88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות/קושי: הבדלים בין גרסאות בדף

מתוך Math-Wiki
אין תקציר עריכה
שורה 2: שורה 2:


==סדרות קושי==
==סדרות קושי==
הגדרת התכנסות סדרה עד כה הסתמכה על קיום נקודת גבול L. אולם למדנו כי יש סדרות המתקרבות לנקודה שאינה שייכת לשדה, כמו שורש שתים בשדה הרציונאליים. סדרה המתכנסות לשורש שתיים מעל הממשיים, בהכרח אינה מתכנסת מעל הרציונאליים.  
הגדרת התכנסות סדרה עד כה הסתמכה על קיום נקודת גבול <math>L</math> . אולם למדנו כי יש סדרות המתקרבות לנקודה שאינה שייכת לשדה, כמו <math>\sqrt2</math> בשדה הרציונאלים. סדרה המתכנסות לשורש שתיים מעל הממשיים, בהכרח אינה מתכנסת מעל הרציונאלים.  


נגדיר איפוא תכונה של סדרה השקולה מבחינת התנהגות להתכנסות, אך אינה דורשת קיום של נקודת גבול בשדה. עקרונית, נדרוש שאיברי הסדרה יתקרבו אחד לשני, ולא לנקודת עוגן מסוימת הלא היא נקודת הגבול.
נגדיר אפוא תכונה של סדרה השקולה מבחינת התנהגות להתכנסות, אך אינה דורשת קיום של נקודת גבול בשדה. עקרונית, נדרוש שאיברי הסדרה יתקרבו אחד לשני, ולא לנקודת עוגן מסוימת הלא היא נקודת הגבול.


<font size=4 color=#3c498e>
<font size=4 color=#3c498e>'''הגדרה.'''</font>
'''הגדרה.'''  
</font>


סדרה <math>a_n</math> נקראת '''סדרת קושי''' אם לכל <math>\epsilon >0</math> קיים <math>N_\epsilon\in\mathbb{N}</math> כך שלכל <math>m>n>N_\epsilon</math> מתקיים <math>|a_n-a_m|<\epsilon</math>
סדרה <math>a_n</math> נקראת '''סדרת קושי''' אם לכל <math>\epsilon>0</math> קיים <math>N_\epsilon\in\N</math> כך שלכל <math>m>n>N_\epsilon</math> מתקיים <math>|a_n-a_m|<\epsilon</math>




במילים, אם לכל מרחק אפסילון קיים מקום בסדרה כך שהחל ממנו ומעלה המרחק בין '''כל שני איברים''' קטן מאפסילון, אזי הסדרה הינה סדרת קושי.
במילים, אם לכל מרחק <math>\epsilon</math> קיים מקום בסדרה כך שהחל ממנו ומעלה המרחק בין '''כל שני אברים''' שואף לאפס, אזי הסדרה הנה סדרת קושי.


'''משפט.''' מעל שדה הממשיים סדרה מתכנסת אם"ם היא סדרת קושי.
'''משפט.''' מעל שדה הממשיים סדרה מתכנסת אם"ם היא סדרת קושי.


ברור ממשפט זה, יחד עם הדוגמא של סדרה השואפת לשורש שתיים, שהמשפט אינו תקף מעל שדה הרציונאליים.
ברור ממשפט זה, יחד עם הדוגמא של סדרה השואפת ל- <math>\sqrt2</math> , שהמשפט אינו תקף מעל שדה הרציונאליים.




<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font>


<font size=4 color=#a7adcd>
תהי סדרה <math>\{a_n\}</math> כך ש- <math>|a_n-a_{n-1}|<\frac{1}{2^n}</math> . הוכח ש- <math>\{a_n\}</math> מתכנסת.
'''תרגיל.'''
</font>


תהי סדרה <math>\{a_n\}</math> כך ש <math>|a_n-a_{n-1}|<\frac{1}{2^n}</math>. הוכח ש<math>\{a_n\}</math> מתכנסת.
;פתרון
נוכיח ש- <math>\{a_n\}</math> סדרת קושי, ולכן מתכנסת.  


'''פתרון''': נוכיח ש <math>\{a_n\}</math> סדרת קושי, ולכן מתכנסת.
<math>|a_m-a_n|=|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}-a_{m-2}+\cdots-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n|\le</math>


<math>\le|a_m-a_{m-1}|+|a_{m-1}-a_{m-2}|+\cdots+|a_{n+1}-a_n|<</math>


<math>|a_m-a_n|=|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}-a_{m-2}+...-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n|\leq </math>
<math><\frac{1}{2^m}+\frac{1}{2^{m-1}}+\cdots+\frac{1}{2^{n+1}}=\frac{1}{2^{n+1}}\left[\frac{1}{2^{m-n-1}}+\cdots+1\right]</math> (לפי הנתון)


<math>\leq |a_m-a_{m-1}|+|a_{m-1}-a_{m-2}|+...+|a_{n+1}-a_n|<</math>
<math>=\frac{1}{2^{n+1}}\left[\frac{1-\frac{1}{2^{m-n}}}{1-\frac{1}{2}}\right]=\frac{1}{2^n}\left[1-\frac{1}{2^{m-n}}\right]=\frac{1}{2^n}-\frac{1}{2^m}\le\frac{1}{2^n}\to0</math>


<math>< \frac{1}{2^m}+\frac{1}{2^{m-1}}+...+\frac{1}{2^{n+1}}=\frac{1}{2^{n+1}}[\frac{1}{2^{m-n-1}}+...+1]</math> (לפי הנתון)


<math>=\frac{1}{2^{n+1}}[\frac{1-\frac{1}{2^{m-n}}}{1-\frac{1}{2}}]=\frac{1}{2^n}[1-\frac{1}{2^{m-n}}]=\frac{1}{2^n}-\frac{1}{2^m}\leq \frac{1}{2^n} \rightarrow 0</math>
<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font>


תהי סדרה <math>\{a_n\}</math> כך ש- <math>|a_{n+1}-a_n|\le p|a_n-a_{n-1}|</math> עבור <math>0<p<1</math> . הוכח ש- <math>\{a_n\}</math> מתכנסת.


<font size=4 color=#a7adcd>
;פתרון
'''תרגיל.'''
נוכיח ש- <math>\{a_n\}</math> סדרת קושי, ולכן מתכנסת.
</font>
 
תהי סדרה <math>\{a_n\}</math> כך ש <math>|a_{n+1}-a_n|\leq p|a_n-a_{n-1}|</math>, עבור <math>0<p<1</math> הוכח ש<math>\{a_n\}</math> מתכנסת.
 
'''פתרון''': נוכיח ש <math>\{a_n\}</math> סדרת קושי, ולכן מתכנסת.
 
דבר ראשון, נשים לב ש- <math>|a_{n+1}-a_n|\leq p|a_n-a_{n-1}|\leq p^2|a_{n-1}-a_{n-2}|\leq ...\leq p^{n-1}|a_2-a_1|</math>. נסמן <math>d=|a_2-a_1|</math> ולכן סה"כ <math>|a_{n+1}-a_n|\leq p^{n-1}d</math>
 


דבר ראשון, נשים לב ש- <math>|a_{n+1}-a_n|\le p|a_n-a_{n-1}|\le p^2|a_{n-1}-a_{n-2}|\le\cdots\le p^{n-1}|a_2-a_1|</math> . נסמן <math>d=|a_2-a_1|</math> ולכן סה"כ <math>|a_{n+1}-a_n|\le p^{n-1}d</math>


כעת,
כעת,


<math>|a_m-a_n|=|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}-a_{m-2}+...-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n|\leq </math>
<math>|a_m-a_n|=|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}-a_{m-2}+\cdots-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n|\le</math>
 
<math>\leq |a_m-a_{m-1}|+|a_{m-1}-a_{m-2}|+...+|a_{n+1}-a_n|\leq</math>
 
<math>\leq p^{m-2}d+...+p^{n-1}d = p^{n-1}d(p^{m-n-1}+...+1)=p^{n-1}d(\frac{1-p^{m-n-1}}{1-p}) \leq p^{n-1}\frac{d}{1-p} \rightarrow 0 </math> (לפי מה שהראנו)


מכיוון ש<math>p^n\rightarrow 0</math> עבור p<1.
<math>\le|a_m-a_{m-1}|+|a_{m-1}-a_{m-2}|+\cdots+|a_{n+1}-a_n|\leq</math>


<math>\le p^{m-2}d+\cdots+p^{n-1}d=p^{n-1}d(p^{m-n-1}+\cdots+1)=p^{n-1}d\left(\frac{1-p^{m-n-1}}{1-p}\right)\le p^{n-1}\frac{d}{1-p}\to0</math> (לפי מה שהראינו)


מכיון ש- <math>p^n\to0</math> עבור p<1.


<font size=4 color=#a7adcd>
'''תרגיל.'''
</font>


תהי <math>a_n</math> סדרה המוגדרת על ידי כלל הנסיגה
<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font>
::<math>a_{n+1}=a_n+\frac{1}{(n+1)^2}</math>


הוכח כי הסדרה מתכנסת
תהי <math>a_n</math> סדרה המוגדרת על-ידי כלל הנסיגה


'''הוכחה.'''
<math>a_{n+1}=a_n+\frac{1}{(n+1)^2}</math>


נוכיח כי זוהי סדרת קושי ולכן מתכנסת. יהי <math>\epsilon >0</math> כלשהו. צריך למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו המרחק בין כל שני איברים קטן מאפסילון. נביט במרחק בין שני איברים כלשהם:
הוכח כי הסדרה מתכנסת.


::<math>|a_m-a_n|=\Big|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}-...+a_{n+1}-a_n\Big|\leq</math>
;הוכחה
נוכיח כי זוהי סדרת קושי ולכן מתכנסת. יהי <math>\epsilon>0</math> כלשהו. צריך למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו המרחק בין כל שני אברים קטן מ- <math>\epsilon</math> . נביט במרחק בין שני אברים כלשהם:


לפי אי שיוויון המשולש זה קטן או שווה ל:
<math>|a_m-a_n|=\Big|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}-\cdots+a_{n+1}-a_n\Big|\le</math>


::<math>\Big|a_m-a_{m-1}\Big| + ... + \Big|a_{n+1}-a_n\Big| = \frac{1}{m^2}+...+\frac{1}{(n+1)^2}\leq</math>
לפי אי-שוויון המשולש זה קטן או שווה ל:
::<math>\leq\frac{1}{m(m-1)}+...+\frac{1}{(n+1)n}=</math>


<math>|a_m-a_{m-1}|+\cdots+|a_{n+1}-a_n|=\frac{1}{m^2}+\cdots+\frac{1}{(n+1)^2}\le</math>


<math>\le\frac{1}{m(m-1)}+\cdots+\frac{1}{(n+1)n}=</math>


כעת נעזר בנוסחא שקל להוכיחה: <math>\frac{1}{m(m-1)}=\frac{1}{m-1}-\frac{1}{m}</math>
כעת נעזר בנוסחא שקל להוכיחה: <math>\frac{1}{m(m-1)}=\frac{1}{m-1}-\frac{1}{m}</math>


<math>=\frac{1}{m-1}-\frac{1}{m}+\frac{1}{m-2}-\frac{1}{m-1}+\cdots+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n}-\frac{1}{m}\le\frac{1}{n}</math>


וכרגיל, עבור <math>N_\epsilon>\frac{1}{\epsilon}</math> אנו מקבלים את מה שצריך לכל <math>m>n>N_\epsilon</math>


::<math>=\frac{1}{m-1}-\frac{1}{m}+\frac{1}{m-2}-\frac{1}{m-1}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} = \frac{1}{n}-\frac{1}{m}\leq \frac{1}{n}</math>


וכרגיל, עבור <math>N_\epsilon > \frac{1}{\epsilon}</math> אנו מקבלים את מה שצריך לכל <math>m>n>N_\epsilon</math>
<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font>
 
 
 
 
 
 
<font size=4 color=#a7adcd>
'''תרגיל.'''  
</font>


תהי <math>a_n</math> סדרה המוגדרת על ידי כלל הנסיגה
תהי <math>a_n</math> סדרה המוגדרת על ידי כלל הנסיגה
::<math>a_{n+1}=a_n+\frac{1}{n+1}</math>


הוכח כי <math>\lim a_n = \infty</math> (כלומר הסדרה מתכנסת במובן הרחב לאינסוף).
:<math>a_{n+1}=a_n+\frac{1}{n+1}</math>


הוכח כי <math>\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\infty</math> (כלומר הסדרה מתכנסת במובן הרחב לאינסוף).


'''הוכחה.'''


דבר ראשון, טריוויאלי להוכיח כי הסדרה הינה מונוטונית עולה שכן <math>a_{n+1}-a_n = \frac{1}{n+1}>0</math>.
;הוכחה
דבר ראשון, טריוויאלי להוכיח כי הסדרה הנה מונוטונית עולה שכן <math>a_{n+1}-a_n=\frac{1}{n+1}>0</math>.


לכן, כפי שלמדנו, מספיק להוכיח כי הסדרה אינה מתכנסת. לצורך זה, מספיק להוכיח שהיא אינה סדרת קושי.
לכן, כפי שלמדנו, מספיק להוכיח כי הסדרה אינה מתכנסת. לצורך זה, מספיק להוכיח שהיא אינה סדרת קושי.


ניקח <math>\epsilon=\frac{1}{2}</math>. יהי <math>N\in\N</math> מקום כלשהו בסדרה, ויהי <math>n>N</math> . ניקח <math>m=2n</math> . מתקיים,


ניקח <math>\epsilon =\frac{1}{2}</math>. יהי <math>N\in\mathbb{N}</math> מקום כלשהו בסדרה, ויהי <math>n>N</math>. ניקח <math>m=2n</math>. מתקיים,
<math>|a_{2n}-a_n|=\Big|a_{2n}-a_{2n-1}+a_{2n-1}-a_{2n-2}+a_{2n-2}-\cdots+a_{n+1}-a_n\Big|=</math>
 
::<math>|a_{2n}-a_n|=\Big|a_{2n}-a_{2n-1}+a_{2n-1}-a_{2n-2}+a_{2n-2}-...+a_{n+1}-a_n\Big|=</math>
 
::<math>=\frac{1}{2n}+...+\frac{1}{n+1}\geq \frac{1}{2n}+...+\frac{1}{2n}=\frac{n}{2n}=\frac{1}{2}</math>


<math>=\frac{1}{2n}+\cdots+\frac{1}{n+1}\ge\frac{1}{2n}+\cdots+\frac{1}{2n}=\frac{n}{2n}=\frac{1}{2}</math>


ולכן מתקיימת '''שלילת''' ההגדרה של קושי והסדרה הנ"ל אינה מתכנסת.
ולכן מתקיימת '''שלילת''' ההגדרה של קושי והסדרה הנ"ל אינה מתכנסת.

גרסה מ־21:41, 8 בנובמבר 2016

חזרה לסדרות

סדרות קושי

הגדרת התכנסות סדרה עד כה הסתמכה על קיום נקודת גבול [math]\displaystyle{ L }[/math] . אולם למדנו כי יש סדרות המתקרבות לנקודה שאינה שייכת לשדה, כמו [math]\displaystyle{ \sqrt2 }[/math] בשדה הרציונאלים. סדרה המתכנסות לשורש שתיים מעל הממשיים, בהכרח אינה מתכנסת מעל הרציונאלים.

נגדיר אפוא תכונה של סדרה השקולה מבחינת התנהגות להתכנסות, אך אינה דורשת קיום של נקודת גבול בשדה. עקרונית, נדרוש שאיברי הסדרה יתקרבו אחד לשני, ולא לנקודת עוגן מסוימת הלא היא נקודת הגבול.

הגדרה.

סדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] נקראת סדרת קושי אם לכל [math]\displaystyle{ \epsilon\gt 0 }[/math] קיים [math]\displaystyle{ N_\epsilon\in\N }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ m\gt n\gt N_\epsilon }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |a_n-a_m|\lt \epsilon }[/math]


במילים, אם לכל מרחק [math]\displaystyle{ \epsilon }[/math] קיים מקום בסדרה כך שהחל ממנו ומעלה המרחק בין כל שני אברים שואף לאפס, אזי הסדרה הנה סדרת קושי.

משפט. מעל שדה הממשיים סדרה מתכנסת אם"ם היא סדרת קושי.

ברור ממשפט זה, יחד עם הדוגמא של סדרה השואפת ל- [math]\displaystyle{ \sqrt2 }[/math] , שהמשפט אינו תקף מעל שדה הרציונאליים.


תרגיל.

תהי סדרה [math]\displaystyle{ \{a_n\} }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ |a_n-a_{n-1}|\lt \frac{1}{2^n} }[/math] . הוכח ש- [math]\displaystyle{ \{a_n\} }[/math] מתכנסת.

פתרון

נוכיח ש- [math]\displaystyle{ \{a_n\} }[/math] סדרת קושי, ולכן מתכנסת.

[math]\displaystyle{ |a_m-a_n|=|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}-a_{m-2}+\cdots-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n|\le }[/math]

[math]\displaystyle{ \le|a_m-a_{m-1}|+|a_{m-1}-a_{m-2}|+\cdots+|a_{n+1}-a_n|\lt }[/math]

[math]\displaystyle{ \lt \frac{1}{2^m}+\frac{1}{2^{m-1}}+\cdots+\frac{1}{2^{n+1}}=\frac{1}{2^{n+1}}\left[\frac{1}{2^{m-n-1}}+\cdots+1\right] }[/math] (לפי הנתון)

[math]\displaystyle{ =\frac{1}{2^{n+1}}\left[\frac{1-\frac{1}{2^{m-n}}}{1-\frac{1}{2}}\right]=\frac{1}{2^n}\left[1-\frac{1}{2^{m-n}}\right]=\frac{1}{2^n}-\frac{1}{2^m}\le\frac{1}{2^n}\to0 }[/math]


תרגיל.

תהי סדרה [math]\displaystyle{ \{a_n\} }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ |a_{n+1}-a_n|\le p|a_n-a_{n-1}| }[/math] עבור [math]\displaystyle{ 0\lt p\lt 1 }[/math] . הוכח ש- [math]\displaystyle{ \{a_n\} }[/math] מתכנסת.

פתרון

נוכיח ש- [math]\displaystyle{ \{a_n\} }[/math] סדרת קושי, ולכן מתכנסת.

דבר ראשון, נשים לב ש- [math]\displaystyle{ |a_{n+1}-a_n|\le p|a_n-a_{n-1}|\le p^2|a_{n-1}-a_{n-2}|\le\cdots\le p^{n-1}|a_2-a_1| }[/math] . נסמן [math]\displaystyle{ d=|a_2-a_1| }[/math] ולכן סה"כ [math]\displaystyle{ |a_{n+1}-a_n|\le p^{n-1}d }[/math]

כעת,

[math]\displaystyle{ |a_m-a_n|=|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}-a_{m-2}+\cdots-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n|\le }[/math]

[math]\displaystyle{ \le|a_m-a_{m-1}|+|a_{m-1}-a_{m-2}|+\cdots+|a_{n+1}-a_n|\leq }[/math]

[math]\displaystyle{ \le p^{m-2}d+\cdots+p^{n-1}d=p^{n-1}d(p^{m-n-1}+\cdots+1)=p^{n-1}d\left(\frac{1-p^{m-n-1}}{1-p}\right)\le p^{n-1}\frac{d}{1-p}\to0 }[/math] (לפי מה שהראינו)

מכיון ש- [math]\displaystyle{ p^n\to0 }[/math] עבור p<1.


תרגיל.

תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה המוגדרת על-ידי כלל הנסיגה

[math]\displaystyle{ a_{n+1}=a_n+\frac{1}{(n+1)^2} }[/math]

הוכח כי הסדרה מתכנסת.

הוכחה

נוכיח כי זוהי סדרת קושי ולכן מתכנסת. יהי [math]\displaystyle{ \epsilon\gt 0 }[/math] כלשהו. צריך למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו המרחק בין כל שני אברים קטן מ- [math]\displaystyle{ \epsilon }[/math] . נביט במרחק בין שני אברים כלשהם:

[math]\displaystyle{ |a_m-a_n|=\Big|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}-\cdots+a_{n+1}-a_n\Big|\le }[/math]

לפי אי-שוויון המשולש זה קטן או שווה ל:

[math]\displaystyle{ |a_m-a_{m-1}|+\cdots+|a_{n+1}-a_n|=\frac{1}{m^2}+\cdots+\frac{1}{(n+1)^2}\le }[/math]

[math]\displaystyle{ \le\frac{1}{m(m-1)}+\cdots+\frac{1}{(n+1)n}= }[/math]

כעת נעזר בנוסחא שקל להוכיחה: [math]\displaystyle{ \frac{1}{m(m-1)}=\frac{1}{m-1}-\frac{1}{m} }[/math]

[math]\displaystyle{ =\frac{1}{m-1}-\frac{1}{m}+\frac{1}{m-2}-\frac{1}{m-1}+\cdots+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n}-\frac{1}{m}\le\frac{1}{n} }[/math]

וכרגיל, עבור [math]\displaystyle{ N_\epsilon\gt \frac{1}{\epsilon} }[/math] אנו מקבלים את מה שצריך לכל [math]\displaystyle{ m\gt n\gt N_\epsilon }[/math]


תרגיל.

תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה המוגדרת על ידי כלל הנסיגה

[math]\displaystyle{ a_{n+1}=a_n+\frac{1}{n+1} }[/math]

הוכח כי [math]\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}a_n=\infty }[/math] (כלומר הסדרה מתכנסת במובן הרחב לאינסוף).


הוכחה

דבר ראשון, טריוויאלי להוכיח כי הסדרה הנה מונוטונית עולה שכן [math]\displaystyle{ a_{n+1}-a_n=\frac{1}{n+1}\gt 0 }[/math].

לכן, כפי שלמדנו, מספיק להוכיח כי הסדרה אינה מתכנסת. לצורך זה, מספיק להוכיח שהיא אינה סדרת קושי.

ניקח [math]\displaystyle{ \epsilon=\frac{1}{2} }[/math]. יהי [math]\displaystyle{ N\in\N }[/math] מקום כלשהו בסדרה, ויהי [math]\displaystyle{ n\gt N }[/math] . ניקח [math]\displaystyle{ m=2n }[/math] . מתקיים,

[math]\displaystyle{ |a_{2n}-a_n|=\Big|a_{2n}-a_{2n-1}+a_{2n-1}-a_{2n-2}+a_{2n-2}-\cdots+a_{n+1}-a_n\Big|= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\frac{1}{2n}+\cdots+\frac{1}{n+1}\ge\frac{1}{2n}+\cdots+\frac{1}{2n}=\frac{n}{2n}=\frac{1}{2} }[/math]

ולכן מתקיימת שלילת ההגדרה של קושי והסדרה הנ"ל אינה מתכנסת.