הבדלים בין גרסאות בדף "תרגול 8 תשעז"
(יצירת דף עם התוכן "=יחסים= הגדרה: '''המכפלה הקרטזית''' של שתי קבוצות A וB הינה אוסף כל ה'''זוגות הסדורים''' - <math>A\time...") |
|||
שורה 6: | שורה 6: | ||
דוגמא: <math>A=\{1,2,3\}</math> ו<math>B=\{a,b\}</math> אזי מתקיים <math>A\times B =\{(1,a),(2,a),(3,a),(1,b),(2,b),(3,b)\}</math> | דוגמא: <math>A=\{1,2,3\}</math> ו<math>B=\{a,b\}</math> אזי מתקיים <math>A\times B =\{(1,a),(2,a),(3,a),(1,b),(2,b),(3,b)\}</math> | ||
− | |||
− | |||
===תרגיל=== | ===תרגיל=== | ||
− | הוכח | + | הוכח שלכל קבוצות A,B,C,D מתקיים <math>(A\times B)\cap (C\times D)=(A\cap C)\times (B\cap D)</math> |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
====פתרון==== | ====פתרון==== | ||
− | + | <math>(x,y)\in (A\times B)\cap (C\times D) \iff (x,y)\in A\times B \land (x,y)\in C\times D \iff (x\in A \and y\in B) \and (x\in C\and y\in D) \iff (x\in A\and x\in C) \and (y\in B\and y\in D) \iff (x,y)\in (A\cap C)\times (B\cap D)</math> | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
==יחסים כתת קבוצה של הזוגות הסדורים== | ==יחסים כתת קבוצה של הזוגות הסדורים== | ||
שורה 46: | שורה 22: | ||
הערה: יחס לא חייב לייצג חוקיות מסוימת למשל גם הקבוצה <math>S=\{(1,2),(1,6),(2,0),(2,2)\}</math> היא יחס. גם <math>\emptyset</math> היא יחס. וגם <math>A\times B</math> הוא יחס. | הערה: יחס לא חייב לייצג חוקיות מסוימת למשל גם הקבוצה <math>S=\{(1,2),(1,6),(2,0),(2,2)\}</math> היא יחס. גם <math>\emptyset</math> היא יחס. וגם <math>A\times B</math> הוא יחס. | ||
− | סימון: אם זוג מסוים, (a,b), נמצא בקבוצת היחס R נהוג לסמן aRb. (אם יש משמעות ליחס כמו לעיל ניתן גם לסמן פשוט <math>a\leq b</math>. | + | סימון: אם זוג מסוים, (a,b), נמצא בקבוצת היחס R נהוג לסמן aRb, או <math>(a,b)\in R</math>. (אם יש משמעות ליחס כמו לעיל ניתן גם לסמן פשוט <math>a\leq b</math>. |
שורה 53: | שורה 29: | ||
הגדרה: בהינתן יחס <math>R\subseteq A\times B</math> '''היחס ההפוך''' <math>R^{-1}\subseteq B\times A</math> הוא היחס המוגדר ע"י היפוך הזוגות הסדורים: | הגדרה: בהינתן יחס <math>R\subseteq A\times B</math> '''היחס ההפוך''' <math>R^{-1}\subseteq B\times A</math> הוא היחס המוגדר ע"י היפוך הזוגות הסדורים: | ||
<math>R^{-1}=\{(b,a):aRb\}</math> | <math>R^{-1}=\{(b,a):aRb\}</math> | ||
+ | |||
+ | הגדרה: תהי קבוצה A. '''יחס הזהות''' הוא <math>R\subseteq A\times A</math> כך ש: <math>I_A=R=\{(a,a):a\in A\}</math>. | ||
+ | |||
+ | הגדרה: יהיו A,B,C קבוצות, ו<math>R\subseteq A\times B, S\subseteq B\times C</math> '''היחס ההרכבה/הכפל''' הוא היחס: <math>S\circ R=\{(a,c)\in A\times C | \exists b\in B : (a,b)\in R \land (b,c)\in S\}</math> | ||
+ | |||
+ | ===תרגיל=== | ||
+ | יהיו <math>A=\{1,2\}, B=\{3,4,5\}</math>. נגדיר את היחס: <math>R=\{(1,3),(2,4)\}</math>. בדוק האם: | ||
+ | |||
+ | א. <math>R^{-1}\circ R=I_A</math> | ||
+ | |||
+ | ב. <math>R\circ R^{-1}=I_B</math> |
גרסה מ־11:50, 1 בינואר 2017
יחסים
הגדרה: המכפלה הקרטזית של שתי קבוצות A וB הינה אוסף כל הזוגות הסדורים - . ההבדל בין זוג סדור לבין קבוצה המכילה זוג איברים היא שהאיברים יכולים להיות שווים בזוג סדור, והסדר שלהם מהותי. כלומר שני האיברים הבאים שונים והאיבר הבא הינו זוג חוקי .
ניתן להכליל את ההגדרה לעיל לn-יה סדורה - כלומר n איברים מסודרים.
דוגמא: ו אזי מתקיים
תרגיל
הוכח שלכל קבוצות A,B,C,D מתקיים
פתרון
יחסים כתת קבוצה של הזוגות הסדורים
הגדרה: יהיו A,B קבוצות, אזי R יקרא יחס (בין A ל -B). הרעיון שעומד בבסיסו של יחס הוא האפשרות "להשוות" בין איברי A ל B דוגמא: ונביט בתת הקבוצה הבאה: . מה מיוחד בזוגות אלה?
זוגות אלה הינן כל זוגות האיברים (a,b) כך ש . (כלומר הגדרנו את היחס המייצג "קטן שווה")
הערה: יחס לא חייב לייצג חוקיות מסוימת למשל גם הקבוצה היא יחס. גם היא יחס. וגם הוא יחס.
סימון: אם זוג מסוים, (a,b), נמצא בקבוצת היחס R נהוג לסמן aRb, או . (אם יש משמעות ליחס כמו לעיל ניתן גם לסמן פשוט .
דוגמא: נביט בקבוצת האנשים A. נגדיר את יחס "בן של" על ידי קבוצת הזוגות הסדורים כך ש אם"ם x הוא בן של y. שימו לב שיש משמעות לכיוון היחס, שכן יש הבדל בין העובדה שאני הבן של מישהו לבין העובדה שהוא הבן שלי.
הגדרה: בהינתן יחס היחס ההפוך הוא היחס המוגדר ע"י היפוך הזוגות הסדורים:
הגדרה: תהי קבוצה A. יחס הזהות הוא כך ש: .
הגדרה: יהיו A,B,C קבוצות, ו היחס ההרכבה/הכפל הוא היחס:
תרגיל
יהיו . נגדיר את היחס: . בדוק האם:
א.
ב.