=אינפי ' 1 לתיכוניסטים= כאן יהיה המקום שלנו להיעזר אחד בשני בקורס חשבון אינפיניטסימלי 1. אתם מוזמנים לשאול שאלות ולדון בבעיות הנוגעות לקורס אינפי ' 1 - סטודנטים הלומדים בשתי הקבוצות מוזמנים להגיב כאן.
=ארכיון=
[[אינפי 1 לתיכוניסטים תש"ע - ארכיון 1|ארכיון 1]]
=תרגילים + פתרונות=[[אינפי 1 לתיכוניסטים תש"ע - ארכיון 2|ארכיון 2]]
=תרגילי אתגר באינפי'''[[מדיה:09Infi1_Sol1.pdf| תרגיל =*מצא סדרה כך שקבוצת הגבולות החלקיים שלה היא כל הממשיים*מצא פונקציה רציפה בקטע <math>(0,1]]'''</math> שאינה חסומה בו מלעיל ואינה חסומה בו מלרע*מצא פונקציה מונוטונית שאינה רציפה באף סביבה של 0*מצא פונקציה שאם תגזור אותה תקבל <math>\tan</math>*הוכח/הפרך: הגבול של הסדרה <math>\sin(n)</math> אינו קיים
===תרגיל אתגר מאתגר במיוחד===תרגילי האתגר הנ"ל מאתגרים וטריקיים אך ניתן לפתור אותם בעזרה הידע שלכם מקורס אינפי'''[[מדיהבלבד. את האתגר הבא צריך לפתור בעזרת ידע מקורסים אחרים שלמדתם בנוסף:09Infi1_Sol2.pdf| תרגיל 2]]'''(קרדיט ללואי שפתרה את זה)
'''*האם קיימת פונקציה מונוטונית שאינה רציפה באף נקודה בקטע <math>[[מדיה:09Infi1_Sol30,1]</math> ? אם כן מצא אותה, אם לא הוכח שלא.pdf| תרגיל 3]]'''
'''[[מדיה:09Infi1_Sol4.pdf| (שוב, זה תרגיל 4]]'''מאד קשה, אל תרגישו רע אם אתם לא מצליחים לפתור אותו)
===פתרונות לאתגרים==='''[[מדיה:09Infi1_Sol5.pdfפתרונות לאתגר אינפי 1 תיכוניסטים תש"ע| תרגיל 5פתרונות]]'''
'''=שאלות===מהבוחן==מישהו זוכר איך מראים שגבול הסדרה <math>\sqrt[n]{\sqrt[מדיה:09Infi1_Sol6.pdf| תרגיל 6n]{n}-1}</math> הוא 1? כאשר (<math>\sqrt[n]'''{x}</math> זהו השורש ה- <math>n</math>-י של <math>x</math> . ובלינארית (מתוך מבחן של רון עדין), איך מראים שלמטריצות מתחלפות <math>A,B</math> (ז"א ש- <math>AB=BA</math>) קיים ו"ע משותף...?
'''[[מדיה:09Infi1_Sol7==שאלה==יש לי שאלה על גבול שאני מנסה למצוא אבל משום מה יש שלב אחד שלכאורה נראה לי נכון אבל הוא לא.pdf| תרגיל 7]]'''נתונה הפונקציה::<math>\frac{p\sin(x)-\sin(px)}{x(\cos(x)-\cos(px))}</math>כאשר <math>x</math> שואף ל-0
'''[[מדיה:09Infi1_Sol8כאשר <math>p=\pi</math> .pdf| תרגיל 8]]'''
'''[[מדיהפירקתי את השבר לשני שברים בצורה הבאה:09Infi1_Sol9.pdf| תרגיל 9]]'''כל מחובר של המונה לבדו עם המכנה (חיבור שברים עם אותו מכנה הוא שבר עם אותו מכנה כמו של השניים המקוריים כאשר מחברים את המונים שלהם, אם עדיין לא הבנת את כוונתי)
=שאלות=ואז בצד אחד היה לי <math>\frac{\sin(x)}{x}</math> וזה שואף ל-1. בצד שני היה לי <math>\frac{\sin(px)}{x}</math> אז פשוט כפלתי וחילקתי ב- <math>p</math> ואז בגלל ש- <math>x</math> שואף ל-0, גם <math>px</math> שואף ל-0 מה שאומר שגם <math>\frac{\sin(px)}{px}</math> שואף ל-1.
ואז כביכול היה יוצא 0 כי שני השברים מצמצמים אחד את השני.
==שאלה==הבעיה היא במה שאמרתי על <math>\sin(px)</math> ו- <math>px</math> כי בדקתי במחשבון ושם זה נתן תוצאה אחרת.
אני לא בטוח במשהו: במבחן ד'אלמבר , כתוב במייזלר שהטור מתבדר אם החלוקה גדולה או שווה ל 1לכן רציתי לדעת איך לפתור את זה באמת. אני זוכר שהמתרגל פעם קיבל שהחלוקה שווה ל 1 אבל אמר שזה לא אומר כלום. אז מה נכון? תודה
===תשובה===
אני אסביר. אם <math>\forall n : \frac{a_{n+1}\sin(px)}{a_npx}\geq xrightarrow[x\to0]{}1</math> . קל לראות את זה אומר שהסדרה מונוטונית עולהלפי היינה. מכיוון שהיא חיוביתאם <math>x_n</math> סדרה ששואפת ל-0 אזי גם <math>\frac{x_n}{p}</math> סדרה ששואפת ל-0, זה אומר שהיא בהכרח לא פשוט תציב בפונקציה ותקבל שבזכות ש- <math>\frac{\sin(x)}{x}</math> שואף ל-1, שגם הפונקציה הזו על הסדרה הנ"ל שואפת לאפס ולכן הטור מתבדרל-1. (לא ניסחתי מדויק, אני אשאיר לך לתקן את הפערים).
לעומת זאתמצטער אבל לא ממש הבנתי איך התשובה שלך קשורה לשאלה שלי. במחשבון יוצא שהפונ' שואפת ל-1.047 (וממש המספר הזה, אם לא 1) אני אכתוב לך את מה שעשיתי ואני מקווה שתצליח להסביר לי מה היה לא נכון::<math>\lim\limits_{x\to0}\left[\frac{\pi\sin(x)-\sin(\pi x)}{x(\cos(x)-\cos(\pi x))}\right]</math> זה שווה ל::<math>\lim_{nx\rightarrow to0}\inftyleft[\frac{\pi\sin(x)}{x(\cos(x)-\cos(\pi x))}-\frac{a_\sin(\pi x)}{n+1x(\cos(x)-\cos(\pi x))}\right]</math> ששווה ל::<math>\lim_{x\to0}\left[\frac{a_n\pi}{\cos(x)-\cos(\pi x)}-\frac{\pi\sin(\pi x)}{\pi x(\cos(x)-\cos(\pi x))}\right]</math> ששווה ל::<math>\lim_{x\to0}\left[\frac{\pi}{\cos(x)-\cos(\pi x)}-\frac{\pi}{(\cos(x)-\cos(\pi x))}\right]=10</math> וזה אמור להיות 0 זהותית (כלומר ממש 0, לא ניתן לדעת אם הטור מתכנסשואף ל-0...) ===תשובה===דבר ראשון, משמע יש דוגמאות לשני הכיווניםאסור בתכלית האיסור, להחליף באמצע התרגיל את חלק מהגבולות למספר אליו הם שואפים. הטור ההרמוני אחרת <math>1^\sum infty</math> תמיד שווה 1 למרות שאנחנו יודעים שהוא יכול להיות e. ושוב, הייתי פותר את זה באמצעות כלל לופיטל, ולא בטוח איך אפשר אחרת. אוקי, אז נניח שהייתי מכניס את ה- <math>\lim</math> גם לשבר השני.. אני עדיין לא מבין למה זה לא היה עובד (ותודה שאתה ממשיך לענות לי למרות החפירה..) :מה הכוונה מכניס <math>\lim</math> לשבר השני? אסור לך להחליף במספר, אתה נשאר עם אינסוף פחות אינסוף ולא מצליח לחשב. לא יהיה לך זהותית 0. אסור לך למחוק את <math>\frac{1\sin(x)}{nx}</math> מקיים אז זה מה שאני לא מבין, למה אסור למחוק את התכונה הזו ומתבדר<math>\frac{\sin(x)}{x}</math> הרי זה אמור להיות 1 כש- <math>x\to0</math> :כמו שאמרתי, לפי ההגיון הזה, ואילו הטור גם <math>\sum left(1+\frac{1}{n^2}\right)^n=1</math> מקיים את התכונה הזו ומתכנס (כי <math>1+\lim_frac{1}{n}\rightarrow to1</math> . במקרה זה, יש לך <math>1\cdot\infty}-\infty</math> אסור להשתמש באריתמטיקה של גבולות במקרה זה. דוגמא נגדית פשוטה יותר: <math>\frac{n^2+1}{(n+1)^2}=\cdot n-\frac{n-1}{n}\cdot n</math>בשיטה שלך זה 0 זהותית. במציאות, זה שווה בדיוק 2. הבנתי. תודה רבה! (וסליחה על החפירה הארוכה, שוב)
==שאלה==
איך רציתי לבדוק אם אני מראה שלמשוואה tg צודק: דורשים למצוא נקודות אי-רציפות וסיווגן בפונקציות הבאות: 1) <math>\frac{\cos(x = )}{|\cos(x )|}</math> 2) <math>\frac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{2+\sin\left(\tfrac{2}{x}\right)}</math> בשתיהן יצא לי 0 אי-רציפות סליקה. זה נכון? ===תשובה=== בראשון 0 '''אינה''' נקודת אי-רציפות בכלל... יש אינסוף פתרונות ממשייםכמובן נקודות אי-רציפות אחרות, והן תמיד ממין ראשון. שים לב שהפונקציה הזו היא פשוט 1, 1- או לא מוגדרת. בשני זה נכון, וזו אכן נקודת אי-הרציפות היחידה. כן, בראשון התבלבלתי..תודה רבה! ==שאלה==אפשר בבקשה עזרה בתרגיל?צריך לבדוק האם <math>y=\cos\big(\log(x)\big)</math> רבמ"ש בקטע הפתוח <math>(0,-\infty)</math> . אני לא ממש רואה את זה... (אין גבול בשאיפה ל- <math>0^+</math> , אז ניסיתי להראות ע"י שתי סדרות שואפות ל-0 שאין רבמ"ש, לא ממש הולך לי...)
===תשובה===
מה לא הולך? <math>\lim_{x\rightarrow \fracx_n=e^{\pi}{-2} +\pi kn}tgx - x= \lim_{x,\rightarrow \frac{\pi}y_n=e^{-2} +\pi kn}\frac{sinx}{cosx} - x = \pm \infty</math>. שתי הסדרות שואפות ל-0, ולכן המרחק ביניהן שואף ל-0. אבל הפונקציה עליהן שווה 1 או 1-.
ולכן לפי משפט ערך הביניים כל ערך ממשי מתקבל בין השאיפה לאינסוף ומינוס אינסוף, וזה קורה אינסוף פעמים (לכל kזה לא כותב השאלה). בפרטאפשר פשוט לומר שהגבול באפס לא קיים, לכן הפונקציה לא רבמ"ש ב- <math>(0 מתקבל אינסוף פעמים, ולכן 1)</math>tgx=xוכמובן שהיא לא רבמ"ש ב- <math>(0,\infty)</math> אינסוף פעמים, לא?:(זה לא ארז) אני חושב שאסור, כי אז לפי מה שאתה אומר בגלל שלא קיים לsin x גבול באינסוף אז היא לא רבמ"ש... ::בכל מקרה, הדרך היחידה להוכיח שהגבול אינה קיים היא באמצעות הסדרות, כך שלא חסכת עבודה. באופן כללי, אפשר להוכיח שאם הגבול אינו קיים בצד הסופי, אזי הפונקציה לא רציפה שם במ"ש. זה נכון כי יש 2 אופציות: או שיש 2 סדרות ששואפות לצד הסופי (נגיד a) והפונקציה שואפת עליהן לגבולות שונים (וזה אוטומטית יוצר סתירה לרציפות במ"ש), או שיש סדרה ששואפת לאינסוף ואז הפונקציה אינה חסומה על קטע חסום, ולכן אינה רציפה במ"ש. אבל כמו שאמרתי, כך או כך זה דורש את בניית הסדרות. :לאדע, לא עולה לי כל כך מהר הדוגמאות להפרכה. תודה בכל מקרה! יש לי עוד שאלה ממש קטנה, אני מנסה להוכיח שכשX שואף ל0, אז ln sin x / ln x שואף ל1. :האם מותר לי להגיע לזה באמצעות המשפט של sin x / x =1 ? כי אז אני מכפיל בX, מפעיל LN על שני האגפים, מחלק בLN X ומקבל את הדרוש... תודה לעונה! אסור. אין משפט שsinx/x=1 יש משפט שאומר שזה שואף לאחד... אבל לכפול בx זה כמו לכפול באפס וזה בוודאי אסור (אריתמטיקה של גבולות לא עוזרת פה). אפשר לפתור באמצעות כלל לופיטל, כמו שאמרתי אני לא יודע אם זה בחומר או לא. זה לא בחומר, תודה בכל מקרה.!
==שאלה==
האם פונ' חח"ע ועל יש משהו שנורא מבלבל אותי.נניח שיש לי את הפונקציה: <math>f(x)=e^{lnx}</math> מצד אחד הנגזרת שלה היא מונוטונית1, כי היא שווה ל-X מצד שני, אם אני מתעלם מהעובדה שהדבר הזה הוא X ואני גוזר רגיל אני מקבל שהגזרת היא 1 חלקי X.מה עושים??? דרך אגב, ארז כתבתי לך בחזרה משהו בשאלה של ה- <math>\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin(\pi x)}{\pi x}</math>אז בבקשה תענה לי.
===תשובה===
רציפה או לא? קח את לומדים לגזור!<math>[e^{lnx}]' =e^{lnx} \cdot \frac{1}{x על הרציונליים, ו2x על האי רציונליים, חח"ע ועל ואינה מונוטונית. }=\frac{x}{x}=1</math>
אם חח אופס, סליחה. ==שאלה - רבמ"ש==נכון, חפרנו על הנושא למרות שתהיה מקסימום שאלה אחת על זה במבחן, ובכל זאת:נניח שאני רוצה להוכיח ש- f(x)=xsinx רבמ"ש. האם מותר לי לקחת x,y שמקיימים <math>|x-y|<d</math> ולומר :<math>|xsinx-ysiny| \le |2x-2y| < 2d</math>(מהסיבה שפונק' הסינוס חסומה ע"י 1 ו-1-) ? ===תשובה===בוודאי שלא. למשל <math>x=2000\pi, y=2000\pi + \pi/2, d = \pi/2</math> אז יוצא ש<math>|xsinx-ysiny|= 2000\pi + \pi/2</math> הטריק הוא בגדול לקחת <math>x_1=x,x_2=x+h</math> ולפתח לפי נוסחאות טריגונומטריות. ==שאלה - טורים==ישבתי על זה הרבה ולא הצלחתי X::נתון שיש טור המוגדר ע"י סכום הסדרה an ובדומה סכום המוגדר ע"י סכום הסדרה bn:ידוע שסיגמא AN זה A וסיגמא BN זה B:מגדירים סדרה חדשה, CN שבמקומות האי זוגיים היא רציפהמקבלת את b1, b3,b5.... ובמקומות הזוגיים היא חייבת להיות מונוטונית מקבלת את a1,a2,a3,...:האם סיגמא CN מתכנס? ===תשובה===לא של ארז:מקווה שזה נכון:סכום האי זוגיים של הסדרה b מתכנס לפי משפט ערך הביניים (תרגיל) ואפילו קריטריון ההשוואה, הסכום של a כמובן מתכנס לפני הנתוןולכן סכום טורים מתכנסים הוא מתכנס. :מבחן ההשוואה נכון לטורים חיוביים בלבד. והתשובה היא בוודאי לא צריך , אם לא נתון שהטורים חיוביים. לוקחים את העלהטור הקלאסי להתכנסות בתנאי <math>b_n=(-1)^n/n</math> ולוקחים כל טור מתכנס אחר להיות a_n...
==שאלה==
נניח שיש לי פונקצייה שמוגדרת בתחום x>a, ובדיוק בנק' x=a יש אי-רציפות בצורה שאלה מהמבחן של 'אסימפטוטה' - האם זו אי רציפות מסוג ראשון, או שני?ראובן שנה שעברה שלא הצלחתי:
תהי an סדרה מתכנסת כך ש: <math>s={an: n - belong - to - N}</math> כאשר N זה המספרים הטבעיים. ואומרים ש-s היא קבוצה סופית.
צריך להוכיח שהחל מ-N מסויים, לכל n,m שגדולים ממנו, an=am.
זה נראה לי נכון אבל אני לא יודע איך לכתוב את זה בצורה מתמטית.
===תשובה===
מה זה צורה של אסימפטוטה. ההגדרה מאד מאד פשוטה:
אי רציפות סליקהS הינה קבוצת כל האיברים בסדרה, והיא סופית. כלומר איבר בסדרה יכול להיות אחד מתוך מספר סופי של איברים (איבר מתוך S). כעת, נגדיר את קבוצת ההפרשים <math>D=\{|s_1-s_2| : s_1,s_2 \in S, s_1\neq s_2\}</math> מכיוון שS סופית גם D סופית ולכן יש לה מינימום. נגדיר <math>\epsilon = Min(D)/2>0</math>. כעת, לפי תנאי קושי, קיים גבול סופי בנקודה<math>n_0</math> כך שלכל <math>n,m>n_0</math> מתקיים <math>|a_m-a_n| < \epsilon</math> אבל אם <math>a_n \neq a_m </math> אזי <math>|a_m-a_n| \in D</math> אבל <math>|a_n-a_m|<\epsilon < Min(d)</math> וזו סתירה. :סבבה תודה!
אי רציפות ממין ראשון: קיימים גבולות חד צדדיים סופיים בנקודה===מבחן של ראובן===איפה יש את המבחן שלו משנה שעברה?
אי רציפות ממין שני: כל מצב אחרבאתר של גיל
איפה זה, אפשר קישור?
http://math.ipnet.co.il
הדבר היחיד שאני לא בטוח לגביו, באמת בהקשר השאלה שלך, הוא מה קורה כאשר מדברים על פונקציה בתחום הגדרה מסוים. כלומר, מה היא האי רציפות של פונקציה <math>\frac{x}{\sqrt{x}}</math> בנקודה אפס. מצד אחד לפי ההגדרה שרשמתי למעלה זה מין שני כי לא קיים הגבול החד צדדי משמאל. מצד שני, אם נחליף את הנקודה ב0 נקבל פונקציה רציפה ב(אינסוף,0], אז זה נשמע כמו סליקה. אז אני באמת לא בטוח מה ההגדרה במקרה כזה.תודה
==שאלה==
איך אפשר להוכיח שאם יש לי סדרה : <math>a_n</math> המתכנסת ל-0, אזי : <math>\frac{\sum_{n=1}^{\infty}{a_n}}{n} = 0</math> באחת משאלות האתגר שנתתם (כלומר הוכחה לפי הגדרת הגבולזאת עם הגבולות החלקיים שכוללים את כל הממשיים) , מותר לי פשוט להגיד ש-an היא הספירה של Q?אנחנו יודעים שאפשר לספור את Q אבל האם זה מספיק להסתמך על זה שקיימת ספירה כזאת ואז לרשום שנק' ההצטברות של Q הן כל R ולכן אלו הם הג"חים?
===תשובה===
השאלה היא האם משם אתה יכול להוכיח שכל מספר ממשי הוא גבול חלקי של הסדרה הנ"ל. אין משפט על הקשר שבין נקודת הצטברות של קבוצה, לבין הגבולות החלקיים של סדרה המכילה את איברי הקבוצה. האם הסדר לפי תבנה את הסדרה משנה? :אוקיי.. יש טעות בשאלהלי סדרה אחרת שנראה לי שהיא תעבוד. הרי הטור בוודאי את כל שאר תרגילי האתגר הצלחתי לפתור (חוץ מזה שדורש שימוש בקורס אחר שאין לי מושג מה לעשות שם חוץ מזה שאני בטוח כמעט לגמרי שזו הפרכה..) ::תשלח לי למייל בקצרה, אני אגיד לך אם צדקת. אגב, מתי המבחן שלכם? :::המבחן שלנו מחר :S ::::הא, בהצלחה.. יכול להיות שאני אהיה מחר באוניברסיטה.. אבל זה כבר לא חייב להתכנסיעזור לאף אחד :) ==שאלה==הוכח שאם f גזירה ב-(a, ולכן אין הגדרה כלל לחלוקה הנ"לb), ובפרט אין גבולונגזרתה חסומה בקטע, אזי f רבמ"ש שם.(WTF?!)
===תשובה===
לא הבנתי איך זה קשור שהטור לא מתכנסנניח בשלילה שהיא אינה רציפה במ"ש, לכן קיים אפסילון, כך שלכל דלתא קיים זוג x,y כך שהמרחק בינהם קטן מדלתא, אבל המרחק בין f(x) לf(y) גדול מאפסילון.ולכן <math>\frac{f(x)-f(y)}{x-y} > \frac{\epsilon}{\delta}</math>..בכל מקרה מה שרשמת זה ההממוצע החשבוני של ניקח <math>\ a_n delta_n = \frac{1}{n}</math>וניקח את הזוגות המתאימים <math>x_n,והוכחנו בהרצאה שהממוצע החשבוני y_n</math>. אלה סדרות חסומות ולכן ניתן לקחת תת סדרה של <math>\ a_n x_n</math> מתכנס לאותו גבול כמו שמתכנסת, ואז תת-תת סדרה של y_n שמתכנסת וביחד נקבל שתי סדרות מתכנסות <math>\left\x_{a_n\right\n_k}_,y_{n=1}^{\inftyn_k}</math> לכן אם ומכיוון שהמרחק ביניהן הולך וקטן הן מתכנסות לאותו הגבול של , נקרא לו L. אבל אז <math>\left\frac{a_n\right\f(x_{n_k}_)-f(y_{n=1n_k})}^{|x_{n_k}-y_{n_k}|} > \inftyfrac{\epsilon}{\delta_{n_k}}</math> הוא 0 כלומר שואף לאינסוף, אבל זה גם הגבול של הממוצע החשבוני :חסום על ידי קבוע כפול הנגזרת (לפי תרגיל אחר שנתנו לכם)וזו סתירה.
:: אתה יכול בבקשה להסביר למה הכוונה ב"זוגות המתאימים Xn Yn" - הכוונה היא לאותן סדרות שעזרו לך להוכיח או להפריך משהו בהרבה תרגילים אחרים בעמוד זה?
:: ועוד משהו, למה הכוונה חסום ע"י קבוע כפול הנגזרת?
מוכיחים את המשפט של השוויון בין הגבולות (בצורה כללית) בעזרת משפט שטולץ.
http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9E%D7%A9%D7%A4%D7%98_%D7%A9%D7%98%D7%95%D7%9C%D7%A5#.D7.A0.D7.99.D7.A1.D7.95.D7.97_.D7.94.D7.9E.D7.A9.D7.A4.D7.98
הטעות היא שלפי מה שכתבת, זה נראה כאילו דיברת על סכום של הטור האינסופי עד אינסוף (כאיבר אחד) נחלק ל-n (שהוא מה שרץ) ואז כמו שנאמר, זה לא ממש מוגדר". וכמו שאמרו.. כך שלכל דלתא קיים זוג x, ההוכחה בעזרת שטולץ היא די פשוטהy..." הזוג הזה.:אפשר גם להוכיח בעזרת סנדוויץ'? לומר שהביטוי גדול שווה מסדרת המינימומים וקטן שווה מסדרת המקסימומים, שהם תתי סדרה של an ולכן הגבול שלהם הוא 0, ולכן גם הביטוי שואף ל0?חסום ע"י הכוונה "קטן מ.."
==שאלה==
בתחילת הקורס נאמר שיש חובת הגשה של 80 אחוזנניח שאנחנו מקבלים פונקצייה כמו: <math>cos\frac{1}{ln(x^2)}</math> . לא הגשתי את התרגילים 7האם מצפים מאתנו להתייחס אליה כמוגדרת גם ב-x<0 (כפי שהיא כתובה),8 מפני או ללכת צעד אחד קדימה ולהפוך את זה ל: <math>cos\frac{1}{2lnx}</math> ? שאלה נוספת - כדי להוכיח שלא יכלתי להגיע לאוניברסיטה בזמן חופשת הסמסטר. קיים גבול בנק' x=1, במקרה זה, האם אי הגשת שני תרגילים אלה יורד מותר לי ציוןלהשתמש בנימוק המילולי הבא (? ):הפונקצייה מבצעת אינסוף מחזורים בכל סביבה של x=1, לכן הגבול לא קיים.אם לא, איך אחרת אפשר להגיש אותם גם ביום ראשוןלנמק את אי-קיום הגבול בנק', בלי פשוט לומר שהפונק' שבתוך ה-cos שואפת לאינסוף? ===תשובה===כמובן שהיא מוגדרת באפס. לא עושים שום צעדים קדימה או אחורה. זה כמו שx/x אינה מוגדרת באפס. לא, תקרא את הדוגמאות האחרות (כמעט זהות) בנושא. בונים 2 סדרות ששואפות ל1 אבל הפונקציה עליהן הולכת לפלוס אחד או מינוס אחד ולכן אין גבול לפי היינה.
==שאלה==
תהי סדרה an. אם הגבול של an^2 קיים ושווה למס' ממשי כלשהו, מה זה אומר לי לגבי הגבול של an? הוא לא חייב להיות קיים, האם זהו משפט נכון? אבל במידה וכן: הוא יכול להיות פלוס מינוס השורש של הגבול הנM = SUP A אם"ל, ואלו האפשרויות היחידות, נכון?ם לכל e>0 קיים a ששייך לA כך ש M-e<a
===תשובה===
בדיוק. תמיד התת סדרה המורכבת מהשליליים של an תתכנס למינוס השורש, ותת הסדרה של החיוביים תתכנס לשורש. אם המספר הינו אפס, אז גם an תתכנס בהכרח לאפס.
:מגניב. אבל שוב, זה לא דורש שיהיה קיים גבול לan נכון?
::אם יש סדרות חלקיות שמתכנסות לגבולות שונים ברור שאין גבול. וכמו שאמרתי, אם הגבול המקורי הוא אפס אז כן חייב להיות הגבול אפס גם של an.לא מדוייק
M=supA אם"ם '''M חסם עליון''' וגם e>0 קיים a ששייך לA כך ש M-e<a M חסם עליון אומר M גדול מכל האיברים בקבוצה, והתנאי עם האפסילון נותן את המינימליות של M. אם הוא לא היה מתקיים, אז M-e היה חסם עליון קטן יותר. == שאלה ==מה המשמעות האינטואיטיבית/גאומטרית של רציפות במידה שווההאם הפו' 1 חלקי n רציפה בקטע [0,1) ? ורבמ"ש?
===תשובה===
מה היא רציפות? רציפה שם, ברור, זה פונקציה הינה רציפה אם הגבול שלה בנקודה הוא הערך שלה בנקודהחלקי רציפה, כלומר שבכל נקודה היא שואפת לערך שלה בנקודהכאשר הפונקצה במכנה שונה מאפס.
מידה שווה יכולה לדבר על גבולות באופן כלליהיא אינה רציפה שם במ"ש כי היא אינה חסומה שם. המילה ופונקציה שרציפה במ"מידה" מתכוונת למהירות ההתכנסותש על קטע <s>סגור</s> חסומה בו. כלומר כמה מהר הפונקציה מגיעה לגבול שלה בנקודה:אבל זה לא קטע סגור, הוא חצי פתוח O:::שגיאה שלי, הכוונה הייתה לקטע '''חסום''' ולא סגור. ואיך ניתן למדוד מהירות התכנסות? פונקציה רציפה במ"ש על ידי כמה קטן הדלתא שנדרש על מנת שהפונקציה תהיה במרחק אפסילון מסויים מהגבולקטע '''חסום''' חסומה בו.:::זאת אומרת שהפעם היחידה שאנחנו צריכים ממש להפריך את הרבמ"ש שלא ע"י משפט, זה כשהיא רציפה והגבול באינסוף או מינוס אינסוף אינו קיים?::::לא.לפני שנייה הייתה דוגמא של coslogx
כעת, המילה "שווה" אומרת שה"מידה" כלומר מהירות ההתכנסות שווה בכל נקודה בקטע בו תודה רבה :) ==הוכחת משפט ערך הביניים==במייזלר יש רציפות במידה שווההוכחה שמשתמשת בטענת עזר שקשורה בחיתוך עם ציר ה-x של הפונקצייה. כלומרלמה לא לפשט את זה להוכחה כזו (האם היא תקינה?):תהי f רציפה ב-[a, לכל אפסילוןb], קיים דלתאאזי אם <math>f(a)<y<f(b)</math> נבנה סדרת קטעים <math>I_n=[a_n,b_n]</math> כך ש- <math>f(a_n) \le y \le f(b_n)</math> , כאשר <math>I_1=[a,b], I_n=[a_n,b_n]</math>, ו-<math>c_n</math> מוגדרת: <math>c_n=0.5(a_n+b_n)</math>, כך שאם ניקח מסדרון באורך דלתא איפשהו על ציר x<math>f(c_n)\le y</math> נגדיר <math>I_{n+1}=[c_n, הפונקציה לא תצא בתוכו ממסדרון באורך אפסילון בציר b_n]</math>, ואחרת <math>I_{n+1}=[a_n,c_n]</math> . לפי קנטור קיימת נק' יחידה <math>x_0</math> באמצע כך ש- <math>lim(a_n)=lim(b_n)=x_0</math> , ובגלל הרציפות של f נקבל ש- <math>f(a_n)</math> ו- <math>f(b_n)</math> שואפים להיות y. ובמילים ===תשובה===זו הוכחה נכונה, אמנם חסרת כמה פרטים, הפונקציה מתכנסת פחות או יותר באותה מהירות לגבול שלה בכל נקודה בקטעאבל נכונה.
==שאלה==
האם יש דרך למדוד למה מתכנס הטור <math>(-1)^n*1/n</math>?ארז באחת השאלות למעלה אמרת:"אפשר להוכיח שאם הגבול אינו קיים בצד הסופי, אזי הפונקציה לא רציפה שם במ"ש."
ועוד שאלה לא קשורה: זה ארז שעוזר לנו כאן אבל כפי שמישהו מעלייך אמר, אז sin רציפה במידה שווה בכל השאלות או המתרגלים האחרים באינפי?R ואין לה גבול באין-סוף
יש לי דה ז'ה וו שמישהו עונה לי ואומר לי כן אבל לא אומר לי איך, אז בבקשה תגידו גם איך :)באיזה מובן אינסוף הינו "צד סופי"??
:כן. (זה שארז עונה. ואני באמת לא יודע איך הוא :אופס, הלחץ מהמבחן עושה את זה D: )שלו. במחשבון אני מקבל שהוא שווה ל-(-0.69),
::כן אבל התכוונתי לתשובה ממש עם נוסחאות ומשפטים..אם כבר הגענו לנושא הזה::: א) אין אריתמטיקה בין פונקציות רבמ"ש נכון?, לדוגמא כפל פונ' שהן רבמ"ש (נגיד בקטע [a,b]) לא יהיה בהכרח רבמ"ש נכון?:: ב) איך מוכיחים ש-sin רבמ"ש ע"פ הגדרה (בלשון דלתא ואפסילון)? (מה הטריק השם, איזה איקסים לוקחים?)
==שאלה - קיום גבול חד-צדדי==
איך אפשר להפריך קיומו של גבול חד צדדי? למשל, בפונקצייה sin(1/x) : האם מותר לי לומר שהגבול החד צדדי של 0 מימין שווה ממש לגבול של sin(x) כאשר x שואף לאינסוף, אם קיים?
===תשובה===
עושים את זה באלגנטיות באמצעות סדרות והגדרת הגבול לפי היינהא.יש חצי אריתמטיקה. כפל אין (x כפול x) אבל חיבור יש כמובן. בנוסף יש הרכבה, הרכבה של רציפות במ"ש הינה רציפה במ"ש
לוקחים שתי סדרות <math>0\leq x_n,y_n \rightarrow 0</math>ב. אם היה גבול חד צדדי מימין, לפי היינה תרגיל כללי הוא להוכיח שכל פונקציה שרציפה על כל הממשיים ומחזורית הינה רציפה במ"ש. סינוס זה מקרה פרטי של המשפט הגדול הזה. בצורה דומה <math>f(x_n),fe^{(y_nsinx) \rightarrow L^2}</math> כאשר L הינו הגבולהינה רציפה במ"ש למשל. אבל אנחנו נבנה סדרות כך שאחרי הפעלת הפונקציה עליהן נגיע לגבולות '''שונים''' בסתירה להגדרה הגבול לפי היינה.
הסדרות במקרה :: ב-ב' זה הינן בגלל ש-sin רציפה בקטע סגור, ואז היא רבמ"ש בו, ובעצם בגלל שהיא מחזורית אז זה מעיין איחוד אין סופי של אותו הקטע נכון?
<math>x_n = \frac{1}{\frac{\pi}{2}+2 \pi n}</math>ובדוגמא שנתת - איך מוכיחים שהפונ' הזאת מחזורית?
<math>y_n = \frac{1}{-\frac{\pi}{2}+2 \pi n}</math>
וכמובן ש :::לכל פונקציה מחזורית זה נכון. צ"ל להוכיח את זה במדויק, אבל מה שציינת זו אכן הדרך.::: פשוט מציבים <math>x+2\forall n: f(x_n)=1,f(y_n)=-1pi k</math> עבור <math>fורואים מיידים שזה שווה לערך של x לכל x ::::אוקי, תודה :)=sin=שאלה==שני דברים:א) צריך להוכיח במבחן שפונקציה רציפה ומחזורית היא רבמ"ש בכל פעם שמסתמכים על זה? אפשר לתת כאן הוכחה ליתר ביטחון?ב) ארז, אתה יכול להעלות פתרונות לשאלות אתגר? מחר (\frac{1}{x}חמישי)</math>המבחן ומעניין אותי לדעת איך לפתור את השאלה שקשורה לקורסים אחרים...
==שאלה - רציפות במידה שווה==
היום בתרגול עם ראובן הוזכר משפט על רציפות במידה שווה שמעולם לא שמעתי עליו, לא מצאתי אותו בהרצאות או בספר : אם f רציפה, וקיים עבורה גבול סופי כש-x שואף לפלוס\מינוס אינסוף (שניהם קיימים), אזי f רציפה במידה שווה.
מאיפה הגיע המשפט הזה? ולמה הוא נכון?
:תיקון - מצאתי אותו, והוא מנוסח כך : f רבמ"ש בקטע (a,b) <==> הפונק' f רציפה בקטע זה, וקיימים גבולות חד צדיים ל-a ו-b. השאלה שלי היא : הוא גם עובד עבור a או b שהם אינסופיים, נכון? ודבר שני, אם קיים גבול שהוא אינסוף לפונק' כאשר היא שואפת ל-b, למשל (לאחד מהם) - האם זה בהכרח סותר את רבמ"שיות הפונקצייה?
===תשובה===
אני לא יודע על מה מותר או אסור לכם להסתמך. אבל ההוכחה הולכת ככה: אתה מחלק את כל הממשיים לקטעים באורך המחזוריות, על כל קטע סגור וחסום הפונקציה רציפה במ"ש. עכשיו, כל שתי נקודות מספיק קרובות יכולות להיות במצב אחד מבין שניים: או ששתיהן באותו קטע, או שהן בקטעים חופפים. לכן נחלק גם את הממשיים לקטעים באורך פעמיים המחזוריות, וגם שם הפונקציה רציפה במ"ש. ולכן ניקח את הדלתא המינימלי בין זה של פעמים הקטע וזה של הקטע, וכל שתי נקודות שקרובות עד כדי הדלתא הזה, יהיה קרובות עד כדי האפסילון.
אני אשתדל להעלות פתרונות, לא בטוח שאני אספיק מלאים, אבל לפחות אני אתן את העיקר
== שאלה ==
ארז איך מוכיחים ש <math>\frac{x}{e^x+1}</math> רבמ"ש?
:היא לא רבמ"ש, אמנם כשהיא שואפת לאינסוף יש לה גבול והוא 0, אבל כשתשאיף אותה למינוס אינסוף היא תשאף למינוס אינסוף.
::המשפט בבדיקת אינסוף ומינוס אינסוף הוא לא אם"ם, אלא רק כיוון אחד. היא אפילו כן רבמ"ש, כי היא רבמ"ש בצד החיובי של ציר הx, ובצד השלילי הוא מתנהג כמו x שהוא לינארי ולכן רבמ"ש. (לא הוכחה פורמלית)
:::אפשר בבקשה הוכחה פורמלית
::::צודק ברעיון של הבדיקה של האינסוף, אבל לא הבנתי למה אתה אומר שבצד השלילי הוא מתנהג כמו x לינארי - הוא הרי שואף למינוס אינסוף בצורה קיצונית, יותר מהר מכל פונקצייה אחרת (אם לא הייתי יודע שזה מוגדר הייתי בטוח שזו אסימפטוטה).
:::::לא, כי במינוס אינסוף המכנה שואף ל1 והמונה הוא x. כלומר ככל שהוא מתקרב למינוס אינסוף, הוא מתקרב (שואף) לx.
:::::בנוסף, ההוכחה הפורמלית רק אפשרית ישירות מההגדרה עם אפסילון ודלטא.
:::::: רגע, אז אפשר לחלק את זה לשני קטעים אפס עד איןסוף ומינוס אינסוף עד אפס ולהגיד שבראשון היא רציפה במ"ש בגלל גבולות בקצוות, ובשני היא מתנהגת כמו הגרף של X, ואז רק נותר להראות מה קורה אם לוקחים X1 מקטע אחד ו-X2 מהקטע השני?
:::::::בעקרון כן, אבל זה לא כל כך פורמלי. הכל מסתמך על זה שאם פונקציה רבמ"ש בשתי קטעים אז היא רבמ"ש באיחוד שלהם. זה נראה נכון הגיונית, אבל אני לא בטוח שמותר להשתמש בזה במבחן.
::::::::אבל בגלל זה אמרתי שרק צריך לבדוק מה קורה אם X1 מהקע הראשון וX2 מהקטע השני -זאת הבדיקה של האיחוד. אבל האם יש "מבחן השוואה" לרציפות במ"ש? כי אם לא אז איך אני יכול להגיד שמתחת ל-0 הפונ' מתנהגת כמו X? הרי היא מתנהגת בין X/2 ל-X (אמנם שתיהן רציפות, אבל בגלל זה שאלתי על מבחן ההשוואה)...
::::::::: (מישהו אחר) ארז קראתי את מה שנכתב פה, אתה יכול להגיד בקצרה מהי הדרך לומר שזה אכן רבמ"ש (או להפריך את זה..)?
:::::::::: אני לא ארז, אבל שוב: אפשר להוכיח ישירות לפי הגדרה עם אפסילון ודלטא.
::::::::::: אני שוב לא בטוח איך הכוונה לפתור את השאלה, כי יש דרכים בעזרת נגזרות (כמו ששאלו באתר, אם הנגזרת חסומה הפונקציה רציפה במ"ש) אבל לא למדנו את המשפטים האלה, לכן אני לא יודע מאיפה השאלה ובאיזה שיטה צריך לפתור...
== תודה! ==
ארז, אמרנו את זה כבר בלינארית, אבל אתה ממש בן אדם מדהים! לא הייתי מצפה מהמתרגל הכי טוב שיעזור לקבוצה בקורס שהוא לא מלמד, ובטח ובטח לא בכל כך מסירות! תודה רבה על כל העזרה והתמיכה (והאתגרים :P) והלימוד המצויין! בבקשה תתרגל אותנו אינפי 2! אין לי (ולכולנו) מילים להודות לך!
איך להגיד את זה שיינר, אם היית וקטור, לא היה אפשר לנרמל אותך כי אתה פשוט לא נורמלי!
אם היית פונקציה, היית שואף לאינסוף בכל סביבה של כל נקודה
אם היית קטע, היית כל הישר.
1. אם פונקציה רציפה ב(aהיית מצחיק אחי אולי ההיתי צוחק*ואם לא היה לך כזה קטן אולי לא היית צריך לרדת על אחרים בשביל לצאת גבר,bאחי ;) ואחד מהם או שניהם הוא אינסוף אבל יש לה גבולות בקצות הקטע היא רציפה במ"שבוא בוא תסביר את עצמך כי וואלה לא הבנתי . בצד הסופי.*עזוב, נניח aעזוב, זה אומר שניתן להשלים אותה לפונקציה רציפה בקטע (aאי הבנה,b]. בצד האינסופי, אם לפונקציה יש גבול זה אומר שהחל ממקום מסוים M המרחק שלה מהגבול קטן מאפסילון, ובפרט המרחק בין כל שני <math>f(x_1),f(x_2)</math> קטן מפעמים אפסילון, ללא תלות כלל במרחק בין <math>x_1,x_2</math>. לכן מפרידים את הפונקציה ל<math>[a,M]</math> שזה קטע סגור וחסום לכן הפונקציה רציפה בו במ"ש ולכן יש דלתא לאפסילון ו<math>[M,\infty)</math> שם ראינו שהמרחק קטן מפעמים אפסילון בלי שום קשר לדלתא, ולכן הפונקציה רציפה באיחוד הקטעים במ"ש. אם שני הצדדים אינסופיים מחלקים את הפונקציה לשלוש וההוכחה דומה.הכל
:: ארז כל הכבוד! אבסורד שאתה המתרגל שהכי עזר לנו בקורס הזה
:: אני גם מעדיף שתתרגל אותנו באינפי 2
:: בסופו של דבר הוא כן מתרגל (של קבוצה א') :)
2. אם בצד הסופי הגבול הינו אינסוף הפונקציה אינה רציפה במ"ש, מכיוון שלפי משפט אם f אינה חסומה בקטע חסום אזי היא אינה רציפה שם במ"ש. אם הגבול הוא אינסוף באינסוף אי אפשר לדעת כי <math>x</math> הינה כזו, והיא רציפה במ"ש, ואילו <math>x^2</math> אינה רציפה במ"ש.== הכרזה ==יש ציונים!!!
:תודה רבה, הבהרת לי את העניין בצורה מלאה - עכשיו הצלחתי לטפל בכ"כ הרבה תרגילים שלא הצלחתי קודם, ואיכשהו באותם תרגילים שיוצא ששואף לאינסוף באינסוף - ההוכחה צריכה להיות בצורה פורמלית והיא מסתדרת בקלות!
::בשמחה== שאלה ברציפות במידה שווה ==שלום, רציתי הוכחה בבקשה לתרגיל ברציפות במידה שווה. שים לב רק לנקודה חשובה (זלצמן מטעה בה בכוונה תמיד) אם הפונקציה אינה רציפה בקטע היא בוודאי אינה רציפה בו במ"ש גם אם הגבולות קיימים בקצוות. למשל <math>sin(1/x)</math> יש לה גבולות בפלוס מינוס אינסוף אבל בוודאי היא אינה רציפה במ"ש כי יש לה אי רציפות ב0. (היא גם לא רציפה במ"ש בקטע (0,אינסוף)
==שאלות גבוליות על מקרי-קיצון==*נניח שיש לי פונקצייה, כמו logx. ידוע שהיא מוגדרת רק עבור x>0, אז האם אי-הרציפות ב-x=0 נחשבת לרציפות מסוג שני? (מפני שהגבול השמאלי לא קיים)*אם יש לי פונקצייה כמו f(x)=\frac{1}{|x|} (כלומראיקס כפול סינוס איקס, יש לה 'אסימפטוטה' ב-x=0 ששואפת לפלוס-אינסוף משני הצדדים), האם מדובר באי-רציפות מסוג שני? (הגבול השמאלי והימני לא סופיים, ולכן כביכול לא קיימים?) או שאולי באי-רציפות סליקה (מה שממש לא נראה לי - למרות ששני הגבולות שווים)*אם בשאלה השנייה שלי התשובה הנכונה היא הראשונה, אז האם אפשר להסיק שבכל מקרה בו אומרים "אם קיים הגבול", בלי לומר מילה על 'גבול במובן הרחב', בכל הקשור לפונקציות\גבולות\רציפות\רבמרציפה במ"ש, מתכוונים לגבול סופי?בקטע בין מינוס אינסוף לאינסוף..
תודה רבה!!
===תשובה===
יש תשובה בדיוק על השאלות האלה בדף קח 2 סדרות<math>x_n = 2\pi n</math> ו <math>y_n = \frac{1}{n} + 2\pi n</math>. ברור שההפרש בינהן שואף לאפס, אבל <math>f(y_n) - f(x_n) = (\frac{1}{n} + 2\pi n)sin(\frac{1}{n})</math> אבל הביטוי הזהשואף ל<math>2\pi</math> ולכן בוודאי גדול מקבוע שגדול מאפס (למשל אחד) החל משלב מסויים...
*לא יודע*הגבולות חייבים להיות קיימים וסופיים.*תלוי בהקשר ובניסוח ובכוונת המשורר::תודה רבה ארז! אתה תותח!
== הלצה שאלה בקשר למשפט על רציפות במידה שווה ==חשבתי שכולנו גם זקוקים לקצת צחוק בכל הלחץ מההתכוננות לאינפי. סרטון מאוד מצחיק ומומלץ קראתי כאן וגם בהרצאה משפט שמדבר על:פונקציה שרציפה בקטע (a,b)(כאשר a ,b או שניהם הם אינסוף או מינוס אינסוף), אז אם הגבולות בהם קיימים וסופיים, הפונקציה רציפה במידה שווה.[http://wwwאם יש לי קטע פתוח בין 0 לאינסוף, ופונקציה של (סינוס של איקס) חלקי איקס בריבוע, ראיתי שהוא בודק את הגבולות באינסוף וב0 מימין, אבל בדוגמא אחרת, של סינוס של אחד חלקי איקס, בין אחד לאינסוף, הוא בדק רק את הגבול כשאיקס שואף לאינסוף.youtubeלמה הוא לא בדק את הגבול כשאיקס שואף לאחד מימין? כי הפונקציה מוגדרת באחד ולכן לא צריך לבדוק את זה? (ולעומת זאת בדוגמא הראשונה, כשאיקס שווה לאפס אז זה תחום ההגדרה ולכן צריך כן לבדוק?).com/watch#playnext=1&playnext_from=TL&videos=OWkvcRg0vkI&v=uqwC41RDPyg לחץ כאן]:מצחיק מאודושאלה אחרונה בקשר למשפט שאמרתי, אהבתי את הביצוע D: בהרצאה הוא לא ציין שa או b חייבים להיות אינסוף, האם זה נכון גם כשהם מספרים ממשיים?תודה רבה!!
==גבול של פונקצייה==
כדי להוכיח גבול של פונקצייה בנקודה, לא מספיק להראות ש''קיימת'' סדרה <math>a_n</math> ששואפת לאותה נק' וקיים גבול לסדרה המוגדרת ע"י <math>f(a_n)</math>, נכון? בעיקרון המשפט אומר ש''לכל'' סדרה התנאי צריך להתקיים. מה שכן, זה עוזר להפריך, ובדיוק בשביל זה יש לי את השאלה הבאה:
*תהי ===תשובה===<math>fsin(1/x)=(cos(2x))^{\frac{1}{x^2}}</math> רציפה באחד ולכן ברור שהגבול שם קיים ואין צורך בבדיקה נוספת. האם קיים גבול ב-x שואף ל-0, ומהו?*ד"א, אם אני רוצה להפריך קיום של גבול, האם אני יכול לעשות זאת כאשר היא לא באמצעות סדרות? *נניח שיש לי פונקצייה כמו <math>xsin\frac{1}{x}</math>, שאמנם מבצעת אינסוף מחזורים בסביבת אפס, אבל כולם שואפים ל-0 - ניתן לומר שהגבול הוא 0, נכון? רציפה (באופן כללי חייב להיות גבול, כי רציפות בנק' גוררת קיום מסיבה של גבול בה)תחום הגדרה או כל סיבה אחרת, אז יש לבדוק מה הגבול.
כן, כי אם f רציפה בקטע הפתוח (a,b) ויש לה גבולות חד צדדים בקצות הקטע, אזי '''לפי הגדרה''' f רציפה בקטע הסגור [a,b]. ואז '''לפי משפט''' f רציפה בו במ"ש.
ניתן גם להוכיח באמצעות סדרות* הבנתי לגמרי עכשיו, ואני אוכיח מידתודה ענקית!! :]
* מאיפה השאלה? אחד התלמידים שלי פתר משהו דומה בשיטות פשוטות, אבל אני רואה את השאלה וישר חושב לפתור אותה באמצעות כלל לופיטל (אני לא חושב שלמדתם)== שאלה בנושא רציפות במידה שווה ==רציתי לדעת בבקשה איך מוכיחים שהפונקציה קוסינוס של שורש של ערך מוחלט של X רציפה במידה שווה בR. לכן השאלה היא אם זה בכלל בחומר שלכם או לאאולי להפריד ל2 מקרים כשX>0 וכשX<0.. תודה רבה!!!!
*===תשובה===כןלהפריד למקרים, ואז זו הרכבה של רציפות במ"ש. את שורש איקס אפשר לפריך להוכיח לפי קושי, פשוט זה נראה לי יותר מסובך. למצוא סדרות ששואפות למספרים שונים, או סדרה שואפת לאינסוף הרבה יותר קלההגדרה באמצעת כפל בצמוד.
* אבל '''אין''' רציפות באפסהבנתי, אז בוודאי זה לא גורר קיום גבול! אבל, הגבול אכן קיים. קח סדרה ששואפת לאפס <math>x_n \rightarrow 0</math>תודה שוב ושיהיה לך לילה טוב. אזי <math>x_n \cdot sin\frac{1}{x_n}</math> הינה סדרה המורכבת מסדרה השואפת לאפס כפול חסומה! ולפי משפט מסדרות זה אומר שהגבול הינו אפס ללא תלות בסדרה (רק בעזרת העובדה שהיא שואפת לאפס) וזו הוכחה לפי היינה שהגבול הינו אפס.
==תת-סדרה של תת סדרהמשפט הערך הממוצע ==*תהי <math>a_n</math> סדרהשלום, רציתי לדעת בבקשה אם נלמד משפט הערך הממוצע בכיתה. הוכח שהיא שואפת לאפס <==> לכל תת סדרה <math>a_{n_k}</math> קיימת תת סדרה <math>a_{n_{k_j}}</math> כך שהטור <math>\sum{a_{n_{k_j}}}</math> מתכנס בהחלט.? תודה רבה :]
*הוכח או הפרך : הסדרה <math>x_n</math> מתכנסת ל-<math>x_0</math> <==> לכל תת סדרה <math>x_{n_k}</math> יש תת סדרה <math>x_{n_{k_j}}</math> שמתכנסת ל-<math>x_0</math>=תשובה===בהתחשב בעובדה שאינפי 2 כבר התחיל ובמסגרתו למדנו המשפט הזה, השאלה הזו קצת מפתיעה.
משפט הערך הממוצע הינו משפט לגרנז' ולמדנו אותו בתחילת סימסטר ב' (ולא כחלק מסמיסטר א'...)
אני אפילו * לא יודע איך לגשת לתרגילים מהסוג הזה - באילו כלים הסברתי טוב, אני יודע שהוא נלמד, השאלה אם הוא יכול להיות במבחן מועד ב' באינפי 1 אבל הבנתי שלא.. תודה על התשובה.. == תרגיל ברציפות במידה שווה ==שלום ארז, יש לי תרגיל שלא הצלחתי לפתור ואני ישמח אם תעזור לילבדוק רציפות במידה שווה של (x*cos(1/x^2 בקטע שבין (אינסוף, 0).לעניות דעתי צריך להשתמש כאןלהפריך.ועוד שאלה קטנה בקשר להפרכה: צריך לקחת שתי סדרות כך שאחד התנאים הוא שהחיסור ביניהן כשמשאיפים לאינסוף ישאף ל-0. אם הוא שווה ל-0 ולא שואף ל-0, האם התנאי הזה התקיים?(כמובן שצריך לבדוק מה קורה כשמציבים את הסדרות בפונקציה אך אני מדבר רק על התנאי הראשון).אודה לך על תשובתך!
===תשובה===
נתחיל מהראשון. הכיוון הפשוט יותר הינו שאם לכל תת סדרה יש תת סדרה שעבורה הטור מתכנס, לכן לכל תת סדרה יש תת סדרה ששואפת לאפס (טור מתכנס -> סדרה שואפת לאפס). אבל מזה נובע שכל הגבולות החלקיים הם אם החיסור בינהן שווה אפס, אחרת יש גבול חלקי שונה מאפס, יש תת אז זה אותה סדרה ששואפת אליו, וכל תת סדרה שלה גם תשאף אליו בסתירה לכך שאחת מהן שואפת לאפס. ומכיוון שכל הגבולות החלקיים הינם אפסואז בוודאי שהתנאי על כך שההפרש בין הפונקציות מופעלות על הסדרות צריך להיות גדול מקבוע, גבול הסדרה הינו בהכרח אפס (limsup=liminf)לא יתקיים.
ודווקא נראה לי שצריך להוכיח, כי הנגזרת חסומה. אני אנסה לפתור את זה מחר.
= תודה מקרב לב
==2 הגדרות ו2 שאלות ברבמ"ש==
היי ארז מה נשמע? יש לי בבקשה כמה שאלות..
בכיוון השני1) בהגדרת היינה בורל במבחן, מספיק להוכיח את המשפט הבאלרשום: "S קומפקטית אם סדרה שואפת לאפסורק אם היא חסומה וסגורה", יש לה תת סדרה שהטור שלה מתכנס (קל לראות לוגית שהמשפט הזה זה מספיק)או שצריך להסביר גם מה זה קומפקטית.. ומה הטריק פה? לדלל את הסדרה המקורית... נניח הסדרה המקורית הינה <math>\frac{1}{n}</math> ברור ש<math>\frac{1}{n^2}</math> הינה תת סדרה שלה.האלגוריתם המדויק הוא כזה. ניקח את הסדרה <math>\epsilon_n</math> כך ש <math>0<\epsilon_n < \frac{1}{n^2}</math>. כעת, לכל <math>\epsilon_n</math> קיים <math>n_{\epsilon_n}</math> כך שהחל ממנו והלאה הסדרה קטנה מ<math>\epsilon_n</math>. ניקח את האיברים המתאימים לאפסילונים לפי הסדר (לכל אפסילון נבחר את האיבר הראשון שקטן ממנו) וקל לראות לפי מבחן ההשוואה שהטור של תת הסדרה הנ"ל יתכנס.
2) אם יש שאלה לנסח את משפט בולצ'אנו ויירשטראס, איזה מהם? עבור סדרות, קבוצות או פונקציות? או מה שאני בוחר?
מתוך הדברים שאמרתי, קל להוכיח את התרגיל השני3) רבמ"ש: איקס כפול קוסינוס של איקס בין מינוס אינסוף לאינסוף.. (בטח להפריך)
==שאלה==אני נתקל בבעיה הזו הרבה פעמים4) רבמ"ש: איך אומים שהסדרה איקס כפול לוג של איקס חלקי איקס היא מונוטונית יורדת? ואיך אומרים שלוג איקס חלקי איקס שואפת לאפס?? תודה..:עבור סדרות בין אפס לאינסוף (n טבעי) זה טרוויאלי - אפשר להראות את זה באינדוקציה. באופן כללי, בגלל ש-e^x שואפת לכל גבול מהר יותר מכל פולינוםלפי דעתי צריך להפריך כי מבחינת אינטואיציה, לוג איקס שואף ממינוס אינסוף ואם נכפיל באיקס אז ln(x) שהוא הפעולה ההפוכה שואף לכל גבול לאט זה עוד יותר מכל פולינוםמינוס אינסוף..)
מה אני אומר במבחן? שלוג איקס חלקי איקס מונוטונית ושואפת לאפס כיאלה השאלות האחרונות שאני אשאל..מקווה שיהיה לך זמן.? אני יודע שזה נכון אבל כל הקורס הזה בנוי על פורמליות- אני יכול . תודה רבה רבה רבה, אם נצליח זה רק בזכותך תאמין לי.. ואם להגיד להם שהיא שואפת מהר יותר מכל פולינום? יקבלו את האמת אז חבל שלא הבנתי את זה? אתה יכול לרשום בבקשה הוכחה פורמלית? תודהבתחילת סמסטר א', העיקר שעכשיו אני מבין.. תודה שוב :-)]
==שאלה - רציפות במידה שווה=תשובה===נניח שיש לי פונקצייה כמו arctan(x) (ההופכית ל-tan) - האם היא מוגדרת כאשר x שואף לאינסוף? למשל, בשאלה: האם arctan(e^x) רבמ"ש בתחום (0, אינסוף), רציתי לומר שכן, כי יש לה גבולות סופיים (רבע פאי ב-0, חצי פאי באינסוף)1, אבל מצד שני tan של חצי פאי לא מוגדר2 אלה שאלות למרצה.
:(arctan(e^x היא אכן רציפה במ"ש כי היא רציפה על כל R ויש לה גבולות סופיים בקצוות3. למי אכפת מה קורה לtan? שכן arctan הינה פונקציה רציפה על כל R לתוך הקבוצה <math>(-\pi/2,\pi/2)</math>. השאלה עצמה מוטעית "האם היא מוגדרת כאשר איקס שואף לאינסוף" ההגדרה לשאיפת גבול לאינסוף הינה אחת לפי קושי (או היינה, אבל הן שקולות). קל מאד לראות שכאשר איקס גדול, arctanx מתקרב לחצי פאי. בעזרת זה ניתן להוכיח שהגבול הינו חצי פאי.בדיוק כמו xsinx שעניתי עליו
::(עוד שאלה4. זה להפריך, לא משואל השאלה הקודמתאפשר עם שתי הסדרות <math>n + \frac{1}{n}</math> ו <math>n</math>..)ונניח שיש לי שאלה לגבי רציפות במ"ש צריך לשחק קצת עם tan. היא לא תהיה רציפה במ"ש בכל תחום שכולל את פאי חלקי 2, נכון? כי בפרט היא לא רציפה שם הlog ובעיקר לשים לב שזו הפונקציה <math>xlogx = log(כי אין לה גבולx^x), ולכן היא בוודאי לא רציפה במ"ש</math> וההפרש בין שני לוגים הוא לוג של החלוקה.* * תודה רבה!! אני אנסה את מה שאמרת.? (תנאי הכרחי אבל לא מספיק של רציפות במ"ש הוא רציפות). שיהיה בהצלחה לכל מי שניגש.. וארז, תודה על הכל!!
::: תלוי בשאלה הספציפית. זה נכון למשל לגבי <math>tg(\frac{10}{1+x^2})</math> שאינה רציפה במ"ש אבל הפונקציה <math>tg(\frac{1}{1+x^2})</math> כן רציפה במ"ש
==שאלה==
לגבי רבמ"ש, יש משפט שאומר שפונקציה רבמ"ש במועד ב(a' באינפי 1,b) ניתן להשתמש בכלל לופיטל? לא בטוח באיזה קורס, אבל אם היא רציפה בו ויש לה גבולות בצדדים. הכוונה היא לגבולות חד צדדים נכון? כלומר צ"ל שיש גבול בa+ וb-?לא למדתם את זה באינפי 1 לא ניתן להשתמש בזה במבחן