמיה ש-f גזירה n פעמים ב-0 לכל n טבעיy... ז"א שאחרי שבדקתי על הנגזרת הראשונה, והשנייה, אני צריך גם לבטא את הנגזרת ה-nית באיזשהי צורה, לא?הזוג הזה.
כן, תבטא את הנגזרת הn-ית בכל נקודה שאינה אפסחסום ע"י הכוונה "קטן מ. את זה אתה יכול לעשות באינדוקציה? אחרי שיש לך ביטוי לנגזרת המ-ית בסביבה של אפס (לא כולל אפס), אתה יודע שהנגזרת הn+1 היא הגבול של הנגזרת בn-ית בh חלקי h כאשר h שואף לאפס. אבל בגלל שהנגזרת הn-ית תמיד מהצורה של e כפול וחלקי פולינום, היא חייבת לשאוף לאפס והאז הנגזרת הn+1 יוצאת אפס."
==שאלה==
נניח שאנחנו מקבלים פונקצייה כמו:
<math>cos\frac{1}{ln(x^2)}</math> . האם מצפים מאתנו להתייחס אליה כמוגדרת גם ב-x<0 (כפי שהיא כתובה), או ללכת צעד אחד קדימה ולהפוך את זה ל: <math>cos\frac{1}{2lnx}</math> ?
שאלה נוספת - כדי להוכיח שלא קיים גבול בנק' x=1, במקרה זה, האם מותר לי להשתמש בנימוק המילולי הבא (?): הפונקצייה מבצעת אינסוף מחזורים בכל סביבה של x=1, לכן הגבול לא קיים.
אם לא, איך אחרת אפשר לנמק את אי-קיום הגבול בנק', בלי פשוט לומר שהפונק' שבתוך ה-cos שואפת לאינסוף?
אני לא בטוח במשהו: במבחן ד'אלמבר , כתוב במייזלר שהטור מתבדר אם החלוקה גדולה או שווה ל 1. אני זוכר שהמתרגל פעם קיבל שהחלוקה שווה ל 1 אבל אמר שזה לא אומר כלום. אז מה נכון?
===תשובה===
אני אסבירכמובן שהיא מוגדרת באפס. אם <math>\forall n : \frac{a_{n+1}}{a_n}\geq 1</math> זה אומר שהסדרה מונוטונית עולהלא עושים שום צעדים קדימה או אחורה. מכיוון שהיא חיובית, זה אומר שהיא בהכרח לא שואפת לאפס ולכן הטור מתבדרכמו שx/x אינה מוגדרת באפס.
לא, תקרא את הדוגמאות האחרות (כמעט זהות) בנושא. בונים 2 סדרות ששואפות ל1 אבל הפונקציה עליהן הולכת לפלוס אחד או מינוס אחד ולכן אין גבול לפי היינה.
לעומת זאת, ==שאלה==האם זהו משפט נכון? M = SUP A אם "ם לכל e>0 קיים a ששייך לA כך ש M-e<math>\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}a ==1</math> =תשובה=== לא ניתן לדעת מדוייק M=supA אם הטור מתכנס, משמע יש דוגמאות לשני הכיוונים. הטור ההרמוני <math"ם '''M חסם עליון''' וגם e>\sum \frac{1}{n}0 קיים a ששייך לA כך ש M-e</math> מקיים a M חסם עליון אומר M גדול מכל האיברים בקבוצה, והתנאי עם האפסילון נותן את התכונה הזו ומתבדרהמינימליות של M. אם הוא לא היה מתקיים, ואילו הטור <math>\sum \frac{1}{n^2}</math> מקיים את התכונה הזו ומתכנס (<math>\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n^2}{(n+1)^2}=1</math>)אז M-e היה חסם עליון קטן יותר.
==שאלה==
איך אני מראה שלמשוואה tg x = x יש אינסוף פתרונות ממשייםהאם הפו' 1 חלקי n רציפה בקטע [0,1) ?ורבמ"ש?
===תשובה===
<math>\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2} +\pi k}tgx - x= \lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2} +\pi k}\frac{sinx}{cosx} - x = \pm \infty</math>רציפה שם, ברור, זה פונקציה רציפה חלקי רציפה, כאשר הפונקצה במכנה שונה מאפס.
ולכן לפי היא אינה רציפה שם במ"ש כי היא אינה חסומה שם. ופונקציה שרציפה במ"ש על קטע <s>סגור</s> חסומה בו.:אבל זה לא קטע סגור, הוא חצי פתוח O:::שגיאה שלי, הכוונה הייתה לקטע '''חסום''' ולא סגור. פונקציה רציפה במ"ש על קטע '''חסום''' חסומה בו.:::זאת אומרת שהפעם היחידה שאנחנו צריכים ממש להפריך את הרבמ"ש שלא ע"י משפט, זה כשהיא רציפה והגבול באינסוף או מינוס אינסוף אינו קיים?::::לא. לפני שנייה הייתה דוגמא של coslogx תודה רבה :) ==הוכחת משפט ערך הביניים כל ערך ממשי מתקבל בין השאיפה לאינסוף ומינוס אינסוף==במייזלר יש הוכחה שמשתמשת בטענת עזר שקשורה בחיתוך עם ציר ה-x של הפונקצייה. למה לא לפשט את זה להוכחה כזו (האם היא תקינה?):תהי f רציפה ב-[a, וזה קורה אינסוף פעמים b], אזי אם <math>f(לכל ka). בפרט<y<f(b)</math> נבנה סדרת קטעים <math>I_n=[a_n, b_n]</math> כך ש- <math>f(a_n) \le y \le f(b_n)</math> , כאשר <math>I_1=[a,b], I_n=[a_n,b_n]</math>, ו-<math>c_n</math> מוגדרת: <math>c_n=0 מתקבל אינסוף פעמים.5(a_n+b_n)</math>, ולכן כך שאם <math>tgxf(c_n)\le y</math> נגדיר <math>I_{n+1}=x[c_n,b_n]</math> אינסוף פעמים, ואחרת <math>I_{n+1}=[a_n,c_n]</math> . לפי קנטור קיימת נק' יחידה <math>x_0</math> באמצע כך ש- <math>lim(a_n)=lim(b_n)=x_0</math> , ובגלל הרציפות של f נקבל ש- <math>f(a_n)</math> ו- <math>f(b_n)</math> שואפים להיות y. ===תשובה===זו הוכחה נכונה, אמנם חסרת כמה פרטים, אבל נכונה.
==שאלה==
האם ארז באחת השאלות למעלה אמרת:"אפשר להוכיח שאם הגבול אינו קיים בצד הסופי, אזי הפונקציה לא רציפה שם במ"ש." אבל כפי שמישהו מעלייך אמר, אז sin רציפה במידה שווה בכל R ואין לה גבול באין-סוף :באיזה מובן אינסוף הינו "צד סופי"?? ::אופס, הלחץ מהמבחן עושה את שלו.. :: אם כבר הגענו לנושא הזה::: א) אין אריתמטיקה בין פונקציות רבמ"ש נכון?, לדוגמא כפל פונ' חחשהן רבמ"ש (נגיד בקטע [a,b]) לא יהיה בהכרח רבמ"ש נכון?:: ב) איך מוכיחים ש-sin רבמ"ש ע ועל היא מונוטונית"פ הגדרה (בלשון דלתא ואפסילון)? (מה הטריק השם, איזה איקסים לוקחים?)
===תשובה===
א. יש חצי אריתמטיקה. כפל אין (x כפול x) אבל חיבור יש כמובן. בנוסף יש הרכבה, הרכבה של רציפות במ"ש הינה רציפה במ"ש ב. תרגיל כללי הוא להוכיח שכל פונקציה שרציפה על כל הממשיים ומחזורית הינה רציפה במ"ש. סינוס זה מקרה פרטי של המשפט הגדול הזה. בצורה דומה <math>e^{(sinx)^2}</math> הינה רציפה במ"ש למשל.. :: ב-ב' זה בגלל ש-sin רציפה בקטע סגור, ואז היא רבמ"ש בו, ובעצם בגלל שהיא מחזורית אז זה מעיין איחוד אין סופי של אותו הקטע נכון? ובדוגמא שנתת - איך מוכיחים שהפונ' הזאת מחזורית? :::לכל פונקציה מחזורית זה נכון. צ"ל להוכיח את זה במדויק, אבל מה שציינת זו אכן הדרך.::: פשוט מציבים <math>x+2\pi k</math> ורואים מיידים שזה שווה לערך של x לכל x ::::אוקי, תודה :)==שאלה==שני דברים:א) צריך להוכיח במבחן שפונקציה רציפה ומחזורית היא רבמ"ש בכל פעם שמסתמכים על זה? אפשר לתת כאן הוכחה ליתר ביטחון?ב) ארז, אתה יכול להעלות פתרונות לשאלות אתגר? מחר (חמישי) המבחן ומעניין אותי לדעת איך לפתור את השאלה שקשורה לקורסים אחרים... ===תשובה===אני לא יודע על מה מותר או אסור לכם להסתמך. אבל ההוכחה הולכת ככה: אתה מחלק את כל הממשיים לקטעים באורך המחזוריות, על כל קטע סגור וחסום הפונקציה רציפה במ"ש. עכשיו, כל שתי נקודות מספיק קרובות יכולות להיות במצב אחד מבין שניים: או ששתיהן באותו קטע, או שהן בקטעים חופפים. לכן נחלק גם את הממשיים לקטעים באורך פעמיים המחזוריות, וגם שם הפונקציה רציפה במ"ש. ולכן ניקח את הדלתא המינימלי בין זה של פעמים הקטע וזה של הקטע, וכל שתי נקודות שקרובות עד כדי הדלתא הזה, יהיה קרובות עד כדי האפסילון. אני אשתדל להעלות פתרונות, לאבטוח שאני אספיק מלאים, אבל לפחות אני אתן את העיקר == שאלה == ארז איך מוכיחים ש <math>\frac{x}{e^x+1}</math> רבמ"ש? :היא לא רבמ"ש, אמנם כשהיא שואפת לאינסוף יש לה גבול והוא 0, אבל כשתשאיף אותה למינוס אינסוף היא תשאף למינוס אינסוף.::המשפט בבדיקת אינסוף ומינוס אינסוף הוא לא אם"ם, אלא רק כיוון אחד. היא אפילו כן רבמ"ש, כי היא רבמ"ש בצד החיובי של ציר הx, ובצד השלילי הוא מתנהג כמו x שהוא לינארי ולכן רבמ"ש. (לא הוכחה פורמלית):::אפשר בבקשה הוכחה פורמלית::::צודק ברעיון של הבדיקה של האינסוף, אבל לא הבנתי למה אתה אומר שבצד השלילי הוא מתנהג כמו x לינארי - הוא הרי שואף למינוס אינסוף בצורה קיצונית, יותר מהר מכל פונקצייה אחרת (אם לא הייתי יודע שזה מוגדר הייתי בטוח שזו אסימפטוטה).:::::לא, כי במינוס אינסוף המכנה שואף ל1 והמונה הוא x. כלומר ככל שהוא מתקרב למינוס אינסוף, הוא מתקרב (שואף) לx.:::::בנוסף, ההוכחה הפורמלית רק אפשרית ישירות מההגדרה עם אפסילון ודלטא.:::::: רגע, אז אפשר לחלק את זה לשני קטעים אפס עד איןסוף ומינוס אינסוף עד אפס ולהגיד שבראשון היא רציפה במ"ש בגלל גבולות בקצוות, ובשני היא מתנהגת כמו הגרף של X, ואז רק נותר להראות מה קורה אם לוקחים X1 מקטע אחד ו-X2 מהקטע השני?:::::::בעקרון כן, אבל זה לא כל כך פורמלי. הכל מסתמך על זה שאם פונקציה רבמ"ש בשתי קטעים אז היא רבמ"ש באיחוד שלהם. זה נראה נכון הגיונית, אבל אני לא בטוח שמותר להשתמש בזה במבחן.::::::::אבל בגלל זה אמרתי שרק צריך לבדוק מה קורה אם X1 מהקע הראשון וX2 מהקטע השני -זאת הבדיקה של האיחוד. אבל האם יש "מבחן השוואה" לרציפות במ"ש? כי אם לא אז איך אני יכול להגיד שמתחת ל-0 הפונ' מתנהגת כמו X? הרי היא מתנהגת בין X/2 ל-X (אמנם שתיהן רציפות, אבל בגלל זה שאלתי על מבחן ההשוואה)... ::::::::: (מישהו אחר) ארז קראתי את מה שנכתב פה, אתה יכול להגיד בקצרה מהי הדרך לומר שזה אכן רבמ"ש (או להפריך את זה..)?:::::::::: אני לא ארז, אבל שוב: אפשר להוכיח ישירות לפי הגדרה עם אפסילון ודלטא. ::::::::::: אני שוב לא בטוח איך הכוונה לפתור את השאלה, כי יש דרכים בעזרת נגזרות (כמו ששאלו באתר, אם הנגזרת חסומה הפונקציה רציפה במ"ש) אבל לא למדנו את המשפטים האלה, לכן אני לא יודע מאיפה השאלה ובאיזה שיטה צריך לפתור... == תודה! ==ארז, אמרנו את זה כבר בלינארית, אבל אתה ממש בן אדם מדהים! לא הייתי מצפה מהמתרגל הכי טוב שיעזור לקבוצה בקורס שהוא לא מלמד, ובטח ובטח לא בכל כך מסירות! תודה רבה על כל העזרה והתמיכה (והאתגרים :P) והלימוד המצויין! בבקשה תתרגל אותנו אינפי 2! אין לי (ולכולנו) מילים להודות לך! איך להגיד את זה שיינר, אם היית וקטור, לא היה אפשר לנרמל אותך כי אתה פשוט לא נורמלי!אם היית פונקציה, היית שואף לאינסוף בכל סביבה של כל נקודהאם היית קטע, היית כל הישר. אם היית מצחיק אחי אולי ההיתי צוחק*ואם לא היה לך כזה קטן אולי לא היית צריך לרדת על אחרים בשביל לצאת גבר, אחי ;)בוא בוא תסביר את עצמך כי וואלה לא הבנתי ..*עזוב, עזוב, אי הבנה, זה הכל :: ארז כל הכבוד! אבסורד שאתה המתרגל שהכי עזר לנו בקורס הזה:: אני גם מעדיף שתתרגל אותנו באינפי 2:: בסופו של דבר הוא כן מתרגל (של קבוצה א') :) == הכרזה ==יש ציונים!!! == שאלה ברציפות במידה שווה ==שלום, רציתי הוכחה בבקשה לתרגיל ברציפות במידה שווה. האם איקס כפול סינוס איקס, רציפה במ"ש בקטע בין מינוס אינסוף לאינסוף.. תודה רבה!! ===תשובה===קח 2 סדרות<math>x_n = 2\pi n</math> ו <math>y_n = \frac{1}{n} + 2\pi n</math>. ברור שההפרש בינהן שואף לאפס, אבל <math>f(y_n) - f(x_n) = (\frac{1}{n} + 2\pi n)sin(\frac{1}{n})</math> אבל הביטוי הזה שואף ל<math>2\pi</math> ולכן בוודאי גדול מקבוע שגדול מאפס (למשל אחד) החל משלב מסויים... ::תודה רבה ארז! אתה תותח! == שאלה בקשר למשפט על רציפות במידה שווה ==קראתי כאן וגם בהרצאה משפט שמדבר על:פונקציה שרציפה בקטע (a,b) (כאשר a ,b או שניהם הם אינסוף או מינוס אינסוף), אז אם הגבולות בהם קיימים וסופיים, הפונקציה רציפה במידה שווה.אם יש לי קטע פתוח בין 0 לאינסוף, ופונקציה של (סינוס של איקס) חלקי איקס בריבוע, ראיתי שהוא בודק את הגבולות באינסוף וב0 מימין, אבל בדוגמא אחרת, של סינוס של אחד חלקי איקס, בין אחד לאינסוף, הוא בדק רק את הגבול כשאיקס שואף לאינסוף.למה הוא לא בדק את הגבול כשאיקס שואף לאחד מימין? כי הפונקציה מוגדרת באחד ולכן לא צריך לבדוק את זה? (ולעומת זאת בדוגמא הראשונה, כשאיקס שווה לאפס אז זה תחום ההגדרה ולכן צריך כן לבדוק?).ושאלה אחרונה בקשר למשפט שאמרתי, בהרצאה הוא לא ציין שa או b חייבים להיות אינסוף, האם זה נכון גם כשהם מספרים ממשיים?תודה רבה!! ===תשובה===<math>sin(1/x )</math> רציפה באחד ולכן ברור שהגבול שם קיים ואין צורך בבדיקה נוספת. כאשר היא לא רציפה (מסיבה של תחום הגדרה או כל סיבה אחרת, אז יש לבדוק מה הגבול. כן, כי אם f רציפה בקטע הפתוח (a,b) ויש לה גבולות חד צדדים בקצות הקטע, אזי '''לפי הגדרה''' f רציפה בקטע הסגור [a,b]. ואז '''לפי משפט''' f רציפה בו במ"ש. * הבנתי לגמרי עכשיו, תודה ענקית!! :] == שאלה בנושא רציפות במידה שווה ==רציתי לדעת בבקשה איך מוכיחים שהפונקציה קוסינוס של שורש של ערך מוחלט של X רציפה במידה שווה בR. אולי להפריד ל2 מקרים כשX>0 וכשX<0.. תודה רבה!!!! ===תשובה===כן להפריד למקרים, ואז זו הרכבה של רציפות במ"ש. את שורש איקס אפשר להוכיח לפי ההגדרה באמצעת כפל בצמוד. * הבנתי, תודה שוב ושיהיה לך לילה טוב.. == משפט הערך הממוצע ==שלום, רציתי לדעת בבקשה אם נלמד משפט הערך הממוצע בכיתה..? תודה רבה :] ===תשובה===בהתחשב בעובדה שאינפי 2 כבר התחיל ובמסגרתו למדנו המשפט הזה, השאלה הזו קצת מפתיעה. משפט הערך הממוצע הינו משפט לגרנז' ולמדנו אותו בתחילת סימסטר ב' (ולא כחלק מסמיסטר א'...) * לא הסברתי טוב, אני יודע שהוא נלמד, השאלה אם הוא יכול להיות במבחן מועד ב' באינפי 1 אבל הבנתי שלא.. תודה על הרציונלייםהתשובה.. == תרגיל ברציפות במידה שווה ==שלום ארז, ו2x יש לי תרגיל שלא הצלחתי לפתור ואני ישמח אם תעזור לילבדוק רציפות במידה שווה של (x*cos(1/x^2 בקטע שבין (אינסוף, 0).לעניות דעתי צריך להפריך.ועוד שאלה קטנה בקשר להפרכה: צריך לקחת שתי סדרות כך שאחד התנאים הוא שהחיסור ביניהן כשמשאיפים לאינסוף ישאף ל-0. אם הוא שווה ל-0 ולא שואף ל-0, האם התנאי הזה התקיים? (כמובן שצריך לבדוק מה קורה כשמציבים את הסדרות בפונקציה אך אני מדבר רק על האי רציונלייםהתנאי הראשון).אודה לך על תשובתך! ===תשובה===אם החיסור בינהן שווה אפס אז זה אותה סדרה, חחואז בוודאי שהתנאי על כך שההפרש בין הפונקציות מופעלות על הסדרות צריך להיות גדול מקבוע, לא יתקיים. ודווקא נראה לי שצריך להוכיח, כי הנגזרת חסומה. אני אנסה לפתור את זה מחר.= תודה מקרב לב ==2 הגדרות ו2 שאלות ברבמ"ע ועל ואינה מונוטוניתש==היי ארז מה נשמע? יש לי בבקשה כמה שאלות. . 1) בהגדרת היינה בורל במבחן, מספיק לרשום: "S קומפקטית אם ורק אם היא חסומה וסגורה", זה מספיק או שצריך להסביר גם מה זה קומפקטית..? 2) אם יש שאלה לנסח את משפט בולצ'אנו ויירשטראס, איזה מהם? עבור סדרות, קבוצות או פונקציות? או מה שאני בוחר? 3) רבמ"ש: איקס כפול קוסינוס של איקס בין מינוס אינסוף לאינסוף.. (בטח להפריך) 4) רבמ"ש: איקס כפול לוג של איקס בין אפס לאינסוף (לפי דעתי צריך להפריך כי מבחינת אינטואיציה, לוג איקס שואף ממינוס אינסוף ואם נכפיל באיקס אז זה עוד יותר מינוס אינסוף..) אלה השאלות האחרונות שאני אשאל.. מקווה שיהיה לך זמן.. תודה רבה רבה רבה, אם נצליח זה רק בזכותך תאמין לי.. ואם להגיד את האמת אז חבל שלא הבנתי את זה בתחילת סמסטר א', העיקר שעכשיו אני מבין.. תודה שוב :] ===תשובה===1,2 אלה שאלות למרצה. 3. זה בדיוק כמו xsinx שעניתי עליו 4. זה להפריך, אפשר עם שתי הסדרות <math>n + \frac{1}{n}</math> ו <math>n</math>. צריך לשחק קצת עם הlog ובעיקר לשים לב שזו הפונקציה <math>xlogx = log(x^x)</math> וההפרש בין שני לוגים הוא לוג של החלוקה.* * תודה רבה!! אני אנסה את מה שאמרת.. שיהיה בהצלחה לכל מי שניגש.. וארז, תודה על הכל!! ==שאלה==במועד ב' באינפי 1, ניתן להשתמש בכלל לופיטל?
אם היא רציפהלא בטוח באיזה קורס, היא חייבת להיות מונוטונית לפי משפט ערך הביניים (תרגיל) ואפילו אבל אם לא צריך למדתם את העל.זה באינפי 1 לא ניתן להשתמש בזה במבחן