=אינפי ' 1 לתיכוניסטים= כאן יהיה המקום שלנו להיעזר אחד בשני בקורס חשבון אינפיניטסימלי 1. אתם מוזמנים לשאול שאלות ולדון בבעיות הנוגעות לקורס אינפי ' 1 - סטודנטים הלומדים בשתי הקבוצות מוזמנים להגיב כאן.
=ארכיון=
[[אינפי 1 לתיכוניסטים תש"ע - ארכיון 1|ארכיון 1]]
=תרגילים + פתרונות=[[אינפי 1 לתיכוניסטים תש"ע - ארכיון 2|ארכיון 2]]
=תרגילי אתגר באינפי'''[[מדיה:09Infi1_Sol1.pdf| תרגיל =*מצא סדרה כך שקבוצת הגבולות החלקיים שלה היא כל הממשיים*מצא פונקציה רציפה בקטע <math>(0,1]]'''</math> שאינה חסומה בו מלעיל ואינה חסומה בו מלרע*מצא פונקציה מונוטונית שאינה רציפה באף סביבה של 0*מצא פונקציה שאם תגזור אותה תקבל <math>\tan</math>*הוכח/הפרך: הגבול של הסדרה <math>\sin(n)</math> אינו קיים
===תרגיל אתגר מאתגר במיוחד===תרגילי האתגר הנ"ל מאתגרים וטריקיים אך ניתן לפתור אותם בעזרה הידע שלכם מקורס אינפי'''[[מדיהבלבד. את האתגר הבא צריך לפתור בעזרת ידע מקורסים אחרים שלמדתם בנוסף:09Infi1_Sol2.pdf| תרגיל 2]]'''(קרדיט ללואי שפתרה את זה)
'''*האם קיימת פונקציה מונוטונית שאינה רציפה באף נקודה בקטע <math>[[מדיה:09Infi1_Sol30,1]</math> ? אם כן מצא אותה, אם לא הוכח שלא.pdf| תרגיל 3]]'''
'''[[מדיה:09Infi1_Sol4.pdf| (שוב, זה תרגיל 4]]'''מאד קשה, אל תרגישו רע אם אתם לא מצליחים לפתור אותו)
===פתרונות לאתגרים==='''[[מדיה:09Infi1_Sol5.pdfפתרונות לאתגר אינפי 1 תיכוניסטים תש"ע| תרגיל 5פתרונות]]'''
'''=שאלות===מהבוחן==מישהו זוכר איך מראים שגבול הסדרה <math>\sqrt[n]{\sqrt[מדיה:09Infi1_Sol6.pdf| תרגיל 6n]{n}-1}</math> הוא 1? כאשר (<math>\sqrt[n]'''{x}</math> זהו השורש ה- <math>n</math>-י של <math>x</math> . ובלינארית (מתוך מבחן של רון עדין), איך מראים שלמטריצות מתחלפות <math>A,B</math> (ז"א ש- <math>AB=BA</math>) קיים ו"ע משותף...?
'''[[מדיה:09Infi1_Sol7==שאלה==יש לי שאלה על גבול שאני מנסה למצוא אבל משום מה יש שלב אחד שלכאורה נראה לי נכון אבל הוא לא.pdf| תרגיל 7]]'''נתונה הפונקציה::<math>\frac{p\sin(x)-\sin(px)}{x(\cos(x)-\cos(px))}</math>כאשר <math>x</math> שואף ל-0
'''[[מדיה:09Infi1_Sol8כאשר <math>p=\pi</math> .pdf| תרגיל 8]]'''
'''[[מדיהפירקתי את השבר לשני שברים בצורה הבאה:09Infi1_Sol9.pdf| תרגיל 9]]'''כל מחובר של המונה לבדו עם המכנה (חיבור שברים עם אותו מכנה הוא שבר עם אותו מכנה כמו של השניים המקוריים כאשר מחברים את המונים שלהם, אם עדיין לא הבנת את כוונתי)
=שאלות=ואז בצד אחד היה לי <math>\frac{\sin(x)}{x}</math> וזה שואף ל-1. בצד שני היה לי <math>\frac{\sin(px)}{x}</math> אז פשוט כפלתי וחילקתי ב- <math>p</math> ואז בגלל ש- <math>x</math> שואף ל-0, גם <math>px</math> שואף ל-0 מה שאומר שגם <math>\frac{\sin(px)}{px}</math> שואף ל-1.
ואז כביכול היה יוצא 0 כי שני השברים מצמצמים אחד את השני.
==שאלה==הבעיה היא במה שאמרתי על <math>\sin(px)</math> ו- <math>px</math> כי בדקתי במחשבון ושם זה נתן תוצאה אחרת.
אני לא בטוח במשהו: במבחן ד'אלמבר , כתוב במייזלר שהטור מתבדר אם החלוקה גדולה או שווה ל 1לכן רציתי לדעת איך לפתור את זה באמת. אני זוכר שהמתרגל פעם קיבל שהחלוקה שווה ל 1 אבל אמר שזה לא אומר כלום. אז מה נכון? תודה
===תשובה===
אני אסביר. אם <math>\forall n : \frac{a_{n+1}\sin(px)}{a_npx}\geq xrightarrow[x\to0]{}1</math> . קל לראות את זה אומר שהסדרה מונוטונית עולהלפי היינה. מכיוון שהיא חיוביתאם <math>x_n</math> סדרה ששואפת ל-0 אזי גם <math>\frac{x_n}{p}</math> סדרה ששואפת ל-0, זה אומר שהיא בהכרח לא פשוט תציב בפונקציה ותקבל שבזכות ש- <math>\frac{\sin(x)}{x}</math> שואף ל-1, שגם הפונקציה הזו על הסדרה הנ"ל שואפת לאפס ולכן הטור מתבדרל-1. (לא ניסחתי מדויק, אני אשאיר לך לתקן את הפערים).
לעומת זאתמצטער אבל לא ממש הבנתי איך התשובה שלך קשורה לשאלה שלי. במחשבון יוצא שהפונ' שואפת ל-1.047 (וממש המספר הזה, אם לא 1) אני אכתוב לך את מה שעשיתי ואני מקווה שתצליח להסביר לי מה היה לא נכון::<math>\lim_{nlim\rightarrow limits_{x\inftyto0}\left[\frac{a_{n+1}\pi\sin(x)-\sin(\pi x)}{a_nx(\cos(x)-\cos(\pi x))}=1\right]</math> לא ניתן לדעת אם הטור מתכנס, משמע יש דוגמאות לשני הכיוונים. הטור ההרמוני זה שווה ל::<math>\sum lim_{x\to0}\left[\frac{1\pi\sin(x)}{nx(\cos(x)-\cos(\pi x))}-\frac{\sin(\pi x)}{x(\cos(x)-\cos(\pi x))}\right]</math> מקיים את התכונה הזו ומתבדר, ואילו הטור ששווה ל::<math>\sum lim_{x\to0}\left[\frac{1\pi}{n^2\cos(x)-\cos(\pi x)}-\frac{\pi\sin(\pi x)}{\pi x(\cos(x)-\cos(\pi x))}\right]</math> מקיים את התכונה הזו ומתכנס ( ששווה ל::<math>\lim_{nx\rightarrow to0}\inftyleft[\frac{\pi}{\cos(x)-\cos(\pi x)}-\frac{n^2\pi}{(n+1\cos(x)-\cos(\pi x))^2}\right]=10</math> וזה אמור להיות 0 זהותית (כלומר ממש 0, לא שואף ל-0...)
==שאלה==
איך אני מראה שלמשוואה tg x = x יש אינסוף פתרונות ממשיים?
===תשובה===
דבר ראשון, אסור בתכלית האיסור, להחליף באמצע התרגיל את חלק מהגבולות למספר אליו הם שואפים. אחרת <math>\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2} +\pi k}tgx - x= \lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2} +\pi k}\frac{sinx}{cosx} - x = \pm 1^\infty</math>תמיד שווה 1 למרות שאנחנו יודעים שהוא יכול להיות e. ושוב, הייתי פותר את זה באמצעות כלל לופיטל, ולא בטוח איך אפשר אחרת.
ולכן לפי משפט ערך הביניים כל ערך ממשי מתקבל בין השאיפה לאינסוף ומינוס אינסוףאוקי, וזה קורה אינסוף פעמים אז נניח שהייתי מכניס את ה- <math>\lim</math> גם לשבר השני.. אני עדיין לא מבין למה זה לא היה עובד (לכל k)ותודה שאתה ממשיך לענות לי למרות החפירה. בפרט.) :מה הכוונה מכניס <math>\lim</math> לשבר השני? אסור לך להחליף במספר, 0 מתקבל אתה נשאר עם אינסוף פעמיםפחות אינסוף ולא מצליח לחשב. לא יהיה לך זהותית 0. אסור לך למחוק את <math>\frac{\sin(x)}{x}</math> אז זה מה שאני לא מבין, ולכן למה אסור למחוק את <math>tgx=\frac{\sin(x)}{x}</math> הרי זה אמור להיות 1 כש- <math>x\to0</math> :כמו שאמרתי, לפי ההגיון הזה, גם <math>\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=1</math> כי <math>1+\frac{1}{n}\to1</math> אינסוף פעמים.במקרה זה, יש לך <math>1\cdot\infty-\infty</math> אסור להשתמש באריתמטיקה של גבולות במקרה זה. דוגמא נגדית פשוטה יותר: <math>\frac{n+1}{n}\cdot n-\frac{n-1}{n}\cdot n</math> בשיטה שלך זה 0 זהותית. במציאות, זה שווה בדיוק 2. הבנתי. תודה רבה! (וסליחה על החפירה הארוכה, שוב)
==שאלה==
האם פונ' חח"ע ועל היא מונוטונית?רציתי לבדוק אם אני צודק: דורשים למצוא נקודות אי-רציפות וסיווגן בפונקציות הבאות:
===תשובה===רציפה או לא? קח את 1) <math>\frac{\cos(x על הרציונליים, ו2x על האי רציונליים, חח"ע ועל ואינה מונוטונית. )}{|\cos(x)|}</math>
אם היא רציפה, היא חייבת להיות מונוטונית לפי משפט ערך הביניים 2) <math>\frac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{2+\sin\left(תרגיל\tfrac{2}{x}\right) ואפילו }</math> בשתיהן יצא לי 0 אי-רציפות סליקה. זה נכון? ===תשובה=== בראשון 0 '''אינה''' נקודת אי-רציפות בכלל... יש כמובן נקודות אי-רציפות אחרות, והן תמיד ממין ראשון. שים לב שהפונקציה הזו היא פשוט 1, 1- או לא צריך את העלמוגדרת. בשני זה נכון, וזו אכן נקודת אי-הרציפות היחידה. כן, בראשון התבלבלתי..תודה רבה!
==שאלה==
נניח שיש לי פונקצייה שמוגדרת בתחום אפשר בבקשה עזרה בתרגיל? צריך לבדוק האם <math>y=\cos\big(\log(x)\big)</math>aרבמ"ש בקטע הפתוח <math>(0, ובדיוק בנק' x=a יש אי-רציפות בצורה של 'אסימפטוטה' \infty)</math> . אני לא ממש רואה את זה... (אין גבול בשאיפה ל- האם זו אי רציפות מסוג ראשון<math>0^+</math> , או שני?אז ניסיתי להראות ע"י שתי סדרות שואפות ל-0 שאין רבמ"ש, לא ממש הולך לי...)
===תשובה===
מה זה צורה של אסימפטוטהלא הולך? <math>x_n=e^{\pi-2\pi n}\ ,\ y_n=e^{-2\pi n}</math> . שתי הסדרות שואפות ל-0, ולכן המרחק ביניהן שואף ל-0. אבל הפונקציה עליהן שווה 1 או 1-. ההגדרה מאד מאד פשוטה:
אי רציפות סליקה: קיים גבול סופי בנקודה
אי רציפות ממין ראשון(זה לא כותב השאלה) אפשר פשוט לומר שהגבול באפס לא קיים, לכן הפונקציה לא רבמ"ש ב- <math>(0,1)</math> וכמובן שהיא לא רבמ"ש ב- <math>(0,\infty)</math> , לא?: קיימים גבולות חד צדדיים סופיים בנקודה(זה לא ארז) אני חושב שאסור, כי אז לפי מה שאתה אומר בגלל שלא קיים לsin x גבול באינסוף אז היא לא רבמ"ש...
אי רציפות ממין שני: כל מצב אחר:בכל מקרה, הדרך היחידה להוכיח שהגבול אינה קיים היא באמצעות הסדרות, כך שלא חסכת עבודה. באופן כללי, אפשר להוכיח שאם הגבול אינו קיים בצד הסופי, אזי הפונקציה לא רציפה שם במ"ש. זה נכון כי יש 2 אופציות: או שיש 2 סדרות ששואפות לצד הסופי (נגיד a) והפונקציה שואפת עליהן לגבולות שונים (וזה אוטומטית יוצר סתירה לרציפות במ"ש), או שיש סדרה ששואפת לאינסוף ואז הפונקציה אינה חסומה על קטע חסום, ולכן אינה רציפה במ"ש. אבל כמו שאמרתי, כך או כך זה דורש את בניית הסדרות.
:לאדע, לא עולה לי כל כך מהר הדוגמאות להפרכה. תודה בכל מקרה! יש לי עוד שאלה ממש קטנה, אני מנסה להוכיח שכשX שואף ל0, אז ln sin x / ln x שואף ל1.
:האם מותר לי להגיע לזה באמצעות המשפט של sin x / x =1 ? כי אז אני מכפיל בX, מפעיל LN על שני האגפים, מחלק בLN X ומקבל את הדרוש... תודה לעונה!
אסור. אין משפט שsinx/x=1 יש משפט שאומר שזה שואף לאחד... אבל לכפול בx זה כמו לכפול באפס וזה בוודאי אסור (אריתמטיקה של גבולות לא עוזרת פה). אפשר לפתור באמצעות כלל לופיטל, כמו שאמרתי אני לא יודע אם זה בחומר או לא.
הדבר היחיד שאני לא בטוח לגביו, באמת בהקשר השאלה שלך, הוא מה קורה כאשר מדברים על פונקציה בתחום הגדרה מסוים. כלומר, מה היא האי רציפות של פונקציה <math>\frac{x}{\sqrt{x}}</math> בנקודה אפס. מצד אחד לפי ההגדרה שרשמתי למעלה זה מין שני כי לא קיים הגבול החד צדדי משמאל. מצד שניבחומר, אם נחליף את הנקודה ב0 נקבל פונקציה רציפה ב(אינסוף,0], אז זה נשמע כמו סליקה. אז אני באמת לא בטוח מה ההגדרה במקרה כזהתודה בכל מקרה.!
==שאלה==
איך אפשר להוכיח שאם יש משהו שנורא מבלבל אותי.נניח שיש לי סדרה את הפונקציה: <math>a_nf(x)=e^{lnx}</math> המתכנסת מצד אחד הנגזרת שלה היא 1, כי היא שווה ל-0X מצד שני, אזי : אם אני מתעלם מהעובדה שהדבר הזה הוא X ואני גוזר רגיל אני מקבל שהגזרת היא 1 חלקי X.מה עושים??? דרך אגב, ארז כתבתי לך בחזרה משהו בשאלה של ה- <math>\fraclim_{x\sum_{n=1rightarrow 0}^\frac{sin(\inftypi x)}{a_n}}{n\pi x} = 0</math> (כלומר הוכחה לפי הגדרת הגבול) ?אז בבקשה תענה לי.
===תשובה===
יש טעות בשאלה. הרי הטור בוודאי לא חייב להתכנסלומדים לגזור!<math>[e^{lnx}]' =e^{lnx} \cdot \frac{1}{x}=\frac{x}{x}=1</math> חח אופס, ולכן אין הגדרה כלל לחלוקה הנסליחה. ==שאלה - רבמ"לש==נכון, ובפרט אין גבולחפרנו על הנושא למרות שתהיה מקסימום שאלה אחת על זה במבחן, ובכל זאת:נניח שאני רוצה להוכיח ש- f(x)=xsinx רבמ"ש.האם מותר לי לקחת x,y שמקיימים <math>|x-y|<d</math> ולומר :<math>|xsinx-ysiny| \le |2x-2y| < 2d</math>(מהסיבה שפונק' הסינוס חסומה ע"י 1 ו-1-) ?
===תשובה===
לא הבנתי איך זה קשור שהטור לא מתכנסבוודאי שלא...בכל מקרה מה שרשמת זה ההממוצע החשבוני של למשל <math>x=2000\ a_n </math>pi,והוכחנו בהרצאה שהממוצע החשבוני של <math>y=2000\ a_n <pi + \pi/math> מתכנס לאותו גבול כמו <math>\left\{a_n\right\}_{n2, d =1}^{\infty}pi/2</math> לכן אם הגבול של אז יוצא ש<math>|xsinx-ysiny|= 2000\leftpi + \{a_n\right\}_{n=1}^{\infty}pi/2</math> הוא 0 זה גם הגבול של הממוצע החשבוני :)
מוכיחים את המשפט של השוויון בין הגבולות (בצורה כללית) בעזרת משפט שטולץ.http:הטריק הוא בגדול לקחת <math>x_1=x,x_2=x+h<//he.wikipedia.org/wiki/%D7%9E%D7%A9%D7%A4%D7%98_%D7%A9%D7%98%D7%95%D7%9C%D7%A5#.D7.A0.D7.99.D7.A1.D7.95.D7.97_.D7.94.D7.9E.D7.A9.D7.A4.D7math> ולפתח לפי נוסחאות טריגונומטריות.98
הטעות היא שלפי מה שכתבת, זה נראה כאילו דיברת ==שאלה - טורים==ישבתי על זה הרבה ולא הצלחתי X::נתון שיש טור המוגדר ע"י סכום של הטור האינסופי עד אינסוף (כאיבר אחד) נחלק ל-n (שהוא מה שרץ) ואז כמו שנאמר, הסדרה an ובדומה סכום המוגדר ע"י סכום הסדרה bn:ידוע שסיגמא AN זה לא ממש מוגדר. וכמו שאמרוA וסיגמא BN זה B:מגדירים סדרה חדשה, ההוכחה בעזרת שטולץ CN שבמקומות האי זוגיים היא די פשוטהמקבלת את b1,b3,b5.... ובמקומות הזוגיים היא מקבלת את a1,a2,a3,...:אפשר גם להוכיח בעזרת סנדוויץ'האם סיגמא CN מתכנס? לומר שהביטוי גדול שווה מסדרת המינימומים וקטן שווה מסדרת המקסימומים ===תשובה===לא של ארז:מקווה שזה נכון:סכום האי זוגיים של הסדרה b מתכנס לפי קריטריון ההשוואה, שהם תתי סדרה הסכום של an a כמובן מתכנס לפני הנתוןולכן הגבול שלהם סכום טורים מתכנסים הוא 0מתכנס. :מבחן ההשוואה נכון לטורים חיוביים בלבד. והתשובה היא בוודאי לא, ולכן גם הביטוי שואף ל0?אם לא נתון שהטורים חיוביים. לוקחים את הטור הקלאסי להתכנסות בתנאי <math>b_n=(-1)^n/n</math> ולוקחים כל טור מתכנס אחר להיות a_n...
==שאלה==
בתחילת הקורס נאמר שיש חובת הגשה שאלה מהמבחן של 80 אחוזראובן שנה שעברה שלא הצלחתי: תהי an סדרה מתכנסת כך ש: <math>s={an: n - belong - to - N}</math> כאשר N זה המספרים הטבעיים. ואומרים ש-s היא קבוצה סופית.צריך להוכיח שהחל מ-N מסויים, לכל n,m שגדולים ממנו, an=am. זה נראה לי נכון אבל אני לא הגשתי יודע איך לכתוב את התרגילים 7זה בצורה מתמטית.===תשובה=== S הינה קבוצת כל האיברים בסדרה,8 מפני שלא יכלתי להגיע לאוניברסיטה בזמן חופשת הסמסטרוהיא סופית. כלומר איבר בסדרה יכול להיות אחד מתוך מספר סופי של איברים (איבר מתוך S). האם אי הגשת שני תרגילים אלה יורד לי ציון? כעת, נגדיר את קבוצת ההפרשים <math>D=\{|s_1-s_2| :אפשר להגיש אותם s_1,s_2 \in S, s_1\neq s_2\}</math> מכיוון שS סופית גם ביום ראשוןD סופית ולכן יש לה מינימום.נגדיר <math>\epsilon = Min(D)/2>0</math>. כעת, לפי תנאי קושי, קיים <math>n_0</math> כך שלכל <math>n,m>n_0</math> מתקיים <math>|a_m-a_n| < \epsilon</math> אבל אם <math>a_n \neq a_m </math> אזי <math>|a_m-a_n| \in D</math> אבל <math>|a_n-a_m|<\epsilon < Min(d)</math> וזו סתירה. :סבבה תודה! ===מבחן של ראובן===איפה יש את המבחן שלו משנה שעברה? באתר של גיל איפה זה, אפשר קישור? http://math.ipnet.co.il תודה
==שאלה==
תהי סדרה an. אם הגבול של an^2 קיים ושווה למס' ממשי כלשהובאחת משאלות האתגר שנתתם (זאת עם הגבולות החלקיים שכוללים את כל הממשיים), מה זה אומר מותר לי לגבי הגבול פשוט להגיד ש-an היא הספירה של an? הוא לא חייב להיות קיים, נכוןQ? אנחנו יודעים שאפשר לספור את Q אבל במידה וכן: הוא יכול להיות פלוס מינוס השורש האם זה מספיק להסתמך על זה שקיימת ספירה כזאת ואז לרשום שנק' ההצטברות של הגבול הנQ הן כל R ולכן אלו הם הג"ל, ואלו האפשרויות היחידות, נכוןחים?
===תשובה===
בדיוקהשאלה היא האם משם אתה יכול להוכיח שכל מספר ממשי הוא גבול חלקי של הסדרה הנ"ל. תמיד התת סדרה המורכבת מהשליליים אין משפט על הקשר שבין נקודת הצטברות של an תתכנס למינוס השורשקבוצה, ותת הסדרה לבין הגבולות החלקיים של החיוביים תתכנס לשורשסדרה המכילה את איברי הקבוצה. אם המספר הינו אפס, אז גם an תתכנס בהכרח לאפס.:מגניב. אבל שוב, זה לא דורש שיהיה קיים גבול לan נכוןהאם הסדר לפי תבנה את הסדרה משנה?
::אם אוקיי.. יש סדרות חלקיות שמתכנסות לגבולות שונים ברור לי סדרה אחרת שנראה לי שהיא תעבוד. את כל שאר תרגילי האתגר הצלחתי לפתור (חוץ מזה שדורש שימוש בקורס אחר שאין גבוללי מושג מה לעשות שם חוץ מזה שאני בטוח כמעט לגמרי שזו הפרכה. וכמו שאמרתי, אם הגבול המקורי הוא אפס אז כן חייב להיות הגבול אפס גם של an.)
::תשלח לי למייל בקצרה, אני אגיד לך אם צדקת. אגב, מתי המבחן שלכם? :::המבחן שלנו מחר :S ::::הא, בהצלחה.. יכול להיות שאני אהיה מחר באוניברסיטה.. אבל זה כבר לא יעזור לאף אחד :) == שאלה ==מה המשמעות האינטואיטיבית/גאומטרית של רציפות במידה שווההוכח שאם f גזירה ב-(a,b), ונגזרתה חסומה בקטע, אזי f רבמ"ש שם.(WTF?!)
===תשובה===
מה היא רציפות? פונקציה הינה נניח בשלילה שהיא אינה רציפה אם במ"ש, לכן קיים אפסילון, כך שלכל דלתא קיים זוג x,y כך שהמרחק בינהם קטן מדלתא, אבל המרחק בין f(x) לf(y) גדול מאפסילון. ולכן <math>\frac{f(x)-f(y)}{x-y} > \frac{\epsilon}{\delta}</math>. ניקח <math>\delta_n = \frac{1}{n}</math> וניקח את הזוגות המתאימים <math>x_n,y_n</math>. אלה סדרות חסומות ולכן ניתן לקחת תת סדרה של <math>x_n</math> שמתכנסת, ואז תת-תת סדרה של y_n שמתכנסת וביחד נקבל שתי סדרות מתכנסות <math>x_{n_k},y_{n_k}</math> ומכיוון שהמרחק ביניהן הולך וקטן הן מתכנסות לאותו הגבול שלה בנקודה הוא הערך שלה בנקודה, נקרא לו L. אבל אז <math>\frac{f(x_{n_k})-f(y_{n_k})}{|x_{n_k}-y_{n_k}|} > \frac{\epsilon}{\delta_{n_k}}</math> כלומר שבכל נקודה היא שואפת לערך שלה בנקודהשואף לאינסוף, אבל זה חסום על ידי קבוע כפול הנגזרת (לפי תרגיל אחר שנתנו לכם) וזו סתירה.
מידה שווה יכולה לדבר על גבולות באופן כללי. המילה :: אתה יכול בבקשה להסביר למה הכוונה ב"מידהזוגות המתאימים Xn Yn" מתכוונת למהירות ההתכנסות. כלומר כמה מהר הפונקציה מגיעה לגבול שלה בנקודה. ואיך ניתן למדוד מהירות התכנסות- הכוונה היא לאותן סדרות שעזרו לך להוכיח או להפריך משהו בהרבה תרגילים אחרים בעמוד זה?:: ועוד משהו, למה הכוונה חסום ע"י קבוע כפול הנגזרת? על ידי כמה קטן הדלתא שנדרש על מנת שהפונקציה תהיה במרחק אפסילון מסויים מהגבול.
כעת, המילה "שווה" אומרת שה"מידה" כלומר מהירות ההתכנסות שווה בכל נקודה בקטע בו יש רציפות במידה שווה. כלומר, לכל אפסילון, קיים דלתא, .. כך שאם ניקח מסדרון באורך שלכל דלתא איפשהו על ציר קיים זוג x, הפונקציה לא תצא בתוכו ממסדרון באורך אפסילון בציר y. ובמילים, הפונקציה מתכנסת פחות או יותר באותה מהירות לגבול שלה בכל נקודה בקטע.." הזוג הזה. חסום ע"י הכוונה "קטן מ.."
==שאלה==
האם יש דרך למדוד למה מתכנס הטור נניח שאנחנו מקבלים פונקצייה כמו: <math>cos\frac{1}{ln(x^2)}</math> . האם מצפים מאתנו להתייחס אליה כמוגדרת גם ב-1x<0 (כפי שהיא כתובה)^n*, או ללכת צעד אחד קדימה ולהפוך את זה ל: <math>cos\frac{1/n}{2lnx}</math>?
ועוד שאלה לא קשורה: נוספת - כדי להוכיח שלא קיים גבול בנק' x=1, במקרה זה ארז שעוזר לנו כאן , האם מותר לי להשתמש בנימוק המילולי הבא (?): הפונקצייה מבצעת אינסוף מחזורים בכל השאלות או המתרגלים האחרים באינפיסביבה של x=1, לכן הגבול לא קיים.אם לא, איך אחרת אפשר לנמק את אי-קיום הגבול בנק', בלי פשוט לומר שהפונק' שבתוך ה-cos שואפת לאינסוף?
יש לי דה ז'ה וו שמישהו עונה לי ואומר לי כן אבל לא אומר לי איך, אז בבקשה תגידו גם איך :)
:כן===תשובה===כמובן שהיא מוגדרת באפס. (זה שארז עונהלא עושים שום צעדים קדימה או אחורה. ואני באמת לא יודע איך הוא עושה את זה D: ). במחשבון אני מקבל שהוא שווה ל-(-0כמו שx/x אינה מוגדרת באפס.69),
::כן אבל התכוונתי לתשובה ממש עם נוסחאות ומשפטיםלא, תקרא את הדוגמאות האחרות (כמעט זהות) בנושא.בונים 2 סדרות ששואפות ל1 אבל הפונקציה עליהן הולכת לפלוס אחד או מינוס אחד ולכן אין גבול לפי היינה. ==שאלה==האם זהו משפט נכון? M = SUP A אם"ם לכל e>0 קיים a ששייך לA כך ש M-e<a
==שאלה - קיום גבול חד-צדדי==
איך אפשר להפריך קיומו של גבול חד צדדי? למשל, בפונקצייה sin(1/x) : האם מותר לי לומר שהגבול החד צדדי של 0 מימין שווה ממש לגבול של sin(x) כאשר x שואף לאינסוף, אם קיים?
===תשובה===
עושים את זה באלגנטיות באמצעות סדרות והגדרת הגבול לפי היינה.
לוקחים שתי סדרות <math>0\leq x_n,y_n \rightarrow 0</math>. אם היה גבול חד צדדי מימין, לפי היינה <math>f(x_n),f(y_n) \rightarrow L</math> כאשר L הינו הגבול. אבל אנחנו נבנה סדרות כך שאחרי הפעלת הפונקציה עליהן נגיע לגבולות '''שונים''' בסתירה להגדרה הגבול לפי היינה.לא מדוייק
הסדרות במקרה זה הינן M=supA אם"ם '''M חסם עליון''' וגם e>0 קיים a ששייך לA כך ש M-e<a
<math>x_n M חסם עליון אומר M גדול מכל האיברים בקבוצה, והתנאי עם האפסילון נותן את המינימליות של M. אם הוא לא היה מתקיים, אז M-e היה חסם עליון קטן יותר. = \frac{=שאלה==האם הפו' 1}{\frac{\pi}{2}+2 \pi חלקי n}</math>רציפה בקטע [0,1) ? ורבמ"ש? ===תשובה===רציפה שם, ברור, זה פונקציה רציפה חלקי רציפה, כאשר הפונקצה במכנה שונה מאפס.
היא אינה רציפה שם במ"ש כי היא אינה חסומה שם. ופונקציה שרציפה במ"ש על קטע <maths>y_n = \frac{1}{-\frac{\pi}{2}+2 \pi n}סגור</maths>חסומה בו.:אבל זה לא קטע סגור, הוא חצי פתוח O:::שגיאה שלי, הכוונה הייתה לקטע '''חסום''' ולא סגור. פונקציה רציפה במ"ש על קטע '''חסום''' חסומה בו.:::זאת אומרת שהפעם היחידה שאנחנו צריכים ממש להפריך את הרבמ"ש שלא ע"י משפט, זה כשהיא רציפה והגבול באינסוף או מינוס אינסוף אינו קיים?::::לא. לפני שנייה הייתה דוגמא של coslogx
וכמובן ש <math>\forall nתודה רבה : f(x_n)=1,f(y_n)=-1</math> עבור <math>f=sin(\frac{1}{x})</math>
==שאלה - רציפות במידה שווההוכחת משפט ערך הביניים==היום בתרגול במייזלר יש הוכחה שמשתמשת בטענת עזר שקשורה בחיתוך עם ראובן הוזכר משפט על רציפות במידה שווה שמעולם לא שמעתי עליו, לא מצאתי אותו בהרצאות או בספר : אם f רציפה, וקיים עבורה גבול סופי כשציר ה-x שואף לפלוס\מינוס אינסוף של הפונקצייה. למה לא לפשט את זה להוכחה כזו (שניהם קיימיםהאם היא תקינה?), אזי :תהי f רציפה במידה שווה.מאיפה הגיע המשפט הזה? ולמה הוא נכון?:תיקון ב- מצאתי אותו[a, והוא מנוסח כך : b], אזי אם <math>f רבמ"ש בקטע (a,)<y<f(b) </math> נבנה סדרת קטעים <math>I_n==[a_n,b_n]</math> כך ש- <math> הפונק' f רציפה בקטע זה(a_n) \le y \le f(b_n)</math> , וקיימים גבולות חד צדיים ל-כאשר <math>I_1=[a ,b], I_n=[a_n,b_n]</math>, ו-b. השאלה שלי היא <math>c_n</math> מוגדרת: הוא גם עובד עבור a או b שהם אינסופיים<math>c_n=0.5(a_n+b_n)</math>, נכון? ודבר שניכך שאם <math>f(c_n)\le y</math> נגדיר <math>I_{n+1}=[c_n, אם קיים גבול שהוא אינסוף לפונקb_n]</math>, ואחרת <math>I_{n+1}=[a_n,c_n]</math> . לפי קנטור קיימת נק' כאשר היא שואפת ליחידה <math>x_0</math> באמצע כך ש-b<math>lim(a_n)=lim(b_n)=x_0</math> , למשל ובגלל הרציפות של f נקבל ש- <math>f(לאחד מהםa_n) </math> ו- האם זה בהכרח סותר את רבמ"שיות הפונקצייה?<math>f(b_n)</math> שואפים להיות y.
===תשובה===
זו הוכחה נכונה, אמנם חסרת כמה פרטים, אבל נכונה.
1. אם פונקציה רציפה ב(a,b) ואחד מהם או שניהם הוא אינסוף אבל יש לה גבולות בקצות הקטע היא רציפה במ==שאלה==ארז באחת השאלות למעלה אמרת:"ש. אפשר להוכיח שאם הגבול אינו קיים בצד הסופי, נניח a, זה אומר שניתן להשלים אותה לפונקציה רציפה בקטע (a,b]. בצד האינסופי, אם לפונקציה יש גבול זה אומר שהחל ממקום מסוים M המרחק שלה מהגבול קטן מאפסילון, ובפרט המרחק בין כל שני <math>f(x_1),f(x_2)</math> קטן מפעמים אפסילון, ללא תלות כלל במרחק בין <math>x_1,x_2</math>. לכן מפרידים את הפונקציה ל<math>[a,M]</math> שזה קטע סגור וחסום לכן אזי הפונקציה לא רציפה בו במ"ש ולכן יש דלתא לאפסילון ו<math>[M,\infty)</math> שם ראינו שהמרחק קטן מפעמים אפסילון בלי שום קשר לדלתא, ולכן הפונקציה רציפה באיחוד הקטעים במ"ש. אם שני הצדדים אינסופיים מחלקים את הפונקציה לשלוש וההוכחה דומה."
אבל כפי שמישהו מעלייך אמר, אז sin רציפה במידה שווה בכל R ואין לה גבול באין-סוף
2. אם בצד הסופי הגבול :באיזה מובן אינסוף הינו אינסוף הפונקציה אינה רציפה במ"ש, מכיוון שלפי משפט אם f אינה חסומה בקטע חסום אזי היא אינה רציפה שם במ"ש. אם הגבול הוא אינסוף באינסוף אי אפשר לדעת כי <math>x</math> הינה כזו, והיא רציפה במ"ש, ואילו <math>x^2</math> אינה רציפה במצד סופי"ש.??
:תודה רבה:אופס, הבהרת לי הלחץ מהמבחן עושה את העניין בצורה מלאה - עכשיו הצלחתי לטפל בכ"כ הרבה תרגילים שלא הצלחתי קודם, ואיכשהו באותם תרגילים שיוצא ששואף לאינסוף באינסוף - ההוכחה צריכה להיות בצורה פורמלית והיא מסתדרת בקלות!שלו..
:: אם כבר הגענו לנושא הזה:
:: א) אין אריתמטיקה בין פונקציות רבמ"ש נכון?, לדוגמא כפל פונ' שהן רבמ"ש (נגיד בקטע [a,b]) לא יהיה בהכרח רבמ"ש נכון?
:: ב) איך מוכיחים ש-sin רבמ"ש ע"פ הגדרה (בלשון דלתא ואפסילון)? (מה הטריק השם, איזה איקסים לוקחים?)
::בשמחה. שים לב רק לנקודה חשובה (זלצמן מטעה בה בכוונה תמיד) אם הפונקציה אינה רציפה בקטע היא בוודאי אינה רציפה בו במ"ש גם אם הגבולות קיימים בקצוות. למשל <math>sin(1/x)</math> יש לה גבולות בפלוס מינוס אינסוף אבל בוודאי היא אינה רציפה במ"ש כי יש לה אי רציפות ב0. (היא גם לא רציפה במ"ש בקטע (0,אינסוף)
==שאלות גבוליות על מקרי-קיצון=תשובה===*נניח שיש לי פונקצייה, כמו logxא. ידוע שהיא מוגדרת רק עבור יש חצי אריתמטיקה. כפל אין (x>0, אז האם אי-הרציפות ב-כפול x=0 נחשבת לרציפות מסוג שני? (מפני שהגבול השמאלי לא קיים)*אם אבל חיבור יש לי פונקצייה כמו fכמובן. בנוסף יש הרכבה, הרכבה של רציפות במ"ש הינה רציפה במ"ש ב. תרגיל כללי הוא להוכיח שכל פונקציה שרציפה על כל הממשיים ומחזורית הינה רציפה במ"ש. סינוס זה מקרה פרטי של המשפט הגדול הזה. בצורה דומה <math>e^{(xsinx)=\frac{1^2}{|x|} (כלומר, יש לה 'אסימפטוטה' </math> הינה רציפה במ"ש למשל.. :: ב-x=0 ששואפת לפלוסב' זה בגלל ש-אינסוף משני הצדדים)sin רציפה בקטע סגור, האם מדובר באי-רציפות מסוג שני? (הגבול השמאלי והימני לא סופייםואז היא רבמ"ש בו, ולכן כביכול לא קיימיםובעצם בגלל שהיא מחזורית אז זה מעיין איחוד אין סופי של אותו הקטע נכון?) או שאולי באי ובדוגמא שנתת -רציפות סליקה (מה שממש לא נראה לי - למרות ששני הגבולות שווים)איך מוכיחים שהפונ' הזאת מחזורית?*אם בשאלה השנייה שלי התשובה הנכונה היא הראשונה, אז האם אפשר להסיק שבכל מקרה בו אומרים "אם קיים הגבול :::לכל פונקציה מחזורית זה נכון. צ"ל להוכיח את זה במדויק, בלי לומר מילה על 'גבול במובן הרחב', בכל הקשור לפונקציות\גבולות\רציפותאבל מה שציינת זו אכן הדרך.::: פשוט מציבים <math>x+2\pi k</math> ורואים מיידים שזה שווה לערך של x לכל x ::::אוקי, תודה :)==שאלה==שני דברים:א) צריך להוכיח במבחן שפונקציה רציפה ומחזורית היא רבמ"שבכל פעם שמסתמכים על זה? אפשר לתת כאן הוכחה ליתר ביטחון?ב) ארז, מתכוונים לגבול סופיאתה יכול להעלות פתרונות לשאלות אתגר?מחר (חמישי) המבחן ומעניין אותי לדעת איך לפתור את השאלה שקשורה לקורסים אחרים...
===תשובה===
יש תשובה בדיוק אני לא יודע על השאלות האלה בדף מה מותר או אסור לכם להסתמך. אבל ההוכחה הולכת ככה: אתה מחלק את כל הממשיים לקטעים באורך המחזוריות, על כל קטע סגור וחסום הפונקציה רציפה במ"ש. עכשיו, כל שתי נקודות מספיק קרובות יכולות להיות במצב אחד מבין שניים: או ששתיהן באותו קטע, או שהן בקטעים חופפים. לכן נחלק גם את הממשיים לקטעים באורך פעמיים המחזוריות, וגם שם הפונקציה רציפה במ"ש. ולכן ניקח את הדלתא המינימלי בין זה של פעמים הקטע וזה של הקטע, וכל שתי נקודות שקרובות עד כדי הדלתא הזה, יהיה קרובות עד כדי האפסילון.
*אני אשתדל להעלות פתרונות, לא יודע*הגבולות חייבים להיות קיימים וסופיים.*תלוי בהקשר ובניסוח ובכוונת המשוררבטוח שאני אספיק מלאים, אבל לפחות אני אתן את העיקר
== הלצה שאלה ==חשבתי שכולנו גם זקוקים לקצת צחוק בכל הלחץ מההתכוננות לאינפי. סרטון מאוד מצחיק ומומלץ :)[http://www.youtube.com/watch#playnext=1&playnext_from=TL&videos=OWkvcRg0vkI&v=uqwC41RDPyg לחץ כאן]:מצחיק מאוד, אהבתי את הביצוע D: !
==גבול של פונקצייה==כדי להוכיח גבול של פונקצייה בנקודה, לא מספיק להראות ארז איך מוכיחים ש''קיימת'' סדרה <math>a_n\frac{x}{e^x+1}</math> ששואפת לאותה נק' וקיים רבמ"ש?:היא לא רבמ"ש, אמנם כשהיא שואפת לאינסוף יש לה גבול לסדרה המוגדרת עוהוא 0, אבל כשתשאיף אותה למינוס אינסוף היא תשאף למינוס אינסוף.::המשפט בבדיקת אינסוף ומינוס אינסוף הוא לא אם"י <math>fם, אלא רק כיוון אחד. היא אפילו כן רבמ"ש, כי היא רבמ"ש בצד החיובי של ציר הx, ובצד השלילי הוא מתנהג כמו x שהוא לינארי ולכן רבמ"ש. (a_nלא הוכחה פורמלית)</math>:::אפשר בבקשה הוכחה פורמלית::::צודק ברעיון של הבדיקה של האינסוף, נכון? בעיקרון המשפט אבל לא הבנתי למה אתה אומר ש''לכל'' סדרה התנאי צריך להתקייםשבצד השלילי הוא מתנהג כמו x לינארי - הוא הרי שואף למינוס אינסוף בצורה קיצונית, יותר מהר מכל פונקצייה אחרת (אם לא הייתי יודע שזה מוגדר הייתי בטוח שזו אסימפטוטה). :::::לא, כי במינוס אינסוף המכנה שואף ל1 והמונה הוא x. כלומר ככל שהוא מתקרב למינוס אינסוף, הוא מתקרב (שואף) לx.:::::בנוסף, ההוכחה הפורמלית רק אפשרית ישירות מההגדרה עם אפסילון ודלטא.:::::: רגע, אז אפשר לחלק את זה לשני קטעים אפס עד איןסוף ומינוס אינסוף עד אפס ולהגיד שבראשון היא רציפה במ"ש בגלל גבולות בקצוות, ובשני היא מתנהגת כמו הגרף של X, ואז רק נותר להראות מה שכןקורה אם לוקחים X1 מקטע אחד ו-X2 מהקטע השני?:::::::בעקרון כן, אבל זה עוזר להפריךלא כל כך פורמלי. הכל מסתמך על זה שאם פונקציה רבמ"ש בשתי קטעים אז היא רבמ"ש באיחוד שלהם. זה נראה נכון הגיונית, ובדיוק בשביל אבל אני לא בטוח שמותר להשתמש בזה במבחן.::::::::אבל בגלל זה אמרתי שרק צריך לבדוק מה קורה אם X1 מהקע הראשון וX2 מהקטע השני -זאת הבדיקה של האיחוד. אבל האם יש לי את השאלה הבאה:"מבחן השוואה" לרציפות במ"ש? כי אם לא אז איך אני יכול להגיד שמתחת ל-0 הפונ' מתנהגת כמו X? הרי היא מתנהגת בין X/2 ל-X (אמנם שתיהן רציפות, אבל בגלל זה שאלתי על מבחן ההשוואה)...
*תהי <math>f::::::::: (xמישהו אחר)=ארז קראתי את מה שנכתב פה, אתה יכול להגיד בקצרה מהי הדרך לומר שזה אכן רבמ"ש (cos(2xאו להפריך את זה..))^{\frac{1}{x^2}}</math> . האם קיים גבול ב-x שואף ל-0, ומהו?*ד"א, אם :::::::::: אני רוצה להפריך קיום של גבול, האם אני יכול לעשות זאת לא באמצעות סדרות? *נניח שיש לי פונקצייה כמו <math>xsin\frac{1}{x}</math>, שאמנם מבצעת אינסוף מחזורים בסביבת אפסארז, אבל כולם שואפים ל-0 - ניתן לומר שהגבול הוא 0, נכון? (באופן כללי חייב להיות גבול, כי רציפות בנק' גוררת קיום של גבול בה)שוב: אפשר להוכיח ישירות לפי הגדרה עם אפסילון ודלטא.
ניתן גם להוכיח באמצעות סדרות, ואני אוכיח מיד::::::::::: אני שוב לא בטוח איך הכוונה לפתור את השאלה, כי יש דרכים בעזרת נגזרות (כמו ששאלו באתר, אם הנגזרת חסומה הפונקציה רציפה במ"ש) אבל לא למדנו את המשפטים האלה, לכן אני לא יודע מאיפה השאלה ובאיזה שיטה צריך לפתור...
* מאיפה השאלה? אחד התלמידים שלי פתר משהו דומה בשיטות פשוטות== תודה! ==ארז, אבל אני רואה אמרנו את השאלה וישר חושב לפתור אותה באמצעות כלל לופיטל (אני לא חושב שלמדתם). לכן השאלה היא אם זה בכלל בחומר שלכם או כבר בלינארית, אבל אתה ממש בן אדם מדהים! לא.הייתי מצפה מהמתרגל הכי טוב שיעזור לקבוצה בקורס שהוא לא מלמד, ובטח ובטח לא בכל כך מסירות! תודה רבה על כל העזרה והתמיכה (והאתגרים :P) והלימוד המצויין! בבקשה תתרגל אותנו אינפי 2! אין לי (ולכולנו) מילים להודות לך!
*כןאיך להגיד את זה שיינר, אפשר לפריך לפי קושיאם היית וקטור, לא היה אפשר לנרמל אותך כי אתה פשוט זה נראה לי יותר מסובך. למצוא סדרות ששואפות למספרים שוניםלא נורמלי!אם היית פונקציה, או סדרה שואפת היית שואף לאינסוף הרבה יותר קלבכל סביבה של כל נקודהאם היית קטע, היית כל הישר.
אם היית מצחיק אחי אולי ההיתי צוחק* אבל '''אין''' רציפות באפס, אז בוודאי זה ואם לא גורר קיום גבול! אבלהיה לך כזה קטן אולי לא היית צריך לרדת על אחרים בשביל לצאת גבר, הגבול אכן קייםאחי ;)בוא בוא תסביר את עצמך כי וואלה לא הבנתי . קח סדרה ששואפת לאפס <math>x_n \rightarrow 0</math>. אזי <math>x_n \cdot sin\frac{1}{x_n}</math> הינה סדרה המורכבת מסדרה השואפת לאפס כפול חסומה! ולפי משפט מסדרות *עזוב, עזוב, אי הבנה, זה אומר שהגבול הינו אפס ללא תלות בסדרה (רק בעזרת העובדה שהיא שואפת לאפס) וזו הוכחה לפי היינה שהגבול הינו אפס.הכל
==תת-סדרה של תת סדרה==:: ארז כל הכבוד! אבסורד שאתה המתרגל שהכי עזר לנו בקורס הזה*תהי <math>a_n</math> סדרה. הוכח שהיא שואפת לאפס <==> לכל תת סדרה <math>a_{n_k}</math> קיימת תת סדרה <math>a_{n_{k_j}}</math> כך שהטור <math>\sum{a_{n_{k_j}}}</math> מתכנס בהחלט.:: אני גם מעדיף שתתרגל אותנו באינפי 2:: בסופו של דבר הוא כן מתרגל (של קבוצה א') :)
*הוכח או הפרך : הסדרה <math>x_n</math> מתכנסת ל-<math>x_0</math> <==> לכל תת סדרה <math>x_{n_k}</math> הכרזה ==יש תת סדרה <math>x_{n_{k_j}}</math> שמתכנסת ל-<math>x_0</math>.ציונים!!!
אני אפילו לא יודע איך לגשת לתרגילים מהסוג הזה - באילו כלים אני צריך להשתמש כאן?
== שאלה ברציפות במידה שווה ==
שלום, רציתי הוכחה בבקשה לתרגיל ברציפות במידה שווה.
האם איקס כפול סינוס איקס, רציפה במ"ש בקטע בין מינוס אינסוף לאינסוף..
תודה רבה!!
===תשובה===
נתחיל מהראשוןקח 2 סדרות<math>x_n = 2\pi n</math> ו <math>y_n = \frac{1}{n} + 2\pi n</math>. הכיוון הפשוט יותר הינו שאם לכל תת סדרה יש תת סדרה שעבורה הטור מתכנס, לכן לכל תת סדרה יש תת סדרה ששואפת ברור שההפרש בינהן שואף לאפס , אבל <math>f(טור מתכנס y_n) -> סדרה שואפת לאפסf(x_n). = (\frac{1}{n} + 2\pi n)sin(\frac{1}{n})</math> אבל מזה נובע שכל הגבולות החלקיים הם אפס, אחרת יש גבול חלקי שונה הביטוי הזה שואף ל<math>2\pi</math> ולכן בוודאי גדול מקבוע שגדול מאפס, יש תת סדרה ששואפת אליו, וכל תת סדרה שלה גם תשאף אליו בסתירה לכך שאחת מהן שואפת לאפס. ומכיוון שכל הגבולות החלקיים הינם אפס, גבול הסדרה הינו בהכרח אפס (limsup=liminfלמשל אחד)החל משלב מסויים...
::תודה רבה ארז! אתה תותח!
== שאלה בקשר למשפט על רציפות במידה שווה ==
קראתי כאן וגם בהרצאה משפט שמדבר על:
פונקציה שרציפה בקטע (a,b) (כאשר a ,b או שניהם הם אינסוף או מינוס אינסוף), אז אם הגבולות בהם קיימים וסופיים, הפונקציה רציפה במידה שווה.
אם יש לי קטע פתוח בין 0 לאינסוף, ופונקציה של (סינוס של איקס) חלקי איקס בריבוע, ראיתי שהוא בודק את הגבולות באינסוף וב0 מימין, אבל בדוגמא אחרת, של סינוס של אחד חלקי איקס, בין אחד לאינסוף, הוא בדק רק את הגבול כשאיקס שואף לאינסוף.
למה הוא לא בדק את הגבול כשאיקס שואף לאחד מימין? כי הפונקציה מוגדרת באחד ולכן לא צריך לבדוק את זה? (ולעומת זאת בדוגמא הראשונה, כשאיקס שווה לאפס אז זה תחום ההגדרה ולכן צריך כן לבדוק?).
ושאלה אחרונה בקשר למשפט שאמרתי, בהרצאה הוא לא ציין שa או b חייבים להיות אינסוף, האם זה נכון גם כשהם מספרים ממשיים?
תודה רבה!!
בכיוון השני, מספיק להוכיח את המשפט הבא: אם סדרה שואפת לאפס, יש לה תת סדרה שהטור שלה מתכנס (קל לראות לוגית שהמשפט הזה מספיק). ומה הטריק פה? לדלל את הסדרה המקורית... נניח הסדרה המקורית הינה <math>\frac{1}{n}</math> ברור ש<math>\frac{1}{n^2}</math> הינה תת סדרה שלה.
האלגוריתם המדויק הוא כזה. ניקח את הסדרה <math>\epsilon_n</math> כך ש <math>0<\epsilon_n < \frac{1}{n^2}</math>. כעת, לכל <math>\epsilon_n</math> קיים <math>n_{\epsilon_n}</math> כך שהחל ממנו והלאה הסדרה קטנה מ<math>\epsilon_n</math>. ניקח את האיברים המתאימים לאפסילונים לפי הסדר (לכל אפסילון נבחר את האיבר הראשון שקטן ממנו) וקל לראות לפי מבחן ההשוואה שהטור של תת הסדרה הנ"ל יתכנס.
===תשובה===
<math>sin(1/x)</math> רציפה באחד ולכן ברור שהגבול שם קיים ואין צורך בבדיקה נוספת. כאשר היא לא רציפה (מסיבה של תחום הגדרה או כל סיבה אחרת, אז יש לבדוק מה הגבול.
מתוך הדברים שאמרתיכן, קל להוכיח את התרגיל השניכי אם f רציפה בקטע הפתוח (a,b) ויש לה גבולות חד צדדים בקצות הקטע, אזי '''לפי הגדרה''' f רציפה בקטע הסגור [a,b]. ואז '''לפי משפט''' f רציפה בו במ"ש.
==שאלה==אני נתקל בבעיה הזו הרבה פעמים: איך אומים שהסדרה לוג איקס חלקי איקס היא מונוטונית יורדת? ואיך אומרים שלוג איקס חלקי איקס שואפת לאפס?? * הבנתי לגמרי עכשיו, תודה..ענקית!! :עבור סדרות (n טבעי) זה טרוויאלי - אפשר להראות את זה באינדוקציה. באופן כללי, בגלל ש-e^x שואפת לכל גבול מהר יותר מכל פולינום, אז ln(x) שהוא הפעולה ההפוכה שואף לכל גבול לאט יותר מכל פולינום.]
מה אני אומר במבחן? שלוג איקס חלקי איקס מונוטונית ושואפת לאפס כי== שאלה בנושא רציפות במידה שווה ==רציתי לדעת בבקשה איך מוכיחים שהפונקציה קוסינוס של שורש של ערך מוחלט של X רציפה במידה שווה בR.אולי להפריד ל2 מקרים כשX>0 וכשX<0..? אני יודע שזה נכון אבל כל הקורס הזה בנוי על פורמליות- אני יכול להגיד להם שהיא שואפת מהר יותר מכל פולינום? יקבלו את זה? אתה יכול לרשום בבקשה הוכחה פורמלית? תודה.:-)רבה!!!!
::כמו שכותב התשובה אמר===תשובה===כן להפריד למקרים, באינדוקציהואז זו הרכבה של רציפות במ"ש. אתה מעלה הכל בחזקת e (ידוע שe מונוטונית, ולכן אם מעלים בחזקת e המונוטוניות נשמרת). נותר את שורש איקס אפשר להוכיח ש<math>e^{\frac{logn}{n} }= \frac{n}{e^n} \rightarrow 0</math>לפי ההגדרה באמצעת כפל בצמוד. מוכיחים באינדוקציה ש<math>\frac{n}{e^n} < \frac{1}{n}</math> כלומר <math>\frac{n^2}{e^n}<1</math> וזו לא אינדוקציה מסובכת מידי... ואז נובעת השאיפה לאפס לפי מבחן הסנדביץ, או כפי שהורוביץ מכנה אותו "כריך פריך"
מצטער שאני משגע- * הבנתי למה אן חלקי אי בחזקת אן שואף לאפס. אבל איך זה אומר לי שלוג איקס חלקי איקס מונוטונית יורדת ושואפת לאפס לאיקס טבעי בפרט ולאיקס חיובי בכלל. , תודה.שוב ושיהיה לך לילה טוב..
==שאלה - רציפות במידה שווהמשפט הערך הממוצע ==נניח שיש לי פונקצייה כמו arctan(x) (ההופכית ל-tan) - האם היא מוגדרת כאשר x שואף לאינסוף? למשל, בשאלה: האם arctan(e^x) רבמ"ש בתחום (0, אינסוף)שלום, רציתי לומר שכן, כי יש לה גבולות סופיים (רבע פאי ב-0, חצי פאי באינסוף), אבל מצד שני tan של חצי פאי לא מוגדרלדעת בבקשה אם נלמד משפט הערך הממוצע בכיתה..? תודה רבה :]
:(arctan(e^x היא אכן רציפה במ"ש כי היא רציפה על כל R ויש לה גבולות סופיים בקצוות. למי אכפת מה קורה לtan? שכן arctan הינה פונקציה רציפה על כל R לתוך הקבוצה <math>(-\pi/===תשובה===בהתחשב בעובדה שאינפי 2כבר התחיל ובמסגרתו למדנו המשפט הזה,\pi/2)</math>. השאלה עצמה מוטעית "האם היא מוגדרת כאשר איקס שואף לאינסוף" ההגדרה לשאיפת גבול לאינסוף הינה אחת לפי קושי (או היינה, אבל הן שקולות). קל מאד לראות שכאשר איקס גדול, arctanx מתקרב לחצי פאי. בעזרת זה ניתן להוכיח שהגבול הינו חצי פאיהזו קצת מפתיעה.
::משפט הערך הממוצע הינו משפט לגרנז' ולמדנו אותו בתחילת סימסטר ב' (עוד שאלה, לא משואל השאלה הקודמתולא כחלק מסמיסטר א'..)ונניח שיש לי שאלה לגבי רציפות במ"ש עם tan. היא לא תהיה רציפה במ"ש בכל תחום שכולל את פאי חלקי 2, נכון? כי בפרט היא לא רציפה שם (כי אין לה גבול), ולכן היא בוודאי לא רציפה במ"ש..? (תנאי הכרחי אבל לא מספיק של רציפות במ"ש הוא רציפות)
::: תלוי בשאלה הספציפית* לא הסברתי טוב, אני יודע שהוא נלמד, השאלה אם הוא יכול להיות במבחן מועד ב' באינפי 1 אבל הבנתי שלא.. תודה על התשובה.. זה נכון למשל לגבי <math>tg == תרגיל ברציפות במידה שווה ==שלום ארז, יש לי תרגיל שלא הצלחתי לפתור ואני ישמח אם תעזור לילבדוק רציפות במידה שווה של (\frac{10}{1+x^2})</math> שאינה רציפה במ"ש אבל הפונקציה <math>tg*cos(\frac{1}{1+/x^2}בקטע שבין (אינסוף, 0)</math> כן רציפה במ"ש.לעניות דעתי צריך להפריך.ועוד שאלה קטנה בקשר להפרכה: צריך לקחת שתי סדרות כך שאחד התנאים הוא שהחיסור ביניהן כשמשאיפים לאינסוף ישאף ל-0. אם הוא שווה ל-0 ולא שואף ל-0, האם התנאי הזה התקיים? (כמובן שצריך לבדוק מה קורה כשמציבים את הסדרות בפונקציה אך אני מדבר רק על התנאי הראשון).אודה לך על תשובתך!
==שאלה==
לגבי רבמ"ש, יש משפט שאומר שפונקציה רבמ"ש ב(a,b) אם היא רציפה בו ויש לה גבולות בצדדים. הכוונה היא לגבולות חד צדדים נכון? כלומר צ"ל שיש גבול בa+ וb-?
===תשובה===
ראה שאלה 4.11 (זהה) ושאלות דומות בדף... לפי ההוכחה שם אפשר אכן להסיק שאם זה צד סופי אם החיסור בינהן שווה אפס אז זה גבול חד צדדיאותה סדרה, ואז בוודאי שהתנאי על כך שההפרש בין הפונקציות מופעלות על הסדרות צריך להיות גדול מקבוע, למשל הפונקציה שורש x שאין לה גבול שמאלי כלל באפסלא יתקיים.
ודווקא נראה לי שצריך להוכיח, כי הנגזרת חסומה. אני אנסה לפתור את זה מחר.=תודה מקרב לב ==שאלה=2 הגדרות ו2 שאלות ברבמ"ש==תהי an סדרה כך שקיים אפסילון>0 עבורו קיים n0 כל שאם m,n>n0 אזי <am-an> גדול שווה אפסילוןהיי ארז מה נשמע? יש לי בבקשה כמה שאלות. (הסימן הזה מייצג ערך מוחלט. 1)בהגדרת היינה בורל במבחן, מספיק לרשום: "S קומפקטית אם ורק אם היא חסומה וסגורה", זה מספיק או שצריך להסביר גם מה זה קומפקטית..?צ2) אם יש שאלה לנסח את משפט בולצ'אנו ויירשטראס, איזה מהם? עבור סדרות, קבוצות או פונקציות? או מה שאני בוחר? 3) רבמ"ל כל תת סדרה ש: איקס כפול קוסינוס של an מתבדרתאיקס בין מינוס אינסוף לאינסוף.זה לא בדיוק קריטריון קושי להתכנסות . (בצורת השלילהבטח להפריך)- כאילו- 4) רבמ"ש: איקס כפול לוג של איקס בין אפס לאינסוף (לפי הנתון ולפי קריטריון קושי an מתבדרתדעתי צריך להפריך כי מבחינת אינטואיציה, ולכן כל תת סדרה שלה שואפת לאותו גבול ולכן גם מתבדרתלוג איקס שואף ממינוס אינסוף ואם נכפיל באיקס אז זה עוד יותר מינוס אינסוף. אבל .) אלה השאלות האחרונות שאני אשאל.. מקווה שיהיה לך זמן.. תודה רבה רבה רבה, אם נצליח זה נראה רק בזכותך תאמין לי קל מידי. איפה הקאצ. ואם להגיד את האמת אז חבל שלא הבנתי את זה בתחילת סמסטר א'?, העיקר שעכשיו אני מבין.. תודה שוב :]
===תשובה===
שאין אף משפט שאומר שאם סדרה מתבדרת כל תת סדרה שלה "שואפת לאותו גבול". הרי זה דבר והיפוכו... אם היה נתון מתכנסת במובן הרחב זה היה סיפור אחר1, אבל זה לא נתון2 אלה שאלות למרצה.
בוודאי סדרות שיש להן גבולות חלקיים שונים מתבדרות ואילו יש להן תתי סדרות מתכנסות ממש מההגדרה 3. זה בדיוק כמו xsinx שעניתי עליו 4. זה להפריך, אפשר עם שתי הסדרות <math>n + \frac{1}{n}</math> ו <math>n</math>. צריך לשחק קצת עם הlog ובעיקר לשים לב שזו הפונקציה <math>xlogx = log(x^x)</math> וההפרש בין שני לוגים הוא לוג של גבול חלקיהחלוקה.* * תודה רבה!! אני אנסה את מה שאמרת.. שיהיה בהצלחה לכל מי שניגש..וארז, תודה על הכל!! ==שאלה==במועד ב' באינפי 1, ניתן להשתמש בכלל לופיטל?
דבר נוסףלא בטוח באיזה קורס, השלילה של קושי אומרת קיים אפסילון, כך ש'''לכל''' n0 קיימים זוג m,n>n0 כך השמרחק בינהם גדול שווה אפסילון. הניסוח למעלה הוא שונה, ויש להתייחס לכך בהתאם.אבל אם לא למדתם את זה באינפי 1 לא ניתן להשתמש בזה במבחן