[[משפטים/אינפי|חזרה למשפטים באינפי]]
==משפט ערך הביניים==
<videoflash>NxqtPr0wWJg</videoflash> תהי <math>f</math> פונקציה הרציפה בקטע <math>[a,b]</math> . אזי לכל <math>\alphaf(a)<y<f(b)</math> בין או <math>f(a),>y>f(b)</math> קיימת <math>c\in[a,b]</math> כך ש - <math>f(c)=\alphay</math>.
===הוכחה===
ראשית, נוכיח משפט חלש יותר:
תהי <math>f</math> פונקציה הרציפה בקטע <math>[a,b]</math> . אזי אם <math>f(a)\cdot f(b)<0</math> קיימת <math>c\in[a,b]</math> כך ש - <math>f(c)=0</math>.
כלומר, פונקציה רציפה חייבת להתאפס בין נקודה בה היא מקבלת ערך שלילי לבין נקודה לנקודה בה היא מקבלת ערך חיובי. (היא לא יכול יכולה "לדלג" על ציר <math>x</math> .)
'''הוכחה:'''
נגדיר <math>I_1=[a,b]</math> . כעת, אם <math>f\left(\tfrac{a+b}{2}\right)=0</math> סיימנו.
'''הוכחה.'''נגדיר אחרת, נחלק את הקטע לשניים, וניקח <math>I_1I_2=\left[a,\tfrac{a+b}{2}\right]</math>. כעת, אם או <math>f(I_2=\left[\fractfrac{a+b}{2})=0,b\right]</math> סיימנוכך שהפונקציה תקבל סימנים מנוגדים בקצות הקטע.
אחרת, נחלק שוב את הקטע לשנייםבאופן דומה עד שנקבל נקודה בה הפונקציה מתאפסת, וניקח <math>I_2=[a,\frac{a+b}{2}]</math> או <math>I_2=[\frac{a+b}{2}שנקבל סדרה של קטעים המוכלים זה בזה,b]</math> כך שהפונקציה תקבל סימנים מנוגדים בקצות הקטעבעלי אורך שואף לאפס (שכן אנחנו מחלקים את האורך בשתיים בכל פעם).
נחלק שוב את הקטע באופן דומה עד שנקבל נקודה בה הפונקציה מתאפסת, או שנקבל אם קיבלנו סדרה אינסופית של קטעים המוכלים זה בזה<math>I_n=[a_n, בעלי אורך שואף לאפס (שכן אנחנו מחלקים b_n]</math>, היא מקיימת את האורך בשתים כל פעם).[[הלמה של קנטור]] ויש נקודת גבול משותפת <math>\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}b_n=c\in[a,b]</math>
אם קיבלנו סדרה אינסופית של קטעים <math>I_n=[a_nכעת,b_n]</math>כיון שהפונקציה רציפה, היא מקיימת את הלמה של קנטור ויש נקודת גבול משותפת לפי היינה:<math>\lim \limits_{n\to\infty}f(a_n )= \lim \limits_{n\to\infty}f(b_n )= f(c\in [a,b])</math>
כעת, כיוון אבל כיון שהפונקציה רציפהמקבל אינסוף ערכים שליליים על סדרות אלה, וגם אינסוף ערכים חיוביים, הגבול חייב להיות אפס, לפי היינה כלומר :<math>f(c)=0</math>כפי שרצינו.
::<math>f(c)=\lim f(a_n) = \lim f(b_n)</math>.
אבל כיוון שהפונקציה מקבל אינסוף ערכים שליליים על סדרות אלה, וגם אינסוף ערכים חיוביים, הגבול חייב להיות אפס, כלומר
::<math>f(c)=0</math>
כפי שרצינו.
כעת נשוב למקרה הכללי. נניח בלי הגבלת הכלליות כי <math>f(a)<f(b)</math> .
נביט בפונקציה <math>g(x)=f(x)-y</math> . כיון ש- <math>y</math> בין <math>f(a),f(b)</math> ברור כי <math>g(a)\cdot g(b)<0</math> .
כעת נחזור למקרה הכללי. נביט בפונקציה לפי המשפט לעיל, קיימת <math>g(x)=f(x)-c\alphain[a,b]</math>. כיוון כך ש - <math>\alphag(c)=0</math> בין , כלומר <math>f(a),f(bc)=y</math> ברור כי כפי שרצינו. <math>g(a)g(b)< 0\blacksquare</math>.
לפי המשפט לעיל, קיימת c בקטע כך ש <math>g(c)=0</math> כלומר, <math>f(c)=\alpha</math> כפי שרצינו.[[קטגוריה:אינפי]]
