שינויים

=אינפי ' 1 לתיכוניסטים= כאן יהיה המקום שלנו להיעזר אחד בשני בקורס חשבון אינפיניטסימלי 1. אתם מוזמנים לשאול שאלות ולדון בבעיות הנוגעות לקורס אינפי ' 1 - סטודנטים הלומדים בשתי הקבוצות מוזמנים להגיב כאן.

=תרגילי אתגר באינפי'''[[מדיה:09Infi1_Sol1.pdf| תרגיל =*מצא סדרה כך שקבוצת הגבולות החלקיים שלה היא כל הממשיים*מצא פונקציה רציפה בקטע <math>(0,1]]'''</math> שאינה חסומה בו מלעיל ואינה חסומה בו מלרע*מצא פונקציה מונוטונית שאינה רציפה באף סביבה של 0*מצא פונקציה שאם תגזור אותה תקבל <math>\tan</math>*הוכח/הפרך: הגבול של הסדרה <math>\sin(n)</math> אינו קיים

===תרגיל אתגר מאתגר במיוחד===תרגילי האתגר הנ"ל מאתגרים וטריקיים אך ניתן לפתור אותם בעזרה הידע שלכם מקורס אינפי'''[[מדיהבלבד. את האתגר הבא צריך לפתור בעזרת ידע מקורסים אחרים שלמדתם בנוסף:09Infi1_Sol2.pdf| תרגיל 2]]'''(קרדיט ללואי שפתרה את זה)

'''*האם קיימת פונקציה מונוטונית שאינה רציפה באף נקודה בקטע <math>[[מדיה:09Infi1_Sol30,1]</math> ? אם כן מצא אותה, אם לא הוכח שלא.pdf| תרגיל 3]]'''

'''[[מדיה:09Infi1_Sol4.pdf| (שוב, זה תרגיל 4]]'''מאד קשה, אל תרגישו רע אם אתם לא מצליחים לפתור אותו)

===פתרונות לאתגרים==='''[[מדיה:09Infi1_Sol5.pdfפתרונות לאתגר אינפי 1 תיכוניסטים תש"ע| תרגיל 5פתרונות]]'''

'''=שאלות===מהבוחן==מישהו זוכר איך מראים שגבול הסדרה <math>\sqrt[n]{\sqrt[מדיה:09Infi1_Sol6.pdf| תרגיל 6n]{n}-1}</math> הוא 1? כאשר (<math>\sqrt[n]'''{x}</math> זהו השורש ה- <math>n</math>-י של <math>x</math> . ובלינארית (מתוך מבחן של רון עדין), איך מראים שלמטריצות מתחלפות <math>A,B</math> (ז"א ש- <math>AB=BA</math>) קיים ו"ע משותף...?

'''[[מדיה:09Infi1_Sol7==שאלה==יש לי שאלה על גבול שאני מנסה למצוא אבל משום מה יש שלב אחד שלכאורה נראה לי נכון אבל הוא לא.pdf| תרגיל 7]]'''נתונה הפונקציה::<math>\frac{p\sin(x)-\sin(px)}{x(\cos(x)-\cos(px))}</math>כאשר <math>x</math> שואף ל-0

'''[[מדיה:09Infi1_Sol8כאשר <math>p=\pi</math> .pdf| תרגיל 8]]'''

'''[[מדיהפירקתי את השבר לשני שברים בצורה הבאה:09Infi1_Sol9.pdf| תרגיל 9]]'''כל מחובר של המונה לבדו עם המכנה (חיבור שברים עם אותו מכנה הוא שבר עם אותו מכנה כמו של השניים המקוריים כאשר מחברים את המונים שלהם, אם עדיין לא הבנת את כוונתי)

ואז בצד אחד היה לי <math>\frac{\sin(x)}{x}</math> וזה שואף ל-1. בצד שני היה לי <math>\frac{\sin(px)}{x}</math> אז פשוט כפלתי וחילקתי ב- <math>p</math> ואז בגלל ש- <math>x</math> שואף ל-0, גם <math>px</math> שואף ל-0 מה שאומר שגם <math>\frac{\sin(px)}{px}</math> שואף ל-1. ואז כביכול היה יוצא 0 כי שני השברים מצמצמים אחד את השני. הבעיה היא במה שאמרתי על <math>\sin(px)</math> ו- <math>px</math> כי בדקתי במחשבון ושם זה נתן תוצאה אחרת. לכן רציתי לדעת איך לפתור את זה באמת. תודה =שאלות==תשובה===<math>\frac{\sin(px)}{px}\xrightarrow[x\to0]{}1</math> . קל לראות את זה לפי היינה. אם <math>x_n</math> סדרה ששואפת ל-0 אזי גם <math>\frac{x_n}{p}</math> סדרה ששואפת ל-0, פשוט תציב בפונקציה ותקבל שבזכות ש- <math>\frac{\sin(x)}{x}</math> שואף ל-1, שגם הפונקציה הזו על הסדרה הנ"ל שואפת ל-1. (לא ניסחתי מדויק, אני אשאיר לך לתקן את הפערים).  מצטער אבל לא ממש הבנתי איך התשובה שלך קשורה לשאלה שלי. במחשבון יוצא שהפונ' שואפת ל-1.047 (וממש המספר הזה, לא 1) אני אכתוב לך את מה שעשיתי ואני מקווה שתצליח להסביר לי מה היה לא נכון::<math>\lim\limits_{x\to0}\left[\frac{\pi\sin(x)-\sin(\pi x)}{x(\cos(x)-\cos(\pi x))}\right]</math> זה שווה ל::<math>\lim_{x\to0}\left[\frac{\pi\sin(x)}{x(\cos(x)-\cos(\pi x))}-\frac{\sin(\pi x)}{x(\cos(x)-\cos(\pi x))}\right]</math> ששווה ל::<math>\lim_{x\to0}\left[\frac{\pi}{\cos(x)-\cos(\pi x)}-\frac{\pi\sin(\pi x)}{\pi x(\cos(x)-\cos(\pi x))}\right]</math> ששווה ל::<math>\lim_{x\to0}\left[\frac{\pi}{\cos(x)-\cos(\pi x)}-\frac{\pi}{(\cos(x)-\cos(\pi x))}\right]=0</math> וזה אמור להיות 0 זהותית (כלומר ממש 0, לא שואף ל-0...) ===תשובה===דבר ראשון, אסור בתכלית האיסור, להחליף באמצע התרגיל את חלק מהגבולות למספר אליו הם שואפים. אחרת <math>1^\infty</math> תמיד שווה 1 למרות שאנחנו יודעים שהוא יכול להיות e. ושוב, הייתי פותר את זה באמצעות כלל לופיטל, ולא בטוח איך אפשר אחרת. אוקי, אז נניח שהייתי מכניס את ה- <math>\lim</math> גם לשבר השני.. אני עדיין לא מבין למה זה לא היה עובד (ותודה שאתה ממשיך לענות לי למרות החפירה..) :מה הכוונה מכניס <math>\lim</math> לשבר השני? אסור לך להחליף במספר, אתה נשאר עם אינסוף פחות אינסוף ולא מצליח לחשב. לא יהיה לך זהותית 0. אסור לך למחוק את <math>\frac{\sin(x)}{x}</math> אז זה מה שאני לא מבין, למה אסור למחוק את <math>\frac{\sin(x)}{x}</math> הרי זה אמור להיות 1 כש- <math>x\to0</math> :כמו שאמרתי, לפי ההגיון הזה, גם <math>\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=1</math> כי <math>1+\frac{1}{n}\to1</math> . במקרה זה, יש לך <math>1\cdot\infty-\infty</math> אסור להשתמש באריתמטיקה של גבולות במקרה זה. דוגמא נגדית פשוטה יותר: <math>\frac{n+1}{n}\cdot n-\frac{n-1}{n}\cdot n</math> בשיטה שלך זה 0 זהותית. במציאות, זה שווה בדיוק 2.

אני אסביר. אם מה לא הולך? <math>x_n=e^{\forall n : pi-2\frac{a_{pi n+1}}\ ,\ y_n=e^{a_n}-2\geq 1pi n}</math> זה אומר שהסדרה מונוטונית עולה. מכיוון שהיא חיוביתשתי הסדרות שואפות ל-0, זה אומר שהיא בהכרח לא שואפת לאפס ולכן הטור מתבדרהמרחק ביניהן שואף ל-0. אבל הפונקציה עליהן שווה 1 או 1-.

לעומת זאת(זה לא כותב השאלה) אפשר פשוט לומר שהגבול באפס לא קיים, אם לכן הפונקציה לא רבמ"ש ב- <math>\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=(0,1)</math> וכמובן שהיא לא ניתן לדעת אם הטור מתכנס, משמע יש דוגמאות לשני הכיוונים. הטור ההרמוני רבמ"ש ב- <math>\sum \frac{1}{n}</math> מקיים את התכונה הזו ומתבדר(0, ואילו הטור <math>\sum \frac{1}{n^2}infty)</math> מקיים את התכונה הזו ומתכנס , לא?:(<math>\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n^זה לא ארז) אני חושב שאסור, כי אז לפי מה שאתה אומר בגלל שלא קיים לsin x גבול באינסוף אז היא לא רבמ"ש... ::בכל מקרה, הדרך היחידה להוכיח שהגבול אינה קיים היא באמצעות הסדרות, כך שלא חסכת עבודה. באופן כללי, אפשר להוכיח שאם הגבול אינו קיים בצד הסופי, אזי הפונקציה לא רציפה שם במ"ש. זה נכון כי יש 2}{אופציות: או שיש 2 סדרות ששואפות לצד הסופי (n+1נגיד a)^2}והפונקציה שואפת עליהן לגבולות שונים (וזה אוטומטית יוצר סתירה לרציפות במ"ש), או שיש סדרה ששואפת לאינסוף ואז הפונקציה אינה חסומה על קטע חסום, ולכן אינה רציפה במ"ש. אבל כמו שאמרתי, כך או כך זה דורש את בניית הסדרות. :לאדע, לא עולה לי כל כך מהר הדוגמאות להפרכה. תודה בכל מקרה! יש לי עוד שאלה ממש קטנה, אני מנסה להוכיח שכשX שואף ל0, אז ln sin x / ln x שואף ל1. :האם מותר לי להגיע לזה באמצעות המשפט של sin x / x =1<? כי אז אני מכפיל בX, מפעיל LN על שני האגפים, מחלק בLN X ומקבל את הדרוש... תודה לעונה! אסור. אין משפט שsinx/math>x=1 יש משפט שאומר שזה שואף לאחד... אבל לכפול בx זה כמו לכפול באפס וזה בוודאי אסור (אריתמטיקה של גבולות לא עוזרת פה). אפשר לפתור באמצעות כלל לופיטל, כמו שאמרתי אני לא יודע אם זה בחומר או לא. זה לא בחומר, תודה בכל מקרה.!

איך אני מראה שלמשוואה tg יש משהו שנורא מבלבל אותי.נניח שיש לי את הפונקציה: <math>f(x )= x יש אינסוף פתרונות ממשייםe^{lnx}</math> מצד אחד הנגזרת שלה היא 1, כי היא שווה ל-X מצד שני, אם אני מתעלם מהעובדה שהדבר הזה הוא X ואני גוזר רגיל אני מקבל שהגזרת היא 1 חלקי X.מה עושים??? דרך אגב, ארז כתבתי לך בחזרה משהו בשאלה של ה- <math>\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin(\pi x)}{\pi x}</math>אז בבקשה תענה לי. 

לומדים לגזור!<math>\lim_[e^{xlnx}]' =e^{lnx} \rightarrow cdot \frac{\pi1}{2x} +=\pi kfrac{x}tgx {x}=1</math> חח אופס, סליחה. ==שאלה - רבמ"ש==נכון, חפרנו על הנושא למרות שתהיה מקסימום שאלה אחת על זה במבחן, ובכל זאת:נניח שאני רוצה להוכיח ש- f(x)= xsinx רבמ"ש. האם מותר לי לקחת x,y שמקיימים <math>|x-y|<d</math> ולומר :<math>|xsinx-ysiny| \lim_{le |2x-2y| < 2d</math>(מהסיבה שפונק' הסינוס חסומה ע"י 1 ו-1-) ? ===תשובה===בוודאי שלא. למשל <math>x=2000\rightarrow \frac{pi, y=2000\pi}{2} +\pi k}/2, d = \frac{sinx}{cosx} pi/2</math> אז יוצא ש<math>|xsinx- x ysiny|= 2000\pm pi + \inftypi/2</math>  הטריק הוא בגדול לקחת <math>x_1=x,x_2=x+h</math> ולפתח לפי נוסחאות טריגונומטריות. ==שאלה - טורים==ישבתי על זה הרבה ולא הצלחתי X::נתון שיש טור המוגדר ע"י סכום הסדרה an ובדומה סכום המוגדר ע"י סכום הסדרה bn:ידוע שסיגמא AN זה A וסיגמא BN זה B:מגדירים סדרה חדשה, CN שבמקומות האי זוגיים היא מקבלת את b1,b3,b5.... ובמקומות הזוגיים היא מקבלת את a1,a2,a3,...:האם סיגמא CN מתכנס? ===תשובה===לא של ארז:מקווה שזה נכון:סכום האי זוגיים של הסדרה b מתכנס לפי קריטריון ההשוואה, הסכום של a כמובן מתכנס לפני הנתוןולכן סכום טורים מתכנסים הוא מתכנס. 

ולכן לפי משפט ערך הביניים כל ערך ממשי מתקבל בין השאיפה לאינסוף ומינוס אינסוף, וזה קורה אינסוף פעמים (לכל k):מבחן ההשוואה נכון לטורים חיוביים בלבד. בפרטוהתשובה היא בוודאי לא, 0 מתקבל אינסוף פעמים, ולכן אם לא נתון שהטורים חיוביים. לוקחים את הטור הקלאסי להתכנסות בתנאי <math>tgxb_n=x(-1)^n/n</math> אינסוף פעמיםולוקחים כל טור מתכנס אחר להיות a_n...

אם היא רציפהS הינה קבוצת כל האיברים בסדרה, היא חייבת והיא סופית. כלומר איבר בסדרה יכול להיות מונוטונית אחד מתוך מספר סופי של איברים (איבר מתוך S). כעת, נגדיר את קבוצת ההפרשים <math>D=\{|s_1-s_2| : s_1,s_2 \in S, s_1\neq s_2\}</math> מכיוון שS סופית גם D סופית ולכן יש לה מינימום. נגדיר <math>\epsilon = Min(D)/2>0</math>. כעת, לפי משפט ערך הביניים תנאי קושי, קיים <math>n_0</math> כך שלכל <math>n,m>n_0</math> מתקיים <math>|a_m-a_n| < \epsilon</math> אבל אם <math>a_n \neq a_m </math> אזי <math>|a_m-a_n| \in D</math> אבל  <math>|a_n-a_m|<\epsilon < Min(תרגילd) ואפילו לא צריך </math> וזו סתירה. :סבבה תודה!  ===מבחן של ראובן===איפה יש את העלהמבחן שלו משנה שעברה? באתר של גיל איפה זה, אפשר קישור? http://math.ipnet.co.il תודה

נניח שיש באחת משאלות האתגר שנתתם (זאת עם הגבולות החלקיים שכוללים את כל הממשיים), מותר לי פונקצייה שמוגדרת בתחום x>a, ובדיוק בנק' x=a יש איפשוט להגיד ש-רציפות בצורה an היא הספירה של Q?אנחנו יודעים שאפשר לספור את Q אבל האם זה מספיק להסתמך על זה שקיימת ספירה כזאת ואז לרשום שנק'אסימפטוטה' - האם זו אי רציפות מסוג ראשון, או שניההצטברות של Q הן כל R ולכן אלו הם הג"חים?

מה זה צורה השאלה היא האם משם אתה יכול להוכיח שכל מספר ממשי הוא גבול חלקי של אסימפטוטההסדרה הנ"ל. ההגדרה מאד מאד פשוטה:אין משפט על הקשר שבין נקודת הצטברות של קבוצה, לבין הגבולות החלקיים של סדרה המכילה את איברי הקבוצה. האם הסדר לפי תבנה את הסדרה משנה?

אי רציפות סליקה: קיים גבול סופי בנקודהאוקיי.. יש לי סדרה אחרת שנראה לי שהיא תעבוד. את כל שאר תרגילי האתגר הצלחתי לפתור (חוץ מזה שדורש שימוש בקורס אחר שאין לי מושג מה לעשות שם חוץ מזה שאני בטוח כמעט לגמרי שזו הפרכה..)

אי רציפות ממין ראשון: קיימים גבולות חד צדדיים סופיים בנקודה:תשלח לי למייל בקצרה, אני אגיד לך אם צדקת. אגב, מתי המבחן שלכם?

אי רציפות ממין שני: כל מצב אחר::המבחן שלנו מחר :S

הדבר היחיד שאני לא בטוח לגביו===תשובה===נניח בשלילה שהיא אינה רציפה במ"ש, באמת בהקשר השאלה שלךלכן קיים אפסילון, הוא מה קורה כאשר מדברים על פונקציה בתחום הגדרה מסוים. כלומרכך שלכל דלתא קיים זוג x, מה היא האי רציפות של פונקציה y כך שהמרחק בינהם קטן מדלתא, אבל המרחק בין f(x) לf(y) גדול מאפסילון. ולכן <math>\frac{f(x)-f(y)}{x-y} > \sqrtfrac{x\epsilon}{\delta}</math> בנקודה אפס. מצד אחד לפי ההגדרה שרשמתי למעלה זה מין שני כי לא קיים הגבול החד צדדי משמאלניקח <math>\delta_n = \frac{1}{n}</math> וניקח את הזוגות המתאימים <math>x_n,y_n</math>. מצד שניאלה סדרות חסומות ולכן ניתן לקחת תת סדרה של <math>x_n</math> שמתכנסת, אם נחליף את הנקודה ב0 ואז תת-תת סדרה של y_n שמתכנסת וביחד נקבל פונקציה רציפה ב(אינסוףשתי סדרות מתכנסות <math>x_{n_k},0]y_{n_k}</math> ומכיוון שהמרחק ביניהן הולך וקטן הן מתכנסות לאותו הגבול, נקרא לו L. אבל אז <math>\frac{f(x_{n_k})-f(y_{n_k})}{|x_{n_k}-y_{n_k}|} > \frac{\epsilon}{\delta_{n_k}}</math> כלומר שואף לאינסוף, אבל זה נשמע כמו סליקהחסום על ידי קבוע כפול הנגזרת (לפי תרגיל אחר שנתנו לכם) וזו סתירה. :: אתה יכול בבקשה להסביר למה הכוונה ב"זוגות המתאימים Xn Yn" - הכוונה היא לאותן סדרות שעזרו לך להוכיח או להפריך משהו בהרבה תרגילים אחרים בעמוד זה?:: ועוד משהו, למה הכוונה חסום ע"י קבוע כפול הנגזרת?  "... כך שלכל דלתא קיים זוג x,y..." הזוג הזה. חסום ע"י הכוונה "קטן מ. אז אני באמת לא בטוח מה ההגדרה במקרה כזה."

איך אפשר להוכיח שאם יש לי סדרה נניח שאנחנו מקבלים פונקצייה כמו: <math>a_ncos\frac{1}{ln(x^2)}</math> המתכנסת ל. האם מצפים מאתנו להתייחס אליה כמוגדרת גם ב-x<0(כפי שהיא כתובה), אזי או ללכת צעד אחד קדימה ולהפוך את זה ל: <math>cos\frac{\sum_{n=1}^{\infty}{a_n}2lnx}{n} = 0</math> ? שאלה נוספת - כדי להוכיח שלא קיים גבול בנק' x=1, במקרה זה, האם מותר לי להשתמש בנימוק המילולי הבא (כלומר הוכחה לפי הגדרת הגבול?) : הפונקצייה מבצעת אינסוף מחזורים בכל סביבה של x=1, לכן הגבול לא קיים.אם לא, איך אחרת אפשר לנמק את אי-קיום הגבול בנק', בלי פשוט לומר שהפונק' שבתוך ה-cos שואפת לאינסוף? 

יש טעות בשאלהכמובן שהיא מוגדרת באפס. הרי הטור בוודאי לא חייב להתכנסעושים שום צעדים קדימה או אחורה. זה כמו שx/x אינה מוגדרת באפס. לא, תקרא את הדוגמאות האחרות (כמעט זהות) בנושא. בונים 2 סדרות ששואפות ל1 אבל הפונקציה עליהן הולכת לפלוס אחד או מינוס אחד ולכן אין הגדרה כלל לחלוקה הנ"ל, ובפרט אין גבוללפי היינה. ==שאלה==האם זהו משפט נכון? M = SUP A אם"ם לכל e>0 קיים a ששייך לA כך ש M-e<a 

הטעות היא שלפי מה שכתבתM חסם עליון אומר M גדול מכל האיברים בקבוצה, זה נראה כאילו דיברת על סכום והתנאי עם האפסילון נותן את המינימליות של הטור האינסופי עד אינסוף (כאיבר אחד) נחלק ל-n (שהוא מה שרץ) ואז כמו שנאמר, זה לא ממש מוגדרM. וכמו שאמרו, ההוכחה בעזרת שטולץ היא די פשוטה:אפשר גם להוכיח בעזרת סנדוויץ'? לומר שהביטוי גדול שווה מסדרת המינימומים וקטן שווה מסדרת המקסימומים, שהם תתי סדרה של an ולכן הגבול שלהם אם הוא 0לא היה מתקיים, ולכן גם הביטוי שואף ל0?אז M-e היה חסם עליון קטן יותר.

בתחילת הקורס נאמר שיש חובת הגשה של 80 אחוזהאם הפו' 1 חלקי n רציפה בקטע [0,1) ? ורבמ"ש? ===תשובה===רציפה שם, ברור, זה פונקציה רציפה חלקי רציפה, כאשר הפונקצה במכנה שונה מאפס.  היא אינה רציפה שם במ"ש כי היא אינה חסומה שם. ופונקציה שרציפה במ"ש על קטע <s>סגור</s> חסומה בו.:אבל זה לא הגשתי את התרגילים 7קטע סגור,8 מפני הוא חצי פתוח O:::שגיאה שלי, הכוונה הייתה לקטע '''חסום''' ולא סגור. פונקציה רציפה במ"ש על קטע '''חסום''' חסומה בו.:::זאת אומרת שהפעם היחידה שאנחנו צריכים ממש להפריך את הרבמ"ש שלא יכלתי להגיע לאוניברסיטה בזמן חופשת הסמסטרע"י משפט, זה כשהיא רציפה והגבול באינסוף או מינוס אינסוף אינו קיים?::::לא. לפני שנייה הייתה דוגמא של coslogx תודה רבה :) ==הוכחת משפט ערך הביניים==במייזלר יש הוכחה שמשתמשת בטענת עזר שקשורה בחיתוך עם ציר ה-x של הפונקצייה. למה לא לפשט את זה להוכחה כזו (האם אי הגשת שני תרגילים אלה יורד לי ציוןהיא תקינה?): תהי f רציפה ב-[a,b], אזי אם <math>f(a)<y<f(b)</math> נבנה סדרת קטעים <math>I_n=[a_n,b_n]</math> כך ש- <math>f(a_n) \le y \le f(b_n)</math> , כאשר <math>I_1=[a,b], I_n=[a_n,b_n]</math>, ו-<math>c_n</math> מוגדרת:אפשר להגיש אותם גם ביום ראשון<math>c_n=0.5(a_n+b_n)</math>, כך שאם <math>f(c_n)\le y</math> נגדיר <math>I_{n+1}=[c_n,b_n]</math>, ואחרת <math>I_{n+1}=[a_n,c_n]</math> . לפי קנטור קיימת נק' יחידה <math>x_0</math> באמצע כך ש- <math>lim(a_n)=lim(b_n)=x_0</math> , ובגלל הרציפות של f נקבל ש- <math>f(a_n)</math> ו- <math>f(b_n)</math> שואפים להיות y. ===תשובה===זו הוכחה נכונה, אמנם חסרת כמה פרטים, אבל נכונה.

תהי סדרה an. אם ארז באחת השאלות למעלה אמרת:"אפשר להוכיח שאם הגבול של an^2 אינו קיים ושווה למס' ממשי כלשהובצד הסופי, מה זה אומר לי לגבי הגבול של an? הוא אזי הפונקציה לא חייב להיות קיים, נכון? רציפה שם במ"ש." אבל כפי שמישהו מעלייך אמר, אז sin רציפה במידה וכןשווה בכל R ואין לה גבול באין-סוף : הוא יכול להיות פלוס מינוס השורש של הגבול הנבאיזה מובן אינסוף הינו "לצד סופי"?? ::אופס, ואלו האפשרויות היחידותהלחץ מהמבחן עושה את שלו.. :: אם כבר הגענו לנושא הזה::: א) אין אריתמטיקה בין פונקציות רבמ"ש נכון?, לדוגמא כפל פונ' שהן רבמ"ש (נגיד בקטע [a,b]) לא יהיה בהכרח רבמ"ש נכון?:: ב) איך מוכיחים ש-sin רבמ"ש ע"פ הגדרה (בלשון דלתא ואפסילון)? (מה הטריק השם, איזה איקסים לוקחים?) 

בדיוקא. תמיד התת סדרה המורכבת מהשליליים של an תתכנס למינוס השורש, ותת הסדרה של החיוביים תתכנס לשורשיש חצי אריתמטיקה. אם המספר הינו אפס, אז גם an תתכנס בהכרח לאפסכפל אין (x כפול x) אבל חיבור יש כמובן.:מגניב. אבל שובבנוסף יש הרכבה, זה לא דורש שיהיה קיים גבול לan נכון?הרכבה של רציפות במ"ש הינה רציפה במ"ש

ב. תרגיל כללי הוא להוכיח שכל פונקציה שרציפה על כל הממשיים ומחזורית הינה רציפה במ"ש. סינוס זה מקרה פרטי של המשפט הגדול הזה. בצורה דומה <math>e^{(sinx)^2}</math> הינה רציפה במ"ש למשל.. ::אם יש סדרות חלקיות שמתכנסות לגבולות שונים ברור שאין גבול. וכמו שאמרתיב-ב' זה בגלל ש-sin רציפה בקטע סגור, אם הגבול המקורי הוא אפס ואז היא רבמ"ש בו, ובעצם בגלל שהיא מחזורית אז כן חייב זה מעיין איחוד אין סופי של אותו הקטע נכון?  ובדוגמא שנתת - איך מוכיחים שהפונ' הזאת מחזורית?  :::לכל פונקציה מחזורית זה נכון. צ"ל להוכיח את זה במדויק, אבל מה שציינת זו אכן הדרך.::: פשוט מציבים <math>x+2\pi k</math> ורואים מיידים שזה שווה לערך של x לכל x ::::אוקי, תודה :)==שאלה==שני דברים:א) צריך להוכיח במבחן שפונקציה רציפה ומחזורית היא רבמ"ש בכל פעם שמסתמכים על זה? אפשר לתת כאן הוכחה ליתר ביטחון?ב) ארז, אתה יכול להעלות פתרונות לשאלות אתגר? מחר (חמישי) המבחן ומעניין אותי לדעת איך לפתור את השאלה שקשורה לקורסים אחרים...  ===תשובה===אני לא יודע על מה מותר או אסור לכם להסתמך. אבל ההוכחה הולכת ככה: אתה מחלק את כל הממשיים לקטעים באורך המחזוריות, על כל קטע סגור וחסום הפונקציה רציפה במ"ש. עכשיו, כל שתי נקודות מספיק קרובות יכולות להיות הגבול אפס במצב אחד מבין שניים: או ששתיהן באותו קטע, או שהן בקטעים חופפים. לכן נחלק גם את הממשיים לקטעים באורך פעמיים המחזוריות, וגם שם הפונקציה רציפה במ"ש. ולכן ניקח את הדלתא המינימלי בין זה של anפעמים הקטע וזה של הקטע, וכל שתי נקודות שקרובות עד כדי הדלתא הזה, יהיה קרובות עד כדי האפסילון. אני אשתדל להעלות פתרונות, לא בטוח שאני אספיק מלאים, אבל לפחות אני אתן את העיקר

מה המשמעות האינטואיטיביתארז איך מוכיחים ש <math>\frac{x}{e^x+1}</גאומטרית math> רבמ"ש?:היא לא רבמ"ש, אמנם כשהיא שואפת לאינסוף יש לה גבול והוא 0, אבל כשתשאיף אותה למינוס אינסוף היא תשאף למינוס אינסוף.::המשפט בבדיקת אינסוף ומינוס אינסוף הוא לא אם"ם, אלא רק כיוון אחד. היא אפילו כן רבמ"ש, כי היא רבמ"ש בצד החיובי של ציר הx, ובצד השלילי הוא מתנהג כמו x שהוא לינארי ולכן רבמ"ש. (לא הוכחה פורמלית):::אפשר בבקשה הוכחה פורמלית::::צודק ברעיון של הבדיקה של האינסוף, אבל לא הבנתי למה אתה אומר שבצד השלילי הוא מתנהג כמו x לינארי - הוא הרי שואף למינוס אינסוף בצורה קיצונית, יותר מהר מכל פונקצייה אחרת (אם לא הייתי יודע שזה מוגדר הייתי בטוח שזו אסימפטוטה).:::::לא, כי במינוס אינסוף המכנה שואף ל1 והמונה הוא x. כלומר ככל שהוא מתקרב למינוס אינסוף, הוא מתקרב (שואף) לx.:::::בנוסף, ההוכחה הפורמלית רק אפשרית ישירות מההגדרה עם אפסילון ודלטא.:::::: רגע, אז אפשר לחלק את זה לשני קטעים אפס עד איןסוף ומינוס אינסוף עד אפס ולהגיד שבראשון היא רציפה במ"ש בגלל גבולות בקצוות, ובשני היא מתנהגת כמו הגרף של X, ואז רק נותר להראות מה קורה אם לוקחים X1 מקטע אחד ו-X2 מהקטע השני?:::::::בעקרון כן, אבל זה לא כל כך פורמלי. הכל מסתמך על זה שאם פונקציה רבמ"ש בשתי קטעים אז היא רבמ"ש באיחוד שלהם. זה נראה נכון הגיונית, אבל אני לא בטוח שמותר להשתמש בזה במבחן.::::::::אבל בגלל זה אמרתי שרק צריך לבדוק מה קורה אם X1 מהקע הראשון וX2 מהקטע השני -זאת הבדיקה של האיחוד. אבל האם יש "מבחן השוואה" לרציפות במ"ש? כי אם לא אז איך אני יכול להגיד שמתחת ל-0 הפונ' מתנהגת כמו X? הרי היא מתנהגת בין X/2 ל-X (אמנם שתיהן רציפות , אבל בגלל זה שאלתי על מבחן ההשוואה)... ::::::::: (מישהו אחר) ארז קראתי את מה שנכתב פה, אתה יכול להגיד בקצרה מהי הדרך לומר שזה אכן רבמ"ש (או להפריך את זה..)?:::::::::: אני לא ארז, אבל שוב: אפשר להוכיח ישירות לפי הגדרה עם אפסילון ודלטא.  ::::::::::: אני שוב לא בטוח איך הכוונה לפתור את השאלה, כי יש דרכים בעזרת נגזרות (כמו ששאלו באתר, אם הנגזרת חסומה הפונקציה רציפה במ"ש) אבל לא למדנו את המשפטים האלה, לכן אני לא יודע מאיפה השאלה ובאיזה שיטה צריך לפתור... == תודה! ==ארז, אמרנו את זה כבר בלינארית, אבל אתה ממש בן אדם מדהים! לא הייתי מצפה מהמתרגל הכי טוב שיעזור לקבוצה בקורס שהוא לא מלמד, ובטח ובטח לא בכל כך מסירות! תודה רבה על כל העזרה והתמיכה (והאתגרים :P) והלימוד המצויין! בבקשה תתרגל אותנו אינפי 2! אין לי (ולכולנו) מילים להודות לך! איך להגיד את זה שיינר, אם היית וקטור, לא היה אפשר לנרמל אותך כי אתה פשוט לא נורמלי!אם היית פונקציה, היית שואף לאינסוף בכל סביבה של כל נקודהאם היית קטע, היית כל הישר. אם היית מצחיק אחי אולי ההיתי צוחק*ואם לא היה לך כזה קטן אולי לא היית צריך לרדת על אחרים בשביל לצאת גבר, אחי ;)בוא בוא תסביר את עצמך כי וואלה לא הבנתי ..*עזוב, עזוב, אי הבנה, זה הכל :: ארז כל הכבוד! אבסורד שאתה המתרגל שהכי עזר לנו בקורס הזה:: אני גם מעדיף שתתרגל אותנו באינפי 2:: בסופו של דבר הוא כן מתרגל (של קבוצה א') :) == הכרזה ==יש ציונים!!!   == שאלה ברציפות במידה שווה?==שלום, רציתי הוכחה בבקשה לתרגיל ברציפות במידה שווה. האם איקס כפול סינוס איקס, רציפה במ"ש בקטע בין מינוס אינסוף לאינסוף.. תודה רבה!!

מה היא רציפות? פונקציה הינה רציפה אם הגבול שלה בנקודה הוא הערך שלה בנקודהקח 2 סדרות<math>x_n = 2\pi n</math> ו <math>y_n = \frac{1}{n} + 2\pi n</math>. ברור שההפרש בינהן שואף לאפס, כלומר שבכל נקודה היא שואפת לערך שלה בנקודהאבל <math>f(y_n) - f(x_n) = (\frac{1}{n} + 2\pi n)sin(\frac{1}{n})</math> אבל הביטוי הזה שואף ל<math>2\pi</math> ולכן בוודאי גדול מקבוע שגדול מאפס (למשל אחד) החל משלב מסויים...

כעת, המילה "שווה" אומרת שה"מידה" כלומר מהירות ההתכנסות == שאלה בקשר למשפט על רציפות במידה שווה בכל נקודה ==קראתי כאן וגם בהרצאה משפט שמדבר על:פונקציה שרציפה בקטע בו יש רציפות (a,b) (כאשר a ,b או שניהם הם אינסוף או מינוס אינסוף), אז אם הגבולות בהם קיימים וסופיים, הפונקציה רציפה במידה שווה. כלומראם יש לי קטע פתוח בין 0 לאינסוף, לכל אפסילוןופונקציה של (סינוס של איקס) חלקי איקס בריבוע, קיים דלתאראיתי שהוא בודק את הגבולות באינסוף וב0 מימין, כך שאם ניקח מסדרון באורך דלתא איפשהו על ציר xאבל בדוגמא אחרת, של סינוס של אחד חלקי איקס, בין אחד לאינסוף, הוא בדק רק את הגבול כשאיקס שואף לאינסוף.למה הוא לא בדק את הגבול כשאיקס שואף לאחד מימין? כי הפונקציה מוגדרת באחד ולכן לא תצא בתוכו ממסדרון באורך אפסילון בציר yצריך לבדוק את זה? (ולעומת זאת בדוגמא הראשונה, כשאיקס שווה לאפס אז זה תחום ההגדרה ולכן צריך כן לבדוק?). ובמיליםושאלה אחרונה בקשר למשפט שאמרתי, הפונקציה מתכנסת פחות בהרצאה הוא לא ציין שa או יותר באותה מהירות לגבול שלה בכל נקודה בקטע.b חייבים להיות אינסוף, האם זה נכון גם כשהם מספרים ממשיים?תודה רבה!!

ועוד שאלה ===תשובה===<math>sin(1/x)</math> רציפה באחד ולכן ברור שהגבול שם קיים ואין צורך בבדיקה נוספת. כאשר היא לא קשורה: זה ארז שעוזר לנו כאן בכל השאלות רציפה (מסיבה של תחום הגדרה או המתרגלים האחרים באינפי?כל סיבה אחרת, אז יש לבדוק מה הגבול.

יש לי דה ז'ה וו שמישהו עונה לי ואומר לי כן אבל לא אומר לי איך, אז בבקשה תגידו גם איך :כי אם f רציפה בקטע הפתוח (a,b)ויש לה גבולות חד צדדים בקצות הקטע, אזי '''לפי הגדרה''' f רציפה בקטע הסגור [a,b]. ואז '''לפי משפט''' f רציפה בו במ"ש.

* הבנתי לגמרי עכשיו, תודה ענקית!! :כן. (זה שארז עונה. ואני באמת לא יודע איך הוא עושה את זה D: ). במחשבון אני מקבל שהוא שווה ל-(-0.69),]

::כן אבל התכוונתי לתשובה ממש עם נוסחאות ומשפטים== שאלה בנושא רציפות במידה שווה ==רציתי לדעת בבקשה איך מוכיחים שהפונקציה קוסינוס של שורש של ערך מוחלט של X רציפה במידה שווה בR.אולי להפריד ל2 מקרים כשX>0 וכשX<0.. תודה רבה!!!!

==שאלה - קיום גבול חד-צדדי=תשובה===איך אפשר להפריך קיומו של גבול חד צדדי? למשלכן להפריד למקרים, בפונקצייה sin(1/x) : האם מותר לי לומר שהגבול החד צדדי ואז זו הרכבה של 0 מימין שווה ממש לגבול של sin(x) כאשר x שואף לאינסוףרציפות במ"ש. את שורש איקס אפשר להוכיח לפי ההגדרה באמצעת כפל בצמוד. * הבנתי, תודה שוב ושיהיה לך לילה טוב.. == משפט הערך הממוצע ==שלום, רציתי לדעת בבקשה אם קייםנלמד משפט הערך הממוצע בכיתה..?תודה רבה :]

עושים את זה באלגנטיות באמצעות סדרות והגדרת הגבול לפי היינהבהתחשב בעובדה שאינפי 2 כבר התחיל ובמסגרתו למדנו המשפט הזה, השאלה הזו קצת מפתיעה.

לוקחים שתי סדרות <math>0\leq x_n,y_n \rightarrow 0</math>. אם היה גבול חד צדדי מימין, לפי היינה <math>f(x_n),f(y_n) \rightarrow L</math> כאשר L משפט הערך הממוצע הינו הגבול. אבל אנחנו נבנה סדרות כך שאחרי הפעלת הפונקציה עליהן נגיע לגבולות משפט לגרנז'ולמדנו אותו בתחילת סימסטר ב'(ולא כחלק מסמיסטר א'שונים''' בסתירה להגדרה הגבול לפי היינה...)

<math>y_n = \frac{= תרגיל ברציפות במידה שווה ==שלום ארז, יש לי תרגיל שלא הצלחתי לפתור ואני ישמח אם תעזור לילבדוק רציפות במידה שווה של (x*cos(1}{-\frac{\pi}{2}+2 \pi n}</math>x^2 בקטע שבין (אינסוף, 0).לעניות דעתי צריך להפריך.ועוד שאלה קטנה בקשר להפרכה: צריך לקחת שתי סדרות כך שאחד התנאים הוא שהחיסור ביניהן כשמשאיפים לאינסוף ישאף ל-0. אם הוא שווה ל-0 ולא שואף ל-0, האם התנאי הזה התקיים? (כמובן שצריך לבדוק מה קורה כשמציבים את הסדרות בפונקציה אך אני מדבר רק על התנאי הראשון).אודה לך על תשובתך!

==שאלה - רציפות במידה שווה=תשובה===היום בתרגול עם ראובן הוזכר משפט על רציפות במידה אם החיסור בינהן שווה שמעולם לא שמעתי עליואפס אז זה אותה סדרה, ואז בוודאי שהתנאי על כך שההפרש בין הפונקציות מופעלות על הסדרות צריך להיות גדול מקבוע, לא מצאתי אותו בהרצאות או בספר : אם f רציפהיתקיים. ודווקא נראה לי שצריך להוכיח, וקיים עבורה גבול סופי כש-x שואף לפלוס\מינוס אינסוף (שניהם קיימיםכי הנגזרת חסומה. אני אנסה לפתור את זה מחר.= תודה מקרב לב ==2 הגדרות ו2 שאלות ברבמ"ש==היי ארז מה נשמע? יש לי בבקשה כמה שאלות.. 1)בהגדרת היינה בורל במבחן, אזי f רציפה במידה שווהמספיק לרשום: "S קומפקטית אם ורק אם היא חסומה וסגורה", זה מספיק או שצריך להסביר גם מה זה קומפקטית..?מאיפה הגיע המשפט הזה2) אם יש שאלה לנסח את משפט בולצ'אנו ויירשטראס, איזה מהם? ולמה הוא נכוןעבור סדרות, קבוצות או פונקציות? או מה שאני בוחר? 3) רבמ"ש:תיקון - מצאתי אותו, והוא מנוסח כך : f איקס כפול קוסינוס של איקס בין מינוס אינסוף לאינסוף.. (בטח להפריך) 4) רבמ"ש בקטע : איקס כפול לוג של איקס בין אפס לאינסוף (aלפי דעתי צריך להפריך כי מבחינת אינטואיציה,bלוג איקס שואף ממינוס אינסוף ואם נכפיל באיקס אז זה עוד יותר מינוס אינסוף..) < אלה השאלות האחרונות שאני אשאל.. מקווה שיהיה לך זמן.. תודה רבה רבה רבה, אם נצליח זה רק בזכותך תאמין לי.. ואם להגיד את האמת אז חבל שלא הבנתי את זה בתחילת סמסטר א', העיקר שעכשיו אני מבין.. תודה שוב :] ==> הפונק' f רציפה בקטע =תשובה===1,2 אלה שאלות למרצה.  3. זה בדיוק כמו xsinx שעניתי עליו 4. זהלהפריך, וקיימים גבולות חד צדיים ל-a אפשר עם שתי הסדרות <math>n + \frac{1}{n}</math> ו-b<math>n</math>. השאלה שלי היא : צריך לשחק קצת עם הlog ובעיקר לשים לב שזו הפונקציה <math>xlogx = log(x^x)</math> וההפרש בין שני לוגים הוא גם עובד עבור a או b שהם אינסופייםלוג של החלוקה.* * תודה רבה!! אני אנסה את מה שאמרת.. שיהיה בהצלחה לכל מי שניגש.. וארז, נכוןתודה על הכל!!  ==שאלה==במועד ב' באינפי 1, ניתן להשתמש בכלל לופיטל? ודבר שני לא בטוח באיזה קורס, אבל אם קיים גבול שהוא אינסוף לפונק' כאשר היא שואפת ל-b, למשל (לאחד מהם) - האם לא למדתם את זה בהכרח סותר את רבמ"שיות הפונקצייה?באינפי 1 לא ניתן להשתמש בזה במבחן