הבדלים בין גרסאות בדף "נקודת פיתול"
מתוך Math-Wiki
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) מ |
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) |
||
שורה 2: | שורה 2: | ||
תהי <math>f</math> פונקציה ממשית הגזירה בנקודה <math>a</math> . | תהי <math>f</math> פונקציה ממשית הגזירה בנקודה <math>a</math> . | ||
− | <math>a</math> נקראת נקודת פיתול אם קיימת סביבה שלה כך שמצד אחד של <math>a</math> הפונקציה גדולה או שווה למשיק ל- <math>a</math>, ובצד השני הפונקציה קטנה או שווה לו. | + | <math>a</math> נקראת נקודת פיתול אם קיימת סביבה שלה כך שמצד אחד של <math>a</math> הפונקציה גדולה או שווה למשיק ל- <math>a</math> , ובצד השני הפונקציה קטנה או שווה לו. |
==מציאת נקודות פיתול== | ==מציאת נקודות פיתול== | ||
נקודות בהן הנגזרת מתאפסת הן [[סיווג נקודה חשודה|חשודות]] לפיתול, ויש [[סיווג נקודה חשודה|לסווג]] אותן. | נקודות בהן הנגזרת מתאפסת הן [[סיווג נקודה חשודה|חשודות]] לפיתול, ויש [[סיווג נקודה חשודה|לסווג]] אותן. | ||
− | + | ;משפט: | |
− | תהי <math>f</math> גזירה פעמיים בסביבת <math>a</math> כך שמצד אחד של <math>a</math> הנגזרת | + | תהי <math>f</math> גזירה פעמיים בסביבת <math>a</math> כך שמצד אחד של <math>a</math> הנגזרת השניה אי-שלילית ובצד השני אי-חיובית, אזי <math>a</math> נקודת פיתול של <math>f</math> . |
− | + | ||
− | + | ||
+ | ;הוכחה: | ||
לפי [[משפט טיילור עם שארית לגראנז'|טיילור]] מתקיים: | לפי [[משפט טיילור עם שארית לגראנז'|טיילור]] מתקיים: | ||
− | :<math>f(x)=f(a)+f'(a) | + | :<math>f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(c)}{2}(x-a)^2</math>. |
ההפרש בין הפונקציה למשיק בנקודה <math>a</math> הנו | ההפרש בין הפונקציה למשיק בנקודה <math>a</math> הנו | ||
− | :<math>f(x)-\Big(f(a)+f'(a) | + | :<math>f(x)-\Big(f(a)+f'(a)(x-a)\Big)=\frac{f''(c)}{2}(x-a)^2</math> |
− | כיון שהנקודה <math>c</math> נמצאת בין <math>x</math> ו- <math> | + | כיון שהנקודה <math>c</math> נמצאת בין <math>x</math> ו- <math>a</math> , קל להסיק מהנתונים כי ההפרש בין הפונקציה למשיק אי-שלילי מצד אחד, ואי-חיובי מהצד השני ולכן <math>a</math> הנה נקודת פיתול כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math> |
גרסה מ־12:43, 4 בנובמבר 2016
הגדרה
תהי פונקציה ממשית הגזירה בנקודה .
נקראת נקודת פיתול אם קיימת סביבה שלה כך שמצד אחד של הפונקציה גדולה או שווה למשיק ל- , ובצד השני הפונקציה קטנה או שווה לו.
מציאת נקודות פיתול
נקודות בהן הנגזרת מתאפסת הן חשודות לפיתול, ויש לסווג אותן.
- משפט
תהי גזירה פעמיים בסביבת כך שמצד אחד של הנגזרת השניה אי-שלילית ובצד השני אי-חיובית, אזי נקודת פיתול של .
- הוכחה
לפי טיילור מתקיים:
- .
ההפרש בין הפונקציה למשיק בנקודה הנו
כיון שהנקודה נמצאת בין ו- , קל להסיק מהנתונים כי ההפרש בין הפונקציה למשיק אי-שלילי מצד אחד, ואי-חיובי מהצד השני ולכן הנה נקודת פיתול כפי שרצינו.