שינויים

==אינטגרלים לא -אמיתיים מסוג ראשון==

יהי <math> a \in \mathbb{R} </math>, ותהי נק' נקודה <math> c\geq ge a </math> כך שמתקיים <math> \forall_{forall\ x\geq ge c} : g(x)\geq ge f(x)\geq 0 ge0</math>.

<math> \int_aint\limits_a^{\infty} g(x)dx </math> מתכנס <math> \int_adisplaystyle\int\limits_a^{\infty} f(x)dx \quad\Leftarrow\quad</math> מתכנס

<math> \int_aint\limits_a^{\infty} f(x)dx </math> מתבדר <math> \int_adisplaystyle\int\limits_a^{\infty} g(x)dx \quad\Leftarrow\quad</math> מתבדר

<font size=4 color=#a7adcd>'''דוגמא.''' </font>

קבע האם <math> \int_1displaystyle\int\limits_1^\infty \frac{\arctan(x)}{x} dx </math> מתכנס או מתבדר

''';פתרון.'''נשים לב כי <math> \arctan(x) </math> היא פונקציה מונוטונית עולה ולכן בתחום האינטגרציה:

<math> \forall_{forall\ x>1}: \arctan(x)>\arctan(1)=\frac{\pi}{4}>0 </math> ולכן <math> \forall_{forall\ x>1}: \frac{\arctan(x)}{x}>\frac{\pi}{4x}>0 </math>

<math> \int_1int\limits_1^\infty \frac{\pi}{4x}dx= \frac{\pi}{4} \int_1int\limits_1^\infty \frac1x frac{dx }{x}</math> מתבדר, ולכן, עפ"י מבחן ההשוואה הראשון, האינטגרל שלנו גם כן מתבדר. ===מבחן ההשוואה הגבולי===יהי <math>a\in\R</math> , ותהיינה שתי פונקציות <math>f(x),g(x)</math> כך ש: <math>\forall\ x\ge a:f(x),g(x)>0</math> יהי הגבול <math>\lim\limits_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=L</math> '''אזי:''' אם <math>L>0,L\in\R</math> אז <math>\displaystyle\int\limits_a^\infty f(x)dx</math> ו- <math>\displaystyle\int\limits_a^\infty g(x)dx</math> מתכנסים או מתבדרים יחדיו ("חברים"). אם <math>L=0</math> אז <math>\displaystyle\int\limits_a^\infty g(x)dx</math> מתכנס <math>\displaystyle\int\limits_a^\infty f(x)dx\quad \Leftarrow\quad</math> מתכנס. אם <math>L=\infty</math> אז <math>\displaystyle\int\limits_a^\infty f(x)dx</math> מתכנס <math>\displaystyle\int\limits_a^\infty g(x)dx\quad \Leftarrow\quad</math> מתכנס. ===דוגמאות===[[מדיה:GeneralIntegration.pdf|דוגמאות]]